2022届中考数学二轮复习专题 等腰、等边及直角三角形解析版

这是一份2022届中考数学二轮复习专题 等腰、等边及直角三角形解析版，共32页。试卷主要包含了单选题，填空题，作图题，综合题等内容，欢迎下载使用。

中考数学二轮复习专题 等腰、等边及直角三角形
一、单选题
1．如图，上有A、B两点，点C为弧AB上一点，点P是外一点，且，，则的度数为（　　）

A． B． C． D．
2．如图：等腰中，是上一点，若，则（　　）．

A． B．2 C．1 D．
3．如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是（　　）

A．24 B．30 C．36 D．42
4．如图，在△ABC和△ABD中，AB＝AC＝AD，AC⊥AD，AE⊥BC于点E，AE的反向延长线于BD交于点F，连接CD.则线段BF，DF，CD三者之间的关系为(　　)

A．BF﹣DF＝CD B．BF+DF＝CD
C．BF2+DF2＝CD2 D．无法确定
5．如图，在平面直角坐标系 中，已知点 ， ．若平移点 到点 ，使以点 ， ， ， 为顶点的四边形是菱形，则正确的平移方法是（　　）

A．向左平移1个单位，再向下平移1个单位
B．向左平移 个单位，再向上平移1个单位
C．向右平移 个单位，再向上平移1个单位
D．向右平移1个单位，再向上平移1个单位
6．三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程 的一个实数根，则该三角形的面积是(　　)
A． B．24 C． 或24 D． 或24
7．在每个小正方形的边长为 的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．从一个格点移动到与之相距 的另一个格点的运动称为一次跳马变换．例如，在 的正方形网格图形中（如图1），从点 经过一次跳马变换可以到达点 ， ， ， 等处．现有 的正方形网格图形（如图2），则从该正方形的顶点 经过跳马变换到达与其相对的顶点 ，最少需要跳马变换的次数是（　　）

A． B． C． D．
8．如图钓鱼竿AC长6m，露在水面上的鱼线BC长3m，钓者想看看鱼上钩的情况，把鱼竿AC逆时针转动15°到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B'C'长度是（　　）

A．3m B．m C．m D．4m
9．如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC=110°，则∠MAB=（　　）

A．30° B．35° C．45° D．60°
10．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的。借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角。这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC=CD=DE，点D，E可在槽中滑动，若∠BDE=75°，则∠CDE的度数是（　　）

A．60° B．65° C．75° D．80°
二、填空题
11．在矩形ABCD中，，，E是BC的中点，连接AE，过点D作于点F，连接CF、AC．
（1）线段DF的长为　 　；
（2）若AC交DF于点M，则　 　．
12．如图,在△ABC中,∠A=40°,∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P,则∠BPC的度数为　 　.

13．如图，点P是反比例函数 图象上的点，PA垂直x轴于点A（－1，0），点C的坐标为（1，0），PC交y轴于点B，连结AB，已知AB= .

（1）k的值是　 　；
（2）若M（a，b）是该反比例函数图象上的点，且满足∠MBA＜∠ABC，则a的取值范围是　 　.
14．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，直线l1、l2、l3分别通过A、B、C三点，且l1∥l2∥l3．若l1与l2的距离为4，l2与l3的距离为6，则Rt△ABC的面积为　 　．

15．一副三角板按如图所示叠放在一起，∠C=60°，∠OAB=45°，其中点B，D重合，若固定△AOB，将三角板ACD绕着公共顶点A顺时针旋转一周后停止，当旋转的角度为　 　时，CD∥AO．

16．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=15，AC=20，点D在边AC上，AD=5，DE⊥BC于点E，连结AE，则△ABE的面积等于　 　．

17．如图1是AD//BC的一张纸条，按图1—>图2—>图3，把这一纸条先沿EF折叠并压平，再沿BF折叠并压平，若图3中∠CFE=15°，则图2中∠AEF的度数为　 　.

18．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，点D在边BC上，CD=5,BD=13.点P是线段AD上一动点，当半径为6的OP与△ABC的一边相切时，AP的长为　 　.

