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专题4.17 线段双中点、多中点模型（培优篇）（专项练习）-2021-2022学年七年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）
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这是一份专题4.17 线段双中点、多中点模型（培优篇）（专项练习）-2021-2022学年七年级数学上册基础知识专项讲练（人教版），共40页。试卷主要包含了单中点，双中点模型，解答题等内容，欢迎下载使用。
专题4.17 线段双中点、多中点模型（培优篇）（专项练习）
知识点一、单中点：
知识点二、双中点模型
（1）线段上的双中点
（2）线段延长线上的双中点模型
一、单选题
1．线段，是的中点，是的中点，是的中点，是的中点，依此类推，线段AC5的长为（ ）
A． B． C． D．
2.如图，数轴上、两点的距离为4，一动点从点出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处，按照这样的规律继续跳动到点（，是整数）处，问经过这样2020次跳动后的点与点的距离是（ ）
A． B． C． D．
3．已知线段是直线上的一点，点是线段的中点，则线段的长为（ ）
A． B． C．4或6 D．2或6
4．如图，B、C两点把线段MN分成三部分，其比为MB：BC：CN＝2：3：4，点P是MN的中点，PC＝2cm，则MN的长为（ ）
A．30cm B．36cm C．40cm D．48cm
5．如图，点在线段上，且．点在线段上，且．为的中点，为的中点，且，则的长度为（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
6．如图所示，、是线段的三等分点，下列说法中错误的是（ ）
7．已知线段AB=12cm.C是AB的中点.在线段AB上有一点D,且CD=2cm.则AD的长是（ ）
A．8cm B．8cm或 2cm C．8cm或 4cm D．2cm 或 4cm
8．如图，线段，点在上，，为的中点，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
9．如图所示，是线段的中点，是线段上一点，，，下列说法中错误的是（ ）
A． B． C． D．
10．如图所示，把一条绳子对折成线段，从处把绳子剪断，已知，若剪断后的各段绳子中的最长的一段为，则绳子的原长为（ ）
A． B． C． D．或
11．已知点A、B、C为直线上三点，且厘米，厘米，则的长度为（ ）
A．10厘米 B．20厘米
C．30厘米 D．10厘米或30厘米
12．已知线段AB，C是直线AB上的一点，AB=8，BC=4，点M是线段AC的中点，则线段AM的长为（ ）
A．2cm B．4cm C．2cm或6cm D．4cm或6cm
13．已知A，B，C三点在同一直线上，且线段AB=7cm，点M为线段AB的中点，线段BC=3cm，点N为线段BC的中点，则线段MN的长度是（ ）
A．2cm B．5cm C．2cm或5cm D．2.5cm或3.5cm
14．在直线 l 上取 A、B、C 三点，使得 AB=5 cm，BC=3 cm，如果点 O 是线段 AC 的中点，那么线段 OB 的长度是（ ）
A．4 cm B．1 cm C．1.5 cm D．1 cm 或 4 cm
15．如图，工作流程线上A、B、C、D处各有一名工人，且AB=BC=CD=1，现在工作流程线上安放一个工具箱，使4个人到工具箱的距离之和为最短，则工具箱安放的位置（ ）
A．线段BC的任意一点处 B．只能是A或D处
C．只能是线段BC的中点E处 D．线段AB或CD内的任意一点处
16. 某公司员工分别在A、B、C三个住宅区，A区有30人，B区有15人，C区有10人，三个区在一条直线上，位置如图所示，该公司的接送车打算在此间只设一个停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程之和最小，那么停靠点的位置应设在( )
A．A区 B．B区 C．C区 D．A． B两区之间
17. 如图，将一根绳子对折以后用线段AB表示，现从P处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为60，若，则这条绳子的原长为（ ）
A．100或120 B．120或150 C．100或150 D．120或150
18．已知，点C在直线 AB 上， AC=a ， BC=b ，且 a≠b ，点 M是线段 AB 的中点，则线段 MC的长为（ ）
A． B． C．或 D．或
19.．如图，C、D是线段AB上两点，M、N分别是线段AD、BC的中点，下列结论：①若AD=BM，则AB=3BD；②若AC=BD，则AM=BN；③AC-BD=2（MC-DN）；④2MN=AB-CD．其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④
20．如图，点M在线段AN的延长线上，且线段MN=20，第一次操作：分别取线段AM和AN的中点；第二次操作：分别取线段和的中点；第三次操作：分别取线段和的中点；……连续这样操作10次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和( )
A． B． C． D．
21．已知线段AC和BC在同一直线上，AC＝8cm，BC＝3cm，则线段AC的中点和BC中点之间的距离是（ ）
A．5.5cm B．2.5cm
C．4cm D．5.5cm或2.5cm
22．如图，点是线段上一点，为的中点，且，.若点在直线上，且，则的长为（ ）
A． B． C．或 D．或
23．点C、D在线段AB上，若点C是线段AD的中点，2BD>AD，则下列结论正确的是( ).
A．CD2BD C．BD>AD D．BC>AD
24．如图，点C, D在线段AB上，若AC=DB, 则（ ）
A．AC=CD B．CD=DB
C．AD=2DB D．AD=CB
25．已知：点A，B，C在同一条直线上，点M、N分别是AB、BC的中点，如果AB=10cm，AC=8cm，那么线段MN的长度为（ ）
A．6cm B．9cm C．3cm或6cm D．1cm或9cm
二、填空题
26．如图，线段被点，分成三部分，，分别是，的中点，若，则__．
27．已知点C在直线AB上，若AC=6cm，BC=8cm，E，F分别是线段AC，BC的中点，则线段EF的长是__________cm．
28．如果A、B、C三点在同一直线上，且线段AB＝8cm，BC＝6cm，若M、N分别为AB、BC的中点，那么M、N两点之间的距离为____．
29．已知A，B，C三点在同一直线上，M，N分别为线段AB，BC的中点，且AB=6cm，BC=4cm．那么线段MN的长等于______ ．
30．如图，点C是线段AB上的一个动点（不与A，B重合），点D，E，P分别是线段AC，BC，DE的中点，下列结论：
①图中的点D，P，C，E都是动点；
②ADBE；
③AB=2DE；
④当AC=BC时，点P与点C重合．
其中正确的是____________．（把你认为正确结论的序号都填上）
31．已知，为数轴上从原点出发的两个动点，点每秒1个单位，点的速度为点的2倍，则当运动时间为4秒时，和两条线段的中点相距________个单位．
32．已知B是线段AD上一点，C是线段AD的中点，若AD＝10，BC＝3，则AB＝_____．
33．点M是线段的中点，点D是线段的一个三等分点，若，则_____．
34. 已知线段MN=16cm，点P为任意一点，那么线段MP与NP和的最小值是_____cm．
35．如图，，的中点与的中点的距离是，则______．
36．若线段，点是线段的三等分点，是线段的中点，则线段的长是________．
37．已知三点在同一直线上，,,点为线段的中点,则线段的长为__________.
38．线段，点在直线上，，则________．
39．已知线段，在的延长线上取一点，使，在的反向延长线上取一点，使，那么线段_______．
40．点A、B、C在同一直线上，AB＝9，AC＝2BC，则AC＝_____．
41．点在直线上，，点为中点，则的长为___________．
42．线段，在直线上截取线段，为线段的中点，为线段的中点，那么线段__________．
43．已知线段和在同一直线上，如果，，则线段和的中点之间的距离为______________．
44．已知线段AB=12,P是线段AB的三等点，Q是直线AB上一个动点，若AQ=PQ+BQ,则线段AQ的长为__________________
45．如图，、两点将线段分成三部分，为线段的中点，，则线段______.
46. 如图，线段OA=1，其中点记为，A的中点记为，A的中点记为，A的中点记为，如此继续下去……，则当时，O_______.
47．若点C为线段AB上一点，AB=12，AC=8，点D为直线AB上一点，M、N分别是AB、CD的中点，若MN=10，则线段AD的长为______．
48．如图，已知直线l上两点A、B（点A在点B左边），且AB=10cm，在直线l上增加两点C、D（点C在点D左边），作线段AD点中点M、作线段BC点中点N；若线段MN=3cm，则线段CD=______cm．
49．线段，是的中点，是的中点，是的中点，是的中点，依此类推……，线段的长为____.
三、解答题
50．如图，数轴上点，表示的有理数分别为，3，点是射线上的一个动点（不与点，重合），是线段靠近点的三等分点，是线段靠近点的三等分点．
（1）若点表示的有理数是0，那么的长为________；若点表示的有理数是6，那么的长为________；
（2）点在射线上运动（不与点，重合）的过程中，的长是否发生改变？若不改变，请写出求的长的过程；若改变，请说明理由．
51．如图，点是定长线段上一点，、两点分别从点、出发以1厘米/秒，2厘米/秒的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上）．
（1）若点、运动到任一时刻时，总有，请说明点在线段上的位置；
（2）在（1）的条件下，点是直线上一点，且，求的值；
（3）在（1）的条件下，若点、运动5秒后，恰好有，此时点停止运动，点继续运动（点在线段上），点、分别是、的中点，下列结论：①的值不变；②的值不变．可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值．
52．已知，一个点从数轴上的原点开始．先向左移动6cm到达A点，再从A点向右移动10cm到达B点，点C是线段AB的中点．
（1）点C表示的数是 ；
（2）若点A以每秒2cm的速度向左移动，同时C、B两点分别以每秒1cm、4cm的速度向右移动，设移动时间为t秒，
①运动t秒时，点C表示的数是 （用含有t的代数式表示）；
②当t＝2秒时，CB•AC的值为 ．
③试探索：点A、B、C在运动的过程中，线段CB与AC总有怎样的数量关系？并说明理由．
53．如图，射线上有三点、、，满足OA=30cm，AB=90cm，BC=15cm，点从点出发，沿方向以秒的速度匀速运动，点从点出发在线段上向点匀速运动，两点同时出发，当点运动到点时，点、停止运动.
