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专题4.14 余角和补角(巩固篇)(专项练习)-2021-2022学年七年级数学上册基础知识专项讲练(人教版)
展开类型一、求一个角的余角
1.如果的补角与的余角互补,那么是( )
A.锐角B.直角
C.钝角D.以上三种都可能
2.如果和互余,下列表的补角的式子中:①180°-,②90°+,③2+,④2+,正确的有( )
A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④
3.若将一副三角板按如图所示的不同方式摆放,则图中∠a与∠β相等的是( )
A.B.
C.D.
类型二、求一个角的补角
4.如图,已知点O在直线AB上,∠COE=90°,OD平分∠AOE,∠COD=25°,则∠BOD的度数为( )
A.100°B.115°C.65°D.130°
5.有下列四种说法:①锐角的补角一定是钝角;②一个角的补角一定大于这个角;③如果两个角是同一个角的补角,那么它们相等;④锐角和钝角互补.其中正确的是( )
A.①② B.①③ C.①②③ D.①②③④
6.如图,已知点A是射线BE上一点,过A作CA⊥BE交射线BF于点C,AD⊥BF交射线BF于点D,给出下列结论:①∠1是∠B的余角;②图中互余的角共有3对;③∠1的补角只有∠ACF;④与∠ADB互补的角共有3个.则上述结论正确的是( )
①②④B.②③C.④D.①④
类型三、余角与补角的有关计算
7.一个角的补角比这个角的余角3倍还多10°,则这个角的度数为( )
A.140°B.130°C.50°D.40°
8.将一副三角尺按不同位置摆放,摆放方式中∠α 与∠β 互余的是( )
A.B.
C.D.
9.如果与互补,与互余,则与的关系是( )
A.B.
C.D.以上都不对
类型四、同角(等角)的余角(补角)相等
10.如图∠AOC=∠BOD=,4位同学观察图形后分别说了自己的观点.甲:∠AOB=∠COD;乙:图中小于平角的角有6个;丙:∠AOB+∠COD =;丁:∠BOC+∠AOD = .其中正确的结论有( ).
A.4个B.3个C.2个D.1个
11.如图,直线AB,CD交于O,EO⊥AB于O,∠1与∠3的关系是( )
A.互余B.对顶角C.互补D.相等
12.如图,在中,,点,分别在,边的延长线上,于点,与交于点.则与的数量关系是( ).
A.B.与互余
C.与互补D.
填空题
类型一、求一个角的余角
13.如图,OC⊥AB,OD⊥OE,图中与∠1互余的角是__________.
14.已知∠1与∠2互余,∠2与∠3互补,∠1=65°,则∠3=________
15.如图,∠AOC=∠DOB=90°,∠DOC=30°,则∠AOB=_____°.
类型二、求一个角的补角
16.如图,相交于点,平分,若,则的度数是_____________.
17.若比的补角的多,则的余角等于___.
18.如图,把直角三角板ABO的直角顶点0放在直尺CDEF的边CD上,如果∠AOC=350,
那么∠AOD是 0
类型三、余角与补角的有关计算
19.已知的补角是它的3倍,则_________.
20.下列四个命题:
①互为邻补角的两个角的平分线互相垂直;
②经过一点,有且只有一条直线与已知直线平行;
③坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的;
④实数a是实数a2的算术平方根.
其中正确命题的序号为_____.
21.如图所示,O是直线AB与CD的交点,∠BOM:∠DOM=1:2,∠CON=90°,∠NOM=68°,则∠BOD=_____°.
类型四、同角(等角)的余角(补角)相等
22.如图,射线OA⊥OC,射线OB⊥OD,若∠AOB=40°,则∠COD=____°.
23.如图,在△=___度.
24.将三张大小相同的正方形纸片摆放如图所示位置,那∠1的度数为_____.
三、解答题
25.如图,已知∠AOC与∠BOD都是直角,∠BOC=65°
(1)求∠AOD的度数;
(2)∠AOB与∠DOC有何大小关系?
