高中数学人教版新课标A选修2-1第三章 空间向量与立体几何综合与测试学案设计

空间向量的应用

知识点一：利用空间向量证明平行、垂直关系

例1：如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,PC=2,在四边形ABCD中,∠B=∠C=90°,AB=4,CD=1,点M在PB上,PB=4PM,PB与平面ABCD成30°的角.

(1)求证:CM∥平面PAD;(2)求证:平面PAB⊥平面PAD.

练习1：已知直四棱柱ABCD—A’B’C’D’,四边形ABCD为正方形，AA’=2AB=2，E为棱CC’的中点。（1）求证：A’E⊥平面BDE；（2）设F为AD中点，G为棱BB’上一点，且BG=BB’，求证：FG//平面BDE

例2：在正方体ABCD—A1B1C1D1中的上底面上叠放三棱柱A1D1M-B1C1N，

该几何体的正视图与侧视图如图所示。（1）若DB1⊥A1M，求实数a的值；

（2）在（1）的基础上，求证：A1C⊥平面NB1D1

练习2：已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的底面为正方形，O1、O分别为上、下底面的中心，且A1在底面ABCD上射影为O，（1）求证：平面O1DC⊥平面ABCD

（2）       若点E、F分别在棱AA1、BC上，且AE=2EA1，问点F在何处时，EF⊥AD？

空间向量的应用二（11月22日）

知识点二：利用空间向量求角

例3：如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1上的点，CF＝AB＝2CE，AB∶AD∶AA1＝1∶2∶4.(1)求异面直线EF与A1D所成角的余弦值 (2)求证：AF⊥平面A1ED；（3）求A1A与面A1ED所成角的正弦值(4)求二面角A1－ED－F的正弦值.

练习3已知四棱锥P－ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD的中点.(1)求证：PE⊥BC；(2)若∠APB＝∠ADB＝60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值.

练习4： 如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EF∥AB，EF⊥FB，AB＝2EF，∠BFC＝90°，BF＝FC，H为BC的中点.(1)求证：FH∥平面EDB；(2)求证：AC⊥平面EDB；

(3)求二面角B－DE－C的大小.

练习5：已知ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝AD＝2.(1)求PC与平面PBD所成的角；(2)在线段PB上是否存在一点E，使PC⊥平面ADE？若存在，确定E点的位置；若不存在，说明理由.

空间向量的应用三（11月23日）

知识点三:利用空间向量求距离

例4：如图，在三棱锥中，，，，．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的余弦的大小；（Ⅲ）求点到平面的距离．

例5：在长方体ABCD－A1B1C1D1 中，AB=4,BC=3,.(1)求证：平面；（2）求（1）中两个平行平面间的距离。

练习6：如图，已知正方体的棱长为2，点Ｅ是正方形的中心，点F、G分别是棱的中点．设点分别是点E、G在平面内的正投影．（1）求以E为顶点，以四边形在平面内的正投影为底面边界的棱锥的体积；（2）证明：直线；（3）求异面直线所成角的正弦值