高中数学人教版新课标A必修3第一章 算法初步1.3 算法与案例教学设计

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几种常见的算法案例分析算法不仅是数学及其应用的重要的组成部分，也是计算机科学的重要基础，其中算法的重要思想在几种常见的算法例案中得以较好的体现。本文从几种常见算法案例出发，来探究一下算法的内涵。辗转相除法所谓辗转相除法，就是对于给定的两个数，用较大的数除以较小的数，若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽，则这时的较小的数就是原来两个数的最大公约数。写出求两个正数的最大公约数的一个算法。算法设计：第一步：输入两个正整数； 第二步：把的余数赋予； 第三步：如果，那么把赋予，把赋予，转到第二步；否则转到第四步； 第四步：输入最大公约数。 程序框图下图所示： YN开始 输入 r=mod(a,b)a=bb=rr=0输出结束用伪代码表示：input“a=,b=”；a,b do r=mod(a,b) a=b b=r loop until r=0 print b end更相减损术所谓更相减术，就是对于给定的两个数，以其中较大的数减去较小的数，然后将差和较小的数构成一对新数，再用较大的数减去较小的数，反复执行此步骤，直到差数和较小的数相等，此时相等的两个数就是原两个数的最大公约数。在我国古代的<<九章算术>>中有这样的描述“约分术曰：可半者半之，不可半者会置分母分子之数，以少减多，更相损减，求其等也，以等数约之。”意思是说如果分母、分子都是偶数，那么先除以2；如果不全是偶数，便将分子与分母互减，以少减多，直到得出最大公约数为止，用最大公约数约分子与分母，便可使分数最简。如果两个数都是偶数，也不除以2，直接求最大公约数。这是一种多么奇妙的方法啊，我们古代人在许多方面都比西方先进，这是值得我们自豪的。以上题为例，算法可以这样来设计：第一步：输入两个正整数；第二步：若不等于，则执行第三步；否则执行第五步；第三步：把的差赋予；第四步：如果，则把的值赋予，否则把的值赋予，执行第二步；第五步：输出最大公约数。程序框图如图(2)所示：用伪代码表示：input a,bwhile a<>b r=a-b if b>r then a=b b=r else a=r end if wendprint bend 秦九韶算法例2、写出，求多项式的值的一个算法。算法1：input “x”；x p= print “p”；p end 算法2：input “x”；x p= print “p”；p end 比较上述两种算法，我们可以看出算法2是较为方便的，这种算法就是“秦九韶算法”。其特点是：通过一次式的反复计算，逐步得出高次多项式的值，对于一个次多项式，只要做次乘法和次加法即可。例3、试描述给定的值，求多项式值的算法。分析：我们先看给定一个定值，求5次多项式函数值的例子。首先可以把多项式一步一步的改写： 上面分层计算：第一步：计算最内层的值，把的值赋给一个变量；第二步：计算的值，可以改写为直接插入排序法冒泡排序法希望同学们通过对上述算法案例的模仿、操作和探索的过程中，学习用数学语言描述算法 ，了解计算机科学与现实世界的联系，学会欣赏数学，提高自己学习数学的兴趣。