专题4.15 余角和补角（培优篇）（专项练习）-2021-2022学年七年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

这是一份专题4.15 余角和补角（培优篇）（专项练习）-2021-2022学年七年级数学上册基础知识专项讲练（人教版），共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．如图，直线AB、CD、EF相交于点O，其中AB⊥CD，∠1：∠2=3:6，则∠EOD=（ ）
A．120° B．130° C．60° D．150°
2．如图，将一副三角板的直角顶点重合摆放在在桌面上，下列各组角一定能互补的是（ ）

A．∠BCD和∠ACFB．∠ACD和∠ACF
C．∠ACB和∠DCBD．∠BCF和∠ACF
3．一副三角板、，如图1放置，（=30°、45°），将三角板绕点逆时针旋转一定角度，如图2所示，且0°＜＜90°，则下列结论中正确的个数有（ ）
①的角度恒为105°；
②在旋转过程中，若平分，平分，的角度恒为定值；
③在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成90°的次数为2次；
④在图1的情况下，作，则平分
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题
4．如果∠A和∠B互补，且∠A＞∠B，给出下列四个式子：①90°﹣∠B；②∠A﹣90°；③（∠A+∠B）④（∠A﹣∠B）其中表示∠B余角的式子有_____．（填序号）
5．一个角的补角是这个角的余角的3倍小20°，则这个角的度数是_______
6．如图，在平面内，点是直线上一点，，射线不动，射线，同时开始绕点顺时针转动，射线首次回到起始位置时两线同时停止转动，射线，的转动速度分别为每秒和每秒．若转动秒时，射线，，中的一条是另外两条组成角的角平分线，则______秒．
7．若一个角的余角是54°38′，则这个角是____________ ，这个角的补角是___________.
8．如果两个角的两条边分别垂直，而其中一个角比另一个角的4倍少60°，则这两个角的度数分别为________．
9．如图，某海域有三个小岛，在小岛处观测到小岛在它北偏东的方向上，观测到小岛在它南偏东的方向上，则的补角的度数是________.
10．如图，把放在量角器上，读得射线、分别经过刻度117和153，把绕点逆时针方向旋转到，下列三个结论：①；②若射线经过刻度27，则与互补；③若，则射线经过刻度45．其中正确的是__________________（填序号）
11．已知：如图1，点是直线上一点，过点作射线，使，过点作射线，使．如图2，绕点以每秒9°的速度顺时针旋转得，同时射线绕点以每秒3°的速度顺时针旋转得射线，当射线落在的反向延长线上时，射线和同时停止，在整个运动过程中，当______时，的某一边平分（指不大于180°的角）．
三、解答题
12．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分，，
图中的余角是______把符合条件的角都填出来；
如果，那么根据______可得______度；
如果，求和的度数．
13．如图，∠AOB=120°，射线OC从OA开始，绕点O逆时针旋转，旋转的速度为每分钟20°；射线OD从OB开始，绕点O逆时针旋转，旋转的速度为每分钟5°，OC和OD同时旋转，设旋转的时间为t（0≤t≤15）．
（1）当t为何值时，射线OC与OD重合；
（2）当t为何值时，∠COD=90°；
（3）试探索：在射线OC与OD旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得射线OC，OB与OD中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请求出所有满足题意的t的取值，若不存在，请说明理由．
14．已知，点为直线上一点，，是的平分线．
（1）如图1，若，求的度数；
（2）如图2，是的平分线，求的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，是的一条三等分线，，若，请直接写出的度数．（不用写过程）
15．已知点O为直线AB上一点，将直角三角板MON的直角顶点放在点O处，并在∠MON内部作射线OC．
（1）如图1，三角板的一边ON与射线OB重合，且∠AOC＝150°．若以点O为观察中心，射线OM表示正北方向，求射线OC表示的方向；