19．小聪在研究题目“如图，在等腰三角形ABC中， ， ， 的平分线与AB的垂直平分线OD交于点O，点C沿直线EF折叠后与点O重合，你能得出那些结论？”时，发现了下面三个结论：① ；②图中没有60°的角；③D、O、C三点共线．请你直接写出其中正确的结论序号：　 　

20．如图，在∠AOB 的边 OA、OB 上取点 M、N，连接 MN，P 是△MON 外角平分线的交点， 若 MN=2，S△PMN=2，S△OMN=7．则△MON 的周长是　 　；

三、作图题
21．已知：如图△ABC．
求作：①AC边上的高BD；
②△ABC的角平分线CE．

22．如图，在 Rt△ABC 中，以△ABC 的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC 的其他边上，试画出所有不同的等腰三角形并说明画图方法．

四、综合题
23．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE．已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．

（1）试说明AC=EF；
（2）求证：四边形ADFE是平行四边形.
24．如图，在中，，，点D是平面内一动点（不与点C重合），连接CD，将线段CD绕点D顺时针旋转60°，得到线段DE（点E不与点B重合），连接BE．取CD的中点P，连接AP．

（1）如图（1），当点E落在线段AC上时，
①　 　；
②直线AP与直线BE相交所成的较小角的度数为　 　．请给予证明．
（2）如图（2），当点E落在平面内其他位置时，（1）中的两个结论是否仍然成立？若成立，请就图（2）的情形给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）若，，当点B，D，E在同一条直线上时，请直线写出线段AP的长．
25．如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠1与∠2互补．

（1）试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，EP与CD交于点G，点H是MN上一点，且GH⊥EG，求证：PF∥GH；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接PH，K是GH上一点使∠PHK=∠HPK，作PQ平分∠EPK，问∠HPQ的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，说明理由．

答案解析部分
【解析】【解答】解：如图，在优弧AB上找一点D，连接AD，BD，AB，则∠ADB=∠AOB=30°

在圆内接四边形ADBC中
∠ACB=180°-∠ADB=180°-30°=150°
∴∠CAB+∠CBA=180°-150°=30°
又∵AC=BC=PC
∴∠CPA=∠CAP，∠CBP=∠CPB
∴∠APB=180°-（∠PAB+∠PBA）
=180°-（∠CAB+∠CBA+∠CAP+∠CBP）
=180°-30°-（∠CAP+∠CBP）
=150°-（∠CAP+∠CBP）
=150°-（∠APC+∠BPC）
=150°-∠APB
∴∠APB=75°
故答案为：D．

【分析】连接AD，BD，AB，先利用圆周角求出∠ADB=∠AOB=30°，再利用圆内接四边形的性质可得∠ACB=180°-∠ADB=180°-30°=150°，再根据等腰三角形和三角形的内角和求出∠CAB+∠CBA=180°-150°=30°，最后利用∠APB=180°-（∠PAB+∠PBA）=150°-（∠APC+∠BPC）=150°-∠APB计算即可。
【解析】【解答】解：过D作DH⊥AB于H，如图：

Rt△BDH中，tan∠DBA=，
∴=，
设DH=m，则BH=5m，
∵三角形ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，AC=6，
∴∠A=45°，AB=AC=6，
∴△AHD是等腰直角三角形，
∴AH=m，AD= m，
∴AB=AH+BH=6m，
∴6m=6，解得m=，
∴AD=m=2．
故答案为：B．

【分析】因为给了正切值，所以做辅助线构造一个直角三角形，再根据正弦值与三角形三边的关系，以及为等腰直角三角形，可求出AB和AD之间的关系，最终求得AD。
【解析】【解答】解：延长BA,过点D作DE⊥BA交其延长线于点E，如图，

∵BD平分∠ABC，DC⊥BC，DE⊥BE，CD=4，
∴DE=DC=4,
又∵AB=6，BC=9，
∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD，
= ·AB·DE+ ·BC·CD，
= ×6×4+ ×9×4，
=12+18，
=30.
故答案为：B.
【分析】延长BA,过点D作DE⊥BA交其延长线于点E，根据角平分线性质得DE=DC=4,由S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD，代入数据计算即可得出答案.
【解析】【解答】解：如图，连接CD，CF