(1)若点运动速度为秒，经过多长时间、两点相遇?
(2)当时，点运动到的位置恰好是线段OB的中点，求点的运动速度;
(3)当点运动到线段上时，分别取和的中点、，求的值.
参考答案
一、单选题
1． 解答：根据中点的意义，可知，，
依次规律可得，
∴；
故答案选D．
【点拨】本题主要考查了直线、射线、线段的有关计算，准确分析计算是解题的关键．
2.解答：由于OA＝4，所以第一次跳动到OA的中点A1处时，OA1＝OA＝×4＝2，
同理第二次从A1点跳动到A2处，离原点的（）2×4处，
同理跳动n次后，离原点的长度为（）n×4＝，
则2020次跳动后的点与点的距离是
故选：A．
【点拨】本题是一道找规律的题目，考查了两点间的距离，根据题意表示出各个点跳动的规律是解题关键．
3．【答案】D
解：①点位于线段上时，
∵，
∴,
∵点是线段的中点，
∴；
②位于线段的延长线上时，
∵
∴,
∵点是线段的中点，
∴；
综上所述，线段的长为2或6；
故选D．
【点拨】本题主要考查了线段的中点定理；仔细读懂题意“是直线上的一点”，明确本题点的位置有两个，是准确作答本题的关键．
4．【答案】B
解：由题意，设MB为2x，BC为3x，CN为4x，则MN为9x，
因为P是MN的中点，所以PC＝PN﹣CN＝MN﹣CN，
即：×9x﹣4x＝2，解得x＝4，所以MN＝4x＝36cm．
故选B．
【点拨】此题主要考查了线段的计算，由题目中的比例关系入手设未知量列方程求解是比较常见的题型，本题根据线段之间的关系得出等量关系列方程是解题的关键．
5．解：设，
∵，∴，
∵，∴，
∵E是AC中点，∴，
，，
∵F是BD中点，∴，
，解得．
故选：B．
【点拨】本题考查线段之间和差计算，解题的关键是设未知数帮助我们理顺线段与线段之间的数量关系，然后列式求解未知数．
6．A． B．
C． D．
解答：∵、是线段的三等分点，
∴，
∴，A选项正确；
，B选项错误；
，C选项正确；
，D选项正确；
故选B．
【点拨】本题考查三等分点的定义，掌握线段间的数量关系是关键．
7．解答：∵AB=12cm，C是AB的中点，
∴AC=BC=6cm.
当点D在A、C之间时，如图，
AD=AC-CD=6-2=4cm；
当点D在A、C之间时，如图，
AD=AC+CD=6+2=8cm；
故选C.
【点拨】本题考查了与线段中点有关的计算及分类讨论的数学思想，分两种情况进行计算是解答本题的关键.
8．解：∵，
∴设BC=2x，则AC=3x，
∵D为BC的中点，
∴CD=BD=x，
∵线段AB=15cm，
∴AC+BC=5x=15，
解得：x=3（cm），
∴AD=3x+x=4x=12（cm）．
故选：C．
【点拨】此题主要考查了两点之间的距离，正确表示出各线段长是解题关键．
9．解答：∵是线段的中点，
∴．故A选项正确；
又∵，
∴，故B选项正确；
．故C选项正确,D选项错误；
故选：D．
【点拨】解答本题根据图中各线段的关系进行求解，关键是根据点M是线段AB的中点，列出线段关系.
10．解答：①当点是绳子的对折点时，将绳子展开如图1．
∵，剪断后各段绳子中最长的一段为，
∴，，，
∴绳子的原长；
当点是绳子的对折点时，将绳子展开如图2．
∵，剪断后各段绳子中最长的一段为，
∴，，，
∴绳子的原长．
故选D．【点拨】在画图类问题中，正确画图很重要，本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解．
11．解：当A在线段BC上时，此时(厘米)；
当B在线段AC上时，此时(厘米)；
综上的长度为10厘米或30厘米．
故选：D．
【点拨】本题考查线段的和、差，注意分类讨论当A在线段BC上时以及当B在线段AC上时两种情况．
12．解：①当点C在线段AB上时，由线段的和差，得AC=AB-BC=8-4=4（cm），
由线段中点的定义，得AM=AC=×4=2（cm）；
②点C在线段BC的延长线上，由线段的和差，得AC=AB+BC=8+4=12（cm），
由线段中点的定义，得AM=AC=×12=6（cm）；
故选C．
【点拨】本题考查两点间的距离，利用了线段的和差，线段中点的定义；解题关键是进行分类讨论．
13．解：如图，当点C在线段AB的延长线上时，
∵点M是AB的中点，
∴BM＝AB=×7＝3.5(cm)，
∵N是BC的中点，
所以BN＝BC＝×3＝1.5(cm)
所以MN=BM+BN=3.5+1.5=5（cm）；
如图，当点C在线段AB上时，
∵点M是AB的中点
∴BM＝AB＝×7＝3.5(cm)
∵N是BC的中点，
∴BN＝BC＝×3＝1.5(cm)
∴MN=BM-BN=3.5-1.5=2（cm）．
故选C．
【点拨】此题主要考查了两点间的距离的求法，以及线段中点的特征和应用，要熟练掌握．
14．解：①如图所示
OB=5cm-OA，
∵OA=（AB+BC）÷2=4cm，
∴OB=1cm．
②如图所示
OB=AB-OA=5-（5-3）÷2=4cm，
故线段OB的长度是1cm或4cm，故选D．
【点拨】在未画图类问题中，正确画图很重要．所以能画图的一定要画图这样才直观形象，便于思维．
15．解答：要想4个人到工具箱的距离之和最短，据图可知：位置在A与B之间时，距离之和位置在B与C之间时，距离之和位置在C与D之间时，距离之和则工具箱在B与C之间时，距离之和最短．
故选A．
16.解：∵当停靠点在A区时，所有员工步行到停靠点路程和是：
15×100+10×300=4500m，
当停靠点在B区时，所有员工步行到停靠点路程和是：30×100+10×200=5000m，
当停靠点在C区时，所有员工步行到停靠点路程和是：30×300+15×200=12000m，
当停靠点在A、B区之间时，
设在A区、B区之间时，设距离A区x米，
则所有员工步行路程之和=30x+15（100-x）+10（100+200-x），
=30x+1500-15x+3000-10x，
=5x+4500，
∴当x=0时，即在A区时，路程之和最小，为4500米；
综上，当停靠点在A区时，所有员工步行到停靠点路程和最小，那么停靠点的位置应该在A区．
故选：A．
【点拨】本题主要考查了比较线段的长短，正确理解题意是解题的关键，要能把线段的概念在现实中进行应用，比较简单．
17.解答：①当PB的2倍最长时，则PB=30，
∴=20，
∴AB=AP+PB=50，
∴这条绳子的原长为：2AB=100；
②当AP的2倍最长时，则AP=30，
∵，
∴PB=45，
AB=AP+PB=75，
这条绳子的原长为：2AB=150．
综上所述，这条绳子的原长为：100或150．
故选：C．
【点拨】本题主要考查线段的和差倍分，理解题意，分类讨论，进行线段的和差运算，是解题的关键．
18．解：由于点B的位置不能确定，故应分四种情况讨论：
①当a＞b且点C在线段AB上时，如图1．
∵AC=a，BC=b，∴AB=AC+BC=a+b．
∵点M是AB的中点，∴AMAB=，
∴MC=AC﹣AM==．
②当a＞b且点C在线段AB的延长线上时，如图2．
∵AC=a，BC=b，∴AB=AC-BC=a-b．
∵点M是AB的中点，∴AMAB=，
∴MC=AC﹣AM==．
③当a＜b且点C在线段AB上时，如图3．
∵AC=a，BC=b，∴AB=AC+BC=a+b．
∵点M是AB的中点，∴AMAB=，
∴MC=AM﹣AC==．
④当a＜b且点C在线段AB的方向延长线上时，如图4．
∵AC=a，BC=b，∴AB=BC-AC=b-a．
∵点M是AB的中点，∴AMAB=，
∴MC=AC+AM==．
综上所述：MC的长为或（a＞b）或（a＜b），即MC的长为或．
故选D．
【点拨】本题考查了中点的定义，线段之间的和差关系，两点间的距离，掌握线段间的和差关系与分类讨论的数学思想是解题的关键．
19.解：∵M，N分别是线段AD，BC的中点，
∴AM=MD，CN=NB.
①∵AD=BM，
∴AM+MD=MD+BD，
∴AM=BD.
∵AM=MD，AB=AM+MD+DB，
∴AB=3BD.
②∵AC=BD，
∴AM+MC=BN+DN.
∵AM=MD，CN=NB，
∴MD+MC=CN+DN，
∴MC+CD+MC=CD+DN+DN，
∴MC=DN，
∴AM=BN.
③AC-BD=AM+MC-BN-DN=(MC-DN)+(AM-BN)=(MC-DN)+(MD-CN)=2(MC-DN)；
④AB-CD=AC+BD=AM+MC+DN+NB=MD+MC+DN+CN=MD+DN+MC+CN=2MN.
综上可知，①②③④均正确
故答案为：D
【点拨】本题主要考查线段长短比较与计算，以及线段中点的应用.
20．
解：∵，分别为的中点，
∴，
∵分别为的中点，
∴，
根据规律得到，
∴，故选A.
【点拨】本题是对线段规律性问题的考查，准确根据题意找出规律是解决本题的关键，相对较难.
21．解：设AC、BC的中点分别为E、F，
∵AC＝8cm，BC＝3cm，
∴CE＝AC＝4cm，CF＝BC＝1.5cm，
如图所示，当点B不在线段AC上时，EF＝CE+CF，
＝4+1.5，
＝5.5cm，
如图所示，当点B在线段AC上时，EF＝CE﹣CF，
＝4﹣1.5，
＝2.5cm，
综上所述，AC和BC中点间的距离为2.5cm或5.5cm．
故答案为：2.5cm或5.5cm
故选：D．
【点拨】对于没有给出图形的几何题，要考虑所有可能情况，分点B在不在线段AC上的两种情况，然后根据不同图形分别进行计算
22．解答：∵为的中点，BD=5cm，
∴BC=10cm，CD=5cm，
∵AB=12cm，
∴AD=7cm，AC=2cm，
①如图：当点E在线段AB上时，
∵AE=3，
∴DE=7-3=4cm，
②如图：当点E在线段BA的延长线上时，
∵AE=3cm，
∴DE=7+3=10cm.