（2）如图2，将三角板放置到如图位置，使OC恰好平分∠MOB，且∠BON＝2∠NOC，求∠AOM的度数；
（3）若仍将三角板按照如图2的方式放置，仅满足OC平分∠MOB，试猜想∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由．
16．点O在直线AB上，射线OC上的点C在直线AB上，．
（1）如图1，求∠AOC的度数；
（2）如图2，点D在直线AB上方，∠AOD与∠BOC互余，OE平分∠COD，求∠BOE的度数；
（3）在（2）的条件下，点F，G在直线AB下方，OG平分∠FOB，若∠FOD与∠BOG互补，求∠EOF的度数．
17．如图1，点O在直线AB上，∠AOC＝30°，将一直角三角板的直角边OM与OA重合，ON在∠COB内部．现将三角板绕O沿顺时针方向以每秒2°的速度旋转，当ON与OB重合时停止转动．设运动时间为t(s)．
(1)若直角边ON将∠COB分成∠CON：∠BON＝3：2，求t的值；
(2)如图2，OG为三角板MON内部的射线，在旋转的过程中，OG始终平分∠MOB，请问∠AOM与∠NOG是否存在一定的数量关系？若存在，求出改数量关系；若不存在，请说明理由．
18．已知，点B为平面内一点，于B．
（1）如图1，直接写出和之间的数量关系________；
（2）如图2，过点B作于点D，请说明的理由；
（3）如图3，在（2）问的条件下，点E、F在上，连接，、，平分，平分，若，，求的度数．
19．如图，长方形纸片ABCD，点E、F分别在边AB、CD上，连接EF，将∠BEF对折点B落在直线EF上的点B′处，得折痕EM；将∠AEF对折，点A落在直线EF上的点A′处，得折痕EN，求∠NEM的度数，并直接写出∠B′ME互余的角.
20．如图，已知与互为余角，且平分平分．
（1）求的度数；
（2）如果已知，其他条件不变，则_______度；如果已知，其他条件不变，则_______度；
（3）从以上求的过程中，你得出的结论是__________．
参考答案
1．D
【解析根据对顶角的性质可知∠1=∠DOF，然后由平面直角坐标系可知∠DOB=90°=∠DOF+∠2，可知∠1+∠2=90°，再由∠1：∠2=3:6，可求得∠2=60°，因此可知∠AOE=60°，从而求得∠EOD的度数为150°.
故选：D
2．A
【分析】因为是直角三角板，所以∠ACB和∠DCF都等于90°，所以利用角的和差把选项中的角能转化成∠ACB+∠DCF即为正确答案.
解：∵∠BCD+∠ACF=∠BCD+∠ACD+∠DCF=∠ACB+∠DCF=90°+90°=180°,
∴选A
【点拨】本题中出现一副三角板，我们需注意到三角板中的直角，又提出问题为互补，所以我们应将相应的角，利用角的和差等量变化成直角，若能即为正确答案.
3．A
【分析】根据直角三角形两锐角互余、角平分线的定义、角的和差逐个判断即可得．
解：
如图1，当时
如图2，当时
因此，的角度不恒为，则①错误
如图1，当时
由角平分线的定义得
如图2，当时
由角平分线的定义得
因此，的角度恒为定值，则②正确
边与三角板的三边所在直线夹角不可能成
如图1，当时，设DE与AB的交点为F
，即
DE只与三角板的AB边所在直线夹角成，次数为1次；DB只与三角板的BC边所在直线夹角成，次数为1次
如图2，当时，延长DE交AB于点F
，即
只有DB与三角板的AB边所在直线夹角成，次数为1次
因此，在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成的次数为3次，则③错误
如图3，作
，即平分
如图4，作
显然不平分，则④错误
综上，正确的个数只有②这1个
故选：A．
【点拨】本题是一道较难的综合题，考查了直角三角形两锐角互余、角平分线的定义、角的和差等知识点，依据正确分两种情况讨论是解题关键．需注意的是，不能受两个示意图的影响，而少讨论一种情况．
4．①②④
【解析】
【分析】根据互余、互补的性质，互补两角之和为180°，互余两角之和为90°，可将，①②③④中的式子化为含有∠A+∠B的式子，再将∠A+∠B=180°代入即可解出此题．
【详解】∵∠A和∠B互补，
∴∠A+∠B=180°，
因为90°-∠B+∠B=90°，所以①正确；
又∠A-90°+∠B=∠A+∠B-90°=180°-90°=90°，②也正确；
（∠A+∠B）+∠B=×180°+∠B=90°+∠B≠90°，所以③错误；
（∠A-∠B）+∠B=（∠A+∠B）=×180°=90°，所以④正确，
综上可知，①②④均正确，
故答案为：①②④.
