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2021学年2.2直接证明与间接证明复习课件ppt
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这是一份2021学年2.2直接证明与间接证明复习课件ppt，共48页。PPT课件主要包含了要证明的结论，充分条件，不成立，题型分类深度剖析，定时检测等内容，欢迎下载使用。
(2)分析法 ①定义：从 出发，逐步寻求使它成 立的 ，直至最后，把要证明的结论归结 为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、 定义、公理等）为止.这种证明方法叫做分析法. ②框图表示： 2.间接证明 反证法：假设原命题 ，经过正确的推理, 最后得出 ，因此说明假设错误，从而证明 了原命题成立，这样的证明方法叫反证法.
得到一个明显成立的条件
基础自测1.分析法是从要证的结论出发,寻求使它成立 的( ) A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 解析 由分析法的特点可知.
2.否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正 确的反设为( ) A.a，b，c都是奇数 B.a，b，c都是偶数 C.a，b，c中至少有两个偶数 D.a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数 解析 ∵a,b,c恰有一个偶数，即a，b，c中只有 一个偶数,其反面是有两个或两个以上偶数或没 有一个偶数即全都是奇数，故只有D正确.
3.若a
5.用分析法证明：欲使①A>B,只需②C
综合法往往以分析法为基础，是分析法的逆过程,但更要注意从有关不等式的定理、结论或题设条件出发，根据不等式的性质推导证明.知能迁移1 已知x+y+z=1，求证： 证明 ∵x2+y2≥2xy，x2+z2≥2xz， y2+z2≥2yz， ∴2x2+2y2+2z2≥2xy+2xz+2yz. ∴3x2+3y2+3z2≥x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz. ∴3（x2+y2+z2）≥（x+y+z）2=1.
题型二 分析法 （12分）已知函数f(x)=tan x, 本题若使用综合法进行推演，三角 函数式的化简较难处理，因此，可考虑分析法. 证明
∴cs x1cs x2>0,sin(x1+x2)>0,1+cs(x1+x2)>0, 6分故只需证明1+cs(x1+x2)>2cs x1·cs x2, 8分即证1+cs x1cs x2-sin x1sin x2>2cs x1cs x2,即证：cs(x1-x2)<1. 10分
分析法是数学中常用到的一种直接证明方法,就证明程序来讲,它是一种从未知到已知(从结论到题设)的逻辑推理方法.具体地说,即先假设所要证明的结论是正确的,由此逐步推出保证此结论成立的充分条件,而当这些判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时命题得证.
知能迁移2 已知a>0,求证: 证明
题型三 反证法 若x,y都是正实数，且x+y>2, 求证： 中至少有一个成立. 本题结论以“至少”形式出现，从正面 思考有多种形式，不易入手，故可用反证法加以 证明. 证明
因为x>0且y>0,所以1+x≥2y，且1+y≥2x，两式相加，得2+x+y≥2x+2y，
所以x+y≤2，这与已知条件x+y>2相矛盾， (1)当一个命题的结论是以“至多”、“至少”、“惟一”或以否定形式出现时，宜用反证法来证，反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是：①与已知条件矛盾，②与假设矛盾，③与定义、公理、定理矛盾，④与事实矛盾等方面，反证法常常是解决某些“疑难”问题的有力工具，是数学证明中的一件有力武器.（2）利用反证法证明问题时，要注意与之矛盾的定理不能是用本题的结论证明的定理，否则，将出现循环论证的错误.
知能迁移3 已知a、b、c∈(0,1),求证: (1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能同时大于 . “不能同时大于 ”包含多种情形， 不易直接证明，可用反证法证明. 证明 方法一 假设三式同时大于 ， ∵a、b、c∈(0,1), ∴三式同向相乘得(1-a)b(1-b)c(1-c)a> .