故选D.
【点拨】此题考查了两点间的距离求解，解答本题的关键是分类讨论点E的位置，有一定难度，注意不要遗漏．
23．解答：∵点C是线段AD的中点，
∴AD=2AC=2CD，
∵2BD>AD，
∴BD> AC= CD，
A. CD=AD-AC> AD－ BD，该选项错误；
B. 由A得AD－ BD CD，则ADBD+CD=BC,则AB=AD+BD BC+ BD2BD，该选项错误；
C.由B得 AB2BD ，则BD+AD2BD,则ADBD,该选项错误；
D. 由A得AD－ BD CD，则ADBD+CD=BC, 该选项正确
故选D．
【点拨】本题考查的是两点间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键．
24．【解析】根据题意，由AC=DB，可知AC+CD=DB+CD，即AD=BC，而其余选项均无法判断.
故选：D.
25．解：（1）点C在线段AB上，如：
点M是线段AB的中点，点N是线段BC的中点，
MB=AB=5，BN=CB=4，
MN=BM-BN=5-4=1cm；
（2）点C在线段AB的延长线上，如：
点M是线段AB的中点，点N是线段BC的中点，
MB=AB=5，BN=CB=4，
MN=MB+BN=5+4=9cm，
故选D．
点拨：本题考查了两点间的距离. 解题的关键在于要利用分类讨论思想结合线段中点的性质、线段的和差进行解答．
二、填空题
26．
解：线段被点，分成三部分，
设，，，
，分别是，的中点，
，，
，
，
，
．
故答案为：14．
【点拨】本题考查了两点间的距离，利用了线段的和差，利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键．
27．解答：E，F分别是线段AC，BC的中点，由中点定义的CE=AC=3，CF=BC=4，
如图1，点C在线段AB上，
EF=CE+CF=AC+BC=3+4=7，
如图2，AC
EF=1或7．
故答案为：1或7．
【点拨】本题考查线段的和与差的长问题，掌握中点定义，会利用中点处理线段关系，会利用分类思想处理点C的位置，利用线段和与差解决问题是解题关键．
28．解：如图1，当点B在线段AC上时，
∵AB=8cm，BC=6cm，M，N分别为AB，BC的中点，
∴MB=AB=4，BN=BC=3，
∴MN=MB+NB=7cm，
如图2，当点C在线段AB上时，
∵AB=8cm，BC=6cm，M，N分别为AB，BC的中点，
∴MB=AB=4，BN=BC=3，
∴MN=MB-NB=1cm，
综上可知，M、N两点之间的距离为7cm或1cm，
故答案为：7cm或1cm．
【点拨】本题考查的是两点间的距离，掌握线段中点的定义、灵活运用数形结合思想、分情况讨论思想是解题的关键．
29．解答：①当C在线段AB延长线上时，如图1，
，
∵M、N分别为AB、BC的中点，
∴BM＝AB＝3，BN＝BC＝2；
∴MN＝5；
②当C在AB上时，如图2，
同理可知BM＝3，BN＝2，
∴MN＝1；
所以MN＝5或1，
故答案为：5或1．
【点拨】本题考查线段中点的定义，比较简单，注意有两种可能的情况；解答这类题目，应考虑周全，避免漏掉其中一种情况．
30．解：①∵点C是线段AB上的一个动点（不与A，B重合），点D，E，P分别是线段AC，BC，DE的中点，∴D、E随着C的运动而运动，点P随着D、E的运动而运动，因此，随着C的运动，D、P、E都在动，∴本选项正确；
②∵
∴当C点在AB中点左边（不含中点）运动时，由于AC
∴，即AB=2DE，∴本选项正确；
④由③可知，当AC=BC时，DC=EC，所以C为DE中点，
又P也为DE中点，∴点P与点C重合，∴本选项正确．
故答案为①③④．
【点拨】本题考查中点的应用，熟练掌握中点的意义和性质并灵活应用是解题关键．
31．解答：（1），同向运动
由题意得，
∴和两条线段的中点相距
（2），反向运动
由题意得，
∴和两条线段的中点相距
故答案为：和两条线段的中点相距2或6个单位．
【点拨】本题考查了线段的长度问题，掌握中点平分线段长度是解题的关键．
32.解：如图，∵C是线段AD的中点，
∴AC＝CD＝AD＝5，
∴当点B在中点C的左侧时，AB＝AC﹣BC＝2．
当点B在中点C的右侧时，AB＝AC+BC＝8．
∴AB＝2或8．
【点拨】本题考查线段中点的有关计算．注意此类题要分情况画图，然后根据中点的概念以及图形进行相关计算．
33．解：①若点D为靠近点A的三等分点，如图1所示
∵，点M是线段的中点，点D是线段的一个三等分点，
∴AM=，AD=
∴DM=AM－AD=3；
②若点D为靠近点B的三等分点，如图2所示
∵，点M是线段的中点，点D是线段的一个三等分点，
∴BM=，BD=
∴DM=BM－BD=3；
综上：DM=3
故答案为：3．
【点拨】此题考查的是线段的和与差，掌握分类讨论的数学思想和各线段的关系是解决此题的关键．
34.解答：①点P在线段MN上，
MP+NP=MN=16cm，
②点P在线段MN外，
当点P在线段MN的上部时，由两点之间线段最短可知：MP+NP > MN =16，
当点P在线段MN的延长线上时，MP+NP > MN =16.
综上所述：线段MP和NP的长度的和的最小值是16，此时点P的位置在线段MN上，
故答案为16.
【点拨】本题考查的知识点是比较线段的长短，解题的关键是熟练的掌握比较线段的长短.
35．解：设AB=2xcm，BC=3xcm，CD=4xcm，
∵M是AB的中点，N是CD的中点，
∴MB=xcm，CN=2xcm，
∴MB+BC+CN=x+3x+2x=3，
∴x=0.5，
∴3x=1.5，
即BC=1.5cm．
故答案为：1.5cm．
【点拨】本题考查了求两点之间的距离的应用，关键是能根据题意得出关于x的方程．
36．【答案】1cm或2cm
【分析】
根据M是AB的三等分点，可得AM的长，再根据线段中点的性质，可得答案．
【详解】
∵线段AB=6cm，若M是AB的三等分点，
∴AM=2，或AM=4．
∴当AM=2cm时，由N是AM的中点，得 ；
当AM=4cm时，由N是AM的中点，得；
故答案为：1cm或2cm．
【点拨】本题考查了两点间的距离，利用了三等分点的性质：M距A点近的三等分点，M距A点远的三等分点，以防漏掉．
37．解答：①当点C在BA的延长线上的时，
∵AB=2cm，，
∴BC=6cm，
∴AC=BC−AB=4cm，
∵点D是线段AC的中点，
∴AD=2cm，
∴BD=4cm；
②当C在AB的延长线上的时，
∵AB=2cm， ，
∴BC=6cm，
∴AC=8cm，
∵点D是线段AC的中点，
∴AD=4,
∴BD=2cm，
综上所述：线段BD的长为2cm或4cm，
故答案为：2cm或4cm．
【点拨】本题主要考查线段的和差倍分关系，根据题意，画出示意图，分类讨论，是解题的关键．
38．解：如图，当点C在B的左边时，
由AB=2，，所以，
所以：
如图，当点C在B的右边时，
由AB=2，，所以，
所以：
故答案为：2或6．
【点拨】本题考查的是线段的和差与倍分关系，同时需要建模，熟悉和差与倍分是基础，建模是关键．
39．解：∵AC=AB+BC=2BC，
∴AB=BC，
∴DA=2AB=2BC，
∴DB=DA+AB=3AB=3BC，
∴.
故答案为：．
【点拨】本题主要考查线段上两点间的距离，熟练掌握线段的和差并根据题意进行分析计算是解题的关键．
40．解答：①当点位于，中间时,如图：
∵，
∴
∴
②当点位于，中间时，如图：
∵，
∴
故答案为：或
【点拨】本题考查了线段的和差，由点的具体位置进行分类讨论并画出相应图形，可以更好的理解题意并正确解答．
41．解答：如图1，
∵BC=2，点C为BD中点，
∴BD=4，
∴AD=5-4=1；
如图2，
∵BC=2，点C为BD中点，
∴BD=4，
∴AD=5+4=9；
故答案为：1或9．
【点拨】本题考查的是两点间的距离，解答此题时要注意应用分类讨论的思想，不要漏解．
42．解：根据题意，
①当点C在线段AB上时；如图：
∵，，
又∵为线段的中点，为线段的中点，
∴，，
∴；
②当点C在线段AB的延长线上时；如图：
与①同理，可求，，
∴；
∴线段DE的长度为：1或2；
故答案为：1或2.
【点拨】本题考查了线段的中点，两点之间的距离，以及线段的和差关系，解题的关键是熟练掌握线段的中点，线段的和差关系进行解题.
