高中数学人教版新课标A必修52.4 等比数列导学案

这是一份高中数学人教版新课标A必修52.4 等比数列导学案，共6页。学案主要包含了学习目标，自主学习，合作探究，课堂总结，检测巩固，学习反思等内容，欢迎下载使用。
等比数列一、学习目标：熟练掌握等差（比）数列的基本公式和一些重要性质，并能灵活运用性质解决有关的问题，培养对知识的转化和应用能力．二、自主学习：【课前检测】1.（2010年海淀二模12）已知数列满足，（N），则的值为             . 答案：48。2．首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是（ D ）A.d>              B.d<3             C.≤d<3         D.<d≤32.等比数列的判定：{an}为等比数列3.。       推广：解读：1）并非任何两数总有等比中项.仅当实数a,b同号时,实数a,b才存在等比中项,且同号两实数a,b的等比中项不仅存在,而且有一对为±, 也就是说,两实数要么没有等比中项(非同号时),如果有,必有一对(同号时).2）{an}为等比数列是an+12=an·an+2的充分但不必要条件.3）若证{an}不是等比数列，只需证ak2≠ak－1ak+1（k为常数，k∈N，且k≥2）.4．解题小技巧：三个数成等比的设法：；四个数成等比的错误设法：（是公比）。5.等比数列与函数1）等比数列的通项公式类似于的指数函数，即：，其中2）等比数列的前项和公式是一个平移加振幅的的指数函数，即：6.待定系数法：等比数列，设7.等比数列的定义、通项公式、求和公式、性质等 等  比  数  列定义通项公式．（） 求和公式 等比中项。推广：  重  要  性  质1若m、n、l、k∈N*，且m+n=k+l，则am·an=ak·al，反之不成立.特别地，。另：即：首尾颠倒相乘，则积相等2下标成等差数列且公差为m的项ak，ak+m，ak+2m，…组成的数列仍为等比数列，公比为qm.3成等比数列。 4{an}是等比数列，则{a}、{}也是等比数列．5增减性 为递增数列为递减数列为常数列；为摆动数列其 它 性 质1等比数列中连续相同项数的积组成的新数列是等比数列。2若数列{an}是等比数列，则数列{λ1an}（λ1为常数）是公比为q的等比数列；若{bn}也是公比为q2的等比数列，则{λ1an·λ2bn}（λ1、λ2为常数）也是等比数列，公比为q·q2.3若项数为，则；．三、合作探究：题型1   等比数列的基本运算例1   （1）已知等比数列{an}中，a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求项数n和公比q的值．（2）设等比数列{an}的公比为q(q>0)，它的前n项和为40，前2n项和为3280，且前n项中数值最大项为27，求首项、公比及项数n．解：（1）∵{an}是等比数列，∴a1·an＝a2·an－1，∴， 解得或若a1＝2，an＝64，则2·qn－1＝64    ∴qn＝32q，由Sn＝，q＝2，于是n＝6若a1＝64，an＝2，则64·qn－1＝2    ∴qn＝   由Sn＝q＝，n＝6（2）若q＝1，则na1＝40，2na1＝3280矛盾，∴ q≠1．∴ 两式相除得：qn＝81，q＝1＋2a1         又∵q>0，∴ q>1，a1>0∴ {an}是递增数列．          ∴ an＝27＝a1qn－1＝解得  a1＝1，q＝3，n＝4变式训练1  已知等比数列{an}中，a1·a9＝64，a3＋a7＝20，则a11＝     ．答案：64或1解：由  或  ∴ q2＝或q2＝2，∴ a11＝a7 q2，∴ a11＝64或a11＝1小结与拓展：1）方程的思想：等比数列中五个元素a1、an、n、q、Sn可以“知三求二”。a1与q是等比数列{an}中最活跃的两个基本量．2）在等比数列中，若公比q>0且q≠1时，可以用指数函数的单调性确定数列的最大项或最小项．3）在等比数列的求和公式中，当公比q≠1时，使用公式Sn＝；当q＝1时，使用公式Sn＝na1。若q的范围未确定时，应对q＝1和q≠1讨论求和．题型2   等比数列的性质例2   （1）在等比数列中，若，, 则公比       2（2）在等比数列中,若是方程的两根，则=____ 。5（3）若等比数列的前项和为，则常数的值等于（ D ）A．       B．        C．         D．（4）已知等比数列中，，，则前9项之和等于（ B ）A．50              B．70           C．80              D．90（5）设等比数列的前项和为，若，则=( B )  A．2       B．        C．        D．3（6）已知数列  。（7）若数列成等比数列，则的值为___2____．题型3   等比数列的判断与证明例3   （2010年东城二模19）已知数列的前项和为，，，设．证明数列是等比数列；证明：由于，       ①           当时，．  ②①②得 ．       所以．又，所以．因为，且，所以．所以．  故数列是首项为，公比为的等比数列．变式训练2   已知数列的前项和为，且，.（1）求的值；（2）求数列的通项公式；解：（1）∵，∴， ，， （2）∵，∴，∴，又，∴数列自第项起是公比为的等比数列.∴ 小结与拓展： {an}为等比数列题型4   等比数列的综合应用例4   数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}中，b1=a1，bn=an－an－1（n≥2），若an+Sn=n.（1）设cn=an－1，求证：数列{cn}是等比数列；（2）求数列{bn}的通项公式.证明：（1）∵a1=S1，an+Sn=n，∴a1+S1=1，得a1=.又an+1+Sn+1=n+1，两式相减得2（an+1－1）=an－1，即=，也即=，故数列{cn}是等比数列.解：（2）∵c1=a1－1=－，∴cn=－，an=cn+1=1－，an－1=1－.故当n≥2时，bn=an－an－1=－=.又b1=a1=，即bn=（n∈N*）.变式训练3  在数列中，， .（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）证明：数列是等比数列，并求的通项公式。解：（Ⅰ）， ，，   .       证明：（Ⅱ）， 数列是首项为，公比为的等比数列. ，  即， 的通项公式为 . 小结与拓展：可以构造等比数列来求非等比数列的通项公式。四、课堂总结：1．解决等比数列有关问题的常见思想方法：（1）方程的思想：等比数列中五个元素a1、an、n、q、Sn可以“知三求二”，有时灵活地运用性质，可使运算简便。；（2）分类讨论的思想：分类讨论的思想在本章尤为突出.学习时考虑问题要全面，如等比数列求和要注意q=1和q≠1两种情况等等.2．证明数列{an}是等差数列的两种基本方法是：（1）利用定义，证明（n≥2）为常数；（2）利用等比中项，即证明an2=an－1·an+1（n≥2）.3．通过解题后的反思，找准自己的问题，总结成功的经验，吸取失败的教训，增强解综合题的信心和勇气，提高分析问题和解决问题的能力．五、检测巩固： 1．若数列（*）是等差数列，则有数列（*）也为等差数列，类比上述性质，相应地：若数列是等比数列，且（*），则有（*）也是等比数列．2．设和分别为两个等差数列的前项和，若对任意，都有 ，则第一个数列的第项与第二个数列的第项的比是． 说明：．  六、学习反思：