∵AC＝AD，AC⊥AD
∴∠ACD＝45°＝∠ADC
∵AB＝AC＝AD
∴∠ABC＝∠ACB，∠ADB＝∠ABD
∵∠ABC+∠ACB+∠ADB+∠ABD+∠ACD+∠ADC＝180°
∴∠CBD＝45°
∵AB＝AC，AE⊥BC
∴AE是线段BC的垂直平分线
∴BF＝CF
∴∠CBD＝∠BCF＝45°，即∠CFD＝90°
∴BF2+DF2＝CD2＝AC2+AD2.
故答案为：C.
【分析】连接CD，CF，易得∠ACD＝45°＝∠ADC，根据等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB，∠ADB＝∠ABD，结合内角和定理可得∠CBD＝45°，易得AE是线段BC的垂直平分线，则BF＝CF，结合等腰三角形的性质可得∠CBD＝∠BCF＝45°，即∠CFD＝90°，然后根据勾股定理进行判断.
【解析】【解答】解：因为B（1,1）
由勾股定理可得OB=,
所以OA=OB，
而ABAB，故当OA，OB为边时O，A，B，C四点构成的四边形是菱形，故点A平移到C的运动与点O平移到B的相同.
【解析】【解答】解：∵x2-16x+60=0，
∴（x-6）（x-10）=0，
∴x1=6，x2=10，
∴当第三边长为6时，三角形为等腰三角形，则底边上的高=，
此时三角形的面积=×8×=；
当第三边长为10时，82+62=102，即三角形为直角三角形，此时三角形的面积=×8×6=24，
∴该三角形的面积是或24.
故答案为：C.
【分析】先利用因式分解法解方程得到x1=6，x2=10，当第三边长为6时，利用等腰三角形的性质和勾股定理可计算出底边上的高=，则根据三角形面积公式可计算出此时三角形的面积；当第三边长为10时，利用勾股定理的逆定理可判断三角形为直角三角形，然后根据三角形面积公式求解．
【解析】【解答】解：如图所示，

沿AC或AD可进行下去，然后到CF，从而求出AF=3 ,
又∵MN=20 ，
∴，（不是整数）
∴按A-C-F的方向连续变换10次后，相当于向右移动了10÷2×3=15格，向上移动了10÷2×3=15格，
此时M位于如图所示的5×5的正方形网格的点G处，再按如图所示的方式变换4次即可到达点N处，

∴从该正方形的顶点M经过跳马变换到达与其相对的质点N，最少需要跳马交换的次数是10+4=14次.
故答案为：B.
【分析】根据从一个格点移动到与之相距 的另一个格点的运动称为一次跳马变换，计算出按A- C- F的方向连续变换10次后点M的位,置，再根据点N的位置进行适当的变换，即可得到变换总次数.
【解析】【解答】解：∵∠B=90°，AC=6，BC=3，
∴，
∴∠CAB=45°，
根据旋转的性质得出AC′=AC=6，∠C′AC=15°，
∴∠C′AB=45°+15°=60°，
∵，
∴B′C′=AC′·sin60°=6×，
∴露在水面上的鱼线B'C'长度是m.
故答案为：B.

【分析】根据锐角三角函数的定义求出∠CAB=45°，根据旋转的性质得出AC′=AC=6，∠C′AC=15°，从而得出∠C′AB=60°，再根据正弦的定义得出B′C′=AC′·sin60°，即可得出答案.
【解析】【解答】解：过点M作ME⊥AD交于点E，∵∠ADC+∠C+∠B+∠BAD=360°，
∴∠BAD=360°-（∠ADC+∠C+∠B）=360°-（110°+90°+90°）=70°，
∵DM平分∠ADC，且ME⊥AD，∠C=90°，M是BC的中点，
∴ME=MC=BM，
在Rt△AME和Rt△AMB中，