43．解：此题有两种情况：
①当C点在线段AB上，此时AB=AC+BC，
而AC=5．6cm，BC=2.4cm，
∴AB=AC+BC=8cm，
∴线段AC和BC的中点之间的距离为 cm；
②当B点在线段AC上，此时AB=AC-BC，
而AC=5．6cm，BC=2.4cm，
∴AB=AC-BC=2.8cm，
∴线段AC和BC的中点之间的距离为cm．
故答案为：4 cm或1.6 cm．
【点拨】本题考查了比较线段的长短的知识，本题渗透了分类讨论的思想，要防止漏解．
44．解答：分点P是靠近点A的三分点和点P是靠近点B的三分点两种情况讨论：
（1）点P是靠近点A的三分点，
①当点Q在点B右侧时，
此时AP==4，
因为AQ=AP+PQ=PQ+BQ，
所以AP=BQ=4，
所以AQ=AB+BQ=12+4=16；
②当点Q在点B左侧时，
此时AP==4，
因为AQ=AP+PQ=PQ+BQ，
所以AP=BQ=4，
所以AQ=AB-BQ=12-4=8；
（2）点P是靠近点B的三分点，
①当点Q在点B右侧时，
此时AP==8，
因为AQ=AP+PQ=PQ+BQ，
所以AP=BQ=8，
所以AQ=AB+BQ=12+8=20；
②当点Q在点P左侧时，
此时AP==8，BP=4，
因为AQ=AP-PQ=PQ+BQ=BP+2PQ，
即8-PQ=4+2PQ，
解得PQ=，
所以AQ= AP-PQ =8-=；
故答案为：8、16、20、
【点拨】此题考查了线段的和差计算，对点P的位置以及点Q的位置分类讨论是解答此题的关键.
45． 解：设
∵
∴
解得：
∴
∵为线段的中点
∴
故答案为：1cm
【点拨】本题考点为两点之间的距离，熟练掌握线段的性质是解答本题的关键.
46.解答：∵线段OA=1，其中点记为，
∴A=OA=，
∴O=OA- A=1-OA=1-；
∵A的中点记为，
∴A=A=，
∴O=OA- A=1-；
∵A的中点记为，
∴A=A=,
∴O=OA-A=1-,
···
∴O1-=.
故答案为：.
【点拨】本题考查了与线段中点有关的计算，正确的找出规律是解决问题的关键.
47．解：有三种情况：
①当点D在线段AB上时，如图所示，MN≠10，与已知条件不符，故此种情况不成立；
②当点D在线段AB的延长线上时，如图所示，
∵M是AB的中点，AB=12，
∴AM＝6，
∵AC=8，
∴MC=2,
∵MN=10，
∴CN=MN-MC=10-2=8，
∵N是CD的中点，
∴CD=16,
∴AD=CD+AC=16+8=24;
②当点D在线段AB的反向延长线上时，如图所示，
∵M是AB的中点，AB=12，
∴AM＝6，
∵AC=8，
∴MC=2,
∵MN=10，
∴CN=MN+MC=10+2=12，
∵N是CD的中点，
∴CD=24,
∴AD=CD-AC=24-8=16.
故线段AD的长为16或24.
点拨：本题主要考查线段和、差及中点定义，利用分类讨论思想正确作图是解题的关键.
48．解答：如图，把直线放到数轴上，让点A和原点重合，则点A所对应的数为0，点B所对应的数是10，设点C所对应的数为、点D所对应的数为，
∵则点M是线段AD的中点，点N是线段BC的中点，
∴点M所对应的数是，点N所对应的数是，
∵MN=3，
∴（1）如图1，当点M在点N的左侧时，MN=，化简得：，由点C在点D的左侧可得：CD=；
（2）如图2，当点M在点N的右侧时，MN=，化简得：，由点C在点D的左侧可得：CD=.
点拨：（1）在数轴上任意两点A、B，若它们在数轴上所对应的数是，则线段AB的中点所对应的数是：；（2）在本题中，只限定了点C在点D的左侧，没有说明点M和点N的位置关系，因此要分点M在点N左侧和右侧两种情况讨论，不要忽略了其中任何一种情况.
49．解答：试题分析：根据中点的意义，可知:=AB，==×AB，……
由此可知其规律为：=，因此可知=AB，因此可求得=.
故答案为：.
三、解答题
50．
解：（1）若点P表示的有理数是0（如图1），则AP=6，BP=3．
∵M是线段AP靠近点A的三等分点，N是线段BP靠近点B的三等分点．
∴MP=AP=4，NP=BP=2，
∴MN=MP+NP=6；
若点P表示的有理数是6（如图2），则AP=12，BP=3．
∵M是线段AP靠近点A的三等分点，N是线段BP靠近点B的三等分点．
∴MP=AP=8，NP=BP=2，
∴MN=MP-NP=6．
故答案为：6；6．
（2）MN的长不会发生改变，理由如下：
设点P表示的有理数是a（a＞-6且a≠3）．
当-6＜a＜3时（如图1），AP=a+6，BP=3-a．
∵M是线段AP靠近点A的三等分点，N是线段BP靠近点B的三等分点．
∴MP=AP=（a+6），NP=BP=（3-a），
∴MN=MP+NP=6；
当a＞3时（如图2），AP=a+6，BP=a-3．
∵M是线段AP靠近点A的三等分点，N是线段BP靠近点B的三等分点．
∴MP=AP=（a+6），NP=BP=（a-3），
∴MN=MP-NP=6．
综上所述：点P在射线AB上运动（不与点A，B重合）的过程中，MN的长为定值6．
【点拨】本题考查了两点间的距离，解题的关键是：（1）根据三点分点的定义找出MP、NP的长度；（2）分-6＜a＜3及a＞3两种情况找出MP、NP的长度（用含字母a的代数式表示）．
51．【答案】（1）点P在线段AB的处；（2）或；（3）结论②的值不变正确，.
【分析】（1）设运动时间为t秒，用含t的代数式可表示出线段PD、AC长，根据，可知点在线段上的位置；
（2）由可知，当点Q在线段AB上时，等量代换可得，再结合可得的值；当点Q在线段AB的延长线上时，可得，易得的值.
（3）点停止运动时，，可求得CM与AB的数量关系，则PM与PN的值可以含AB的式子来表示，可得MN与AB的数量关系，易知的值.
【详解】
解：（1）设运动时间为t秒，则，
由得，即
，，，即
所以点P在线段AB的处；
（2）①如图，当点Q在线段AB上时，
由可知，
②如图，当点Q在线段AB的延长线上时，
，
综合上述，的值为或；
（3）②的值不变.
由点、运动5秒可得，
如图，当点M、N在点P同侧时，
点停止运动时，，
点、分别是、的中点，
当点C停止运动，点D继续运动时，MN的值不变，所以；
如图，当点M、N在点P异侧时，
点停止运动时，，
点、分别是、的中点，
当点C停止运动，点D继续运动时，MN的值不变，所以；
所以②的值不变正确，.
【点拨】本题考查了线段的相关计算，利用线段中点性质转化线段之间的和差倍分关系是解题的关键.
52．【答案】（1）-1；（2）①﹣1+t；②121；③线段CB与AC相等，理由详见解析．
【分析】
（1）依据条件即可得到点A表示﹣6，点B表示﹣6+10＝4，再根据点C是线段AB的中点，即可得出点C表示的数；
（2）依据点C表示的数为﹣1，点以每秒1cm的速度向右移动，即可得到运动t秒时，点C表示的数是﹣1+t；
②依据点A表示的数为﹣6﹣2×2＝﹣10，点B表示的数为4+4×2＝12，点C表示的数是﹣1+2＝1，即可得到CB•AC的值；
③依据点A表示的数为﹣6﹣2t，点B表示的数为4+4t，点C表示的数是﹣1+t，即可得到点A、B、C在运动的过程中，线段CB与AC相等．
【详解】
解：（1）∵一个点从数轴上的原点开始，先向左移动6cm到达A点，再从A点向右移动10cm到达B点，
∴点A表示﹣6，点B表示﹣6+10＝4，
又∵点C是线段AB的中点，
∴点C表示的数为＝﹣1，
故答案为：﹣1．
（2）①∵点C表示的数为﹣1，点以每秒1cm的速度向右移动，
∴运动t秒时，点C表示的数是﹣1+t，
故答案为：﹣1+t；
②由题可得，当t＝2秒时，点A表示的数为﹣6﹣2×2＝﹣10，点B表示的数为4+4×2＝12，点C表示的数是﹣1+2＝1，
∴当t＝2秒时，AC＝11，BC＝11，
∴CB•AC＝121，
故答案为：121；
③点A、B、C在运动的过程中，线段CB与AC相等．理由：
由题可得，点A表示的数为﹣6﹣2t，点B表示的数为4+4t，点C表示的数是﹣1+t，
∴BC＝（4+4t）﹣（﹣1+t）＝5+3t，AC＝（﹣1+t）﹣（﹣6﹣2t）＝5+3t，
∴点A、B、C在运动的过程中，线段CB与AC相等．
【点拨】本题考查数轴上动点问题，整式的加减,与线段有关的动点问题．（1）理解数轴上线段的中点表示的数是两个端点所表示的数的和除以2；（2）掌握数轴上两点之间的距离求解方法是解决问题的关键，数轴上两点之间对应的距离等于它们所表示的数差的绝对值．
53．【答案】（1）45s;（2）或 ;(3)2
【分析】
（1）设经过t秒时间P、Q两点相遇，列出方程即可解决问题；
（2）分两种情形求解即可；
（3）用t表示AP、EF的长，代入化简即可解决问题；
【详解】（1）设经过t秒时间P、Q两点相遇，
则t+2t=90+30+15，
解得t=45，
所以经过45秒时间P、Q两点相遇．
（2）①当P在线段AB上时，
∵AB=90，PA=2PB，
∴PA=60，PB=30，
∴OP=OA+AP＝30+60＝90，
∴点P、Q的运动时间为90秒，
∵AB=90，OA＝30，
∴OB＝120，
∴BQ=OB=60，
∴点Q的路程为CQ=CB+BQ＝15+60＝75，
∴点Q是速度为cm/秒；
②点P在线段AB延长线上时，
∵AB=90，PA=2PB，
∴BP=90,AP=180,
∴OP=OA+AP=30+180=210,
∴点P、Q的运动时间为210秒，
∵AB=90，OA＝30，
∴OB＝120，
∴BQ=OB=60，
∴点Q的路程为CQ=CB+BQ＝15+60＝75，
∴点Q是速度为cm/秒；
（3）如图所示：
∵E、F分别是OP、AB的中点，
∴OE=OP=t，
∴OF=OA+AB=30+45=75，
∴.