【点睛】本题考查了角之间互补与互余的关系，互补两角之和为180°，互余两角之和为90°．
5．
【分析】设这个角的度数为x，分别表示出这个角的补角和余角，即可列出方程解答.
解：设这个角的度数为x，
，
.
故答案为： .
【点拨】此题考查角的余角和补角定义及计算，设出所求的角，表示出其补角和余角，才好列式进行计算.
6．4或5
【分析】根据已知条件可知，在第t秒时，射线OA转过的角度为40°t，射线OB转过的角度为20°t,然后按照OA、OB、OC三条射线构成相等的角分三种情况讨论：①当OA平分∠BOC；②当OC平分∠AOB；③当OB平分∠AOC，分别列方程即可求出t的值．
解：解：根据题意，在第t秒时，射线OA转过的角度为40°t，射线OB转过的角度为20°t,
①当OA，OB转到OA′，OB′的位置时，如图①所示，∠A′OC=∠A′OB′，
∵∠A′OC=180°-40°t，∠A′OB′=∠AOA′-∠AOB-∠BOB′=40°t-60°-20°t=20°t-60°，
∴180°-40°t =20°t-60°，
即t=4；
②当OA，OB转到OA′，OB′的位置时，如图②所示，∠A′OC=∠B′OC，
∵∠A′OC=40°t-180°，∠B′OC=180°-∠AOB-∠BOB′=180°-60°-20°t=120°-20°t，
∴40°t-180°=120°-20°t，
即t=5；
③当OA，OB转到OA′，OB′的位置时，如图③，∠B′OC=∠A′OB′，
∵∠B′OC=20°t-120°，∠A′OB′=∠A′OC=(180°-∠AOA′)=[180°-（360°-40°t）]=20°t-90°，
∴20°t-120°=20°t-90°，此时方程不成立．
综上所述：t的值为4或5．
故答案：4或5．
【点拨】题主要考查角的和、差关系，难点是找出变化过程中的不变量，需要结合图形来计算，在计算分析的过程中注意动手操作，在旋转的过程中得到不变的量．
7．35°22′ 144°38′
【解析】
根据互余两角的和为90°，可知这个角为90°-54°38′=35°22′，然后根据互为补角的两角的和为180°，可知这个角的补角为180°-35°22′=144°38′.
故答案为35°22′， 144°38′.
8．48°、132°或20°、20°
【分析】根据题意画出符合题意的图形，分两种情况得到两个角的数量关系求出角度.
解：如图，α+β=180°，β=4α-60°，
解得α=48°，β=132°；
如图，α=β，β=4α-60°，
解得α=β=20°；
综上所述，这两个角的度数分别为48°、132°或20°、20°．
故答案为：48°、132°或20°、20°．
【点拨】此题考查角度的计算，正确理解两条边分别垂直的两个角的数量关系是解题的关键.
