初中数学北师大版八年级下册第一章 三角形的证明2 直角三角形随堂练习题

这是一份初中数学北师大版八年级下册第一章 三角形的证明2 直角三角形随堂练习题，共8页。试卷主要包含了下列条件中等内容，欢迎下载使用。

（满分：100分，考试时间：40分钟）
一．选择题（共5小题，每题8分）
1．如图，在∠AOB的两边上，分别取OM=ON，再分别过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．AAS D．HL

第1题图 第2题图 第4题图 第5题图
2．如图，AB⊥BC于点B，AD⊥DC于点D，若CB＝CD，且∠1＝30°，则∠BAD的度数是（ ）
A．90° B．60° C．30° D．15°
3．下列条件中：①两条直角边分别相等；②两个锐角分别相等；③斜边和一条直角边分别相等；④一条边和一个锐角分别相等；⑤斜边和一锐角分别相等；⑥两条边分别相等．其中能判断两个直角三角形全等的有（ ）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
4．如图，有两个长度相同的滑梯(即BC＝EF)，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则有下列结论：①AB＝DE；②∠ABC＝∠DEF；③∠ACB＝∠DFE；④∠ABC＋∠DFE＝90°.其中成立的是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①② D．②③
5．如图，在△ABC中，点P，Q分别在BC，AC上，AQ＝PQ，PR＝PS，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，则下面结论错误的是（ ）
A．∠BAP＝∠CAP B．AS＝ARC．QP∥AB D．△BPR≌△QPS
二．填空题（共4小题，每题5分）
6．如图，已知四边形ABCD中，CB=CD，∠ABC=∠ADC=90°，那么Rt△ABC≌Rt△ADC，根据是 ________
7．如图，在△ABC和△ABD中，AC=AD，若利用“HL”证明△ABC≌△ABD，则需要加条件______ ．
8．如图，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，AX⊥AC，点P和点Q从A点出发，分别在线段AC和射线AX上运动，且AB＝PQ，当点P运动到AP＝_______________时，△ABC与△QPA全等．
9．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=CB，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF，若∠CAE=32°，则∠ACF的度数为__________°．

