2022届初中数学一轮复习 第16讲 等腰、等边与直角三角形 课件

这是一份2022届初中数学一轮复习 第16讲 等腰、等边与直角三角形 课件，共42页。PPT课件主要包含了考点梳理整合，中考真题体验，考法互动研析，数学文化探索，Part1，Part2，Part3，答案A，Part4等内容，欢迎下载使用。
命题点1　直角三角形的性质1.(2014·安徽,8,4分)如图,Rt△ABC中,AB=9,BC=6,∠B=90°,将△ABC折叠,使A点与BC的中点D重合,折痕为MN,则线段BN的长为(　　)
答案 C解析 设BN=x,则由折叠的性质可得DN=AN=9-x,根据中点的定义可得BD=3,在Rt△DBN中,根据勾股定理可得关于x的方程,解方程即可求解.设BN=x,由折叠的性质可得DN=AN=9-x,∵D是BC的中点,∴BD=3,在Rt△DBN中,x2+32=(9-x)2,解得x=4.故线段BN的长为4.
命题点2　等腰(边)三角形的性质与判定2.(2010·安徽,14,5分)如图,AD是△ABC的边BC上的高,由下列条件中的某一个就能推出△ABC是等腰三角形的是_____________.(把所有正确答案的序号都填写在横线上) ①∠BAD=∠ACD;　　②∠BAD=∠CAD;③AB+BD=AC+CD;④AB-BD=AC-CD.
答案②③④解析 ②当∠BAD=∠CAD时,AD是∠BAC的平分线,且AD是BC边上的高,∴△BAC是等腰三角形;(等腰三角形三线合一)③延长DB至E,使BE=AB;延长DC至F,使CF=AC;连接AE,AF.∵AB+BD=CD+AC,∴DE=DF,又AD⊥BC,∴△AEF是等腰三角形.∴∠E=∠F;∵AB=BE,∴∠ABC=2∠E;同理,得∠ACB=2∠F;∴∠ABC=∠ACB,即AB=AC,△ABC是等腰三角形;
④在△ABC中,AD⊥BC,根据勾股定理,得AB2-BD2=AC2-CD2,即(AB+BD)(AB-BD)=(AC+CD)(AC-CD);∵AB-BD=AC-CD,∴AB+BD=AC+CD;∴两式相加得,2AB=2AC,∴AB=AC,∴△ABC是等腰三角形.
考点一　等腰(边)三角形的性质与判定(高频考点)　1.等腰三角形(10年5考)
2.等边三角形(10年4考)
考点二　直角三角形的性质与判定(高频考点)　
考点三　线段的垂直平分线(低频考点)　
考法1直角三角形的性质例1 (2020·贵州安顺)在Rt△ABC中,∠C=90°,若AB-AC=2,BC=8,则AB的长是_____________. 
答案17解析 在Rt△ABC中,∠C=90°,AB-AC=2,BC=8,∴AC2+BC2=AB2,即(AB-2)2+82=AB2,解得AB=17.
方法总结 勾股定理是直角三角形中的一个重要性质,可以由角的关系得到三角形边的关系,常用的方法是已知直角三角形的两边求第三边,或者是已知直角三角形三边之间的关系,列方程求出某些边长.
对应练1(2020·辽宁抚顺、本溪、辽阳)一个等腰直角三角尺和一把直尺按如图所示的位置摆放,若∠1=20°,则∠2的度数是(　　)A.15°B.20°C.25°D.40°
答案 C解析 如图,∵AD∥BC,∴∠3=∠1=20°.∵△DEF是等腰直角三角形,∴∠EDF=45°,∴∠2=45°-∠3=25°.
对应练2(2020·内蒙古包头)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB的中点,BE⊥CD,交CD的延长线于点E.若AC=2,BC=2 ,则BE的长为(　　)
对应练3(2020·黑龙江牡丹江、鸡西)等腰三角形ABC中,AB=AC=4,∠BAC=45°,以AC为腰作等腰直角三角形ACD,∠CAD为90°,请画出图形,并写出点B到CD的距离.
解 本题有两种情况:①如图,∵△ACD是等腰直角三角形,∠CAD=90°,∴∠ACD=45°.∵∠BAC=45°,∴AB∥CD,∴点B到CD的距离等于点A到CD的距离,过点A作AE⊥CD,
②如图,∵△ACD是等腰直角三角形,∠CAD=90°,∴∠ACD=45°.∵∠BAC=45°,∴∠AEC=90°,∴点B到CD的距离即BE的长.∵AB=AC=4,
考法2等腰(边)三角形性质与判定例2(2020·浙江台州)如图,等边三角形纸片ABC的边长为6,E,F是边BC上的三等分点.分别过点E,F沿着平行于BA,CA方向各剪一刀,则剪下的△DEF的周长是_____________ . 
答案 6解析 ∵等边三角形纸片ABC,∴∠B=∠C=60°.∵DE∥AB,DF∥AC,∴∠DEF=∠DFE=60°,∴△DEF是等边三角形,∴DE=EF=DF.∵E,F是边BC上的三等分点,BC=6,∴EF=2,∴DE=EF=DF=2,∴△DEF的周长是DE+EF+DF=6.
方法总结 等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系,由两边相等推导出两角相等,是证明两角相等常用的依据之一.等腰三角形的“三线合一”性质是证明两条线段相等、两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据,底边上的高(或者顶角平分线、底边中线)是常用辅助线.