9．
【分析】根据已知条件可直接确定∠AOB的度数，再根据补角的定义即可求解．
解：解：∵OA是表示北偏东63°方向的一条射线，OB是表示南偏东39°12′方向的一条射线，
∴∠AOB=180°-63°-39°12′=77°48′，
∴∠AOB的补角的度数是180°-77°48′=102°12′．
故答案是：102°12′．
【点拨】本题考查了余角和补角、方向角及其计算，基础性较强．
10．①②③
【分析】结合题意，根据角的度量的性质，得及，从而推导得；根据角的和差的性质，计算得以及，从而完成求解．
解：∵射线、分别经过刻度117和153
∴
把绕点逆时针方向旋转到，得
∵，
∴，即①正确；
∵射线经过刻度27
∵
∴射线经过刻度为：
∴
∴
∴，即②正确；
∵，且
∴
∴
∴射线经过刻度为：，即③正确；
故答案为：①②③．
【点拨】本题考查了角的知识；解题的关键是熟练掌握角的度量、补角、角的和差的性质，从而完成求解．
11．t=3或t=30或t=54
【分析】本题分情况讨论，当OE' 平分∠A'OM，即∠MOE'=∠A'OE'，用t的式子表示∠MOE'，∠A'OE'，求出t的值，
当ON'平分∠A'OM，∠MON'=∠A'ON'，此时分为两种情况，
第一种情况：ON'没有旋转完360°，
第二种情况：ON'旋转完了360°．用t的式子表示∠MON'，∠A'ON'，分别求出t的值即可．
解：解：∵∠EOM=∠EON，∠EOM+∠EON=180°
得：∠EOM=30° ，∠EON=150°
①OE' 平分∠A'OM，即∠MOE'=∠A'OE'
∠MOE'=30+9t
∠A'OE'=60+3t-9t
∴30+9t=60+3t-9t
解得t=3，
②ON'平分∠A'OM，此时分为两种情况，
第一种情况：ON'没有旋转完360°，
∠MON'=∠A'ON'
∠MON'=9t-180
∠A'ON'=90+(9t-180)-3t
∴9t-180=90+(9t-180)-3t
解得t=30，
第二种情况：ON'旋转完了360°
∠MON'=∠A'ON'
∠MON'=180-9t+360，
∠A'ON'=180-(3t-90)-(180-9t+360)
180-9t+360=180-(3t-90)-(180-9t+360)
解得t=54，
故答案为：t=3或t=30或t=54
【点拨】此题主要考查角的和差，角平分线的性质与一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系求解.
12．（1）∠BOC、∠AOD（2）对顶角相等，160（3）26°
【解析】
试题分析：（1）根据互余两角和为90°，结合图形找出即可；
（2）从图形中可知∠AOC和∠DOB为对顶角，直接可求解；
（3）根据角平分线可求∠AOD的度数，然后根据对顶角和邻补角可求解.
试题解析：（1）图中∠AOF的余角是∠BOC、∠AOD（把符合条件的角都填出来）；
（2）如果∠AOC=160°，那么根据对顶角相等可得∠BOD=160度；
（3）∵OE平分∠AOD，
∴∠AOD=2∠1=64°，
∴∠2=∠AOD=64°，∠3=90°﹣64°=26°．
13．（1）t=8min时，射线OC与OD重合；
（2）当t=2min或t=14min时，射线OC⊥OD；
（3）存在，详见解析.
【分析】（1）当OC与OD重合时，根据角度关系可知∠AOC=∠AOB+∠BOD，利用题中射线的旋转速度，由角度=时间×旋转速度，列出方程，求解即可得到射线OC与OD重合时的时间t；
（2）当∠COD=90°时，可分为两种情况，当OC位于OD的右边时：∠BOD+120°=∠AOC+90°；当OC位于OD左边时：∠AOC-90°-120°=∠BOD，列出对应的方程，求解即可；
（3）分三种情况来考虑，当OB为角平分线时：120°-∠AOC=∠BOD；当OC为角平分线时：∠AOC-120°=∠BOD；当OD为角平分线时：∠AOC-120°=2∠BOD，列方程求解即可.
解：解：（1）由题意得，20t=5t+120°，解得t=8，
即当t=8分钟时，射线OC与OD重合；
（2）当OC位于OD的右边时：∠BOD+120°=∠AOC+90°，则可得5t+120°=20t+90°，解得t=2分钟；
当OC位于OD左边时：∠AOC-90°-120°=∠BOD，则可得20t-90°-120°=5t，解得t=14分钟；
故当t=2或14分钟时，∠COD=90°；
（3）存在.