【点拨】本题考查两点间距离、路程、速度、时间之间的关系等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题.
专题4.17 线段双中点、多中点模型（培优篇）（专项练习）
知识点一、单中点：
知识点二、双中点模型
（1）线段上的双中点
（2）线段延长线上的双中点模型
一、单选题
1．线段，是的中点，是的中点，是的中点，是的中点，依此类推，线段AC5的长为（ ）
A． B． C． D．
2.如图，数轴上、两点的距离为4，一动点从点出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处，按照这样的规律继续跳动到点（，是整数）处，问经过这样2020次跳动后的点与点的距离是（ ）
A． B． C． D．
3．已知线段是直线上的一点，点是线段的中点，则线段的长为（ ）
A． B． C．4或6 D．2或6
4．如图，B、C两点把线段MN分成三部分，其比为MB：BC：CN＝2：3：4，点P是MN的中点，PC＝2cm，则MN的长为（ ）
A．30cm B．36cm C．40cm D．48cm
5．如图，点在线段上，且．点在线段上，且．为的中点，为的中点，且，则的长度为（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
6．如图所示，、是线段的三等分点，下列说法中错误的是（ ）
7．已知线段AB=12cm.C是AB的中点.在线段AB上有一点D,且CD=2cm.则AD的长是（ ）
A．8cm B．8cm或 2cm C．8cm或 4cm D．2cm 或 4cm
8．如图，线段，点在上，，为的中点，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
9．如图所示，是线段的中点，是线段上一点，，，下列说法中错误的是（ ）
A． B． C． D．
10．如图所示，把一条绳子对折成线段，从处把绳子剪断，已知，若剪断后的各段绳子中的最长的一段为，则绳子的原长为（ ）
A． B． C． D．或
11．已知点A、B、C为直线上三点，且厘米，厘米，则的长度为（ ）
A．10厘米 B．20厘米
C．30厘米 D．10厘米或30厘米
12．已知线段AB，C是直线AB上的一点，AB=8，BC=4，点M是线段AC的中点，则线段AM的长为（ ）
A．2cm B．4cm C．2cm或6cm D．4cm或6cm
13．已知A，B，C三点在同一直线上，且线段AB=7cm，点M为线段AB的中点，线段BC=3cm，点N为线段BC的中点，则线段MN的长度是（ ）
A．2cm B．5cm C．2cm或5cm D．2.5cm或3.5cm
14．在直线 l 上取 A、B、C 三点，使得 AB=5 cm，BC=3 cm，如果点 O 是线段 AC 的中点，那么线段 OB 的长度是（ ）
A．4 cm B．1 cm C．1.5 cm D．1 cm 或 4 cm
15．如图，工作流程线上A、B、C、D处各有一名工人，且AB=BC=CD=1，现在工作流程线上安放一个工具箱，使4个人到工具箱的距离之和为最短，则工具箱安放的位置（ ）
A．线段BC的任意一点处 B．只能是A或D处
C．只能是线段BC的中点E处 D．线段AB或CD内的任意一点处
16. 某公司员工分别在A、B、C三个住宅区，A区有30人，B区有15人，C区有10人，三个区在一条直线上，位置如图所示，该公司的接送车打算在此间只设一个停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程之和最小，那么停靠点的位置应设在( )
A．A区 B．B区 C．C区 D．A． B两区之间
17. 如图，将一根绳子对折以后用线段AB表示，现从P处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为60，若，则这条绳子的原长为（ ）
A．100或120 B．120或150 C．100或150 D．120或150
18．已知，点C在直线 AB 上， AC=a ， BC=b ，且 a≠b ，点 M是线段 AB 的中点，则线段 MC的长为（ ）
A． B． C．或 D．或
19.．如图，C、D是线段AB上两点，M、N分别是线段AD、BC的中点，下列结论：①若AD=BM，则AB=3BD；②若AC=BD，则AM=BN；③AC-BD=2（MC-DN）；④2MN=AB-CD．其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④
20．如图，点M在线段AN的延长线上，且线段MN=20，第一次操作：分别取线段AM和AN的中点；第二次操作：分别取线段和的中点；第三次操作：分别取线段和的中点；……连续这样操作10次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和( )
A． B． C． D．
21．已知线段AC和BC在同一直线上，AC＝8cm，BC＝3cm，则线段AC的中点和BC中点之间的距离是（ ）
A．5.5cm B．2.5cm
C．4cm D．5.5cm或2.5cm
22．如图，点是线段上一点，为的中点，且，.若点在直线上，且，则的长为（ ）
A． B． C．或 D．或
23．点C、D在线段AB上，若点C是线段AD的中点，2BD>AD，则下列结论正确的是( ).
A．CD
24．如图，点C, D在线段AB上，若AC=DB, 则（ ）
A．AC=CD B．CD=DB
C．AD=2DB D．AD=CB
25．已知：点A，B，C在同一条直线上，点M、N分别是AB、BC的中点，如果AB=10cm，AC=8cm，那么线段MN的长度为（ ）
A．6cm B．9cm C．3cm或6cm D．1cm或9cm
二、填空题
26．如图，线段被点，分成三部分，，分别是，的中点，若，则__．
27．已知点C在直线AB上，若AC=6cm，BC=8cm，E，F分别是线段AC，BC的中点，则线段EF的长是__________cm．
28．如果A、B、C三点在同一直线上，且线段AB＝8cm，BC＝6cm，若M、N分别为AB、BC的中点，那么M、N两点之间的距离为____．
29．已知A，B，C三点在同一直线上，M，N分别为线段AB，BC的中点，且AB=6cm，BC=4cm．那么线段MN的长等于______ ．
30．如图，点C是线段AB上的一个动点（不与A，B重合），点D，E，P分别是线段AC，BC，DE的中点，下列结论：
①图中的点D，P，C，E都是动点；
②ADBE；
③AB=2DE；
④当AC=BC时，点P与点C重合．
其中正确的是____________．（把你认为正确结论的序号都填上）
31．已知，为数轴上从原点出发的两个动点，点每秒1个单位，点的速度为点的2倍，则当运动时间为4秒时，和两条线段的中点相距________个单位．
32．已知B是线段AD上一点，C是线段AD的中点，若AD＝10，BC＝3，则AB＝_____．
33．点M是线段的中点，点D是线段的一个三等分点，若，则_____．
34. 已知线段MN=16cm，点P为任意一点，那么线段MP与NP和的最小值是_____cm．
35．如图，，的中点与的中点的距离是，则______．
36．若线段，点是线段的三等分点，是线段的中点，则线段的长是________．
37．已知三点在同一直线上，,,点为线段的中点,则线段的长为__________.
38．线段，点在直线上，，则________．
39．已知线段，在的延长线上取一点，使，在的反向延长线上取一点，使，那么线段_______．
40．点A、B、C在同一直线上，AB＝9，AC＝2BC，则AC＝_____．
41．点在直线上，，点为中点，则的长为___________．
42．线段，在直线上截取线段，为线段的中点，为线段的中点，那么线段__________．
43．已知线段和在同一直线上，如果，，则线段和的中点之间的距离为______________．
44．已知线段AB=12,P是线段AB的三等点，Q是直线AB上一个动点，若AQ=PQ+BQ,则线段AQ的长为__________________
45．如图，、两点将线段分成三部分，为线段的中点，，则线段______.
46. 如图，线段OA=1，其中点记为，A的中点记为，A的中点记为，A的中点记为，如此继续下去……，则当时，O_______.
47．若点C为线段AB上一点，AB=12，AC=8，点D为直线AB上一点，M、N分别是AB、CD的中点，若MN=10，则线段AD的长为______．
48．如图，已知直线l上两点A、B（点A在点B左边），且AB=10cm，在直线l上增加两点C、D（点C在点D左边），作线段AD点中点M、作线段BC点中点N；若线段MN=3cm，则线段CD=______cm．
49．线段，是的中点，是的中点，是的中点，是的中点，依此类推……，线段的长为____.
三、解答题
50．如图，数轴上点，表示的有理数分别为，3，点是射线上的一个动点（不与点，重合），是线段靠近点的三等分点，是线段靠近点的三等分点．
（1）若点表示的有理数是0，那么的长为________；若点表示的有理数是6，那么的长为________；
（2）点在射线上运动（不与点，重合）的过程中，的长是否发生改变？若不改变，请写出求的长的过程；若改变，请说明理由．
51．如图，点是定长线段上一点，、两点分别从点、出发以1厘米/秒，2厘米/秒的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上）．
（1）若点、运动到任一时刻时，总有，请说明点在线段上的位置；
（2）在（1）的条件下，点是直线上一点，且，求的值；
（3）在（1）的条件下，若点、运动5秒后，恰好有，此时点停止运动，点继续运动（点在线段上），点、分别是、的中点，下列结论：①的值不变；②的值不变．可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值．
52．已知，一个点从数轴上的原点开始．先向左移动6cm到达A点，再从A点向右移动10cm到达B点，点C是线段AB的中点．
（1）点C表示的数是 ；
（2）若点A以每秒2cm的速度向左移动，同时C、B两点分别以每秒1cm、4cm的速度向右移动，设移动时间为t秒，
①运动t秒时，点C表示的数是 （用含有t的代数式表示）；
②当t＝2秒时，CB•AC的值为 ．
③试探索：点A、B、C在运动的过程中，线段CB与AC总有怎样的数量关系？并说明理由．
53．如图，射线上有三点、、，满足OA=30cm，AB=90cm，BC=15cm，点从点出发，沿方向以秒的速度匀速运动，点从点出发在线段上向点匀速运动，两点同时出发，当点运动到点时，点、停止运动.
(1)若点运动速度为秒，经过多长时间、两点相遇?
(2)当时，点运动到的位置恰好是线段OB的中点，求点的运动速度;
(3)当点运动到线段上时，分别取和的中点、，求的值.