对应练4(2020·山东济宁)一条船从海岛A出发,以15海里/时的速度向正北航行,2小时后到达海岛B处.灯塔C在海岛A的北偏西42°方向上,在海岛B的北偏西84°方向上,则海岛B到灯塔C的距离是(　　)A.15海里B.20海里C.30海里D.60海里
答案 C　解析 ∵根据题意得∠CBD=84°,∠CAB=42°,∴∠C=∠CBD-∠CAB=42°=∠CAB,∴BC=AB.∵AB=15×2=30海里,∴BC=30海里,即海岛B到灯塔C的距离是30海里.故选C.
对应练5(2020·贵州铜仁)已知等边三角形一边上的高为2 ,则它的边长为(　　)A.2B.3C.4D.4
答案 C解析 根据等边三角形三线合一,解得x=4,x=-4(舍去),故选C.
对应练6(2020·黑龙江大兴安岭)等腰三角形的两条边长分别为3和4,则这个等腰三角形的周长是_____________. 
答案 10或11解析 ①3是腰长时,三角形的三边分别为3,3,4,∵此时能组成三角形,∴周长=3+3+4=10;②3是底边长时,三角形的三边分别为3,4,4,∵此时能组成三角形,∴周长=3+4+4=11.综上,这个等腰三角形的周长是10或11.
考法3线段的垂直平分线性质及其判定例3(2020·四川成都)如图,在△ABC中,按以下步骤作图:①分别以点B和C为圆心,以大于 BC的长为半径作弧,两弧相交于点M和N;②作直线MN交AC于点D.若AC=6,AD=2,则BD的长为(　　)A.2B.3C.4D.6
答案 C解析 由题意可得,按步骤作图的结果是:DN为线段BC的垂直平分线,∴DC=BD.又∵AC=6,AD=2,∴CD=BD=4,故选C.
方法总结 对于基本作图类的题,需熟练掌握基本作图:作一条线段等于已知线段;作一个角等于已知角;作已知线段的垂直平分线;作已知角的角平分线;过一点作已知直线的垂线.本题也要求掌握线段垂直平分线的性质.
对应练7(2020·江苏常州)如图,在△ABC中,BC的垂直平分线分别交BC,AB于点E,F.若△AFC是等边三角形,则∠B=_____________°. 
答案 30解析 ∵EF垂直平分BC,∴BF=CF,∴∠B=∠BCF.∵△ACF为等边三角形,∴∠AFC=60°,∴∠B=∠BCF=30°.
对应练8(2020·辽宁抚顺、本溪、辽阳)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=2BC,分别以点A和B为圆心,以大于 AB的长为半径作弧,两弧相交于点M和N,作直线MN,交AC于点E,连接BE,若CE=3,则BE的长为_____________. 
答案 5解析 由题意可得,直线MN是AB的垂直平分线,∴EA=EB.设BE=AE=x,则AC=x+3.∵AC=2BC,∴BC= (x+3).在Rt△BCE中,由勾股定理,得BC2+CE2=BE2,即 (x+3)2+32=x2,解得x1=5,x2=-3(舍去),∴BE=5.
赵爽弦图赵爽,三国吴人,我国历史上著名的数学家与天文学家.他在注解《周髀算经》中给出的“赵爽弦图”证明了勾股定理的准确性,如图所示,四个全等的直角三角形可以围成一个大的正方形,中间空的是一个小正方形.通过对这个图形的切割、拼接,巧妙地利用面积关系证明了勾股定理.证明方法如下: 设直角三角形的三边中较短的直角边为a,另一直角边为b,斜边为c,朱实面积=2ab,黄实面积=(b-a)2=b2 -2ab+a2,朱实面积+黄实面积=a2+b2=大正方形面积=c2.
1.如图,若△ABC内一点P满足∠PAC=∠PBA=∠PCB,则点P为△ABC的布洛卡点.三角形的布洛卡点由法国数学家和数学教育家克洛尔(,1780—1855)于1816年首次发现,但他的发现并未被当时的人们所注意.1875年,布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡(Brcard,1845—1922)重新发现,并用他的名字命名.问题:已知在等腰直角三角形DEF中,∠EDF=90°,若Q为△DEF的布洛卡点,DQ=1,则EQ+FQ的值为(　　)A.5B.4C.3+D.2+
答案 D　解析 如图,∵Q是△DEF的布洛卡点,∴∠1=∠2=∠3,∵△DEF为等腰直角三角形,∴∠3+∠4=∠1+∠5,∴∠4=∠5,∴△FDQ∽△EFQ,
2.(2020·湖南娄底)由4个直角边长分别为a,b的直角三角形围成的“赵爽弦图”如图所示,根据大正方形的面积c2等于小正方形的面积(a-b)2与4个直角三角形的面积2ab的和证明了勾股定理a2+b2=c2,还可以用来证明结论:若a>0,b>0且a2+b2为定值,则当a_____________b时,ab取得最大值. 
答案 =解析 设a2+b2为定值k,则c2=a2+b2=k,由“赵爽弦图”可知,2ab=c2-(a-b)2=k-(a-b)2,∴当a=b时,(a-b)2取得最小值,最小值为0,则当a=b时,ab取得最大值,最大值为 ,
3.(2020·江苏扬州)《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一,奠定了中国传统数学的基本框架.如图所示是其中记载的一道“折竹”问题:“今有竹高一丈,末折抵地,去根三尺,问折者高几何?”题意是:一根竹子原高1丈(1丈=10尺),中部有一处折断,竹梢触地面处离竹根3尺,试问折断处离地面多高?答:折断处离地面_____________尺高. 
解析 设竹子折断处离地面x尺,则斜边为(10-x)尺,根据勾股定理得x2+32=(10-x)2,