当OB为角平分线时：120°-∠AOC=∠BOD，则可得120°-20t=5t，解得t=4.8分钟；
当OC为角平分线时：∠AOC-120°=∠BOD，则可得20t-120°=×5t，解得t=分钟；
当OD为角平分线时：∠AOC-120°=2∠BOD，则可得20t -120°=2×5t，解得t=12分钟.
故当t=4.8或或12分钟时，射线OC，OB与OD中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线.
【点拨】本题由角的边的旋转考查了角的和差运算，注意运动的不确定性所带来的多可能性.
14．（1）；（2）；（3）
【分析】（1）由互余得∠DOE度数，进而由角平分线得到∠AOD度数，根据BOD=180°-∠AOD可得∠BOD度数；
（2）由角平分线得出∠AOE=∠AOD=(∠AOC+90°)，∠BOF=(∠BOD+90°)，继而由∠EOF=180°-∠AOE-∠BOF得出结论．
（3）∠DOF=45°-∠BOD，结合已知∠AOC+∠DOF=∠EOF和∠AOC+∠BOD=90°可求∠BOD=60°，再由∠FOP=∠DOF+∠DOP即可解答．
解：（1）∵∠COD=90°，∠COE=63°，
∴∠DOE=∠COD-∠COE=27°，
∵OE是∠AOD的平分线，
∴∠AOD=2∠DOE=54°，
∴∠BOD=180°-∠AOD=180°-54°=126°；
答：∠BOD的度数为126°；
（2）∵OE是∠AOD的平分线，
∴
∵是的平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
答：的度数为；
（3）由（2）得∠EOF=45°，
∵∠AOC+∠DOF=∠EOF=45°，
∴∠DOF=45°-∠AOC，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点拨】本题考查了角平分线的定义、余角和补角的计算、平角的定义及角的和与差，能根据图形确定所求角和已知各角的关系是解此题的关键．
15．（1）射线OC表示的方向为北偏东60°；（2）45°；（3）∠AOM＝2∠NOC.
【分析】（1）根据∠MOC＝∠AOC﹣∠AOM代入数据计算，即得出射线OC表示的方向；
（2）根据角的倍分关系以及角平分线的定义即可求解；
（3）令∠NOC为β，∠AOM为γ，∠MOC＝90°﹣β，根据∠AOM+∠MOC+∠BOC＝180°即可得到∠AOM与∠NOC满足的数量关系．
解：（1）∵∠MOC＝∠AOC﹣∠AOM＝150°﹣90°＝60°，
∴射线OC表示的方向为北偏东60°；
（2）∵∠BON＝2∠NOC，OC平分∠MOB，
∴∠MOC＝∠BOC＝3∠NOC，
∵∠MOC+∠NOC＝∠MON＝90°，
∴3∠NOC+∠NOC＝90°，
∴4∠NOC＝90°，
∴∠BON＝2∠NOC＝45°，
∴∠AOM＝180°﹣∠MON﹣∠BON＝180°﹣90°﹣45°＝45°；
（3）∠AOM＝2∠NOC．
令∠NOC为β，∠AOM为γ，∠MOC＝90°﹣β，
∵∠AOM+∠MOC+∠BOC＝180°，
∴γ+90°﹣β+90°﹣β＝180°，
∴γ﹣2β＝0，即γ＝2β，
∴∠AOM＝2∠NOC．
【点拨】此题考查了角的计算，余角和补角，本题难度较大，关键是熟练掌握角的和差倍分关系．
16．（1）∠AOC=144°；（2）∠BOE =81°；（3）∠EOF =117°或171°
【分析】（1）设∠BOC=α，则∠AOC=4α，根据已知条件列方程即可得到结论；