参考答案
一、单选题
1． 解答：根据中点的意义，可知，，
依次规律可得，
∴；
故答案选D．
【点拨】本题主要考查了直线、射线、线段的有关计算，准确分析计算是解题的关键．
2.解答：由于OA＝4，所以第一次跳动到OA的中点A1处时，OA1＝OA＝×4＝2，
同理第二次从A1点跳动到A2处，离原点的（）2×4处，
同理跳动n次后，离原点的长度为（）n×4＝，
则2020次跳动后的点与点的距离是
故选：A．
【点拨】本题是一道找规律的题目，考查了两点间的距离，根据题意表示出各个点跳动的规律是解题关键．
3．【答案】D
解：①点位于线段上时，
∵，
∴,
∵点是线段的中点，
∴；
②位于线段的延长线上时，
∵
∴,
∵点是线段的中点，
∴；
综上所述，线段的长为2或6；
故选D．
【点拨】本题主要考查了线段的中点定理；仔细读懂题意“是直线上的一点”，明确本题点的位置有两个，是准确作答本题的关键．
4．【答案】B
解：由题意，设MB为2x，BC为3x，CN为4x，则MN为9x，
因为P是MN的中点，所以PC＝PN﹣CN＝MN﹣CN，
即：×9x﹣4x＝2，解得x＝4，所以MN＝4x＝36cm．
故选B．
【点拨】此题主要考查了线段的计算，由题目中的比例关系入手设未知量列方程求解是比较常见的题型，本题根据线段之间的关系得出等量关系列方程是解题的关键．
5．解：设，
∵，∴，
∵，∴，
∵E是AC中点，∴，
，，
∵F是BD中点，∴，
，解得．
故选：B．
【点拨】本题考查线段之间和差计算，解题的关键是设未知数帮助我们理顺线段与线段之间的数量关系，然后列式求解未知数．
6．A． B．
C． D．
解答：∵、是线段的三等分点，
∴，
∴，A选项正确；
，B选项错误；
，C选项正确；
，D选项正确；
故选B．
【点拨】本题考查三等分点的定义，掌握线段间的数量关系是关键．
7．解答：∵AB=12cm，C是AB的中点，
∴AC=BC=6cm.
当点D在A、C之间时，如图，
AD=AC-CD=6-2=4cm；
当点D在A、C之间时，如图，
AD=AC+CD=6+2=8cm；
故选C.
【点拨】本题考查了与线段中点有关的计算及分类讨论的数学思想，分两种情况进行计算是解答本题的关键.
8．解：∵，
∴设BC=2x，则AC=3x，
∵D为BC的中点，
∴CD=BD=x，
∵线段AB=15cm，
∴AC+BC=5x=15，
解得：x=3（cm），
∴AD=3x+x=4x=12（cm）．
故选：C．
【点拨】此题主要考查了两点之间的距离，正确表示出各线段长是解题关键．
9．解答：∵是线段的中点，
∴．故A选项正确；
又∵，
∴，故B选项正确；
．故C选项正确,D选项错误；
故选：D．
【点拨】解答本题根据图中各线段的关系进行求解，关键是根据点M是线段AB的中点，列出线段关系.
10．解答：①当点是绳子的对折点时，将绳子展开如图1．
∵，剪断后各段绳子中最长的一段为，
∴，，，
∴绳子的原长；
当点是绳子的对折点时，将绳子展开如图2．
∵，剪断后各段绳子中最长的一段为，
∴，，，
∴绳子的原长．
故选D．【点拨】在画图类问题中，正确画图很重要，本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解．
11．解：当A在线段BC上时，此时(厘米)；
当B在线段AC上时，此时(厘米)；
综上的长度为10厘米或30厘米．
故选：D．
【点拨】本题考查线段的和、差，注意分类讨论当A在线段BC上时以及当B在线段AC上时两种情况．
12．解：①当点C在线段AB上时，由线段的和差，得AC=AB-BC=8-4=4（cm），
由线段中点的定义，得AM=AC=×4=2（cm）；
②点C在线段BC的延长线上，由线段的和差，得AC=AB+BC=8+4=12（cm），
由线段中点的定义，得AM=AC=×12=6（cm）；
故选C．
【点拨】本题考查两点间的距离，利用了线段的和差，线段中点的定义；解题关键是进行分类讨论．
13．解：如图，当点C在线段AB的延长线上时，
∵点M是AB的中点，
∴BM＝AB=×7＝3.5(cm)，
∵N是BC的中点，
所以BN＝BC＝×3＝1.5(cm)
所以MN=BM+BN=3.5+1.5=5（cm）；
如图，当点C在线段AB上时，
∵点M是AB的中点
∴BM＝AB＝×7＝3.5(cm)
∵N是BC的中点，
∴BN＝BC＝×3＝1.5(cm)
∴MN=BM-BN=3.5-1.5=2（cm）．
故选C．
【点拨】此题主要考查了两点间的距离的求法，以及线段中点的特征和应用，要熟练掌握．
14．解：①如图所示
OB=5cm-OA，
∵OA=（AB+BC）÷2=4cm，
∴OB=1cm．
②如图所示
OB=AB-OA=5-（5-3）÷2=4cm，
故线段OB的长度是1cm或4cm，故选D．
【点拨】在未画图类问题中，正确画图很重要．所以能画图的一定要画图这样才直观形象，便于思维．
15．解答：要想4个人到工具箱的距离之和最短，据图可知：位置在A与B之间时，距离之和位置在B与C之间时，距离之和位置在C与D之间时，距离之和则工具箱在B与C之间时，距离之和最短．
故选A．
16.解：∵当停靠点在A区时，所有员工步行到停靠点路程和是：
15×100+10×300=4500m，
当停靠点在B区时，所有员工步行到停靠点路程和是：30×100+10×200=5000m，
当停靠点在C区时，所有员工步行到停靠点路程和是：30×300+15×200=12000m，
当停靠点在A、B区之间时，
设在A区、B区之间时，设距离A区x米，
则所有员工步行路程之和=30x+15（100-x）+10（100+200-x），
=30x+1500-15x+3000-10x，
=5x+4500，
∴当x=0时，即在A区时，路程之和最小，为4500米；
综上，当停靠点在A区时，所有员工步行到停靠点路程和最小，那么停靠点的位置应该在A区．
故选：A．
【点拨】本题主要考查了比较线段的长短，正确理解题意是解题的关键，要能把线段的概念在现实中进行应用，比较简单．
17.解答：①当PB的2倍最长时，则PB=30，
∴=20，
∴AB=AP+PB=50，
∴这条绳子的原长为：2AB=100；
②当AP的2倍最长时，则AP=30，
∵，
∴PB=45，
AB=AP+PB=75，
这条绳子的原长为：2AB=150．
综上所述，这条绳子的原长为：100或150．
故选：C．
【点拨】本题主要考查线段的和差倍分，理解题意，分类讨论，进行线段的和差运算，是解题的关键．
18．解：由于点B的位置不能确定，故应分四种情况讨论：
①当a＞b且点C在线段AB上时，如图1．
∵AC=a，BC=b，∴AB=AC+BC=a+b．
∵点M是AB的中点，∴AMAB=，
∴MC=AC﹣AM==．
②当a＞b且点C在线段AB的延长线上时，如图2．
∵AC=a，BC=b，∴AB=AC-BC=a-b．
∵点M是AB的中点，∴AMAB=，
∴MC=AC﹣AM==．
③当a＜b且点C在线段AB上时，如图3．
∵AC=a，BC=b，∴AB=AC+BC=a+b．
∵点M是AB的中点，∴AMAB=，
∴MC=AM﹣AC==．
④当a＜b且点C在线段AB的方向延长线上时，如图4．
∵AC=a，BC=b，∴AB=BC-AC=b-a．
∵点M是AB的中点，∴AMAB=，
∴MC=AC+AM==．
综上所述：MC的长为或（a＞b）或（a＜b），即MC的长为或．
故选D．
【点拨】本题考查了中点的定义，线段之间的和差关系，两点间的距离，掌握线段间的和差关系与分类讨论的数学思想是解题的关键．
19.解：∵M，N分别是线段AD，BC的中点，
∴AM=MD，CN=NB.
①∵AD=BM，
∴AM+MD=MD+BD，
∴AM=BD.
∵AM=MD，AB=AM+MD+DB，
∴AB=3BD.
②∵AC=BD，
∴AM+MC=BN+DN.
∵AM=MD，CN=NB，
∴MD+MC=CN+DN，
∴MC+CD+MC=CD+DN+DN，
∴MC=DN，
∴AM=BN.
③AC-BD=AM+MC-BN-DN=(MC-DN)+(AM-BN)=(MC-DN)+(MD-CN)=2(MC-DN)；
④AB-CD=AC+BD=AM+MC+DN+NB=MD+MC+DN+CN=MD+DN+MC+CN=2MN.
综上可知，①②③④均正确
故答案为：D
【点拨】本题主要考查线段长短比较与计算，以及线段中点的应用.
20．
解：∵，分别为的中点，
∴，
∵分别为的中点，
∴，
根据规律得到，
∴，故选A.
【点拨】本题是对线段规律性问题的考查，准确根据题意找出规律是解决本题的关键，相对较难.
21．解：设AC、BC的中点分别为E、F，
∵AC＝8cm，BC＝3cm，
∴CE＝AC＝4cm，CF＝BC＝1.5cm，
如图所示，当点B不在线段AC上时，EF＝CE+CF，
＝4+1.5，
＝5.5cm，
如图所示，当点B在线段AC上时，EF＝CE﹣CF，
＝4﹣1.5，
＝2.5cm，
综上所述，AC和BC中点间的距离为2.5cm或5.5cm．
故答案为：2.5cm或5.5cm
故选：D．
【点拨】对于没有给出图形的几何题，要考虑所有可能情况，分点B在不在线段AC上的两种情况，然后根据不同图形分别进行计算
22．解答：∵为的中点，BD=5cm，
∴BC=10cm，CD=5cm，
∵AB=12cm，
∴AD=7cm，AC=2cm，
①如图：当点E在线段AB上时，
∵AE=3，
∴DE=7-3=4cm，
②如图：当点E在线段BA的延长线上时，
∵AE=3cm，
∴DE=7+3=10cm.
