高中数学人教版新课标A必修31.3 算法与案例学案及答案

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中国古代算法案例（1）介绍中国古代算法的案例－韩信点兵－孙子问题；（2）用三种方法熟练的表示一个算法；（3）让学生感受算法的意义和价值．教学重点、难点:不定方程解法的算法．教学过程一、问题情境(韩信点兵-孙子问题)： 韩信是秦末汉初的著名军事家。据说有一次汉高祖刘邦在卫士的簇拥下来到练兵场，刘邦问韩信有什么方法，不要逐个报数，就能知道场上的士兵的人数。 韩信先令士兵排成3列纵队，结果有2个人多余；接着立即下令将队形改为5列纵队，这一改，又多出3人；随后他又下令改为7列纵队，这次又剩下2人无法成整行。 在场的人都哈哈大笑，以为韩信不能清点出准确的人数，不料笑声刚落，韩信高声报告共有士兵2333人。众人听了一愣，不知道韩信用什么方法这么快就能得出正确的结果的。同学们，你知道吗？背景说明:1．类似的问题最早出现在我国的《算经十书》之一的《孙子算经》中原文是：“今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？答曰：「二十三」”2．孙子算经的作者及确切的年代均不可考，不过根据考证，确切的年代不会在晋朝之後，以这个考证来说上面这种问题的解法，中国人发现得比西方早，所以这个问题的推广及其解法，被称为中国剩余定理。中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem）在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位；3．该问题的完整的表述，后来经过宋朝数学家秦九韶的推广，又发现了一种算法，叫做“大衍求一术”。在中国还流传着这么一首歌诀：                      三人同行七十稀，                      五树梅花廿一枝，                      七子团圆月正半，                      除百零五便得知。　　它的意思是说：将某数（正整数）除以3所得的余数乘以70，除以5所得的余数乘以21，除以7所得的余数乘以15，再将所得的三个积相加，并逐次减去105，减到差小于105为止。 所得结果就是某数的最小正整数值。用上面的歌诀来算《孙子算经》中的问题，便得到算式：        2×70+3×21+2×15=233，         233－105×2=23，即所求物品最少是23件。二.算法设计思想: “孙子问题”相当于求关于的不定方程组的的正整数解； 设所求的数为，根据题意应该同时满足下列三个条件：①被3除后余2，即；②被5除后余3，即；③被7除后余2，即；用自然语言可以将算法写为： 如果且且则执行,否则执行; 输出三.流程图和伪代码:输出且且开始结束 伪代码： DO Loop Until且且 Print 注：这里的解题的过程中运用的DO循环语句和课本上的解题略有区别请注意辨别！四、回顾小结：1．中国数学在世界数学史上的巨大贡献； 2．实际问题的分析和解决问题过程；3．算法的表示及语句的运用；五、课外作业：课本第31页第3题．高考资源网