2022届初中数学一轮复习 课时作业19 解直角三角形及其应用

课时作业19　解直角三角形及其应用

1.(2020·贵州黔西南州)如图，某停车场入口的栏杆AB，从水平位置绕点O旋转到A'B'的位置，已知AO的长为4米.若栏杆的旋转角∠AOA'=α，则栏杆A端升高的高度为              (　　)

A.米 B.4sin α米

C.米 D.4cos α米

2.(2020·四川攀枝花)sin 60°=　　　　. 

3.(2020·山东枣庄)人字梯为现代家庭常用的工具(如图).若AB，AC的长都为2 m，当α=50°时，人字梯顶端离地面的高度AD是　　　　m.(结果精确到0.1 m，参考依据：sin 50°≈0.77，cos 50°≈0.64，tan 50°≈1.19) 

4.(2020·天津)如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC，BC.测得BC=221 m，∠ACB=45°，∠ABC=58°.根据测得的数据，求AB的长(结果取整数).(参考数据：sin 58°≈0.85，cos 58°≈0.53，tan 58°≈1.60)

5.(2020·甘肃天水)为了维护国家主权和海洋权力，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理.如图所示，正在执行巡航任务的海监船以每小时40海里的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行30分钟后到达B处，此时测得灯塔P在北偏东45°方向上.

(1)求∠APB的度数；

(2)已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全?

(参考数据：≈1.414，≈1.732)

6.(2020·江苏南京)如图，在港口A处的正东方向有两个相距6 km的观测点B，C.一艘轮船从A处出发，沿北偏东26°方向航行至D处，在B，C处分别测得∠ABD=45°，∠C=37°.求轮船航行的距离AD.(参考数据：sin 26°≈0.44，cos 26°≈0.90，tan 26°≈0.49，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75)

7.(2020·四川宜宾)如图，AB，CD两楼地面距离BC为30米，楼AB高30米，从楼AB的顶部点A测得楼CD顶部点D的仰角为45度.

(1)求∠CAD的大小；

(2)求楼CD的高度(结果保留根号).

8.(2020·四川成都)成都“339”电视塔作为成都市的地标建筑之一，现已成为外地游客到成都旅游打卡的网红地.如图，为测量电视塔观景台A处的高度，某数学兴趣小组在电视塔附近一建筑物楼顶D处测得塔A处的仰角为45°，塔底部B处的俯角为22°.已知建筑物的高CD约为61米，请计算观景台的高AB的值.(结果精确到1米；参考数据：sin 22°≈0.37，cos 22°≈0.93，tan 22°≈0.40)

9.(2020·四川泸州)如图，为了测量某条河的对岸边C，D两点间的距离，在河的岸边与CD平行的直线EF上取两点A，B，测得∠BAC=45°，∠ABC=37°，∠DBF=60°，量得AB长为70米.求C，D两点间的距离(参考数据：sin 37°≈，cos 37°≈，tan 37°≈).

10.(2020·辽宁抚顺、本溪、辽阳)如图，我国某海域有A，B两个港口，相距80海里，港口B在港口A的东北方向，点C处有一艘货船，该货船在港口A的北偏西30°方向，在港口B的北偏西75°方向，求货船与港口A之间的距离.(结果保留根号)

11.(2020·内蒙古包头)如图，一个人骑自行车由A地到C地途经B地，当他由A地出发时，发现他的北偏东45°方向有一电视塔P，他由A地向正北方向骑行了3 km到达B地，发现电视塔P在他北偏东75°方向，然后他由B地向北偏东15°方向骑行了6 km到达C地.

(1)求A地与电视塔P的距离；

(2)求C地与电视塔P的距离.

