2022届初中数学一轮复习 课时作业16 等腰、等边与直角三角形

课时作业16　等腰、等边与直角三角形

1.(2020·福建)如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD=5，则CD等于(　　)

A.10 B.5 C.4 D.3

2.(2020·福建)如图，面积为1的等边三角形ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则△DEF的面积是(　　)

A.1 B. C. D.

3.(2020·青海)等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是(　　)

A.55°，55° B.70°，40°或70°，55°

C.70°，40° D.55°，55°或70°，40°

4.(2020·河南)如图，在△ABC中，AB=BC=，∠BAC=30°，分别以点A，C为圆心，AC的长为半径作弧，两弧交于点D，连接DA，DC，则四边形ABCD的面积为(　　)

A.6 B.9 C.6 D.3

5.(2020·山东菏泽)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB边的中点，连接CD，若BC=4，CD=3，则cos∠DCB的值为　　　　. 

6.(2020·北京)如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格交点，则△ABC的面积与△ABD的面积的大小关系为S△ABC　　　　S△ABD(填“>”“=”或“<”). 

7.(2020·湖南邵阳)如图，线段AB=10 cm，用尺规作图法按如下步骤作图.

(1)过点B作AB的垂线，并在垂线上取BC=AB；

(2)连接AC，以点C为圆心，CB为半径画弧，交AC于点E；

(3)以点A为圆心，AE为半径画弧，交AB于点D.即点D为线段AB的黄金分割点.

则线段AD的长度约为　　　　 cm.(结果保留两位小数，参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.236) 

8.(2020·甘肃武威)如图，在△ABC中，D是BC边上一点，且BD=BA.

(1)尺规作图(保留作图痕迹，不写作法)

①作∠ABC的角平分线交AD于点E；

②作线段DC的垂直平分线交DC于点F.

(2)连接EF，请写出线段EF和AC的数量关系及位置关系.

9.(2020·内蒙古包头)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC>AC，按以下步骤作图：(1)分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点(点M在AB的上方)；(2)作直线MN交AB于点O，交BC于点D；(3)用圆规在射线OM上截取OE=OD.连接AD，AE，BE，过点O作OF⊥AC，垂足为F，交AD于点G.下列结论：

①CD=2GF；②BD2-CD2=AC2；③S△BOE=2S△AOG；④若AC=6，OF+OA=9，则四边形ADBE的周长为25.

其中正确的结论有(　　)

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

10.(2020·内蒙古通辽)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点P在斜边AB上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，∠PCQ=90°，则PA2，PB2，PC2三者之间的数量关系是　　　　. 

11.(2020·四川乐山)把两个含30°角的直角三角板按如图所示拼接在一起，点E为AD的中点，连接BE交AC于点F，则=　　　　. 

12.(2020·黑龙江大兴安岭)如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形①沿x轴正半轴滚动并且按一定规律变换，每次变换后得到的图形仍是等腰直角三角形.第一次滚动后点A1(0，2)变换到点A2(6，0)，得到等腰直角三角形②；第二次滚动后点A2变换到点A3(6，0)，得到等腰直角三角形③；第三次滚动后点A3变换到点A4(10，4)，得到等腰直角三角形④；第四次滚动后点A4变换到点A5(10+12，0)，得到等腰直角三角形⑤；依此规律……则第2 020个等腰直角三角形的面积是　　　　. 

13.(2020·四川凉山州)如图，点P，Q分别是等边△ABC边AB，BC上的动点(端点除外)，点P、点Q以相同的速度，同时从点A、点B出发.

　　　图1　　　　　　　　图2

(1)如图1，连接AQ，CP求证：△ABQ≌△CAP；

(2)如图1，当点P，Q分别在AB，BC边上运动时，AQ，CP相交于点M，∠QMC的大小是否变化?若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数；

(3)如图2，当点P，Q在AB，BC的延长线上运动时，直线AQ，CP相交于M，∠QMC的大小是否变化?若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数.

参考答案

1.B　解析 ∵AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，且等腰三角形三线合一，∴CD=BD=5.

2.D　解析 ∵D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，且△ABC是等边三角形，

∴△ADF≌△DBE≌△FEC≌△DFE，

∴△DEF的面积是.

3.D　解析 ①当70°的内角为这个等腰三角形的顶角，则另外两个内角均为底角，它们的度数为=55°；

②当70°的内角为这个等腰三角形的底角，

则另两个内角一个为底角，一个为顶角，

底角为70°，顶角为180°-70°-70°=40°.

综上，另外两个内角的度数分别是55°，55°或70°，40°，故 选D.

4.D　

解析 连接BD交AC于O，

∵AD=CD，AB=BC，∴BD垂直平分AC，

∴BD⊥AC，AO=CO.

∵AB=BC，∴∠ACB=∠BAC=30°.∵AC=AD=CD，

∴△ACD是等边三角形，

∴∠DAC=∠DCA=60°，

∴∠BAD=∠BCD=90°，

∠ADB=∠CDB=30°.

∵AB=BC=，∴AD=CD=AB=3，∴四边形ABCD的面积=2××3×=3，故选D.

