中考数学专题复习全攻略：第三节 等腰、等边及直角三角形 含解析答案

这是一份中考数学专题复习全攻略：第三节 等腰、等边及直角三角形 含解析答案，共4页。试卷主要包含了等腰三角形定义，垂直平分线图形等内容，欢迎下载使用。
第三节  等腰、等边及直角三角形知识点一：等腰和等边三角形1.等腰三角形定义：有两条边相等的三角形叫等腰三角形（1）性质 ①等边对等角：两腰相等，底角相等，即AB＝AC ∠B＝∠C；②三线合一：顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合; ③对称性：等腰三角形是轴对称图形，直线AD是对称轴.（2）判定①定义：有两边相等的三角形是等腰三角形；②等角对等边：即若∠B＝∠C，则△ABC是等腰三角形.变式练习3：一个等腰三角形的两边长分别为3和7，则它的周长为(　　)A. 17　　        B. 15　　        C. 13　　       D. 13或17【解析】A　①当等腰三角形的腰为3，底为7时，3＋3＜7不能构成三角形；②当等腰三角形的腰为7，底为3时，周长为3＋7＋7＝17，故这个等腰三角形的周长是17. 变式练习4：如图，O为数轴原点，A，B两点分别对应－3，3，作腰长为4的等腰△ABC，连接OC，以O为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M，则点M对应的实数为 ____．　 变式练习5： 一个等腰三角形的两边长分别为4，8，则它的周长为( C )A．12  B．16  C．20  D．16或202.等边三角形 （1）性质①边角关系：三边相等，三角都相等且都等于60°.即AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠B＝∠C＝60°；②对称性：等边三角形是轴对称图形，三条高线(或角平分线或中线)所在的直线是对称轴.（2）判定①定义：三边都相等的三角形是等边三角形；   ②三个角都相等（均为60°）的三角形是等边三角形；③任一内角 为60°的等腰三角形是等边三角形.即若AB＝AC，且∠B＝60°，则△ABC是等边三角形.变式练习1：△ABC中，∠B=60°，AB=AC，BC=3，则△ABC的周长为9.变式练习2： 在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，若CD＝2，过点D作DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，求EF的长．解：∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠ACB＝60°，∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B＝60°，∴△EDC是等边三角形，∴DE＝DC＝2，在Rt△DEF，∵∠DEF＝90°，DE＝2，∴DF＝2DE＝4，∴EF＝＝＝2.变式练习3： 如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且CE＝1，∠E＝30°，则BC＝__2__.知识点二 ：角平分线和垂直平分线1.角平分线（1）性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．即若∠1 ＝∠2，PA⊥OA，PB⊥OB，则PA＝PB.（2）判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的角平分线上．4.垂直平分线图形 （1）性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的 两端点距离相等．即若OP垂直且平分AB，则PA＝PB.（2）判定：到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．           变式练习：如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，CD=2，则AC=6. 知识点三：直角三角形的判定与性质1.直角三角形的性质(1)两锐角互余.即∠A＋∠B＝90°；(2) 30°角所对的直角边等于斜边的一半.即若∠B＝30°则AC＝AB；(3)斜边上的中线长等于斜边长的一半．即若CD是中线，则CD＝AB.(4)勾股定理：两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方．即  a2＋b2＝c2 .2.直角三角形的判定 (1) 有一个角是直角的三角形是直角三角形.即若∠C＝90°，则△ABC是Rt△；(2) 如果三角形一条边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．即若AD＝BD＝CD，则△ ABC是Rt△(3) 勾股定理的逆定理：若a2＋b2 ＝c2，  则△ABC是Rt△.3.直角三角形相似判定定理　　1).斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。　　2).直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似：射影定理4.证明垂直的方法： （1）证邻补角相等；                （2）证明已知直角三角形全等；（3）利用等腰三角形三线合一的性质； （4）勾股定理及其逆定理；变式练习1： 在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程． ―→  ―→  解：如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，设BD＝x，则CD＝14－x，由勾股定理得：AD2＝AB2－BD2＝152－x2，AD2＝AC2－CD2＝132－(14－x)2，故152－x2＝132－(14－x)2，解得：x＝9.∴AD＝12. ∴S△ABC＝BC·AD＝×14×12＝84. 变式练习2：如图，AB＝6，O是AB的中点，直线l经过点O，∠1＝120°，P是直线l上一点，当△APB为直角三角形时，__AP＝_3或3__． 变式练习3：如图，在Rt△ABC中，E是斜边AB的中点，若AB＝10，则CE＝__5__．变式练习4：如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝12，则BC＝( A )A．6  B．6  C．6  D．12,