专题16 函数的基本性质（2）-2020-2021学年新教材高一数学秋季辅导讲义（沪教2020）

专题16 函数的基本性质（2）

（函数的单调性）

知识梳理

1. 函数单调性的定义

 对于函数的定义域D内某个区间上的任意两个自变量的值，⑴若当<时，都有<,则说在这个区间上是增函数，对应的这个区间叫做函数的递增区间；⑵若当<时，都有>,则说在这个区间上是减函数，对应的这个区间叫做函数的递减区间。

注：①函数的单调区间是函数定义域的子集，在讨论函数的单调性的基础上不要忽略函数定义域的要求；

   ②一个函数有多个单调递增或递减区间时不能用“”连接；如的单调递减区间时和而不能写成。

2. 单调性证明四部曲

  ①任取,属于定义域，且令<；②作差－并变形，一般情况下是变形为几个式子乘积的形式； ③判断－的符号；④得出结论.

3. 复合函数的单调性：同增异减

 注：在解决复合函数单调性问题时不可忽略函数的定义域要求。

4. 单调性与奇偶性之间的关系

 奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反。

5. 单调性的其它等价形式

   ①对于任意的，都有，表示单调递增；

     对于任意的，都有，表示单调递减.

   ②对于任意的，都有，表示单调递增；

     对于任意的，都有，表示单调递减.

   ③若是奇函数，且对定义域内的任意（）都有

    恒成立，则在定义域内递增；

    恒成立，则在定义域内递减.

例题解析

一、单调性的概念及简单基本函数的单调性

【例1】设是定义在上的函数．

①若存在，当时、有成立，则函数在上单调递增；

②若存在，当时，有成立，则函数在上不可能单调递

减；

③若存在，对于任意，都有成立，则函数在上

单调递增；

④任意，当时，都有成立，则函数在上单调递减．

以上命题正确的序号是（   ）

（A）①③          （B）②③          （C）②④          （D）②

【例2】判断命题：

（1）已知均为上的单调递增函数，则是上单调递增函数；

（2）已知的定义域为，，为上的增函数。

（3）已知的定义域为，在上单调递增，则在上单调递增。

（4）偶函数一定不是单调函数。

【例3】定义在R上的函数f(x)的图像过点M（－6，2）和N（2，－6），且对任意正实数k，有f(x+k)< f(x)成立，则当不等式| f(x-t)+2|<4的解集为(－4,4)时，实数t的值为        .

【例4】写出下列函数对应的单调区间

（1）的递增区间是___________________，递减区间是____________________；

（2）的单调递增区间             ；

（3）的单调递增区间           

（4）的单调递增区间                .

【例5】已知函数，，且与的图像在轴上的截距相等，则函数的单调递增区间                

【例6】求的单调递增区间

【例7】已知是定义在上的增函数，且，试判断函数（）的单调性.

【巩固训练】

1.下列命题:(1)若是增函数，则是减函数;(2)若是减函数,则是减函数;(3)若是增函数, 是减函数,有意义,则为减函数,其中正确的个数有:（    ）

A.1            B.2　　　　　 　C.3　　　　　　　D.0

2、y =  2x＋1 ＋ 2－x  的递增区间是__________，递减区间是__________。

3. 已知，，则的单调递增区间           .

4.的单调递增区间                    

5.讨论函数在(-2,2)内的单调性.

二、定义法判断函数的单调性

【例8】证明是单调递增函数

【例9】已知函数，，． 当时，求证函数是单调函数．

【例10】讨论函数在区间上的单调性

【例11】证明在定义域上为减函数.

【巩固训练】

1.（1）判断在上的单调性，并证明。

  （2）研究函数＝＋（常数＞0）在定义域内的单调性，并说明理由；

2.已知均为上的单调递增函数，命题一：是上单调递增函数；命题二：是上单调递增函数；判断两个命题的正确性，若正确，给与证明；若不正确，请举反例，并增加条件，使之成为真命题。

三、分段函数单调性

【例12】已知函数,满足对任意,都有成立,则的取值范围是__________.

【例13】设、、是定义域为的三个函数，对于命题：若、、均为增函数，则、、中至少有一个增函数；这个命题是否正确？

【巩固训练】

1. 已知函数 若,使得成立,则实数的取值范围是_______.

2. 已知函数在R上递增，则m的取值范围是           .

四、单调性的应用

【例14】已知函数在区间(－∞，3)上是减函数，则的取值范围是 　    　　  .

【例15】函数= 在区间（-2，+∞）上为增函数，则的取值范围是          

【例16】已知，，在定义域上为增函数，求的取值范围

【例17】已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是               .

【例18】已知函数，若函数在上为增函数，求的取值范围

【例19】

（1）在区间上是增函数，求的取值范围。

（2）的单调递增区间是，求的取值范围。

【巩固训练】

1.函数在上是增函数，求的取值范围.

2.已知函数）.  

(1) 当时，画出此时函数的图象； (2)若函数在R上具有单调性，求的取值范围.

3.已知函数在上为增函数，求的取值范围.