12.(2020·青海)某市为了加快5G网络信号覆盖，在市区附近小山顶架设信号发射塔，如图所示.小军为了知道发射塔的高度，从地面上的一点A测得发射塔顶端P点的仰角是45°，向前走60米到达B点测得P点的仰角是60°，测得发射塔底部Q点的仰角是30°.请你帮小军计算出信号发射塔PQ的高度.(结果精确到0.1 米，≈1.732)

13.(2020·湖南娄底)如实景图，由华菱涟钢集团捐建的早元街人行天桥于2019年12月18日动工，2020年2月28日竣工，彰显了国企的担当精神，展现了高效的“娄底速度”.该桥的引桥两端各由2个斜面和一个水平面构成，如示意图所示：引桥一侧的桥墩顶端E点距地面5 m，从E点处测得D点俯角为30°，斜面ED长为4 m，水平面DC长为2 m，斜面BC的坡度为1∶4，求处于同一水平面上引桥底部AB的长.(结果精确到0.1 m，≈1.41，≈1.73)

实景图 示意图

14.(2020·四川广元)如图，公路MN为东西走向，在点M北偏东36.5°方向上，距离5千米处是学校A；在点M北偏东45°方向上距离6千米处是学校B.(参考数据：sin 36.5°≈0.6，cos 36.5°≈0.8，tan 36.5°≈0.75)

(1)求学校A，B两点之间的距离；

(2)要在公路MN旁修建一个体育馆Q，使得A，B两所学校到体育馆Q的距离之和最短，求这个最短距离.

参考答案

1.B　解析 过点A'作A'C⊥AB于点C.在Rt△OCA'中，sin α=，所以A'C=A'O·sin α.由题意得A'O=AO=4，所以A'C=4sin α，因此本题选B.

2.　解析 sin 60°=.

3.1.5　解析 ∵AB=AC=2 m，AD⊥BC，∴∠ADC=90°.

∴AD=AC·sin 50°=2×0.77≈1.5(m).

4.解 如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D，

∵∠ACB=45°，∴AD=CD.设AB=x，在Rt△ADB中，AD=AB·sin 58°≈0.85x，BD=AB·cos 58°≈0.53x.

又∵BC=221，

即CD+BD=221，

∴0.85x+0.53x=221，解得x≈160.

答：AB的长约为160 m.

5.解 (1)作PH⊥AB交AB的延长线于点H，

∵∠PAB=90°-60°=30°，

∠PBH=90°-45°=45°

∴∠APB=∠PBH-∠PAB=45°-30°=15°.

(2)设PH=x海里，则BH=PH=x海里，AB=40×=20海里，

∵在Rt△APH中，

tan 30°=，

∴，

解得x=10+10≈27.32>25.

∴海监船继续向正东方向航行安全.

6.解 如图，过点D作DH⊥AC于点H，

在Rt△DCH中，∠C=37°，

∴CH=.在Rt△DBH中，∠DBH=45°，

∴BH=.∵BC=CH-BH，

∴=6，解得DH≈18.

在Rt△DAH中，∠ADH=26°，

∴AD=≈20.

答：轮船航行的距离AD约为20 km.

7.解 (1)如图，过点A作AE⊥CD于点E，∵在Rt△ABC中，BC=30，AB=30，

∴tan∠ACB=，

∴∠ACB=30°，

∵AE∥BC，∴∠ACB=30°=∠EAC，

∵∠EAD=45°，

∴∠CAD=∠CAE+∠DAE=75°.

(2)∵在Rt△AED中，AE=BC=30，

∠DAE=45°，∴DE=AE=30.

∵在Rt△ACE中，∠CAE=30°，

∴CE=tan 30°·AE=30，

∴CD=CE+DE=30+30.

答：楼CD的高为(30+30)米.

8.解 过D作DE⊥AB于E，

在Rt△BDE中tan∠BDE=，

∴DE==152.5(米)，

∵△ADE是等腰直角三角形，

∴AE=DE=152.5米，

∵∠DCB=∠CBE=∠BED=90°，

∴四边形BCDE是矩形，

∴DC=BE=61米，

∴AB=AE+BE=213.5米≈214米.