5.　解析 ∵∠ACB=90°，BC=4，CD=3，点D是AB边的中点，∴DC=DB，

∴∠DCB=∠B，AB=2CD=6，

∴cos∠DCB=cos B=.

6.=　解析 如下图所示，设小正方形网格的边长为1，

由网格图可得S△ABC=×4×2=4，

S△ABD=5×2-S1-S2-S3=10-×1×5-×1×3-×2×2=4，

故有S△ABC=S△ABD.

7.6.18　解析 由作图得△ABC为直角三角形，CE=BC=AB=5 cm，AE=AD，

∴AC==5(cm)，

∴AE=AC-CE=5-5=5(-1)(cm)，

∴AD=AE=5(-1)≈6.18(cm).

8.解 (1)如图，①BE即为所求作的∠ABC的角平分线；

②过F的垂线是所求作的线段DC的垂直平分线.

(2)如图，连接EF.

∵BA=BD，BE平分∠ABC，

∴AE=DE.

由作图可知DF=CF

∴EF是△DAC的中位线，

∴EF∥AC，EF=AC.

9.D　解析 由题意知，MN垂直平分AB，

∴OA=OB，ED⊥AB.∵OD=OE，

∴四边形ADBE是菱形.

∵OF⊥AC，∠ACB=90°，

∴OF∥BC，AF=CF，∴FG是△ACD的中位线，

∴CD=2GF，故①正确；

∵四边形ADBE是菱形，∴AD=BD.

在Rt△ACD中，AD2-CD2=AC2，

∴BD2-CD2=AC2，故②正确；

∵FG是△ACD的中位线，

∴点G是AD的中点，∴S△AOD=2S△AOG.

∵S△AOD=S△BOE，

∴S△BOE=2S△AOG，故③正确；

∵AC=6，∴AF=3.设OA=x，则OF=9-x.

∵OA2=OF2+AF2，∴x2=(9-x)2+32，

解得x=5，∴AB=10，∴BC=8，

∵BD2-CD2=AC2，

∴BD2-(8-BD)2=62，解得BD=，

∴四边形ADBE的周长为×4=25.

故选D.

10.PA2+PB2=P解析 过点C作CD⊥AB，交AB于点D.

∵△ACB为等腰直角三角形，CD⊥AB，

∴CD=AD=DB.

∵PA2=(AD-PD)2=(CD-PD)2=

CD2-2CD·PD+PD2，

PB2=(BD+PD)2=(CD+PD)2=

CD2+2CD·PD+PD2，

∴PA2+PB2=2CD2+2PD2=2(CD2+PD2)，

在Rt△PCD中，由勾股定理可得PC2=CD2+PD2.

∴PA2+PB2=2PC2.

∵△CPQ为等腰直角三角形，且∠PCQ=90°，

∴2PC2=PQ2，∴PA2+PB2=PQ2.

11.　解析 连接CE，设CD=2x.

在RtΔACD和RtΔABC中，∠BAC=∠CAD=30°，

∴∠D=60°，AD=4x，AC==2x，

BC=AC=x，AB==3x.

∵点E为AD的中点，

∴CE=AE=DE=AD=2x，

∴ΔCED为等边三角形，∴∠CED=60°.

∵∠BAD=∠BAE+∠CAD=30°+30°=60°，

∴∠CED=∠BAD，∴AB∥CE，

∴∠ABF=∠CEF，∠BAF=∠ECF，

∴△ABF∽△CEF，

∴，∴.

12.22 020(形式可以不同，正确即可)

解析 ∵点A1(0，2)，

∴第1个等腰直角三角形的面积

=×2×2=2.∵A2(6，0)，

∴第2个等腰直角三角形的边长为=2.

∴第2个等腰直角三角形的面积

=×2×2=4=22.

∵A4(10，4)，

∴第3个等腰直角三角形的边长为10-6=4，

∴第3个等腰直角三角形的面积=×4×4=8=23.

……

则第2 020个等腰直角三角形的面积是22 020.

13.解 (1)证明：∵三角形ABC为等边三角形，

∴AB=AC，∠ABC=∠CAB=60°.

∵点P、点Q以相同的速度，同时从点A、点B出发，

∴BQ=AP.

在△ABQ与△CAP中，

∴△ABQ≌△CAP(SAS).

(2)角度不变，60°，理由如下：

∵△ABQ≌△CAP，∴∠CPA=∠AQB.

在△AMP中，∠AMP=180°-(∠MAP+∠CPA)=180°-(∠MAP+∠AQB)=∠ABC=60°，

∴∠QMC=∠AMP=60°。

故∠QMC的度数不变，度数为60°.

(3)角度不变，120°，理由如下：

当点P，Q在AB，BC的延长线上运动时，

有AP=BQ，∴BP=CQ，

∵∠ABC=∠BCA=60°，

∴∠CBP=∠ACQ=120°，

在△CBP和△ACQ中，

∴△CBP≌△ACQ(SAS)，∴∠Q=∠P.

∵∠QCM=∠BCP，∴∠QMC=∠CBP=120°.

故∠QMC的度数不变，度数为120°.