初中数学北师大版八年级下册2 直角三角形优秀教学设计

新知导入

同学们，在上前面的学习中，我们学习了直角三角形的有关内容，下面请同学们回答：

问题1.什么是直角三角形？

答案：有一个内角是直角的三角形叫做直角三角形.

问题2.直角三角形的两个锐角有怎样的关系？

答案：直角三角形的两个锐角互余.

学生根据老师的提问回答问题.

通过回顾直角三角形的知识，为直角三角形的性质及判定的探究做好铺垫

新知讲解

下面，让我们一起完成下面的问题：

想一想：直角三角形的两个锐角为什么互余呢？

已知：如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°.

求证：∠A+∠B＝90°.

证明：在Rt△ABC中，

∵∠A+∠B+∠C＝90°.

又∵∠C＝90°，

∴∠A+∠B＝90°.

即：直角三角形的两个锐角互余.

思考：如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形吗？为什么？

答案：是直角三角形

已知：如图所示，在△ABC中，∠A+∠B＝90°.

求证：△ABC是直角三角形

归纳：直角三角形的性质与判定

定理：直角三角形的两个锐角互余.

几何语言：

在Rt△ABC中，

∵∠C=90°，

∴∠A+∠B=90°.

定理：有两个角互余的三角形是直角三角形.

几何语言：

在△ABC中，

∵∠A+∠B=90°，

∴△ABC是直角三角形.

练习1：如图，在△ABC中，∠C＝70°，∠B＝30°，AD⊥BC于点D，AE为∠BAC的平分线，求∠DAE的度数．

解：由题意可知，

∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－30°－70°＝80°.

∵AE平分∠BAC，

∴∠CAE＝∠BAC＝40°.

∵AD⊥BC，

∴∠ADC＝90°.

∴∠CAD＝90°－∠C＝90°－70°＝20°.

∴∠DAE＝∠CAE－∠CAD＝40°－20°＝20°.

说一说：在上学期，我们通过数方格和割补法得到了勾股定理，谁能说一说勾股定理的内容呢？

归纳：勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.

几何语言：

∵△ABC直角是三角形，且∠C＝90°，

∴AC2+BC2=AB2.

探究：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形呢？

已知：如图所示，在△ABC中，AB2＋AC2＝BC2.

求证：△ABC是直角三角形

证明：如图，作Rt△A′B′C′，

使∠A′＝90°A′B′＝AB,A′C′＝AC,

则A′B′2＋A′C′2＝B′C′2（勾股定理）.

∵AB2＋AC2＝BC2，

∴BC2＝B′C′2.

∴BC＝B′C′.

∴△ABC≌△A′B′C′(SSS).

∴∠A＝∠A′＝90°(全等三角形的对应角相等）.

因此，△ABC是直角三角形.

归纳：定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.

几何语言：

在△ABC中

∵AC2+BC2=AB2，

∴△ABC是直角三角形.

练习2：如图，已知∠ABD=90°，AB=8m，AD=17m，DC=20m，BC=25m．

（1）求BD的长度；（2）求四边形ABCD的面积．

解：（1）在∴△ABD中，

∵∠ABD=90°，

∴AB2+BD2=AD2，

即：82+BD2=172，

∴BD=15（m）；

(2)∵BD=15m，DC=20m，BC=25m，

∴BD2+DC2=BC2，

∴∠BDC=90°，

∴四边形ABCD的面积=AB×BD+CD×BD

=×8×15+×20×15

=210(m2)．

议一议：观察下的两组定理，它们的之间有怎样的关系？

定理：直角三角形的两个锐角互余.

定理：有两个角互余的三角形是直角三角形.

勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.

定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.

答案：它们的条件和结论交换了位置

再观察下面三组命题：

（1）如果两个角是对顶角，那么它们相等；

如果两个角相等，那么它们是对顶角.

（2）如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧；

如果小明发烧，那么他一定患了肺炎.

（3）一个三角形中相等的边所对的角相等；

一个三角形中相等的角所对的边相等.

每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系吗？

答案：它们的条件和结论交换了位置

归纳：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题．

追问：你能写出命题“如果两个有理数相等,那么它们的平方相等”的逆命题吗?它们都是真命题吗?