（2）由余角的定义得到∠AOD=90°-∠BOC=90°-36°=54°，根据角平分线的定义得到∠COE=∠COD=×90°=45°，于是得到结论；
（3）①根据角平分线的定义得到∠FOG=∠BOG，设∠BOG=x°，∠BOF=2x°，∠BOD=∠DOC+∠BOC=36°+90°=126°，根据比较的定义列方程即可得到结论；
②根据角平分线的定义得到∠FOG=∠BOG，推出D，O，G共线，根据角的和差即可得到结论．
解：（1）设∠BOC=α，则∠AOC=4α，
∵∠BOC+∠AOC=180°，
∴α+4α=180°，
∴α=36°，
∴∠AOC=144°；
（2）∵∠AOD与∠BOC互余，
∴∠AOD=90°-∠BOC=90°-36°=54°，
∴∠COD=180°-∠AOD-∠BOC=180°-54°-36°=90°，
∵OE平分∠COD，
∴∠COE=∠COD＝×90°=45°，
∴∠BOE=∠COE+∠BOC=45°+36°=81°；
（3）①如图1，
∵OG平分∠FOB，
∴∠FOG=∠BOG，
∵∠FOD与∠BOG互补，
∴∠FOD+∠BOG=180°，
设∠BOG=x°，∠BOF=2x°，∠BOD=∠BOC+∠DOC =36°+90°=126°，
∵∠FOD=∠BOD+∠BOF，
∴126+2x+x=180，
解得：x=18，
∴∠EOF=∠BOE+∠BOF=81°+2×18°=117°；
②如图2，
∵OG平分∠FOB，
∴∠FOG=∠BOG，
∵∠FOD与∠BOG互补，
∴∠FOD+∠BOG=180°，
∴∠FOD+∠FOG=180°，
∴D，O，G共线，
∴∠BOG=∠AOD=54°，
∴∠AOF=180°-∠BOF=72°，
∴∠AOE=180°-∠BOE=180°-81°=99°，
∴∠EOF=∠AOF+∠AOE=72°+99°=171°．
【点拨】本题考查了余角和补角，角平分线的定义，补角的定义，正确的识别图形是解题的关键．
17．(1)15；(2)∠AOM＝2∠NOG，理由见解析.
【解析】
【分析】(1)根据补角的定义可得∠COB=150°，根据角平分线的定义可得∠CON=90°，所以∠AOM=30°，据此即可求出t的值；
(2)令∠NOG为β，∠AOM为γ，∠MOG=90°﹣β，根据∠AOM+∠MOG+∠BOG=180°即可得到∠AOM与∠NOG满足的数量关系．
解：(1)根据题意得∠COB=180°﹣∠AOC=180°﹣30°=150°，
∴当∠CON=∠COB=90°时，直角边ON将∠COB分成∠CON：∠BON=3：2，
∴∠AOM=30°，
∴2t=30，
解得t=15；
(2)∠AOM=2∠NOG，
令∠NOG为β，∠AOM为γ，∠MOG=90°﹣β，
∵∠AOM+∠MOG+∠BOG=180°，
∴γ+90°﹣β+90°﹣β=180°，
∴γ﹣2β=0，即γ=2β，
∴∠AOM=2∠NOG．
【点拨】本题考查了角的计算，余角和补角，难度较大，解题的关键是熟练掌握角的和差倍分关系．
18．（1）∠A+∠C＝90°；（2）证明见解析（3）105°
【分析】（1）根据平行线的性质以及直角三角形的性质进行证明即可；
（2）过点B作BG∥DM，证∠DBG=90°，得出∠ABD＝∠CBG，再根据平行线的性质，得出∠C＝∠CBG，即可得到∠ABD＝∠C；
（3）过点B作BG∥DM，根据角平分线的定义，得出∠ABF＝∠GBF，再设∠DBE＝α，∠ABF＝β，根据∠CBF+∠BFC+∠BCF＝180°，可得（2α+β）+3α+（3α+β）＝180°，根据AB⊥BC，可得β+β+2α＝90°，最后解方程组即可得到∠ABE＝15°，进而得出∠EBC＝∠ABE+∠ABC＝15°+90°＝105°．