∴Rt△AME≅Rt△AMB，
∴∠MAB=∠MAE= ∠BAD=35°
故答案为:B．
【分析】由四边形内角和可求∠BAD的度数；由角平分线的性质可作M作ME⊥AD，及中点的定义可得ME=MC=BM，由HL可得Rt△AME≅Rt△AMB，从而可知AM平分∠BAD．
【解析】【解答】解：∵OC=CD=DE，
∴∠O=∠ODC，∠DCE=∠DEC，
设∠O=∠ODC=x，
∴∠DCE=∠DEC=2x，
∴∠CDE=180°-∠DCE-∠DEC=180°-4x，
∵∠BDE=75°，
∴∠ODC+∠CDE+∠BDE=180°，
即x+180°-4x+75°=180°，
解得：x=25°，
∠CDE=180°-4x=80°.
故答案为：D.
【分析】由等腰三角形性质得∠O=∠ODC，∠DCE=∠DEC，设∠O=∠ODC=x，由三角形外角性质和三角形内角和定理得∠DCE=∠DEC=2x，∠CDE=180°-4x，根据平角性质列出方程，解之即可的求得x值，再由∠CDE=180°-4x=80°即可求得答案.
【解析】【解答】在矩形ABCD中，，
，，，





E是BC的中点

在中，由勾股定理得

；
故答案为：；
如图，延长DF交BC延长线于点K


，
由（1）得


在中，由勾股定理得





故答案为：．

【分析】（1）利用三角形面积相等，列出等式，求解即可；
（2）延长DF交BC延长线于点K，利用相似三角形的性质求出KE，再利用平行线分线段成比例定理求解即可。
【解析】【解答】解：∵∠A=40°,∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=140°,∵BP平分∠ABC,CP平分∠ACB,∴∠PBC=∠ABC,∠PCB=∠ACB,∴∠PBC+∠PCB=∠ABC+∠ACB=(∠ABC+∠ACB)=×140°=70°,∴∠BPC=180°-(∠PBC+∠PCB)=180°-70°=110°
故答案为：110°

【分析】根据三角形的内角和得出∠ABC+∠ACB的度数，根据角平分线的定义得出∠PBC=∠ABC,∠PCB=∠ACB，利用整体代入算出∠PBC+∠PCB的和，最后根据三角形的内角和算出∠BPC的度数。
【解析】【解答】（1）依题意，AO=1，OC=1，PA∥OB，
∴AB是Rt△PAC斜边上的中线.
∵AB= ，
∴PC= .
∴在Rt△PAC中，AC=2，AP= ，PC= ，
∴根据勾股定理，得： ，解得 .
∵ ，
∴ .
（2）分两种情况：
①当点M在x轴下方时，考虑∠MBA＝∠ABC的情况：当∠MBA＝∠ABC时，点M是PC与双曲线的另一个交点，由B（0，2），C（1，0）易得直线PC的解析式为 ，与 联立：
，解得： 或 （点P坐标，舍去），
∴当∠MBA＝∠ABC时，点M的坐标为（2，－2）.
∴当∠MBA＜∠ABC时，0＜a＜2.
②当点M在x轴上方时，考虑∠MBA＝∠ABC的情况：如图，将△ABC顺时针旋转至
△EBA，延长BE交 于点 ，则 之间横坐标的值即为所求.过点E分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为点F，G，设点E的坐标为（x，y），

由旋转的性质，得AE=AC=2，BE=BA= .
在Rt△AEF中，由勾股定理，得 ，即 ①，
在Rt△BEG中，由勾股定理，得 ，即 ②，
①-②，得 ，即 ③，
将③代入②，得 ，解得 或 （舍去），
将 代入③得 .
∴点E的坐标为 .
设直线BE的解析式为 ，则 .
∴直线BE的解析式为 .
联立 .
∴ .
综上所述，a的取值范围是0＜a＜2或 .
【分析】（1）易求AB是Rt△PAC斜边上的中线，可得PC=2AB= ，由A、C的坐标可得AC=2，AP= ，PC= ，根据勾股定理得 ，据此求出k值即可；
（2）分两种情况：①当点M在x轴下方时，考虑∠MBA＝∠ABC的情况，易得直线PC的解析式为 ，与 联立，求出x、y值即得点M（2，-2），即可求解：②当点M在x轴上方时，考虑∠MBA＝∠ABC的情况，如图，将△ABC顺时针旋转至△EBA，延长BE交 于点 ，则 之间横坐标的值即为所求.过点E分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为点F，G，求出点E坐标，再求出直线BE的解析式，与 联立，解出x值，即可求解.
【解析】【解答】解：过点B作EF⊥l2,交l1于E,交l3于F，如图，