(3)若不知道∠BOC的具体度数,其他条件不变,(2)的关系仍成立吗?
26.如图,A,O,B在同一条直线上,∠AOD=∠BOD=∠EOC=90°,∠BOC∶∠AOE=3∶1.
(1)求∠COD的度数.
(2)图中有哪几对角互为余角?
(3)图中有哪几对角互为补角?
27.点O为直线AB上一点,将一直角三角板OMN的直角顶点放在点O处.射线OC平分∠MOB.
(1)如图1,若∠AOM=30°,求∠CON的度数;
(2)在图1中,若∠AOM=a,直接写出∠CON的度数(用含a的代数式表示);
(3)将图1中的直角三角板OMN绕顶点O顺时针旋转至图2的位置,一边OM在射线OB上方,另一边ON在直线AB的下方.
①探究∠AOM和∠CON的度数之间的关系,写出你的结论,并说明理由;
②当∠AOC=3∠BON时,求∠AOM的度数.
28.将两个直角三角尺的顶点O叠放在一起
(1)如图(1)若∠BOD=35°,则∠AOC=___;若∠AOC=135°,则∠BOD=___;
(2)如图(2)若∠AOC=140°,则∠BOD=___;
(3)猜想∠AOC与∠BOD的大小关系,并结合图(1)说明理由.
29.三角板是学习数学的重要工具,将一副三角板中的两块直角三角板的直角顶点C按如图方式叠放在一起,当0°<∠ACE<90°且点E在直线AC的上方时,解决下列问题:(友情提示:∠A=60°,∠D=30°,∠B=∠E=45°).
(1)①若∠DCE=45°,则∠ACB的度数为 ;
②若∠ACB=140°,则∠DCE的度数为 ;
(2)由(1)猜想∠ACB与∠DCE的数量关系,并说明理由.
(3)这两块三角板是否存在一组边互相平行?若存在,请直接写出∠ACE的角度所有可能的值(不必说明理由);若不存在,请说明理由.
参考答案
1.B
【分析】由题意可得的补角为180°-∠A,的余角为90°-∠A,再根据它们互补列出方程求出∠A,即可解答.
解:∵的补角为180°-∠A,的余角为90°-∠A
∴180°-∠A+(90°-∠A)=180
∴=90°
故答案为B.
【点拨】本题考查了余角、补角以及一元一次方程,正确表示出∠A的余角和补角是解答本题的关键.
2.B
【分析】根据互余的两角之和为90°,进行判断即可.
解:∠β的补角=180°﹣∠β,故①正确;
∵∠α和∠β互余,∴∠β=90°-∠α,∴∠β的补角=180°﹣∠β=180°﹣(90°-∠α)=90°+,故②正确;
∵∠α和∠β互余,∠α+∠β=90°,∴∠β的补角=180°﹣∠β=2(∠α+∠β)﹣∠β=2∠α+∠β,故③正确;
∵∠α+∠β=90°,∴2∠β+∠α=90°+∠β,不是∠β的补角,故④错误.
故正确的有①②③.
故选B.
【点拨】本题考查了余角和补角的知识,解答本题的关键是掌握互余的两角之和为90°,互补的两角之和为180°.
3.B
【分析】A选项,由图形可得两角互余,不合题意;B选项,由图形可分别求出∠α与∠β的度数,即可做出判断;C选项,由图形可分别求出∠α与∠β的度数,即可做出判断;D选项,由图形得出两角的关系,即可做出判断.
解:A、由图形得:∠α+∠β=90°,不合题意;
B、由图形得:∠β=45°,∠α=90°﹣45°=45°,符合题意;
C、由图形得:∠α=90°﹣45°=45°,∠β=90°﹣30°=60°,不合题意;
D、由图形得:90°﹣∠β=60°﹣∠α,即∠α+30°=∠β,不合题意.
故选B.
【点拨】本题主要考查余角的性质,解决本题的关键是要熟练掌握余角的性质.
4.B
解:∵∠COE=90°,∠COD=25°,
∴∠DOE=90°﹣25°=65°,
∵OD平分∠AOE,
∴∠AOD=∠DOE=65°,
∴∠BOD=180°﹣∠AOD=115°,
故选:B.