第6题图 第7题图 第8题图 第9题图
三．解答题（共3小题，第10题10分，第11、12题各15分）
10．如图，在四边形ABCD中，AD⊥BD，AC⊥CB，BD=AC．求证：△ABD≌△BAC；
11．如图，已知△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且EC⊥AC于点C，AE＝BF.试判断AE和BF的位置关系，并说明理由．
12．如图，在△ABC和△DCB中，∠A=∠D=90°，AC=BD，AC与BD相交于点O.
(1)求证：△ABC≌△DCB；
(2)△OBC是何种三角形？证明你的结论.
试题解析
1．D
2．B
【解析】根据HL判定△ABC≌△ADC，得出∠BAC=∠DAC=30°，进而求出∠BAD=60°．
解：∵AB⊥BC于B，AD⊥CD于D
∴∠ABC=∠ADC=90°
又∵CB=CD，AC=AC
∴△ABC≌△ADC（HL）
∴∠BAC=∠DAC=30°
∴∠BAD=∠BAC+∠DAC=60°
故选：B．
3．D
【解析】画出两直角三角形，根据选项条件结合图形逐个判断即可．
解：①两条直角边分别相等；正确；
②两个锐角分别相等；两直角三角形相似不一定全等，错误；
③斜边和一条直角边分别相等，正确；
④一条边和一个锐角分别相等；若斜边和另个三角形的直角边相等则不全等，错误；
⑤斜边和一锐角分别相等；正确；
⑥两条边分别相等，若一直角三角形的斜边和另一三角形的直角边相等，另一组直角边相等，则不全等，错误；
其中能判断两个直角三角形全等的有3个．
故选：D．
4．A
【解析】利用HL证明△ABC≌△DEF，根据全等三角形的性质，可判断各结论．
解：∵在Rt△ABC和Rt△DEF中，
BC=EFAC=DF，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）．
则①AB＝DE,正确；
②∠ABC＝∠DEF,正确；
③∠ACB＝∠DFE, 正确；
∵∠DEF+∠DFE=90°
④∠ABC＋∠DFE＝90°正确；
故选：A．
5．D
【解析】根据到角的两边的距离相等的点在角的平分线上可得AP平分∠BAC，从而判断出A正确，然后根据等边对等角的性质可得∠APQ=∠PAQ，然后得到∠APQ=∠PAR，然后根据内错角相等两直线平行可得QP∥AB，从而判断出C正确，然后证明出△APR与△APS全等，根据全等三角形对应边相等即可得到B正确，D中两三角形只能确定一直角边相等，已知角相等，其他条件都无法确定，所以不一定正确．
解：∵PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，且PR=PS，.
∴点P在∠BAC的平分线上，.
即AP平分∠BAC，故A正确；.
∴∠PAR=∠PAQ，.
∵AQ=PQ，.
∴∠APQ=∠PAQ，.
∴∠APQ=∠PAR，.
∴QP∥AB，故C正确；.
在△APR与△APS中，
AP＝APPR＝PS，.
∴△APR≌△APS（HL），.
∴AR=AS，故B正确；.
△BPR和△QSP只能知道PR=PS，∠BRP=∠QSP=90°，其他条件不容易得到，所以，不一定全等．.
故D错误．
故选D．
6．HL
【解析】因为∠ABC=∠ADC=90°，所以△ABC和△ADC为直角三角形，又因为CB=CD，CA=CA，故可根据HL判定Rt△ABC≌Rt△ADC．
解：∵∠ABC=∠ADC=90°，CB=CD，CA=CA
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）．
故填HL．
7．∠C=∠D=90∘，
【解析】添加∠C=∠D=90°，由HL证明△ABC≌△ABD即可．
解：添加∠C=∠D=90°，理由如下：
∵∠C=∠D=90°，
∴在Rt△ABC和Rt△ABD中，
AC=ADAB=AB，
∴Rt△ABC≌Rt△ABD(HL)，
故答案为：∠C=∠D=90°.
8．5或10
【解析】分两种情况：①当AP=BC=5时；②当AP=CA=10时；由HL证明Rt△ABC≌Rt△PQA（HL）；即可得出结果．
解：∵AX⊥AC，
∴∠PAQ=90°，
∴∠C=∠PAQ=90°，
分两种情况：
①当AP=BC=5时，
在Rt△ABC和Rt△QPA中，
AB=PQBC=AP，
∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL）；
②当AP=CA=10时，
在△ABC和△PQA中，
AB=PQAP=AC，
∴Rt△ABC≌Rt△PQA（HL）；
综上所述：当点P运动到AP=5或10时，△ABC与△APQ全等；
故答案为：5或10．
9．58
【解析】根据HL证明Rt△CBF≌Rt△ABE，推出∠FCB=∠EAB，求出∠CAB=∠ACB=45°，
求出∠BCF=∠BAE=13°，即可求出答案．
解：∵∠ABC=90°，
∴∠ABE=∠CBF=90°，
在Rt△CBF和Rt△ABE中
CF=CEBC=AB,
∴Rt△CBF≌Rt△ABE（HL），
∴∠FCB=∠EAB，
∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠CAB=∠ACB=45°．
∵∠BAE=∠CAB﹣∠CAE=45°﹣32°=13°，
∴∠BCF=∠BAE=13°，
∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=45°+13°=58°
故答案为：58
10．证明见解析.
【解析】通过HL即可得证.
证明：∵AD⊥BD，AC⊥CB，
∴∠ADB=∠BCA=90°，
在Rt△ADB和Rt△BCA中，
AB=BA，BD=AC，
∴Rt△ADB≌Rt△BCA（HL）
11．AE⊥BF，理由见解析
【解析】先利用HL定理证明△ABF与△CAE全等，根据全等三角形对应角相等可以得到∠ABF=∠EAC，然后利用角度的转换即可得到∠ADB=90°，从而判断出AE和BF的位置关系是垂直．
解：AE⊥BF.
理由如下：
∵AE＝BF，AB＝AC，
∴Rt△ABF≌Rt△CAE(HL)，
∴∠CAE＝∠ABF，
∵∠ABF＋∠AFB＝90°，
∴∠CAE＋∠AFB＝90°，
∴∠ADF＝90°，即AE⊥BF.
12．（1）证明见解析，（2）△OBC是等腰三角形，证明见解析.
【解析】（1）由已知条件可知两个三角形是直角三角形且有公共斜边，有一组直角边相等，故用“HL”即可证明Rt△ABC≌Rt△DCB；
（2），利用Rt△ABC≌Rt△DCB的对应角相等，即可判断△OBC的形状．
证明：（1）在△ABC和△DCB中，∠A=∠D=90°
AC=BD，BC为公共边，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）
（2）△OBC是等腰三角形
∵Rt△ABC≌Rt△DCB
∴∠ACB=∠DBC
∴OB=OC
∴△OBC是等腰三角形