高中人教A版 (2019)4.3 对数导学案

这是一份高中人教A版 (2019)4.3 对数导学案，共7页。学案主要包含了学习过程，达标检测等内容，欢迎下载使用。

1.理解对数的运算性质．(重点)
能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数．(难点)
3.会运用运算性质进行一些简单的化简与证明．(易混点)
重点：对数的运算性质
难点：对数的运算性质的探究是教学的难点，突破这个难点的关键是抓住指数式与对数式之间的联系，启发学生进行转化。
1．对数
(1)指数式与对数式的互化及有关概念：
(2)底数a的范围是________________.
2.运算性质
3.换底公式
(a＞0，且a1；c＞0，且c1；b＞0)．
问题提出：在引入对数之后，自然应研究对数的运算性质．你认为可以怎样研究？
我们知道了对数与指数间的关系，能否利用指数幂运算性质得出相应的对数运算性质呢？
探究一：对数的运算性质
回顾指数幂的运算性质：
，，．
把指对数互化的式子具体化：
设，，
于是有．
根据对数的定义有：，，．
于是有对数的运算性质：
如果，且时，M>0，N>0，那么：
（1） ；（积的对数等于两对数的和）
（2） ；（商的对数等于两对数的差）
（3） ；（）．（幂的对数等于幂指数乘以底数的对数）
1．思考辨析
(1)积、商的对数可以化为对数的和、差．( )
(2)lga(xy)＝lgax·lgay.( )
(3)lg2(－3)2＝2lg2(－3)．( )
例1．求下列各式的值
（1）lg84＋lg82；（2）lg510－lg52 （3）lg2（47×25）
跟踪训练1 计算下列各式的值：
(1)eq \f(1,2)lg eq \f(32,49)－eq \f(4,3)lg eq \r(8)＋lg eq \r(245)；
(2)lg 52＋eq \f(2,3)lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2；
(3)eq \f(lg \r(2)＋lg 3－lg \r(10),lg 1.8).
探究二：换底公式
问题1：前面我们学习了常用对数和自然对数，我们知道任意不等于1的正数都可以作为对数的底，能否将其它底的对数转换为以10或为底的对数？
把问题一般化，能否把以为底转化为以为底？
探究：设，则，对此等式两边取以为底的对数，得到：
，根据对数的性质，有：，所以．
即．其中，且，，且．
公式 ；称为换底公式．
用换底公式可以很方便地利用计算器进行对数的数值计算．
问题2：在4.2.1的问题1中，求经过多少年B地景区的游客人次是2001年的2倍，就是计算 x=lg1.112 的值。
例3.尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震M之间的关系为
2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍（精确到1）？
跟踪训练2求值：
(1)lg23·lg35·lg516； (2)(lg32＋lg92)(lg43＋lg83)．
1．计算：lg153－lg62＋lg155－lg63＝( )
A．－2 B．0 C．1 D．2
2．计算lg92·lg43＝( )
A．4 B．2 C.eq \f(1,2) D.eq \f(1,4)
3．设10a＝2，lg 3＝b，则lg26＝( )
A.eq \f(b,a) B.eq \f(a＋b,a) C．ab D．a＋b
4． lg816＝________.
5．计算：(1)lg535－2lg5eq \f(7,3)＋lg57－lg51.8；
(2)lg2eq \r(\f(7,48))＋lg212－eq \f(1,2)lg242－1.
1.对数的运算法则。
2.利用定义及指数运算证明对数的运算法则。
3.对数运算法则的应用。
4.换底公式的证明及应用。
参考答案：
二、学习过程
思考辨析 1. [答案] (1)√ (2)× (3)×
例1.解：（1）lg84＋lg82＝lg88＝1.
（2）lg510－lg52＝lg55＝1
(3) lg2（47×25）= lg2219 =19
跟踪训练1[解] (1)原式＝eq \f(1,2)(5lg 2－2lg 7)－eq \f(4,3)·eq \f(3,2)lg 2＋eq \f(1,2)(2lg 7＋lg 5)
＝eq \f(5,2)lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋eq \f(1,2)lg 5
＝eq \f(1,2)lg 2＋eq \f(1,2)lg 5＝eq \f(1,2)(lg 2＋lg 5)＝eq \f(1,2)lg 10＝eq \f(1,2).
(2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2
＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.
(3)原式＝eq \f(\f(1,2)lg 2＋lg 9－lg 10,lg 1.8)＝eq \f(lg \f(18,10),2lg 1.8)＝eq \f(lg 1.8,2lg 1.8)＝eq \f(1,2).
例2.[解]
问题2：换底公式可得;x=lg1.112=lg2lg1.11，
利用计算工具，可得x=lg2lg1.11≈6.64≈7，
由此可得，大约经过7年，B地景区的
游客人次就达到2001年的2倍，类似地，可以求出游客人次是2001年的3倍，4倍，:…所需要的年数。
例3解:设里氏9.0级和里氏8.0级地震的能量分别为E1和E2
设里利用计算工具可得，
虽然里氏9.0级和里氏8.0级地震仅相差1级，但前者释放出的能量却是后者的约32倍。
跟踪训练2.[解] (1)原式＝eq \f(lg 3,lg 2)·eq \f(lg 5,lg 3)·eq \f(lg 16,lg 5)＝eq \f(lg 16,lg 2)＝eq \f(4lg 2,lg 2)＝4.
(2)原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(lg 2,lg 3)＋\f(lg 2,lg 9)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(lg 3,lg 4)＋\f(lg 3,lg 8)))
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(lg 2,lg 3)＋\f(lg 2,2lg 3)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(lg 3,2lg 2)＋\f(lg 3,3lg 2)))＝eq \f(3lg 2,2lg 3)·eq \f(5lg 3,6lg 2)＝eq \f(5,4)..
三、达标检测
1.【答案】B [原式＝lg15(3×5)－lg6(2×3)＝1－1＝0.]
2.【答案】D [lg92·lg43＝eq \f(lg 2,lg 9)·eq \f(lg 3,lg 4)＝eq \f(1,4).]
3.【答案】B [∵10a＝2，∴lg 2＝a，
∴lg26＝eq \f(lg 6,lg 2)＝eq \f(lg 2＋lg 3,lg 2)＝eq \f(a＋b,a).]
4.【答案】eq \f(4,3) [lg816＝lg2324＝eq \f(4,3).]
5【答案】(1)原式＝lg5(5×7)－2(lg57－lg53)＋lg57－lg5eq \f(9,5)
＝lg55＋lg57－2lg57＋2lg53＋lg57－2lg53＋lg55＝2.
(2)原式＝lg2eq \f(\r(7),\r(48))＋lg212－lg2eq \r(42)－lg22
＝lg2eq \f(\r(7)×12,\r(48)×\r(42)×2)＝lg2eq \f(1,2\r(2))＝lg22eq \s\up12(－\f(3,2))＝－eq \f(3,2).
条件
,且，
性质
(nR)