初中第一章 三角形的证明2 直角三角形精品课后练习题

1.2 直角三角形（1）同步练习

班级：___________姓名：___________得分：__________

（满分：100分，考试时间：40分钟）

一．选择题（共5小题，每题8分）

1．下列四句话中，正确的是（    ）

A．任何一个命题都有逆命题。       B．任何一个定理都有逆定理。

C．若原命题为真，则其逆命题也为真。     D．若原命题为假，则其逆命题也假。

2．一直角三角形的三边分别为2、3、x，那么x为（    ）

A．       B．       C．或      D．无法确定

3．如图，∠BAC=90°，AB丄BC，则图中互余的角有（    ）

A．2对       B．3对       C．4对       D．5对

4．下列命题中是假命题的是（    ）

A．△ABC中，若∠B=∠C﹣∠A，则△ABC是直角三角形

B．△ABC中，若a2=(b+c)(b﹣c)，则△ABC是直角三角形

C．△ABC中，若∠A：∠B：∠C=3：4：5，则△ABC是直角三角形

D．△ABC中，若a：b：c=5：4：3，则△ABC是直角三角形

5．如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（    ）

A．25海里      B．30海里      C．40海里      D．50海里

第3题图                 第5题图               第8题图          第9题图

二．填空题（共4小题，每题5分）

6．命题“等腰三角形两腰上的高相等”的逆命题是_______________，这个逆命题是____命题．

7．一根24米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为_____________，此三角形的形状为____________.

8．如图，在6×6正方形网格（每个小正方形的边长为1cm）中，网格线的交点称为格点，△ABC的顶点都在格点处，则AC边上的高的长度为_____cm．

9．如图，棱长为1的正方体形盒中，一只蚂蚁从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点B，蚂蚁爬行的最短路程是________．

 三．解答题（共3小题，第10题10分，第11、12题各15分）

10．已知a，b，c为△ABC的三条边的长，且满足b2+2ab=c2+2ac.

(1)试判断△ABC的形状，并说明理由；

(2)若a=6，b=5，求△ABC的面积.

11．小敏通过学习，知道了“在直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半”，她猜想这个命题的逆命题为“在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°”．为了证明这个命题的正确性，她画出了如图所示的图形．她又结合图形把这个命题理解为“在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，直角边BC的长等于斜边AB长的一半时，BC所对的锐角∠A的度数等于30°”．请你根据小敏的图形和理解，补全已知和求证，并完成证明．

已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，　   　．

求证：　   　．

小敏把自己的猜想与数学小组的同学们进行了交流，经过充分交流、研讨，得出了以下两种想法：

想法一：取AB中点D，连结CD，利用直角三角形斜边中线的性质使问题得到解决；

想法二：沿AC翻折△ABC，得△ADC，构造特殊的三角形，使问题得到解决．

请选择其中一种想法，帮助小敏完成解答过程．

12．如图，已知中，，，，.点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上以由点向点运动，设运动时间为.

（1）当时，判断的形状（可直接写出结论）；

（2）是否存在时刻，使与全等？若存在，请求出的值，并加以证明；若不存在，请说明理由；

（3）若点、以原来的运动速度分别从点、出发，都顺时针沿三边运动，则经过几秒后（结果可带根号），点与点第一次在哪一边上相遇？并求出在这条边的什么位置.

试题解析

2．C

【解析】分类讨论当3为斜边时和x为斜边时,利用勾股定理列出等式即可解题.

解：当3为斜边时,

32=22+x2,解得：x=,

当x为斜边时,

x2=32+22,解得：x=,

∴x为或,

故选C.

3．C

【解析】根据在直角三角形中两锐角互余，得到互余的角.

