2021学年第三章 空间向量与立体几何综合与测试同步训练题

这是一份2021学年第三章 空间向量与立体几何综合与测试同步训练题，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

模块质量检测（B）
(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订)
(考试时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列说法错误的是(　　)
A．如果命题“¬p”与命题“p∨q”都是真命题，那么命题q一定是真命题
B．命题“若a＝0，则ab＝0”的否命题是：“若a≠0，则ab≠0”
C．若命题p：∃x0∈R，x02＋2x0－3<0，则¬p：∀x∈R，x2＋2x－3≥0
D．“sin θ＝”是“θ＝30°”的充分不必要条件
解析：　显然由sin θ＝不能推出θ＝30°.
答案：　D
2．已知命题p：存在x∈R，使tan x＝1，命题q：x2－3x＋2<0的解集是{x|1 A．②③　　　　　　　　　　 B．①②④
C．①③④ D．①②③④
解析：　命题p、q都是真命题，所以p∩q为真命题，p∩¬q是假命题，¬p或q是真命题，¬p或¬q是假命题，故选D.
答案：　D
3．已知两定点F1(5,0)，F2(－5,0)，曲线上的点P到F1，F2的距离之差的绝对值是6，则该曲线的方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：　|PF1|－|PF2|＝6|F1F2|，
∴P点的轨迹为双曲线2a＝6,2c＝10，b2＝c2－a2＝16.
答案：　A
4．“a＝3”是“直线ax＋2y＋3a＝0和直线3x＋(a－1)y＝a－7”平行且不重合的(　　)
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：　a＝3⇒直线ax＋2y＋3a＝0与直线3x＋(a－1)y＝a－7平行且不重合；由两直线平行且不重合得＝≠⇒a＝3.故选C.
答案：　C
5．命题“若a>b，则ac A．4 B．3
C．2 D．0
解析：　原命题为假，逆命题为假，否命题及逆否命题也为假．
答案：　D
6．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点P(m，－2)到焦点的距离为4，则m的值为(　　)
A．4 B．－2
C．4或－4 D．12或－2
解析：　设抛物线标准方程为x2＝－2py(p>0)，由抛物线的定义知点P到准线的距离为4，故＋2＝4，∴p＝4.
∴抛物线方程为x2＝－8y，代入点P坐标得m＝±4，故选C.
答案：　
7．若△ABC中，∠C＝90°，A(1,2，－3k)，B(－2,1,0)，C(4,0，－2k)，则k的值为(　　)
A. B．－
C．2 D．±
解析：　＝(－6,1,2k)，＝(－3,2，－k)，
则·＝(－6)×(－3)＋2＋2k×(－k)
＝－2k2＋20＝0，
∴k＝±.
答案：　D
8．已知＝(1,2,3)，＝(2,1,2)，＝(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当·取得最小值时，点Q的坐标为(　　)
A. B.
C. D.
解析：　设Q(x，y，z)，因Q在上，
故有∥，可得：x＝λ，y＝λ，z＝2λ，
则Q(λ，λ，2λ)，＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，
＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，
所以·＝6λ2－16λ＋10＝62－，
故当λ＝时，·取最小值，此时Q，故选C.
答案：　C
9．椭圆短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形，则椭圆的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：　焦距为2c，短轴长为2b，由已知：2c＝，
∴b＝3c，又a2＝b2＋c2＝9c2＋c2＝10c2，
∴e＝＝.
答案：　A
10．给出下列四个命题，其中真命题为(　　)
①“∃x∈R，使得x2＋1>3x”的否定是“∀x∈R，都有x2＋1≤3x”；
②“m＝－2”是“直线(m＋2)x＋my＋1＝0与直线(m－2)x＋(m＋2)y－3＝0相互垂直”的必要不充分条件；
③设圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)与坐标轴有4个交点，分别为A(x1,0)，B(x2,0)，C(0，y1)，D(0，y2)，则x1x2－y1y2＝0；
④函数f(x)＝sin x－x的零点个数有3个．
A．①④ B．②④
C．①③ D．②③
解析：　①正确；
m＝－2⇒两条直线垂直，而两直线垂直推不出m＝－2，
∴m＝－2是这两条直线垂直的充分非必要条件，②错误；
令y＝0，x2＋Dx＋F＝0得，x1x2＝F，
令x＝0，y2＋Ey＋F＝0，得y1y2＝F，
∴x1x2－y1y2＝0，③正确；④错误．
答案：　C
11．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为DD1的中点，O为正方形ABCD的中心，P为棱A1B1上任一点，则异面直线OP与MA所成的角为(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析：　