答案：如果两个有理数的相等平方相等,那么这两个有理数相等.第一个命题是真命题，它的逆命题是假命题.

指出：一个命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题.

强调：判断一个命题是真命题需要进行逻辑推理，判断一个命题是假命题只需要举反例就可以．

归纳：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理，这两个定理称为互逆定理．

比如：定理：直角三角形的两个锐角互余.与定理：有两个角互余的三角形是直角三角形，是互逆定理

又如：勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方与定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，是互逆定理

练习3：说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假：

(1)五边形是多边形；

(2)两直线平行，内错角相等.

解：(1)逆命题：多边形是五边形，

原命题是真命题，逆命题是假命题；

(2)逆命题：内错角相等，两直线平行，

原命题是真命题，逆命题也是真命题．

学生在老师的引导下进行证明.

学生认真思考，得出猜想后，小组合作进行证明，然后班内交流，并认真听老师的讲评.

学生归纳直角三角形在角上的性质及判定方法，并将其转化为符号语言.

学生独立进行推理计算，然后班内交流，并认真听老师的点评.

学生回答勾股定理的内容及几何语言表达形式.

学生认真思考，在同伴讨论的基础上进行证明，然后班内交流，并认真听老师的点评.

学生归纳出回答勾股定理逆定理的内容及几何语言表达形式.

学生独立完成后，班内交流，然后仔细听老师的讲评.

学生认真观察，找出关系，然后仔细听老师的讲解

学生独立完成练习，然后班内交流，老师讲评.

探究并证明直角三角形在角上的性质

探究并证明直角三角形在角上的判定定理.

归纳直角三角形在角上的性质及判定，并掌握其几何语言.

应用直角三角形在角上的性质进行计算，提高学生的应用能力.

引导学生回顾勾股定理的内容.

探究直角三角形在边上的判定，即勾股定理的逆定理.

归纳直角三角形在边上的判定方法，并掌握其几何语言.

提高学生应用勾股定理及其逆定理的应用能力..

掌握互逆命题、互逆定理的概念.

提高所学知识的应用能力.

课堂练习

1．一个三角形三个内角的度数之比为1：2：3，则这个三角形一定是(    )

A．锐角三角形       B．直角三角形

C．钝角三角形       D．等腰直角三角形

答案：B

2．已知下列命题：

①若>1，则a>b；

②若a＋b＝0，则|a|＝|b|；

③等边三角形的三个内角都相等；

④底角相等的两个等腰三角形全等．

其中原命题与逆命题均为真命题的个数是(    )

A．1个     B．2个        C．3个     D．4个

答案：A

学生自主完成课堂练习，做完之后班级内交流.

借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识.

拓展提高

已知：在△ABC中，AB＝13cm，BC＝10cm，BC边上的中线AD＝12cm.求证：AB＝AC.

证明：∵AD是BC边上的中线，

∴BD＝BC＝×10＝5(cm)．

在△ABD中，

∵AB＝13cm，AD＝12cm，BD＝5cm，

∴AB2＝AD2＋BD2.

∴△ABD为直角三角形．

∴AD⊥BC.

在Rt△ADC中，

∴AB＝AC.

在师的引导下完成问题.

提高学生对知识的应用能力

中考链接

下面让我们一起赏析一道中考题：

(2018·青岛) 如图，三角形纸片ABC，AB=AC，∠BAC=90°，点E为AB中点．沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，折痕现交于点F．已知EF=，则BC的长是（　　）

答案：B

在师的引导下完成中考题.

体会所学知识在中考试题运用.

课堂总结

在课堂的最后，我们一起来回忆总结我们这节课所学的知识点：

问题1、说一说直角三角形在角上的性质与判定？

答案：性质：直角三角形的两个锐角互余.

判定：有两个角互余的三角形是直角三角形.

问题2、说一说直角三角形在边上的性质与判定？

答案：性质：勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.

判定：勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.

问题3、什么是互逆命题、互逆定理？

答案：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别 是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题．

如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理，这两个定理称为互逆定理．

跟着老师回忆知识，并记忆本节课的知识.

帮助学生加强记忆知识.

作业布置

基础作业

教材第17页习题1.5第1、2题

能力作业

教材第18页习题1.5第3、5题

学生课下独立完成.

检测课上学习效果.

板书设计

借助板书，让学生知道本节课的重点。