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    人教版新课标A选修2-1第三章 空间向量与立体几何综合与测试同步训练题

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    这是一份人教版新课标A选修2-1第三章 空间向量与立体几何综合与测试同步训练题,共17页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

     www.ks5u.com章末综合测评() 空间向量与立体几何

    (时间120分钟满分150)

    一、选择题(本大题共12小题每小题560分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的)

    1与向量a(132)平行的一个向量的坐标是(  )

    A.    B(132)

    C.  D.

    【解析】 a(132)=-2.

    【答案】 C

    2在正方体ABCD­A1B1C1D1xy()(  )

    Ax1y Bx1y

    Cxy1 Dx1y

    【解析】 

    ()

    x1y.应选D.

    【答案】 D

    3已知A(241)B(151)C(341)D(000)abab(  )

    A(592) B(592)

    C(592) D(592)

    【解析】 a(102)b(490)

    ab(592)

    【答案】 B

    4在平行六面体ABCD­A1B1C1D1a2b3cabc的值等于(  ) 导学号:18490123

    A. B.

    C. D

    【解析】 a2b3ca1bc=-.abc=-.

    【答案】 D

    5在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1下列结论不正确的是(  )

    A.=- B.·0

    C.·0  D.·0

    【解析】 如图B1D1ABC选项均正确.

    【答案】 D

    6已知向量ab是平面α内的两个不相等的非零向量非零向量c在直线lc·a0c·b0lα(  )

    A充分不必要条件 B必要不充分条件

    C充要条件 D既不充分也不必要条件

    【解析】 lαl垂直于α内的所有直线从而有c·a0c·b0.反之由于ab是否共线没有确定若共线则结论不成立;若不共线则结论成立.

    【答案】 B

    7已知ABC的三个顶点为A(332)B(437)C(051)BC边上的中线长为(  )

    A2   B3 

    C4    D5

    【解析】 BC的中点为DD(214)

    (122)

    ||3BC边上的中线长为3.

    【答案】 B

    8若向量a(x45)b(122)ab的夹角的余弦值为x(  )

    A3 B3

    C11 D3或-11

    【解析】 因为a·b(x45)·(122)x810x2ab的夹角的余弦值为所以解得x3或-11(舍去)故选A.

    【答案】 A

    9.如图1在长方体ABCD­A1B1C1D1ABBC2AA11BC1与平面BB1D1D所成的角的正弦值为(  )

    1

    A. B.

    C.  D.

    【解析】 D点为坐标原点DADCDD1所在的直线为x轴、y轴、z建立空间直角坐标系(图略)A(200)B(220)C(020)C1(021)

    (201)(220)为平面BB1D1D的一个法向量.

    cos〉=.

    sin1〉=|cos1|

    BC1与平面BB1D1D所成的角的正弦值为.

    【答案】 D

    10已知正四棱柱ABCD­A1B1C1D1AA12ABCD与平面BDC1所成角的正弦值等于(  )

    A. B.

    C.  D.

    【解析】 D为坐标原点建立空间直角坐标系如图AA12AB2D(000)C(010)B(110)C1(012)(010)(110)(012).设平面BDC1的法向量为n(xyz)nn所以有y=-2得平面BDC1的一个法向量为n(221).设CD与平面BDC1所成的角为θsin θ|cosn|.

    【答案】 A

    11已知正方体ABCD­A1B1C1D1若点F是侧面CD1的中心mnmn的值分别为(  )

    A. B

    C  D.

    【解析】 由于()所以mn=-故选A.

    【答案】 A

    12在矩形ABCDAB3AD4PA平面ABCDPA那么二面角A­BD­P的大小为(  )

    A30° B45°

    C60° D75°

    【解析】 如图所示建立空间直角坐标系

    (340)

    n(xyz)为平面PBD的一个法向量

    x1,则n.

    n1为平面ABCD的一个法向量

    cosn1n〉=.所求二面角为30°.

    【答案】 A

    二、填空题(本大题共4小题每小题520将答案填在题中的横线上)

    13a(2x13)b(12y9)ab为共线向量x________y________. 导学号:18490124

    【解析】 由题意得xy=-.

    【答案】  -

    14ABC的三个顶点坐标分别为A(00)BC(10, )则角A的大小为________

    【解析】 (100)cos A故角A的大小为30°.

    【答案】 30°

    15在空间直角坐标系Oxyz已知A(123)B(211)若直线AB交平面xOz于点C则点C的坐标为________

    【解析】 设点C的坐标为(x0z)(x12z3)(134)因为共线所以解得所以点C的坐标为.

    【答案】 

    16.如图2在四棱锥S­ABCD底面ABCD是边长为1的正方形SABCD的距离都等于2.

    2

    给出以下结论:000···0其中正确结论的序号是________

    【解析】 容易推出:0所以正确;又因为底面ABCD是边长为1的正方形SASBSCSD2所以·2×2cosASB·2×2cosCSDASBCSD于是··因此正确;其余三个都不正确故正确结论的序号是③④.

    【答案】 ③④

    三、解答题(本大题共6小题70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤)

    17如图3四边形ABCD为正方形PD平面ABCDPDQAQAABPD.

    3

    (1)证明:平面PQC平面DCQ

    (2)证明:PC平面BAQ.