如图所示，建立直角坐标系，设正方体棱长为1，则O，P(1，y,1)，A(1,0,0)，M，
∴＝，
＝，
∴·＝0，
∴OP与MA所成的角为90°.
答案：　D
12．设F1，F2是双曲线x2－4y2＝4a(a＞0)的两个焦点，点P在双曲线上，且满足1·2＝0，|1|·|2|＝2，则a的值为(　　)
A．2 B.
C．1 D.
解析：　双曲线方程化为－＝1(a＞0)，
∵1·2＝0，∴PF1⊥PF2.
∴||2＋||2＝4c2＝20a，①
由双曲线定义|1|－|2|＝±4，②
又已知：|||2|＝2，③
由①②③得：20a－2×2＝16a，∴a＝1.
答案：　C
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，请把正确答案填在题中的横线上)
13．已知AB是过椭圆＋＝1左焦点F1的弦，且|AF2|＋|BF2|＝12，其中F2是椭圆的右焦点，则弦AB的长是________．
解析：　由椭圆定义|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝4a＝20，
得|AB|＝8.
答案：　8
14．设命题p：|4x－3|≤1，命题q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0.若¬p是¬q的必要而不充分条件，则实数a的取值范围是________．
解析：　由已知p：－1≤4x－3≤1，∴≤x≤1，
q：a≤x≤a＋1，又¬p⇐¬q，
∴p⇒q，即，由此可知0≤a≤.
答案：　
15．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为u＝(－2,0，－4)，则直线与平面的位置关系是________．
解析：　a·u＝(1,0,2)·(－2,0，－4)＝－2－8＝－10
∴直线l与平面α不平行，a＝－u
∴a∥u
直线l与平面α垂直．
答案：　垂直
16．已知命题p：m≥1，命题q：2m2－9m＋10＜0，若p，q中有且仅有一个为真命题，则实数m的取值范围是________．
解析：　q：2＜m＜，由题意p真q假
∴1≤m≤2或m≥.
答案：　[1,2]∪
三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分12分)已知a>0，设p：函数y＝ax在R上单调递减，q：不等式x＋|x－2a|>1的解集为R.若p∧q为假，p∨q为真，求a的取值范围．
解析：　由函数y＝ax在R上单调递减知0 ∴若p真，则0 不等式x＋|x－2a|>1的解集为R，
即y＝x＋|x－2a|在R上恒大于1，
又因为x＋|x－2a|＝，
∴函数y＝x＋|x－2a|在R上的最小值为2a，
故要使解集为R，只需2a>1，∴a>.
∴若q真，则a>.又∵p∨q为真，p∧q为假，
∴p与q一真一假．
若p真q假，则0 故a的取值范围为0 18．(本小题满分12分)抛物线y＝－与过点M(0，－1)的直线l相交于A，B两点，O为原点，若OA和OB的斜率之和为1，求直线l的方程．
解析：　显然直线l垂直于x轴不合题意，故设所求的直线方程为y＝kx－1.代入抛物线方程化简，得x2＋2kx－2＝0.
由根的判别式Δ＝4k2＋8＝4(k2＋2)>0，于是有k∈R.
设点A的坐标为(x1，y1)，点B的坐标为(x2，y2)，
则＋＝1.　　　　　　　①
因为y1＝kx1－1，y2＝kx2－1，
代入①，得2k－＝1. ②
又因为x1＋x2＝－2k，x1x2＝－2，代入②得k＝1.
所以直线l的方程为y＝x－1.
19．(本小题满分12分)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的一个顶点为A(0,1)，离心率为，过点B(0，－2)及左焦点F1的直线交椭圆于C，D两点，右焦点设为F2.