4、

五、抽象函数单调性

【例20】已知偶函数在上是增函数，求不等式的解集。

【例21】定义在上的函数为减函数，求满足不等式的的值的集合

【例22】已知函数为定义在上递减的奇函数，求满足的实数m的取值范围。

【例23】已知函数的定义域为，且对任意正实数都有，且当时，。

（1）求证；

（2）求；

（3）解不等式

【例24】已知函数f(x)在(－1，1)上有定义，f()=－1,当且仅当0<x<1时f(x)<0,且对任意x、y∈(－1,1)都有f(x)+f(y)=f(),试证明：(1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(－1，1)上单调递减.

【巩固训练】

1.已知f(x)是R上的增函数，若令F(x)＝f(1－x)－f(1＋x)，则F(x)是R上的(　　)

A．增函数               B．减函数

C．先减后增的函数       D．先增后减的函数

2. 函数f (x) 是定义在（）上的偶函数且f (x) 在上是增函数，则f (), f () ,f (3) 的大小顺序是____________________________。

3.已知是定义在上的奇函数，且在上为增函数，若，则不等式的解集为                               

4.函数的图像如右图所示，，则函数的单调递减区间是    _______       .

5.函数f(x)对任意的m、n∈R，都有f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－1，并且x>0时，恒有f(x)>1．

(1)求证：f(x)在R上是增函数；

(2)若f(3)＝4，解不等式f(a2＋a－5)<2．

六、单调性综合问题

【例25】（黄浦区2013届高三一模理科17）若是上的奇函数，且在上单调递增，则下列结论：①是偶函数；②对任意的都有；③在上单调递增；④在上单调递增．其中正确结论的个数为（              ）

 A．1　 　　　　B．2　　　　C．3　　　　　 　D．4

【例26】已知函数，若，则实数m的取值范围是      .

【例27】（1）若为奇函数，且在（-∞，0）内递增，,则不等式的解集为_______________

       （2）定义在（-4，4）上的偶函数，且当时，单调递减，解不等式

【例28】在定义域上满足任意，

 （1）若在上递增，判断在定义域上单调性，并说明理由；

 （2）若在上递增，判断在定义域上单调性，并说明理由．

【例29】已知函数，对于有试比较与0的大小关系

【例30】已知函数是定义在上的奇函数，其中、且．

（1）求函数的解析式；

（2）判断函数在区间上的单调性，并用单调性定义证明你的结论；

（3）解关于的不等式．

【例31】函数对任意的都有，并且时恒有.

（1）求证：在R上是增函数；

（2）若解不等式.

【巩固训练】

1.已知二次函数。

（1）函数在上单调递增，求实数的取值范围；

（2）关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围；

（3）函数在上是增函数，求实数的取值范围。

反思总结

函数的单调性是函数的局部性质，一定是在函数定义域范围内讨论的，一个函数在整个定义域上可以不具有单调性，但函数还是存在单调区间的，注意当函数有多个单调区间的时候要用和将多个单调区间连起来；

对于有些题目中蕴含着复合函数的定义域要求，不要忽略，要考虑到复合函数定义域问题；对于单调性和奇偶性之间的关系要清楚。

课后练习

1.函数f(x)= x2+2(a－1)x+2在区间(－∞,4)上递减,则a的取值范围是(       )      

A.   B.        C. (－∞,5)      D.

2.下列命题中正确的命题是………………（    ）

（A）若存在，当时，有，则说函数在区间上是增函数；

（B）若存在（，当时，有，则说函数在区间上是增函数；

（C）函数的定义域为，若对任意的，都有，则函数在上一定是减函数；

（D）若对任意，当时，有，则说函数在区间上是增函数。

3.若奇函数f（x）在［a，b］上是增函数，且最小值是1，则f（x）在［－b，－a］上是（    ）

A、增函数且最小值是－1   B、增函数且最大值是－1

C、减函数且最小值是－1   D、减函数且最大值是－1

4.已知函数在上为增函数，求实数k的取值范围.

5.有下列几个命题：

①函数y=2x2+x+1在（0，＋∞）上不是增函数；②函数y=在（－∞，－1）∪（－1，＋∞）上是减函数；③函数y=的单调区间是［－2，+∞）；④已知f（x）在R上是增函数，若a+b＞0，则有f（a）+f（b）＞f（－a）+f（－b）。正确命题的序号是__________

6.函数的单调递减区间是___________

7.已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是                .

8.已知定义域为(－1，1)的奇函数y=f(x)又是减函数，且f(a－3)+f(9－a2)<0,则a的取值范围是(    )

A.(2，3)         B.(3，)

C.(2，4)         D.(－2，3)

9.已知是上的减函数，那么的取值范围是     

10.已知是定义在上的奇函数，且，若，，有成立；

（1）       判断在上的单调性，并证明你的结论；

（2）       解不等式；

11.偶函数在内是增函数，下列不等式一定成立的是（    ）

A．            B．

C．            D．

12.已知定义域为的奇函数，又是减函数，且，则的取值范围      

13..函数f(x)在R上为增函数，则y=f(|x+1|)的一个单调递减区间是_________.

14.求证函数f(x)=在区间(1，+∞)上是减函数