5.B
【分析】要判断两角的关系,可根据:两角互余,和为90°,互补和为180°,对各个选项一一判断即可.
解:设一个角为∠α,则与它互补的角为∠β=180°-∠α.
①当∠α为锐角时,∠α<90°,
∴∠β>90°,
∴∠β为钝角,①正确;
②同理,若∠α为钝角,则它的补角∠β为锐角,∠β<∠α,②不正确;
③设∠α+∠β=180°,∠γ+∠β=180°,
∴∠α=∠γ,③正确;
④30°的角与120°的角满足一个是锐角一个是钝角,但是不互补,故④不正确.
故只有①③成立.
故选B.
【点拨】本题主要考查补角的定义及性质.熟练掌握补角的定义和性质进行判断是解题的关键.
6.D
解:试题解析:①∠1是∠B的余角,说法正确,故本项正确;
②互余的角有:∠1和∠B;∠1和∠CAD;∠B和∠BAD;∠CAD和∠BAD,共4对,原说法错误,故本选项错误;
③∠1的补角有:∠ACF、∠EAD,原说法错误,故本项错误;
④与∠ADB互补的角有:∠ADF、∠EAC、∠BAC,共3个,说法正确,故本项正确;
综上可得①④正确.
故选D.
【点拨】本题考查了余角和补角的知识,属于基础题,注意结合图形进行判断,掌握同角的余角相等、同角的补角相等.
7.C
【分析】根据互为余角的两个角的和等于90°,互为补角的两个角的和等于180°,列出方程,然后解方程即可.
解:设这个角为α,则它的余角为90°-α,补角为180°-α,
根据题意得,180°-α=3(90°-α)+10°,
180°-α=270°-3α+10°,
解得α=50°.
故选C.
【点拨】本题考查了互为余角与补角的性质,表示出这个角的余角与补角然后列出方程是解题的关键.
8.C
【分析】根据图形,结合互余的定义判断即可.
解:A、∠α与∠β不互余,故本选项错误;
B、∠α与∠β不互余,故本选项错误;
C、∠α与∠β互余,故本选项正确;
D、∠α与∠β不互余,∠α和∠β互补,故本选项错误;
故选:C.
【点拨】本题考查了余角和补角的应用,掌握余角和补角的定义是解题的关键.
9.C
【分析】根据∠1与∠2互补,∠2与∠3互余,先把∠1、∠3都用∠2来表示,再进行运算.
解:∵∠1+∠2=180°
∴∠1=180°-∠2
又∵∠2+∠3=90°
∴∠3=90°-∠2
∴∠1-∠3=90°,即∠1=90°+∠3.
故选C.
【点拨】此题主要记住互为余角的两个角的和为90°,互为补角的两个角的和为180度.
10.B
【分析】根据余角的性质,补角的性质,可得答案.
解:甲∠AOB+∠BOC=∠BOC+∠COD=90°,∠AOB=∠COD,故甲正确;
乙∠AOB,∠AOC,∠AOD,∠BOC,∠BOD,∠COD,故乙正确;
丙∠AOB=∠COD,故丙错误;
丁:∠BOC+∠AOD=∠BOC+∠AOB+∠BOD=∠AOC+∠BOD=180°,故丁正确;
故选:B.
【点拨】本题考查了余角、补角的定义和角的有关推理的应用,能正确进行推理是解此题的关键,难度适中.
11.A
【解析】
解:∵EO⊥AB于O,
∴∠EOB=90°,
∴∠1+∠3=90°,则∠1与∠3的关系是互余.
故选A.
12.C
【分析】先根据同角的余角相等得出∠1=∠BCE,再根据∠BCE+∠2=180°,得出∠1+∠2=180°即可.
解:∵EH⊥BC,
∴∠1+∠B=90°,
∵∠BAC=90°,
∴∠BCE+∠B=90°,
∴∠1=∠BCE.