故选D.
【点拨】此题考查了两点间的距离求解，解答本题的关键是分类讨论点E的位置，有一定难度，注意不要遗漏．
23．解答：∵点C是线段AD的中点，
∴AD=2AC=2CD，
∵2BD>AD，
∴BD> AC= CD，
A. CD=AD-AC> AD－ BD，该选项错误；
B. 由A得AD－ BD CD，则ADBD+CD=BC,则AB=AD+BD BC+ BD2BD，该选项错误；
C.由B得 AB2BD ，则BD+AD2BD,则ADBD,该选项错误；
D. 由A得AD－ BD CD，则ADBD+CD=BC, 该选项正确
故选D．
【点拨】本题考查的是两点间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键．
24．【解析】根据题意，由AC=DB，可知AC+CD=DB+CD，即AD=BC，而其余选项均无法判断.
故选：D.
25．解：（1）点C在线段AB上，如：
点M是线段AB的中点，点N是线段BC的中点，
MB=AB=5，BN=CB=4，
MN=BM-BN=5-4=1cm；
（2）点C在线段AB的延长线上，如：
点M是线段AB的中点，点N是线段BC的中点，
MB=AB=5，BN=CB=4，
MN=MB+BN=5+4=9cm，
故选D．
点拨：本题考查了两点间的距离. 解题的关键在于要利用分类讨论思想结合线段中点的性质、线段的和差进行解答．
二、填空题
26．
解：线段被点，分成三部分，
设，，，
，分别是，的中点，
，，
，
，
，
．
故答案为：14．
【点拨】本题考查了两点间的距离，利用了线段的和差，利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键．
27．解答：E，F分别是线段AC，BC的中点，由中点定义的CE=AC=3，CF=BC=4，
如图1，点C在线段AB上，
EF=CE+CF=AC+BC=3+4=7，
如图2，AC
EF=1或7．
故答案为：1或7．
【点拨】本题考查线段的和与差的长问题，掌握中点定义，会利用中点处理线段关系，会利用分类思想处理点C的位置，利用线段和与差解决问题是解题关键．
28．解：如图1，当点B在线段AC上时，
∵AB=8cm，BC=6cm，M，N分别为AB，BC的中点，
∴MB=AB=4，BN=BC=3，
∴MN=MB+NB=7cm，
如图2，当点C在线段AB上时，
∵AB=8cm，BC=6cm，M，N分别为AB，BC的中点，
∴MB=AB=4，BN=BC=3，
∴MN=MB-NB=1cm，
综上可知，M、N两点之间的距离为7cm或1cm，
故答案为：7cm或1cm．
【点拨】本题考查的是两点间的距离，掌握线段中点的定义、灵活运用数形结合思想、分情况讨论思想是解题的关键．
29．解答：①当C在线段AB延长线上时，如图1，
，
∵M、N分别为AB、BC的中点，
∴BM＝AB＝3，BN＝BC＝2；
∴MN＝5；
②当C在AB上时，如图2，
同理可知BM＝3，BN＝2，
∴MN＝1；
所以MN＝5或1，
故答案为：5或1．
【点拨】本题考查线段中点的定义，比较简单，注意有两种可能的情况；解答这类题目，应考虑周全，避免漏掉其中一种情况．
30．解：①∵点C是线段AB上的一个动点（不与A，B重合），点D，E，P分别是线段AC，BC，DE的中点，∴D、E随着C的运动而运动，点P随着D、E的运动而运动，因此，随着C的运动，D、P、E都在动，∴本选项正确；
②∵
∴当C点在AB中点左边（不含中点）运动时，由于AC
∴，即AB=2DE，∴本选项正确；
④由③可知，当AC=BC时，DC=EC，所以C为DE中点，
又P也为DE中点，∴点P与点C重合，∴本选项正确．
故答案为①③④．
【点拨】本题考查中点的应用，熟练掌握中点的意义和性质并灵活应用是解题关键．
31．解答：（1），同向运动
由题意得，
∴和两条线段的中点相距
（2），反向运动
由题意得，
∴和两条线段的中点相距
故答案为：和两条线段的中点相距2或6个单位．
【点拨】本题考查了线段的长度问题，掌握中点平分线段长度是解题的关键．
32.解：如图，∵C是线段AD的中点，
∴AC＝CD＝AD＝5，
∴当点B在中点C的左侧时，AB＝AC﹣BC＝2．
当点B在中点C的右侧时，AB＝AC+BC＝8．
∴AB＝2或8．
【点拨】本题考查线段中点的有关计算．注意此类题要分情况画图，然后根据中点的概念以及图形进行相关计算．
33．解：①若点D为靠近点A的三等分点，如图1所示
∵，点M是线段的中点，点D是线段的一个三等分点，
∴AM=，AD=
∴DM=AM－AD=3；
②若点D为靠近点B的三等分点，如图2所示
∵，点M是线段的中点，点D是线段的一个三等分点，
∴BM=，BD=
∴DM=BM－BD=3；
综上：DM=3
故答案为：3．
【点拨】此题考查的是线段的和与差，掌握分类讨论的数学思想和各线段的关系是解决此题的关键．
34.解答：①点P在线段MN上，
MP+NP=MN=16cm，
②点P在线段MN外，
当点P在线段MN的上部时，由两点之间线段最短可知：MP+NP > MN =16，
当点P在线段MN的延长线上时，MP+NP > MN =16.
综上所述：线段MP和NP的长度的和的最小值是16，此时点P的位置在线段MN上，
故答案为16.
【点拨】本题考查的知识点是比较线段的长短，解题的关键是熟练的掌握比较线段的长短.
35．解：设AB=2xcm，BC=3xcm，CD=4xcm，
∵M是AB的中点，N是CD的中点，
∴MB=xcm，CN=2xcm，
∴MB+BC+CN=x+3x+2x=3，
∴x=0.5，
∴3x=1.5，
即BC=1.5cm．
故答案为：1.5cm．
【点拨】本题考查了求两点之间的距离的应用，关键是能根据题意得出关于x的方程．
36．【答案】1cm或2cm
【分析】
根据M是AB的三等分点，可得AM的长，再根据线段中点的性质，可得答案．
【详解】
∵线段AB=6cm，若M是AB的三等分点，
∴AM=2，或AM=4．
∴当AM=2cm时，由N是AM的中点，得 ；
当AM=4cm时，由N是AM的中点，得；
故答案为：1cm或2cm．
【点拨】本题考查了两点间的距离，利用了三等分点的性质：M距A点近的三等分点，M距A点远的三等分点，以防漏掉．
37．解答：①当点C在BA的延长线上的时，
∵AB=2cm，，
∴BC=6cm，
∴AC=BC−AB=4cm，
∵点D是线段AC的中点，
∴AD=2cm，
∴BD=4cm；
②当C在AB的延长线上的时，
∵AB=2cm， ，
∴BC=6cm，
∴AC=8cm，
∵点D是线段AC的中点，
∴AD=4,
∴BD=2cm，
综上所述：线段BD的长为2cm或4cm，
故答案为：2cm或4cm．
【点拨】本题主要考查线段的和差倍分关系，根据题意，画出示意图，分类讨论，是解题的关键．
38．解：如图，当点C在B的左边时，
由AB=2，，所以，
所以：
如图，当点C在B的右边时，
由AB=2，，所以，
所以：
故答案为：2或6．
【点拨】本题考查的是线段的和差与倍分关系，同时需要建模，熟悉和差与倍分是基础，建模是关键．
39．解：∵AC=AB+BC=2BC，
∴AB=BC，
∴DA=2AB=2BC，
∴DB=DA+AB=3AB=3BC，
∴.
故答案为：．
【点拨】本题主要考查线段上两点间的距离，熟练掌握线段的和差并根据题意进行分析计算是解题的关键．
40．解答：①当点位于，中间时,如图：
∵，
∴
∴
②当点位于，中间时，如图：
∵，
∴
故答案为：或
【点拨】本题考查了线段的和差，由点的具体位置进行分类讨论并画出相应图形，可以更好的理解题意并正确解答．
41．解答：如图1，
∵BC=2，点C为BD中点，
∴BD=4，
∴AD=5-4=1；
如图2，
∵BC=2，点C为BD中点，
∴BD=4，
∴AD=5+4=9；
故答案为：1或9．
【点拨】本题考查的是两点间的距离，解答此题时要注意应用分类讨论的思想，不要漏解．
42．解：根据题意，
①当点C在线段AB上时；如图：
∵，，
又∵为线段的中点，为线段的中点，
∴，，
∴；
②当点C在线段AB的延长线上时；如图：
与①同理，可求，，
∴；
∴线段DE的长度为：1或2；
故答案为：1或2.
【点拨】本题考查了线段的中点，两点之间的距离，以及线段的和差关系，解题的关键是熟练掌握线段的中点，线段的和差关系进行解题.