∵EF⊥l2,l1∥l2∥l3，
∴EF⊥l1⊥l3，
∴∠ABE+∠EAB=90°,∠AEB=∠BFC=90°，
又∵∠ABC=90°，
∴∠ABE+∠FBC=90°，
∴∠EAB=∠FBC，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF，
∴BE=CF=4，AE=BF=6，
在Rt△ABE中,AB2=BE2+AE2，
∴AB2=52，
∴S△ABC= AB⋅BC= AB2=26.
故答案是26.
【解析】【解答】解：∠C=60°，∠OAB =45°，
∴∠ADC=30°， ∠OBA=45°.
如图1中，当CD在OA的左侧，

∵CD∥AO，
∴∠OAD=∠D=30°，
旋转角=45°+30°= 75°；
如图，当CD在OA的右侧，


∵CD∥OA，
∴∠OAC=∠C=60°，
∴∠OAC=∠OAB+∠BAC，
∴∠BAC=15°，
∴旋转角= 360°-90°-15° =255°；
综上，当旋转的角度为75°和255°时，CD∥AO．
故答案为：75°或255°.

【分析】先根据直角三角形的性质求出∠ADC和∠OBA的度数，然后分两种情况讨论，即当CD在OA的左侧，当CD在OA的右侧，先根据平行线的性质先求出∠OAD或∠OAC的度数，然后根据角的和差关系分求旋转角的角度即可.
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=15，AC=20，
∴BC= =25，
∴△ABC的面积= AB•AC= ×15×20=150，
∵AD=5，
∴CD=AC﹣AD=15，
∵DE⊥BC，
∴∠DEC=∠BAC=90°，
又∵∠C=∠C，
∴△CDE∽△CBA，
∴ ，即 ，
解得：CE=12，
∴BE=BC﹣CE=13，
∵△ABE的面积：△ABC的面积=BE：BC=13：25，
∴△ABE的面积= ×150=78；
故答案为：78．
【分析】由勾股定理求出BC= =25，求出△ABC的面积=150，证明△CDE∽△CBA，得出 ，求出CE=12，得出BE=BC﹣CE=13，再由三角形的面积关系即可得出答案．
【解析】【解答】解：如图，设∠B'FE=x，

当纸条沿EF折叠时，
∴∠BFE=∠B'FE=x，∠AEF=∠A'EF，
∴∠BFC=∠BFE-∠CFE=x-15°，
当纸条沿BF折叠时，
∴∠C'FB=∠CFB=x-15°，
∵∠B'FE+∠BFE+∠CFB=180°，
∴x+x+x-15°=180°，
解得x=65°，
∵A'D'∥B'C'，
∴∠A'EF=180°-∠B'FE=180°-65°=115°，
∴∠AEF=115°.
故答案为：115°.