∵∠BCE+∠2=180°,
∴∠1+∠2=180°,
即∠1与∠2互补,
故选:C.
【点拨】本题考查了余角和补角.解题的关键是掌握余角和补角的定义,同角的余角相等的性质.
13.∠COD,∠BOE
解:因为OC⊥AB,OD⊥OE,所以∠AOC=∠BOC=∠DOE=90°,所以∠1+∠COD=90°,∠1+∠BOE=90°.
故答案为∠COD,∠BOE
14.155°
【解析】
已知∠1的度数,根据余角的性质可求得∠2的度数,再根据补角的性质即可求得∠3的度数.
解:∵∠1与∠2互余,∠1=65°
∴∠2=90°-65°=25°
∵∠2与∠3互补
∴∠3=180°-25°=155°
此题主要考查学生对余角和补角的性质的理解及运用能力.
15.150.
【分析】根据∠AOC=∠BOD=90°,∠DOC=30°,可以算出∠BOC=60°,再根据∠AOB=∠AOC+∠BOC即可算出答案.
解:∵∠AOC和∠BOD都是直角,
∴∠AOC=∠BOD=90°,
∵∠DOC=30°,
∴∠BOC=60°,
∴∠AOB=90°+60°=150°.
故答案为:150.
【点拨】本题主要考查了余角,关键是算出∠BOC的度数.
16.150°
【分析】根据对顶角、邻补角,角平分线的定义即可判断.
解:∵∠BOC=,
∴∠AOD=∠BOC=.
∴∠AOC=−=,
∵OE平分∠AOD
∴∠AOE=∠AOD=×.
∴∠AOC+,
故答案为.
【点拨】本题主要考查对顶角、邻补角,角平分线的定义.
17.
【分析】先计算∠α的大小,再计算其余角大小.
解:根据题意得,,
所以,的余角.
故答案为:.
【点拨】本题考查余角、补角的应用,熟练掌握余角和补角的计算方法是解题关键 .
18.145
【解析】
∵∠AOC+∠AOD=180, ∠AOC=350,
∴∠AOD=180 -35 =145 .
故答案是:145.
【点拨】主要运用了邻补角的定义,解题关键是找出∠AOC和∠AOD的位置关系.
19.
【分析】先表示出这个角的补角,然后再依据的补角是它的3倍列出方程,从而可求得的度数.
解:的补角是.
根据题意得:.
解得:.
故答案为.
【点拨】本题主要考查的是余角和补角的定义,依据题意列出方程是解题的关键.
20.①③.
【分析】根据邻补角的定义、 平行线、 点与有序实数关系与算根的相关概念逐一分析解答即可.
解:①互为邻补角的两个角的平分线互相垂直, 正确;
②经过直线外一点, 有且只有一条直线与已知直线平行,错误;
③坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的, 正确;
④实数a是实数a2 的算术平方根, a是负数时,错误;
故答案为: ①③.
【点拨】本题主要考查邻补角的定义、角平分线、平行线、点与有序实数对的关系及算术平方根等知识,需综合掌握各知识进行判断.
21.33.
【分析】根据角的和差关系可得∠DOM=∠DON﹣∠NOM=22°,再根据∠BOM:∠DOM=1:2可得∠BOM=∠DOM=11°,据此即可得出∠BOD的度数.
解:∵∠CON=90°,
∴∠DON=∠CON=90°,
∴∠DOM=∠DON﹣∠NOM=90°﹣68°=22°,
∵∠BOM:∠DOM=1:2,
∴∠BOM=∠DOM=11°,
∴∠BOD=3∠BOM=33°.
故答案为:33.
【点拨】本题考查了余角的定义,角的和差的关系,掌握角的和差的关系是解题的关键.
22.40
【解析】
【分析】根据OA⊥OC,OB⊥OD,可得∠AOC=90°,∠BOD=90°,然后得到∠AOB与∠BOC互余,
∠COD与∠BOC互余,根据同角的余角相等,继而可求解即可.