(1)求椭圆的方程；
(2)求△CDF2的面积．
解析：　(1)易得椭圆方程为＋y2＝1.
(2)∵F1(－1,0)，
∴直线BF1的方程为y＝－2x－2，
由得9x2＋16x＋6＝0.
∵Δ＝162－4×9×6＝40＞0，
所以直线与椭圆有两个公共点，
设为C(x1，y1)，D(x2，y2)，
则
∴|CD|＝|x1－x2|＝·
＝·＝，
又点F2到直线BF1的距离d＝，
故S△CDF2＝|CD|·d＝.
20．(本小题满分12分)三棱柱ABC－A1B1C1，∠BCA＝90°，AC＝BC＝2，A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，又知BA1⊥AC1.
(1)求证：AC1⊥平面A1BC；
(2)求二面角A－A1B－C的余弦值．
解析：　(1)证明：如图，
设A1D＝t(>0)，取AB的中点E，则DE∥BC，因为BC⊥AC，
所以DE⊥AC，又A1D⊥平面ABC，以DE，DC，DA1为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A(0，－1,0)，C(0，1,0)，B(2,1,0)，A1(0,0，t)，C1(0,2，t)，＝(0,3，t)，＝(－2，－1，t)，
＝(2,0,0)，
由·＝0，知A1C⊥CB，
又BA1⊥AC1，BA1∩CB＝B，从而AC1⊥平面A1BC；
(2)由·＝－3＋t2＝0，得t＝.
设平面A1AB的法向量为n＝(x，y，z)，＝(0,1，)，
＝(2,2,0)，
所以，设z＝1，则n＝(，－，1)．
再设平面A1BC的法向量为m＝(u，v，w)，
＝(0，－1，)，＝(2,0,0)，
所以，设w＝1，则m＝(0，，1)，
故cos〈m，n〉＝＝－，
因为二面角A－A1B－C为锐角，所以可知二面角A－A1B－C的余弦值为.
21．(本小题满分12分)设p：实数x满足x2－4ax＋3a2＜0，其中a＜0，q：实数x满足x2－x－6≤0或x2＋2x－8＞0，且¬p是¬q的必要不充分条件，求a的取值范围．
解析：　设A＝{x|p}＝{x|x2－4ax＋3a2＜0(a＜0)}
＝{x|3a＜x＜a(a＜0)}，
B＝{x|q}＝{x|x2－x－6≤0或x2＋2x－8＞0}
＝{x|x2－x－6≤0}∪{x|x2＋2x－8＞0}
＝{x|－2≤x≤3}∪{x|x＜－4或x＞2}
＝{x|x＜－4或x≥－2}．
∵¬p是¬q的必要不充分条件，
∴¬q⇒¬p，且¬p⇒/ ¬q，
∴{x|－4≤x＜－2}{x|x≤3a或x≥a(a＜0)}，
则或
即－≤a＜0或a≤－4.
22．(本小题满分14分)如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD.

(1)证明：PA⊥BD；
(2)若PD＝AD，求二面角A－PB－C的余弦值．
解析：　(1)证明：因为∠DAB＝60°，AB＝2AD，
由余弦定理得BD＝AD.
从而BD2＋AD2＝AB2，故BD⊥AD.
又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD.
所以BD⊥平面PAD，故PA⊥BD.
(2)

如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴，建立空间直角坐标系D－xyz，则A(1,0,0)，B(0，，0)，C(－1，，0)，P(0,0,1).＝(－1，，0)，＝(0，，－1)，＝(－1,0,0)，
设平面PAB的法向量为n＝(x，y，z)，则
即
因此可取n＝(，1，)．
设平面PBC的法向量为m，则
可取m＝(0，－1，－)，cos〈m·n〉＝＝－.
故二面角A－PB－C的余弦值为－.