【分析】设∠B'FE=x，根据折叠的性质得∠BFE=∠B'FE=x，∠AEF=∠A'EF, 则∠BFC=x-15°, 再由两次折叠后得到∠CFB=∠BFC=x-15°，然后根据平角定义列方程求解，再根据平行线的性质得∠A'EF=180°-∠B'FE=115°，最后根据折叠的性质得出∠AEF=115°.
【解析】【解答】解：在Rt△ACD中，∠C=90°，AC=12,CD=5, ∴AD=13；
在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=12,BC=CD+DB=18, ∴AB=6 ；
过点D作DM⊥AB于点M，∵AD=BD=13, ∴AM= ;
在Rt△ADM中，∵AD=13,AM= , ∴DM= ；
∵当点P运动到点D时，点P到AC的距离最大为CD=5＜6，
∴半径为6的⊙P不可能与AC相切；
当半径为6的⊙P与BC相切时，设切点为E，连接PE，
∴PE⊥BC,且PE=6，
∵PE⊥BC，AC⊥BC,
∴PE∥AC,
∴△ACD∽△PED，
∴PE∶AC=PD∶AD,
即6∶12=PD∶13,
∴PD=6.5,
∴AP=AD-PD=6.5;
当半径为6的⊙P与BA相切时，设切点为F，连接PF，
∴PF⊥AB,且PF=6，
∵PF⊥BA，DM⊥AB,
∴DM∥PF,
∴△APF∽△ADM，
∴AP∶AD=PF∶DM即AP∶13=6∶ ,
∴AP= ,
综上所述即可得出AP的长度为：
故答案为：
【分析】根据勾股定理算出AD,AB的长，过点D作DM⊥AB于点M，根据等腰三角形的三线合一得出AM的长，进而再根据勾股定理算出DM的长；然后分类讨论：当点P运动到点D时，点P到AC的距离最大为CD=5＜6，故半径为6的⊙P不可能与AC相切；当半径为6的⊙P与BC相切时，设切点为E，连接PE，根据切线的性质得出PE⊥BC,且PE=6，根据同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得出PE∥AC,根据平行于三角形一边的直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得出△ACD∽△PED，根据相似三角形对应边成比例得出PE∶AC=PD∶AD,由比例式即可求出PD的长，进而即可算出AP的长；当半径为6的⊙P与BA相切时，设切点为F，连接PF，根据切线的性质得出PF⊥BC,且PF=6，根据同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得出DM∥PF,根据平行于三角形一边的直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得出△APF∽△ADM，根据相似三角形对应边成比例得出AP∶AD=PF∶DM,由比例式即可求出AP的长,综上所述即可得出答案。
【解析】【解答】解：∵∠BAC=50°，AO为∠BAC的平分线，
∴∠BAO= ∠BAC= ×50°=25°．
又∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=65°．
∵DO是AB的垂直平分线，
∴OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO=25°，
∴∠OBC=∠ABC-∠ABO=65°-25°=40°．
∵AO为∠BAC的平分线，AB=AC，
∴直线AO垂直平分BC，
∴OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=40°，
∵将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，
∴OE=CE．
∴∠COE=∠OCB=40°；
在△OCE中，∠OEC=180°-∠COE-∠OCB=180°-40°-40°=100°，
∴∠OEF= ∠CEO=50°，①符合题意；
∵∠OCB=∠OBC=∠COE=40°，
∴∠BOE=180°-∠OBC-∠COE-∠OCB =180°-40°-40°-40°=60°, ②不符合题意；
∵∠ABO=∠BAO=25°，DO是AB的垂直平分线，
∴∠DOB=90°-∠ABO=75°，
∵∠OCB=∠OBC=40°，
∴∠BOC=180°-∠OBC -∠OCB=180°-40°-40°=100°，
∴∠DOC=∠DOB+∠BOC=75°+100°=175°,即D、O、C三点不共线，③不符合题意.
故答案为：①．
【分析】根据等腰三角形的性质，角平分线，垂直平分线的定义对每个结论一一判断即可。
【解析】【解答】解：如图：作PE⊥OB，PG⊥OA，PF⊥MN，连结OP，

∵PM、PN分别平分∠AMN，∠BNM，
∴PF=PG=PE，
∵S△PMN=·MN·PF=2，MN=2，
∴PF=PG=PE=2，
由题易得：
△GMP≌△GFP，△FPN≌△EPN，△OPG≌△OEP，
∴GM=GF，FN=NE，OG=OE，
∴S△OPG=S△OPE=×（2+2+7）=，
即S△OPG=·OG·PG=，
∴OG=，
∴C△MON=OM+ON+MN，
=OM+ON+MF+FN，
=OM+ON+MG+NE，
=OG+OE，
=2OG，
=2×，
=11.
故答案为：11.
【分析】作PE⊥OB，PG⊥OA，PF⊥MN，连结OP，根据角平分线的性质定理得PF=PG=PE，再由三角形面积公式得PF=PG=PE=2，据条件易得：△GMP≌△GFP，△FPN≌△EPN，△OPG≌△OEP，由全等三角形性质得GM=GF，FN=NE，OG=OE，S△OPG=·OG·PG=得OG=，由三角形周长和等量代换可得答案.
【解析】【分析】①以点B为圆心，较大的长为半径画弧，交直线AC于两点，分别以这两点为圆心，大于这两点的距离的一半为半径画弧，两弧相交于一点，过点B和这点作射线，交直线AC于点D，BD就是所求的AC边上的高；
②以点C为圆心，任意长为半径画弧，交CA，CB于两点，分别以这两点为圆心，以大于这两点的距离的一半为半径画弧，两弧相交于一点，做过点C和这点的射线交AB于点E，CE即为所求的角平分线
【解析】【分析】①以 B 为圆心，BC 长为半径画弧，交 AB 于点 I，△BCI 就是等腰三角形；

