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    高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.1 任意角和弧度制教学设计及反思

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    这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.1 任意角和弧度制教学设计及反思,共7页。教案主要包含了教学目标,教学重难点,教学过程,课外作业等内容,欢迎下载使用。

    5.1.1任意角

    (人教A版普通高中教科书数学必修第一册第五章)

    一、教学目标

    1.了解任意角以及象限角的概念,会判断一个任意角是第几象限角,发展数学抽象素养.

    2.理解角的加减运算以及相反角的概念

    3.掌握与角终边相同的角的表示方法

    二、教学重难点

    1.范围的角扩充到任意角.

    2.任意角概念的构建,用集合表示终边相同的角.

    三、教学过程

    1.呈现背景 提出问题

    现实世界中的许多运动、变化都有着循环往复、周而复始的规律,这种规律称为周期性.例如:地球自转、地球于太阳公转,月亮圆缺、潮汐变化等,数学中的圆周运动也是一种常见的周期性变化现象.

    问题1如图,上的点PA为起点做逆时针方向的旋转.如何刻画点P的位置变化呢?

     

     

     

     

    【预设的答案】我们知道,角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形.在图中,射线的端点是圆心O,它从起始位置OA按逆时针方向旋转到终止位置OP,形成一个角,射线OAOP分别是角的始边和终边,点P是终边OP的交点.可以借助角的大小变化刻画点P的位置变化.

    【设计意图】创设情境,以圆为载体研究周期性变化对理解角的扩充更有帮助.

    由初中知识可知,射线OA绕端点O按逆时针方向旋转一周回到起始位置,在这个过程中可以得到范围内的角.如果继续旋转,那么所得到的的角就超出这个范围了.所以,为了借助角的大小变化刻画圆周运动,需要先扩大角的范围.

    2.任意角的概念、运算及分类

    现实生活中随处可见超出范围的角.例如,体操中有 “前空翻转体540度”,“后空翻转体720度”,齿轮的旋转等.

    问题2这些角有哪些不同,体现在哪几个方面?

    【预设的答案】不同体现在旋转量和旋转方向.

    【设计意图】引导学生从生活实际出发用数学的眼光分析问题,归纳刻画角的两个方面——旋转量和旋转方向.

    很显然,角难以满足我们的需要,所以我们需要对角的概念进行推广.

    2.1的概念

    类比实数的学习,我们对的范围进行扩充:一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角,按顺时针方向旋转形成的角叫做负角.如果一条射线没有做任何旋转,就称它形成了一个零角.

    2.2的表示与作图

    【数学情境】你能分别作出750°、210°、-150°、-660°吗?

    【设计意图】再次强调决定一个的要素是旋转方向和旋转量.

    2.3运算

    问题3类比实数,思考下列问题:

    1你认为相等的两个角应该怎样规定?

    2两角相加又是怎样规定的?

    3你知道什么是互为相反角吗?两角怎样相减?

    【预设的答案】(1)旋转方向相同且旋转量相等.

    2)角的终边旋转角,这时终边所对应的角是.

    3类似于实数中的相反数我们引入相反角的概念.我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角.类似于实数的相反数是,角的相反角记为

    类似实数减法中“减去一个数等于加上这个数的相反数”,减去一个角等于加上这个角的相反角.即

    【设计意图】让学生尝试定义角的相等和加减法,体会定义的合理性.

    2.4象限角

    角的范围扩充后,为了讨论的方便,我们通常在直角坐标系中研究角. 角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合.

    问题4根据终边位置的不同,可以把角分为哪几类?

    【预设的答案】根据角的终边所在象限,将角分为第一象限角,第二象限角,第三象限角,第四象限角.

    【设计意图】让学生体会在直角坐标系中研究角是自然和合理的.

    这样我们得到了象限角的概念:使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合.那么角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角.如果角的终边在坐标轴上,那么就认为这个角不属于任何一个象限,也称为轴线角.

    问题5锐角是第几象限角?第一象限角一定是锐角吗?

    【预设的答案】因为锐角是指大于且小于的角,所以锐角是第一象限角,第一象限角不一定是锐角.

    【设计意图】让学生明确“锐角”“第一象限角”之间的关系,避免混淆.

    2.5终边相同的角

    问题6在直角坐标系中,将角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,那么与角终边重合的角还有哪些?有多少个?

    【预设的答案】328°688°,-392°,-752°无数个

    追问:它们与角有什么关系?能不能用集合的形式将它们表达出来?

    【预设的答案】相差360°的整数倍,可以用表示.

    追问:推广到一般角,结论应该是什么?

    【预设的答案】.

    【设计意图】通过对特殊角之间关系的研究得到一般性的结论,符合学生由特殊到一般的认知规律,并且培养了学生的数学抽象素养.

    一般地,我们有:

    所有与角终边相同的角,连同角在内,可构成一个集合

    即任一与角终边相同的角,都可以表示成角与整数个周角的和.

    3.典例分析

    1 范围内,找出与下列各角终边相同的角,并判定它是第几象限角.

    1)-120º;(2)640º;(3)950º12′.

    【预设的答案】1)与-120º终边相同的角为240º,它是第三象限角.

    (2)640º终边相同的角为280º,它是第四象限角.

    (3)与-950º12′终边相同的角为129º48',它是第二象限角.

    【设计意图】利用终边相同的角判定其象限,为以后证明恒等式、化简及利用诱导公式求三角函数的值等奠定基础.

    2 写出终边在轴上的角的集合.

    【预设的答案】终边落在y轴非负半轴上的角构成集合:

    终边落在y轴非正半轴上的角构成集合

    观察发现,中的角均相差的整数倍,用集合表示是

    另外,我们还可以用这种方式求出

    【设计意图】引导学生体会用集合表示终边相同的角时,表示方式不唯一,要注意采用简约的形式.

    例3 写出终边在直线上的角的集合中满足不等式的元素有哪些?

    【预设的答案】范围内,终边在直线上的角有两个:

    因此,终边在直线上的角的集合

    中适合不等式的元素

    【设计意图】巩固终边相同的角的表示.

    4.归纳小结

    四、课外作业

    1.已知角的顶点与直角坐标系的原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,作出下列各角,并指出它们是第几象限角:

    (1)420°  2-75°   3855°   4-510°

    2.写出终边与-225°终边相同的角的集合,并找出集合中适合不等式的元素

     

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