    【证明】 如图D为坐标原点线段DA的长为单位长射线DAx轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz.

    (1)依题意有Q(110)C(001)P(020)(110)(001)(110)所以·0·0

    PQDQPQDCDQDCD.

    PQ平面DCQ.

    PQ平面PQC所以平面PQC平面DCQ.

    (2)根据题意(100)(001)(010)故有·0·0所以为平面BAQ的一个法向量.

    又因为(021)·0DAPCPC平面BAQ故有PC平面BAQ.

    18. (本题满分12)如图4在直三棱柱ABC­A1B1C1ABC90°ABBC1AA1求异面直线BA1AC所成角的余弦值.

    4

    【解】 因为

    ··

    ·0

    所以·()·()

    ·2··

    =-1.

    ||||

    所以cos〉=

    =-

    则异面直线BA1AC所成角的余弦值为.

    19. (本小题满分12)如图5AB是圆的直径PA垂直圆所在的平面C是圆上的点.

    5

    (1)求证:平面PBC平面PAC

    (2)AB2AC1PA1求二面角C­PB­A的余弦值.

    【解】 (1)证明:AB是圆的直径ACBC

    PA平面ABCBC平面ABCPABC.

    PAACAPA平面PACAC平面PAC

    所以BC平面PAC.

    因为BC平面PBC.

    所以平面PBC平面PAC.

    (2)CCMAPCM平面ABC.

    如图以点C为坐标原点分别以直线CBCACMxyz轴建立空间直角坐标系.

    RtABC因为AB2AC1所以BC.

    又因为PA1所以A(010)B(00)P(011)

    (00)(011)

    设平面BCP的法向量为n1=(x1y1z1)

    所以

    不妨令y11n1(011)

    因为(001)(10)

    设平面ABP的法向量为n2(x2y2z2)

    所以

    不妨令x21n2(1, 0)

    于是cosn1n2〉=.

    由图知二面角C­PB­A为锐角故二面角C­PB­A的余弦值为.

    20. (本小题满分12)如图6在四棱锥P­ABCDADBCABADABPABC2AB2AD4BE平面PAB平面ABCD.

    6

    (1)求证:平面PED平面PAC; 导学号:18490125

    (2)若直线PE与平面PAC所成的角的正弦值为求二面角A­PC­D的余弦值.

    【解】 (1)平面PAB平面ABCD

    平面PAB平面ABCDABABPA

    PA平面ABCD

    ABAD故可建立空间直角坐标系Oxyz如图所示

    不妨设BC4APλ(λ>0)

    则有D(020)E(210)C(240)P(00λ)

    (240)(00λ)=(210)

    ·4400·0

    DEACDEAPACAPA

    DE平面PAC.

    DE平面PED

    平面PED平面PAC.

    (2)(1)平面PAC的一个法向量是(210)(21λ)

    设直线PE与平面PAC所成的角为θ

    sin θ|cos|解得λ±2.

    λ>0λ2P(002)

    设平面PCD的一个法向量为n(xyz)(220)(022)

    nn

    不妨令x1n(111)

    cosn〉=

    显然二面角A­PC­D的平面角是锐角

    二面角A­PC­D的余弦值为.

    21. (本小题满分12)如图7,四棱锥P­ABCD的底面ABCD为一直角梯形其中BAADCDADCDAD2ABPA底面ABCDEPC的中点.

    7

    (1)求证:BE平面PAD

    (2)BE平面PCD

    求异面直线PDBC所成角的余弦值;

    求二面角E­BD­C的余弦值.

    【解】 ABaPAb建立如图的空间直角坐标系A(000)B(a00)P(00b)C(2a2a0)D(02a0)E.

    (1)(02a0)(00b)所以

    因为BE平面PAD所以BE平面PAD.

    (2)因为BE平面PCD所以BEPC

    ·0(2a2ab)

    所以·2a20b2a.

    (02a2a)(a2a0)cos〉=所以异面直线PDBC所成角的余弦值为.

    在平面BDE和平面BDC(0aa)(a2a0)(a2a0)所以平面BDE的一个法向量为n1(211);平面BDC的一个法向量为n2(001)cosn1n2〉=所以二面角E­BD­C的余弦值为.

    22(本小题满分12)如图8在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1EFMN分别是棱ABADA1B1A1D1的中点PQ分别在棱DD1BB1上移动DPBQλ(0<λ<2)

     

    8

    (1)λ1证明:直线BC1平面EFPQ

    (2)是否存在λ使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角?若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由.

    【解】 D为原点射线DADCDD1分别为xyz轴的正半轴建立空间直角坐标系.由已知得B(220)C1(022)E(210)F(100)P(00λ)(202)(10λ)(110)

    (1)λ1(101)

    因为(202)

    所以2可知BC1FP

    FP平面EFPQBC1平面EFPQ故直线BC1平面EFPQ.

    (2)设平面EFPQ的一个法向量为n(xyz)

    于是可取n(λλ1)

    同理可得平面PQMN的一个法向量为m(λ22λ1)

    若存在λ,使得平面EFPQ与平面PQMN所在的二面角为直二面角

    m·n(λ22λ1)·(λλ1)0

    λ(λ2)λ(2λ)10

    解得λ

    故存在λ使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角.

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