②以 C 为圆心，BC 长为半径画弧，交 AB 于点 D，△BCD 就是等腰三角形；
③以 A 为圆心，AC 长为半径画弧，交 AB 于点 E，△ACE 就是等腰三角形；
④以 C 为圆心，BC 长为半径画弧，交 AC 于点 F，△BCF 就是等腰三角形；
⑤作 AC 的垂直平分线交 AB 于点 H，△ACH 就是等腰三角形；
⑥作 AB 的垂直平分线交 AC 于 G，则△AGB 是等腰三角形；
⑦作 BC 的垂直平分线交 AB 于 I，则△BCI 是等腰三角形．
【解析】【分析】（1）首先Rt△ABC中，由∠BAC=30°可以得到AB=2BC，又因为△ABE是等边三角形，EF⊥AB，由此得到AE=2AF，并且AB=2AF，然后即可证明△AFE≌△BCA，再根据全等三角形的性质即可证明AC=EF；（2）根据（1）知道EF=AC，而△ACD是等边三角形，所以EF=AC=AD，并且AD⊥AB，而EF⊥AB，由此得到EF∥AD，再根据平行四边形的判定定理即可证明四边形ADFE是平行四边形．
【解析】【解答】(1)解：①如图所示，延长BE交AP于F，取BE中点G，BC中点H，连接AH，AG，GH，

∵在中，，，H是BC的中点，
∴，，∠ACB=60°，
∴AC=AH=BH=CH，
同理可得，
∵将线段CD绕点D顺时针旋转60度得到线段DE，
∴∠D=60°，DE=DC，
∴△DCE是等边三角形，
∴∠ECD=60°，CE=CD，
∵P是CD的中点，
∴，
∵G、H分别是BE，BC的中点，
∴GH是△ACE的中位线，
∴,，
∴∠BHG=∠ACB=60°，HG=CP，
在△AGH和△BGH中
，
∴△AGH≌△BGH（SSS），
∴∠AHG=∠BHG=60°，∠HBG=∠HAG；
∵∠ECD=60°，点E在AC上，
∴∠AHG=∠ECD=60°，
在△AHG和△ACP中，
，
∴△AHG≌△ACP（SAS），
∴AG=AP，
∴；
②∵△AHG≌△ACP
∴∠HAG=∠CAP
∵∠HBG=∠HAG，
∴∠HBG=∠CAP，
∵∠AFB=180°-∠CAP-∠AEF，∠ACB=180°-∠HBG-∠BEC，∠BEC=∠AEF，
∴∠AFB=∠ACB=60°，
∴直线AP与直线BE相交所成的较小角的度数为60°；
(3)解：如图（3）所示，当点E在线段BD上时，过点C作CN⊥BD于N，

∵CP=3，P是CD的中点，
∴CD=6，
由（2）知△DCE是等边三角形，
∴CE=DE=CD=6,，
∴，
在中，，，
∴BC=2AC=12，
∴,
∴，
∴；
如图（4）所示，当点E在线段BD的延长线上时，过点C作CN⊥DE于N，

同理可得，，
∴，
∴；
综上所述，或

【分析】（1）延长BE交AP于F，取BE中点G，BC中点H，连接AH，AG，GH，根据三角形的中位线定理和全等三角形的判定和性质解答即可；
（2）连接CE，延长AP交BE延长线于G，根据等边三角形的性质和相似三角形的判定和性质解答即可；
（3）分两种情况利用勾股定理解答即可。
【解析】【分析】（1）利用对顶角相等、等量代换可以推知同旁内角∠AEF、∠CFE互补，所以易证AB∥CD；
（2）利用（1）中平行线的性质推知°；然后根据角平分线的性质、三角形内角和定理证得∠EPF=90°，即EG⊥PF，故结合已知条件GH⊥EG，易证PF∥GH；
（3）利用三角形外角定理、三角形内角和定理求得∠4=90°-∠3=90°-2∠2；然后由邻补角的定义、角平分线的定义推知∠QPK= ∠EPK=45°+∠2；最后根据图形中的角与角间的和差关系求得∠HPQ的大小不变，是定值45°．