解:∵OA⊥OC,OB⊥OD,
∴∠AOC=90°,∠BOD=90°,
∴∠AOB与∠BOC互余,
∠COD与∠BOC互余,
∴∠AOB=∠COD =40°,
故答案为:40°.
【点拨】本题考查了余角的知识,关键发现∠AOB、∠COD都是∠BOC余角,根据同角的余角相等解答.
23.25
【分析】由已知可得+=,+=,所以,=.
解:由已知可得+=,+=,
所以,=
故答案为25
【点拨】本题考核知识点:余角.解题关键点:理解同角的余角相等.
24.57°
【分析】根据题意得出:∠2=10°,再利用余角的定义得出答案.
解:如图所示:由题意可得:∠2=10°,则∠1的度数为:90°﹣10°﹣23°=57°.
故答案为57°.
【点拨】本题考查了余角的定义以及正方形的性质,得出∠2的度数是解题的关键.
25.(1)115°;(2)证明见解析;(3)成立.
【解析】
【分析】(1)根据直角的定义可以求得∠DOC=∠BOD-∠BOC;然后由角间的和差关系可以求得∠AOD的度数;
(2)根据图示知∠AOB=∠AOC-∠BOC,据此可以求得∠BOC的度数,结合(1)求得的∠AOD的度数即可解答;
(3)根据同角的余角相等解答.
解:(1)∵∠DOC=∠DOB-∠BOC=90°-65°=25°,
∴∠AOD=∠AOC+∠DOC=90°+25°=115°.
(2)∵∠DOC=25°,∠AOB=∠AOC-∠BOC=90°-65°=25°,
∴∠AOB=∠DOC.
(3)成立,
∵∠AOB=∠AOC-∠BOC=90°-∠BOC,
∠COD=∠BOD-∠BOC=90°-∠BOC,
∴∠AOB=∠COD.
【点拨】本题考查了余角的和等于90°的性质,同角的余角相等的性质,都是基本性质,需要熟练掌握.
26.答案见解析.
【解析】
试题分析:(1)先求出∠BOC+∠AOE,再根据比值求出∠BOC,然后列式计算即可得解;
(2)根据互余的两个角的和等于90°找出即可;
(3)根据互补的两个角的和等于180°找出即可.
试题解析:(1)由A,O,B在同一条直线上得∠AOB=180°.
因为∠EOC=90°,所以∠AOE+∠BOC=180°-90°=90°.
又因为∠BOC∶∠AOE=3∶1,所以∠BOC=67.5°,
所以∠COD=∠BOD-∠BOC=90°-67.5°=22.5°.
(2)∠AOE与∠DOE,∠AOE与∠BOC,∠DOE与∠DOC,∠DOC与∠BOC互为余角.
(3)∠AOE与∠EOB,∠AOD与∠DOB,∠AOC与∠BOC,∠EOD与∠AOC,∠DOC与∠EOB,∠AOD与∠EOC,∠BOD与∠EOC互为补角.
27.(1) 15°;(2) ∠CON=a;(3) ①见解析;②144°.
【分析】(1)根据角平分线的定义以及补角的定义,可求得∠CON的度数;
(2)可得∠CON=a;
(3) ①设∠AOM=a,可得,,可得∠AOM和∠CON的关系;
②由①知,,由∠AOC=3∠BON,可列方程,可得答案.
解:(1)由已知得∠BOM=180°-∠AOM=150°,
又∠MON是直角,OC平分∠BOM,
所以∠CON=∠MON-∠BOM=90°-×150°=15°.
(2)∠CON=a.
(3)设∠AOM=a,则∠BOM=180°-a,
①∠AOM=2∠CON.
理由如下:
∵OC平分∠BOM,
∴
∵
∴
∴
②由①知
∴
解得
∴.
【点拨】本题主要考查角度间的计算、余角补角的性质及角平分线的性质与一元一次方程的应用,综合性大,需综合运用所学知识求解.