答：观景台AB的高度约为214米.

9.解 过点C，D分别作CM⊥EF，DN⊥EF，垂足为M，N.

在Rt△AMC中，∵∠BAC=45°，∴AM=MC.

在Rt△BMC中，

∵∠ABC=37°，tan∠ABC=，

∴BM=CM.

∵AB=70=AM+BM=CM+CM，

∴CM=30=DN.

在Rt△BDN中，

∵∠DBN=60°，

∴BN==10，

∴CD=MN=MB+BN=×30+10=40+10.

答：C，D两点间的距离为(40+10)米.

10.解 过点A作AD⊥BC于点D，根据题意，得∠ABC=180°-75°-45°=60°.

∵AD⊥BC，∴∠ADB=90°，

∴∠DAB=180°-∠ ADB-∠ABC=180°-90°-60°=30°.

在Rt△ABD中，∵AB=80，∠ABD=60°，

∴AD=AB·sin∠ABD=80·sin 60°=40.

∵∠CAB=30°+45°=75°，

∴∠DAC=∠CAB-∠DAB=75°-30°=45°.

在Rt△ACD中，

∵AD=40，∠DAC=45°，

∴AC==40=40.

答：货船与港口A之间的距离是40海里.

11.解 (1)由题意知∠A=45°，∠NBC=15°，∠NBP=75°，过点B作BE⊥AP于点E，如图，

在Rt△ABE中，

∠ABE=90°-45°=45°，

∴AE=BE，

∵AB=3，

∴AE=BE=3.

∵∠EBP=180°-∠ABE-∠NBP=60°，

在Rt△BEP中，PE=BE·tan 60°=3，

∴AP=AE+PE=3+3.

(2)∵BE=3，∠BEP=90°，

∠EBP=60°，

∴BP=.

又∵∠CBP=∠NBP-∠NBC=75°-15°=60°，BC=6，

∴△BCP是等边三角形，∴CP=BP=6.

12.解 ∵∠PAC=45°，∠PCA=90°，

∴AC=PC.

∵∠PBC=60°，∠QBC=30°，∠PCA=90°，

∴∠BPQ=∠PBQ=30°.

∴BQ=PQ，CQ=BQ.

设BQ=PQ=x，则CQ=BQ=x.

根据勾股定理可得BC=x，

∴AB+BC=PQ+QC，

即60+x=x+x，

解得x=60+20≈60+20×1.732≈94.6.

答：发射塔PQ的高度约为94.6米.

13.解 如图，延长CD，与AE相交于F，过点D，C两点分别作AB的垂线交AB于点G，H，则在Rt△DEF中，

∵DE=4，∠EDF=30°，∴EF=2，

DF=DE·cos 30°=4×=2=AG，

∴GH=DC=2，

CH=AF=5-2=3.

在Rt△BCH中，∵CH∶BH=1∶4，

∴BH=12.

AB=AG+GH+BH=2+2+12≈17.46≈17.5(m)

答：引桥桥墩底端A点到起点B之间的距离为17.5 m.

14.解 (1)如图，过点A作CD∥MN，过点B作BE⊥MN，连接AB.

在Rt△ACM中，∠CMA=36.5°，AM=5.

∵sin 36.5°=≈0.6，

∴CA=3，MC=4.

在Rt△MBE中，∠NMB=45°，MB=6.，

∵sin 45°=，

∴BE=6，ME=6.

∴AD=CD-CA=ME-CA=3，BD=BE-DE=BE-CM=2，

∴在Rt△ABD中，AB=.

答：学校A，B两点距离为 km.

(2)作点B关于MN的对称点G，连接AG交MN于点P，连接PB，

此时PA+PB=PA+PG=AG，即A，B两所学校到体育馆Q的距离之和最短为AG长.

在Rt△ADG中，AD=3，DG=DE+EG=DE+BE=4+6=10，∠ADG=90°，

∴AG=(km).

答：最短距离为 km.