高中数学人教版新课标A必修12.1.2指数函数及其性质第2课时学案设计

第2课时　指数函数及其性质的应用

问题导学

一、幂的大小比较

活动与探究1

比较下列各组数的大小：

(1)1.9－π与1.9－3；

(2)与0.70.3；

(3)0.7－1与.

迁移与应用

用“＞”或“＜”填空：

(1)－3.5________－1.2；(2)33.1________－2；

(3)1.51.3________3.1；(4)40.9________80.48.

活动与探究2

如果a－5x＞ax＋7(a＞0，且a≠1)，求x的取值范围．

迁移与应用

若0.71－x＞0.72x，则实数x的取值范围是________；若0.2x＞52x－1，则实数x的取值范围是__________．

(1)比较指数幂的大小，应根据所给指数幂的形式，选用单调性法或中间量法来求解．

(2)若a＞1，af(x)＞ag(x)⇔f(x)＞g(x)；

若0＜a＜1，af(x)＞ag(x)⇔f(x)＜g(x)．

二、求函数的定义域

活动与探究3

求下列函数的定义域：

(1)；(2)；(3)y＝.

迁移与应用

1．函数y＝3x－1的定义域是______；函数y＝－|x|的定义域是______；函数的定义域是______．

2．求函数y＝的定义域．

函数y＝af(x)(a＞0，且a≠1)的定义域与函数f(x)的定义域相同．

三、求函数的值域

活动与探究4

求下列函数的值域：

(1)y＝2x－2，x∈[－2,3]；(2)；

(3)；(4)y＝.

迁移与应用

1．函数y＝－|x|的值域是______．

2．函数y＝的值域是______．

3．求函数的值域．

当堂检测

1．已知a＝0.80.7，b＝0.80.9，c＝1.20.8，则a，b，c的大小关系是(　　)

A．a＞b＞c      B．b＞a＞c      C．c＞b＞a      D．c＞a＞b

2．函数y＝的值域是(　　)

A．[0，＋∞)      B．[0,4]      C．[0,4)      D．(0,4)

3．函数y＝的定义域是(　　)

A．(－∞，0]      B．[0，＋∞)      C．(－∞，2]      D．[2，＋∞)

4．不等式0.52x＞0.5x－1的解集为______(用区间表示)．

5．方程4x＋2x－2＝0的解是__________．

答案：

课前预习导学

预习交流1　思路分析：此函数是由指数函数及二次函数复合而成的函数，因此也可根据复合函数的单调性对其讨论．

解：函数的定义域为R，

令u＝x2－2x，则y＝u.列表如下：

由表可知，原函数在(－∞，1]上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数．

课堂合作探究

【问题导学】

活动与探究1　思路分析：底数相同的幂依据指数函数的单调性比较；底数不同且指数也不同的，可借助中间值比较．

解：(1)∵指数函数y＝1.9x在R上是增函数，且－π＜－3，∴1.9－π＜1.9－3.

(2)∵指数函数y＝0.7x在R上是减函数，且2－≈0.268＜0.3，

∴＞0.70.3.

(3)∵指数函数y＝0.7x在R上单调递减，且－1＜0，

∴0.7－1＞0.70＝1.

又∵指数函数y＝0.6x在R上单调递减，且＞0，

∴＜0.60＝1.

∴0.7－1＞.

迁移与应用　(1)＞　(2)＞　(3)＞　(4)＞

解析：(1)∵函数y＝x在R上是减函数，且－3.5＜－1.2，∴－3.5＞－1.2；

(2)∵函数y＝3x在R上是增函数，

又－2＝32，且3.1＞2，

∴33.1＞－2；

(3)∵1.5＞1,1.3＞0，∴1.51.3＞1.

而0＜＜1，且3.1＞0，

∴3.1＜1，∴1.51.3＞3.1；

(4)∵40.9＝21.8,80.48＝21.44，且函数y＝2x在R上是增函数，1.8＞1.44，

∴21.8＞21.44，即40.9＞80.48.

活动与探究2　思路分析：分0＜a＜1与a＞1两种情况，利用指数函数的单调性求解．

解：①当a＞1时，∵a－5x＞ax＋7，

∴－5x＞x＋7，解得x＜－.

②当0＜a＜1时，∵a－5x＞ax＋7，

∴－5x＜x＋7，解得x＞－.

综上所述，x的取值范围是：当a＞1时，x＜－；

当0＜a＜1时，x＞－.

迁移与应用　　

解析：∵0.7∈(0,1)，且0.71－x＞0.72x，

∴1－x＜2x，x＞.

∵0.2x＝x＝5－x，

∴原不等式化为5－x＞52x－1.

∵5＞1，∴－x＞2x－1，x＜.

活动与探究3　思路分析：根据函数式列出不等式(组)求定义域．

解：(1)要使函数式有意义，则x－4≠0，即x≠4.所以函数的定义域为(－∞，4)∪(4，＋∞)．

(2)要使函数式有意义，则x－2≥0，即x≥2.所以函数的定义域为[2，＋∞)．

(3)要使函数式有意义，则有1－3x－1≥0，即3x－1≤1＝30，∴x－1≤0，x≤1.∴函数y＝的定义域是(－∞，1]．

迁移与应用　1．R　R　(3，＋∞)

2．解：要使函数式有意义，则1－x≥0，即x≤1.

∴x≥0.所以该函数的定义域为[0，＋∞)．

活动与探究4　思路分析：求函数y＝af(x)的值域时，先求出f(x)的值域，再利用指数函数的单调性求解．

解：(1)∵－2≤x≤3，∴－4≤x－2≤1.

又∵2＞1，∴≤2x－2≤2.

所以该函数的值域为.

(2)∵≠0，∴≠1.

又＞0，所以该函数的值域为(0,1)∪(1，＋∞)．

(3)∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2，

又∈(0,1)，

∴0＜≤2＝.

∴函数的值域为.

(4)∵3x－1＞0，∴－3x－1＜0.

∴0≤1－3x－1＜1.

∴0≤y＜1.

即函数y＝的值域为[0,1)．

迁移与应用　1．[1，＋∞)

2．[0,2)　解析：∵2x－1＞0，∴0≤4－2x－1＜4.

∴0≤＜2.

3．解：∵－x2＋2x－2＝－(x－1)2－1≤－1，且∈(0,1)，

∴≥－1＝3.

∴函数的值域是{y|y≥3}．

【当堂检测】

1．D　解析：考察函数y＝0.8x，

∴0.80.9＜0.80.7＜1.

又1.20.8＞1，∴c＞a＞b.

2．C　解析：∵4x＞0，∴0≤16－4x＜16.

∴函数y＝的值域为[0,4)．

3．A　解析：由x－2－4≥0，得22－x≥22，

∴2－x≥2，x≤0.

4．(－∞，－1)　解析：∵0＜0.5＜1，

∴由0.52x＞0.5x－1得2x＜x－1，

即x＜－1.

5．x＝0　解析：令2x＝t，则方程4x＋2x－2＝0化为t2＋t－2＝0，

即(t＋2)(t－1)＝0，

∵t＝2x＞0，∴t＋2＞0.

∴t＝1，即2x＝1，x＝0.