解: 由∠BAC=90°可得∠B+∠C=90°①；∠BAD+∠CAD=90°②；再由AD⊥BC，可得∠BDA=∠CDA=90°，所以∠B+∠BAD=90°③；∠C+∠CAD=90°④．所以图中互余的角共4对．

故答案为：C．

4．C

【解析】有一个角是直角的三角形是直角三角形，两边的平方和等于第三边的平方的三角形是直角三角形，逐一分析即可．

解：A、∠B+∠A=∠C，所以∠C=90°，所以△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意．
B、若a2=（b+c）（b-c），所以a2+c2=b2，所以△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意．
C、若∠A：∠B：∠C=3：4：5，最大角为75°，故本选项符合题意．
D、若a：b：c=5：4：3，则△ABC是直角三角形，故本选不项符合题意．
故选：C．

5．C

【解析】首先根据路程=速度×时间可得AC、AB的长，然后连接BC，再利用勾股定理计算出BC长即可．

解：连接BC，

由题意得：AC=16×2=32（海里），AB=12×2=24（海里），

CB==40（海里），

故选C．

6．如果一个三角形两边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形；真   

【解析】等腰三角形两腰上的高相等，这个命题的逆命题是如果一个三角形两边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形，这个逆命题是真命题．

故答案为：如果一个三角形两边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形； 真

7．6米，8米，10米    直角三角形   

【解析】根据题意三边长为三个连续偶数，可设三边分别为：n-2，n，n+2，然后根据周长为24，列出关系式即可求出三边的长，然后由勾股定理的逆定理即可判断三角形的形状为直角三角形．

解：根据题意得：设三边分别为：n-2，n，n+2，
则n-2+n+n+2=24，
解得：n=8，
所以n-2=6，n+2=10，
所以三边长分别为：6，8，10；
∵62+82=102，
∴此三角形的形状是直角三角形．
故答案是：6米，8米，10米；直角三角形．

8．

【解析】在Rt△ABC中，由勾股定理求得AC的长度，然后利用等面积法求得AC边上的高的长度.

解：如图，在Rt△ABC中，AB＝4cm，BC＝4cm，

由勾股定理知，AC＝．

设AC边上的高的长度为hcm，则AB•BC＝AC•h，

∴（cm）．

故答案是：．

9．

【解析】由题意可知，蚂蚁从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点B，将正方体盒展开，构成一个直角三角形，由勾股定理即可求得AB的长.

解：如图，

∵AB=，

∴蚂蚁爬行的最短路程是.

故答案为：.

10．(1)△ABC是等腰三角形，理由见解析；(2)12.

【解析】（1）由已知条件得出b2-c2+2ab-2ac=0，用分组分解法进行因式分解得出（b-c）（b+c+2a）=0，得出b-c=0，因此b=c，即可得出结论；
（2）作△ABC底边BC上的高AD．根据等腰三角形三线合一的性质得出BD=DC=BC=3，利用勾股定理求出AD==4，再根据三角形的面积公式即可求解．

解：(1)△ABC是等腰三角形，理由如下：

∵a，b，c为△ABC的三条边的长，b2+2ab=c2+2ac，

∴b2﹣c2+2ab﹣2ac=0，因式分解得：(b﹣c)(b+c+2a)=0，

∴b﹣c=0，

∴b=c，

∴△ABC是等腰三角形；

(2)如图，作△ABC底边BC上的高AD.

∵AB=AC=5，AD⊥BC，

∴BD=DC=BC=3，

∴AD==4，

∴△ABC的面积=BC•AD=×6×4=12.

11．BC=AB；∠A=30°

【解析】想法一：根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得到 根据已知条件得到求出即可求出的度数,

想法二：沿翻折，得，根据折叠的性质得到≌判定，得到即可求出的度数,

解：想法一证明：取中点D，连结．

 想法二证明：沿翻折，得，

∴≌

∴

∴三点在同一条直线上．

∵

，

12．（1）是等边三角形，证明见解析；（2）存在时间，使和全等，时间；证明见解析；（3）经过秒点与点第一次在边上距点处相遇.

【解析】（1）分别求出AP、AQ的长，根据等边三角形的判定推出即可；

（2）根据全等的条件和已知分别求出AP、CP、AQ、CQ的长，根据全等三角形的判定推出即可；

（3）根据勾股定理求出BC，根据已知得出方程2t-t=AB+BC，求出t的值即可．

解：（1）是等边三角形，证明如下：

∵，

∴，，

∵，

∴是等边三角形；

（2）存在，使和全等，

∵点的速度为，点的速度为，

∴当时，，，

∴，

又∵，

∴是等边三角形，

∴，

在和中 ，

∴，

即存在时间，使和全等，时间；

（3）在中，，

由题意得：，即，

∴点运动的路程是，

∵，

∴第一次相遇在边上，又，

∴经过秒点与点第一次在边上距点处相遇.