解：解：（1）如图1，AM与BC的交点记作点O，
∵AM∥CN，
∴∠C＝∠AOB，
∵AB⊥BC，
∴∠A+∠AOB＝90°，
∴∠A+∠C＝90°，
故答案为：∠A+∠C＝90°；
（2）如图2，过点B作BG∥DM，
∴∠D+∠DBG=180°，
∵BD⊥AM，
∴∠D=90°，
∴∠DBG=90°，
∴∠ABD+∠ABG＝90°，
又∵AB⊥BC，
∴∠CBG+∠ABG＝90°，
∴∠ABD＝∠CBG，
∵AM∥CN，BG∥AM，
∴CN∥BG，
∴∠C＝∠CBG，
∴∠ABD＝∠C；
（3）如图3，过点B作BG∥DM，
∵BF平分∠DBC，
∴∠DBF＝∠CBF，由（2）可得∠ABD＝∠CBG，
∴∠ABF＝∠GBF，
∵BE平分∠ABD，
∴∠DBE＝∠ABE，
设∠DBE＝α，∠ABF＝β，则
∠ABE＝α，∠ABD＝2α＝∠CBG，∠GBF＝∠ABF＝β，
∵BG∥DM，
∴∠AFB＝∠GBF＝β，
∵∠BFC＝3∠DBE＝3α，
∴∠AFC＝3α+β，
∵BG∥DM，
∴∠AFC+∠NCF＝180°，
∵∠FCB+∠NCF＝180°，
∴∠FCB＝∠AFC＝3α+β，
△BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF＝180°，可得
（2α+β）+3α+（3α+β）＝180°，①
由AB⊥BC，可得
β+β+2α＝90°，②
由①②联立方程组，解得α＝15°，
∴∠ABE＝15°，
∴∠EBC＝∠ABE+∠ABC＝15°+90°＝105°．
【点拨】本题主要考查了平行线的性质和三角形内角和，解决问题的关键是作平行线构造内错角，运用等角的余角（补角）相等进行推导．余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．解题时注意方程思想的运用．
19．证明见解析
【解析】
试题分析：由折叠的性质得到∠MB′E=∠B=90°，∠NA′E=∠A=90°，∠MEB=∠MEB′，∠AEN=∠A′EN，再由平角的定义得到∠NEM的度数，然后互为余角的性质求解即可.
试题解析：由翻折的性质可得：∠AEN=∠A′EN，∠BEM=∠B′EM
∠NEM=∠A′EN+∠B′EM=∠AEA′+∠B′EB=×180°=90°
由翻折性质可知：∠MB′E=∠B=90°
由直角三角形两锐角互余可知：∠B′ME的一个余角是∠B′EM
∠BEM=∠B′EM ∠BEM也是∠B′ME的一个余角
∠NEF+∠B′EM=90° ∠NEF=∠B′ME
∠ANE，∠A′NE也是∠B′ME的余角
20．（1）；（2）40；30；（3）．
【分析】（1）根据所提供的条件和角平分线的性质和两角互余的性质，求出角的度数；
（2）根据所提供的条件和角平分线的性质和两角互余的性质，求出角的度数；
（3）根据（1）（2）的结论，即可得到规律；
解：解：（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∵分别平分，
∴；
（2）①∵，，
∴，
∵分别平分，
∴；
故答案为：40°；
②∵，，
∴，
∵分别平分，
∴；
故答案为：30°.
（3）由（1）（2）可知：∠MON的大小总等于∠AOB的一半，而与锐角∠BOC的大小变化无关．
∴；
故答案为：.
【点拨】此题主要考查了余角和补角，以及角平分线的定义，解题时要利用角平分线的性质和∠AOM与∠MOB互为余角找出各角之间的关系，求出各角的度数．