43．解：此题有两种情况：
①当C点在线段AB上，此时AB=AC+BC，
而AC=5．6cm，BC=2.4cm，
∴AB=AC+BC=8cm，
∴线段AC和BC的中点之间的距离为 cm；
②当B点在线段AC上，此时AB=AC-BC，
而AC=5．6cm，BC=2.4cm，
∴AB=AC-BC=2.8cm，
∴线段AC和BC的中点之间的距离为cm．
故答案为：4 cm或1.6 cm．
【点拨】本题考查了比较线段的长短的知识，本题渗透了分类讨论的思想，要防止漏解．
44．解答：分点P是靠近点A的三分点和点P是靠近点B的三分点两种情况讨论：
（1）点P是靠近点A的三分点，
①当点Q在点B右侧时，
此时AP==4，
因为AQ=AP+PQ=PQ+BQ，
所以AP=BQ=4，
所以AQ=AB+BQ=12+4=16；
②当点Q在点B左侧时，
此时AP==4，
因为AQ=AP+PQ=PQ+BQ，
所以AP=BQ=4，
所以AQ=AB-BQ=12-4=8；
（2）点P是靠近点B的三分点，
①当点Q在点B右侧时，
此时AP==8，
因为AQ=AP+PQ=PQ+BQ，
所以AP=BQ=8，
所以AQ=AB+BQ=12+8=20；
②当点Q在点P左侧时，
此时AP==8，BP=4，
因为AQ=AP-PQ=PQ+BQ=BP+2PQ，
即8-PQ=4+2PQ，
解得PQ=，
所以AQ= AP-PQ =8-=；
故答案为：8、16、20、
【点拨】此题考查了线段的和差计算，对点P的位置以及点Q的位置分类讨论是解答此题的关键.
45． 解：设
∵
∴
解得：
∴
∵为线段的中点
∴
故答案为：1cm
【点拨】本题考点为两点之间的距离，熟练掌握线段的性质是解答本题的关键.
46.解答：∵线段OA=1，其中点记为，
∴A=OA=，
∴O=OA- A=1-OA=1-；
∵A的中点记为，
∴A=A=，
∴O=OA- A=1-；
∵A的中点记为，
∴A=A=,
∴O=OA-A=1-,
···
∴O1-=.
故答案为：.
【点拨】本题考查了与线段中点有关的计算，正确的找出规律是解决问题的关键.
47．解：有三种情况：
①当点D在线段AB上时，如图所示，MN≠10，与已知条件不符，故此种情况不成立；
②当点D在线段AB的延长线上时，如图所示，
∵M是AB的中点，AB=12，
∴AM＝6，
∵AC=8，
∴MC=2,
∵MN=10，
∴CN=MN-MC=10-2=8，
∵N是CD的中点，
∴CD=16,
∴AD=CD+AC=16+8=24;
②当点D在线段AB的反向延长线上时，如图所示，
∵M是AB的中点，AB=12，
∴AM＝6，
∵AC=8，
∴MC=2,
∵MN=10，
∴CN=MN+MC=10+2=12，
∵N是CD的中点，
∴CD=24,
∴AD=CD-AC=24-8=16.
故线段AD的长为16或24.
点拨：本题主要考查线段和、差及中点定义，利用分类讨论思想正确作图是解题的关键.
48．解答：如图，把直线放到数轴上，让点A和原点重合，则点A所对应的数为0，点B所对应的数是10，设点C所对应的数为、点D所对应的数为，
∵则点M是线段AD的中点，点N是线段BC的中点，
∴点M所对应的数是，点N所对应的数是，
∵MN=3，
∴（1）如图1，当点M在点N的左侧时，MN=，化简得：，由点C在点D的左侧可得：CD=；
（2）如图2，当点M在点N的右侧时，MN=，化简得：，由点C在点D的左侧可得：CD=.
点拨：（1）在数轴上任意两点A、B，若它们在数轴上所对应的数是，则线段AB的中点所对应的数是：；（2）在本题中，只限定了点C在点D的左侧，没有说明点M和点N的位置关系，因此要分点M在点N左侧和右侧两种情况讨论，不要忽略了其中任何一种情况.
49．解答：试题分析：根据中点的意义，可知:=AB，==×AB，……
由此可知其规律为：=，因此可知=AB，因此可求得=.
故答案为：.
三、解答题
50．
解：（1）若点P表示的有理数是0（如图1），则AP=6，BP=3．
∵M是线段AP靠近点A的三等分点，N是线段BP靠近点B的三等分点．
∴MP=AP=4，NP=BP=2，
∴MN=MP+NP=6；
若点P表示的有理数是6（如图2），则AP=12，BP=3．
∵M是线段AP靠近点A的三等分点，N是线段BP靠近点B的三等分点．
∴MP=AP=8，NP=BP=2，
∴MN=MP-NP=6．
故答案为：6；6．
（2）MN的长不会发生改变，理由如下：
设点P表示的有理数是a（a＞-6且a≠3）．
当-6＜a＜3时（如图1），AP=a+6，BP=3-a．
∵M是线段AP靠近点A的三等分点，N是线段BP靠近点B的三等分点．
∴MP=AP=（a+6），NP=BP=（3-a），
∴MN=MP+NP=6；
当a＞3时（如图2），AP=a+6，BP=a-3．
∵M是线段AP靠近点A的三等分点，N是线段BP靠近点B的三等分点．
∴MP=AP=（a+6），NP=BP=（a-3），
∴MN=MP-NP=6．
综上所述：点P在射线AB上运动（不与点A，B重合）的过程中，MN的长为定值6．
【点拨】本题考查了两点间的距离，解题的关键是：（1）根据三点分点的定义找出MP、NP的长度；（2）分-6＜a＜3及a＞3两种情况找出MP、NP的长度（用含字母a的代数式表示）．
51．【答案】（1）点P在线段AB的处；（2）或；（3）结论②的值不变正确，.
【分析】（1）设运动时间为t秒，用含t的代数式可表示出线段PD、AC长，根据，可知点在线段上的位置；
（2）由可知，当点Q在线段AB上时，等量代换可得，再结合可得的值；当点Q在线段AB的延长线上时，可得，易得的值.
（3）点停止运动时，，可求得CM与AB的数量关系，则PM与PN的值可以含AB的式子来表示，可得MN与AB的数量关系，易知的值.
【详解】
解：（1）设运动时间为t秒，则，
由得，即
，，，即
所以点P在线段AB的处；
（2）①如图，当点Q在线段AB上时，
由可知，
②如图，当点Q在线段AB的延长线上时，
，
综合上述，的值为或；
（3）②的值不变.
由点、运动5秒可得，
如图，当点M、N在点P同侧时，
点停止运动时，，
点、分别是、的中点，
当点C停止运动，点D继续运动时，MN的值不变，所以；
如图，当点M、N在点P异侧时，
点停止运动时，，
点、分别是、的中点，
当点C停止运动，点D继续运动时，MN的值不变，所以；
所以②的值不变正确，.
【点拨】本题考查了线段的相关计算，利用线段中点性质转化线段之间的和差倍分关系是解题的关键.
52．【答案】（1）-1；（2）①﹣1+t；②121；③线段CB与AC相等，理由详见解析．
【分析】
（1）依据条件即可得到点A表示﹣6，点B表示﹣6+10＝4，再根据点C是线段AB的中点，即可得出点C表示的数；
（2）依据点C表示的数为﹣1，点以每秒1cm的速度向右移动，即可得到运动t秒时，点C表示的数是﹣1+t；
②依据点A表示的数为﹣6﹣2×2＝﹣10，点B表示的数为4+4×2＝12，点C表示的数是﹣1+2＝1，即可得到CB•AC的值；
③依据点A表示的数为﹣6﹣2t，点B表示的数为4+4t，点C表示的数是﹣1+t，即可得到点A、B、C在运动的过程中，线段CB与AC相等．
【详解】
解：（1）∵一个点从数轴上的原点开始，先向左移动6cm到达A点，再从A点向右移动10cm到达B点，
∴点A表示﹣6，点B表示﹣6+10＝4，
又∵点C是线段AB的中点，
∴点C表示的数为＝﹣1，
故答案为：﹣1．
（2）①∵点C表示的数为﹣1，点以每秒1cm的速度向右移动，
∴运动t秒时，点C表示的数是﹣1+t，
故答案为：﹣1+t；
②由题可得，当t＝2秒时，点A表示的数为﹣6﹣2×2＝﹣10，点B表示的数为4+4×2＝12，点C表示的数是﹣1+2＝1，
∴当t＝2秒时，AC＝11，BC＝11，
∴CB•AC＝121，
故答案为：121；
③点A、B、C在运动的过程中，线段CB与AC相等．理由：
由题可得，点A表示的数为﹣6﹣2t，点B表示的数为4+4t，点C表示的数是﹣1+t，
∴BC＝（4+4t）﹣（﹣1+t）＝5+3t，AC＝（﹣1+t）﹣（﹣6﹣2t）＝5+3t，
∴点A、B、C在运动的过程中，线段CB与AC相等．
【点拨】本题考查数轴上动点问题，整式的加减,与线段有关的动点问题．（1）理解数轴上线段的中点表示的数是两个端点所表示的数的和除以2；（2）掌握数轴上两点之间的距离求解方法是解决问题的关键，数轴上两点之间对应的距离等于它们所表示的数差的绝对值．
53．【答案】（1）45s;（2）或 ;(3)2
【分析】
（1）设经过t秒时间P、Q两点相遇，列出方程即可解决问题；
（2）分两种情形求解即可；
（3）用t表示AP、EF的长，代入化简即可解决问题；
【详解】（1）设经过t秒时间P、Q两点相遇，
则t+2t=90+30+15，
解得t=45，
所以经过45秒时间P、Q两点相遇．
（2）①当P在线段AB上时，
∵AB=90，PA=2PB，
∴PA=60，PB=30，
∴OP=OA+AP＝30+60＝90，
∴点P、Q的运动时间为90秒，
∵AB=90，OA＝30，
∴OB＝120，
∴BQ=OB=60，
∴点Q的路程为CQ=CB+BQ＝15+60＝75，
∴点Q是速度为cm/秒；
②点P在线段AB延长线上时，
∵AB=90，PA=2PB，
∴BP=90,AP=180,
∴OP=OA+AP=30+180=210,
∴点P、Q的运动时间为210秒，
∵AB=90，OA＝30，
∴OB＝120，
∴BQ=OB=60，
∴点Q的路程为CQ=CB+BQ＝15+60＝75，
∴点Q是速度为cm/秒；
（3）如图所示：
∵E、F分别是OP、AB的中点，
∴OE=OP=t，
∴OF=OA+AB=30+45=75，
∴.
【点拨】本题考查两点间距离、路程、速度、时间之间的关系等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题.
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