28.(1)145°,45°;(2)40°;(3)∠AOC与∠BOD互补,理由见解析
【分析】(1)由于是两直角三角形板重叠,根据∠AOC=∠AOB+∠COD-∠BOD可分别计算出∠AOC、∠BOD的度数;
(2)根据∠BOD=360°-∠AOC-∠AOB-∠COD计算可得;
(3)由∠AOD+∠BOD+∠BOD+∠BOC=180°且∠AOD+∠BOD+∠BOC=∠AOC可知两角互补;
解:(1)若∠BOD=35°,
∵∠AOB=∠COD=90°,
∴∠AOC=∠AOB+∠COD-∠BOD=90°+90°-35°=145°,
若∠AOC=135°,
则∠BOD=∠AOB+∠COD-∠AOC=90°+90°-135°=45°;
(2)如图2,若∠AOC=140°,
则∠BOD=360°-∠AOC-∠AOB-∠COD=40°;
(3)∠AOC与∠BOD互补,理由如下,
∵∠AOD+∠BOD+∠BOD+∠BOC=180°,
∵∠AOD+∠BOD+∠BOC=∠AOC,
∴∠AOC+∠BOD=180°,
即∠AOC与∠BOD互补.
【点拨】本题主要考查了互补、互余的定义等知识,解决本题的关键是理解重叠的部分实质是两个角的重叠.
29.(1)①135°②40°(2)∠ACB与∠DCE互补(3)存在一组边互相平行
【分析】(1)①根据∠DCE和∠ACD的度数,求得∠ACE的度数,再根据∠BCE求得∠ACB的度数;②根据∠BCE和∠ACB的度数,求得∠ACE的度数,再根据∠ACD求得∠DCE的度数;
(2)根据∠ACE=90°-∠DCE以及∠ACB=∠ACE+90°,进行计算即可得出结论;
(3)分五种情况进行讨论:当CB∥AD时,当EB∥AC时,当CE∥AD时,当EB∥CD时,当BE∥AD时,分别求得∠ACE角度.
解:(1)①∵∠ACD=90°,∠DCE=45°,
∴∠ACE=45°,
∴∠ACB=90°+45°=135°,
故答案为135°;
②∠ACB=140°,∠ACD=∠ECB=90°,
∴∠ACE=140°﹣90°=50°,
∴∠DCE=∠DCA﹣∠ACE=90°﹣50°=40°;
故答案为40°;
(2)∠ACB与∠DCE互补.理由:
∵∠ACD=90°,
∴∠ACE=90°﹣∠DCE,
又∵∠BCE=90°,
∴∠ACB=90°+90°﹣∠DCE,
∴∠ACB+∠DCE=90°+90°﹣∠DCE+∠DCE=180°,
即∠ACB与∠DCE互补;
(3)存在一组边互相平行,
当∠ACE=45°时,∠ACE=∠E=45°,此时AC∥BE;
当∠ACE=30°时,∠ACB=120°,此时∠A+∠ACB=180°,故AD∥BC.
【点拨】本题考查的知识点是有理数的混合运算,解题的关键是熟练的掌握有理数的混合运算.
专题23.13 《旋转》中考真题专练(巩固篇)(专项练习)-2021-2022学年九年级数学上册基础知识专项讲练(人教版): 这是一份专题23.13 《旋转》中考真题专练(巩固篇)(专项练习)-2021-2022学年九年级数学上册基础知识专项讲练(人教版),共52页。试卷主要包含了单选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
专题4.15 余角和补角(培优篇)(专项练习)-2021-2022学年七年级数学上册基础知识专项讲练(人教版): 这是一份专题4.15 余角和补角(培优篇)(专项练习)-2021-2022学年七年级数学上册基础知识专项讲练(人教版),共25页。试卷主要包含了单选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
专题4.13 余角和补角(基础篇)(专项练习)-2021-2022学年七年级数学上册基础知识专项讲练(人教版): 这是一份专题4.13 余角和补角(基础篇)(专项练习)-2021-2022学年七年级数学上册基础知识专项讲练(人教版),共20页。试卷主要包含了求一个角的余角,求一个角的补角,余角与补角的有关计算,同角相等等内容,欢迎下载使用。