方法二 假设三式同时大于
∵00,
题型四 分析法与综合法的综合应用 若a、b、c是不全相等的正数， 求证: 用分析法得到 再用综合法证明.证明 方法一
又∵a、b、c是不全相等的正数，∴（*）式等号不成立，∴原不等式成立.方法二 ∵a、b、c∈R+，
又∵a、b、c是不全相等的正数，
分析法和综合法是对立统一的两种方法，分析法的证明过程，恰好是综合法的分析、思考过程，综合法是分析法的逆过程.
知能迁移4 设a，b均为正数，且a≠b,求证:a3+b3 >a2b+ab2. 证明 方法一 （分析法） 要证a3+b3>a2b+ab2成立， 只需证(a+b)(a2-ab+b2)>ab(a+b)成立. 又因为a+b>0, 只需证a2-ab+b2>ab成立. 又需证a2-2ab+b2>0成立， 即需证（a-b）2>0成立. 而依题设a≠b,则(a-b)2>0显然成立，由此命题 得证.
方法二 （综合法）a≠ba-b≠0(a-b)2>0a2-2ab+b2>0a2-ab+b2>ab.(*)而a,b均为正数，∴a+b>0，由（*）式即得(a+b)(a2-ab+b2)>ab(a+b),∴a3+b3>a2b+ab2.
思想方法 感悟提高方法与技巧1.分析法的特点是：从未知看需知，逐步靠拢已知.2.综合法的特点是：从已知看可知，逐步推出未知.3.分析法和综合法各有优缺点.分析法思考起来比较 自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思 路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较 简捷地解决问题，但不便于思考.实际证题时常常 两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用 综合法叙述出来.
4.应用反证法证明数学命题,一般分下面几个步骤: 第一步：分清命题“p→q”的条件和结论； 第二步：作出与命题结论q相矛盾的假定 q； 第三步：由p和 q出发，应用正确的推理方法, 推出矛盾结果； 第四步：断定产生矛盾结果的原因，在于开始所 作的假定 q不真，于是原结论q成立，从而间接 地证明了命题p→q为真. 第三步所说的矛盾结果，通常是指推出的结果 与已知公理矛盾、与已知定义矛盾、与已知定 理矛盾、与已知条件矛盾、与临时假定矛盾以 及自相矛盾等各种情况.
失误与防范1.利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误, 并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理 而推出矛盾结果，其推理过程是错误的.2.用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的 规范性，常常用“要证（欲证）”…“即要 证”…“就要证”等分析到一个明显成立的结 论P，再说明所要证明的数学问题成立.
一、选择题1.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点P1(x1,y1)、 P2（x2，y2）、P3(x3，y3)在抛物线上，且 2x2=x1+x3，则有 ( ) A.|FP1|+|FP2|=|FP3| B.|FP1|2+|FP2|2=|FP3|2 C.2|FP2|=|FP1|+|FP3| D.|FP2|2=|FP1|·|FP3| 解析 如图所示，y2=2px的准线为 P1A⊥l，P2B⊥l，P3C⊥l.
由抛物线定义知：P1F=P1A=P2F=P2B=P3F=P3C=∴2|FP2|=又∵2x2=x1+x3，∴2|FP2|=|FP1|+|FP3|.答案 C
2.用反证法证明“如果a>b,那么 ”假设内容 应是 ( ) A. B. C. D. 解析
3.a，b，c为互不相等的正数，且a2+c2=2bc，则下列 关系中可能成立的是 ( ) A.a>b>c B.b>c>a C.b>a>c D.a>c>b 解析 由a2+c2>2ac2bc>2acb>a,可排除A、D, 令a=2, 可得c=1或4，可知C可能成立.
4.设x、y、z∈R+， 则a、b、c三数 ( ) A.至少有一个不大于2 B.都小于2 C.至少有一个不小于2 D.都大于2 解析 假设a、b、c都小于2，则a+b+c<6, 而事实上：a+b+c= ∴a、b、c中至少有一个不小于2.
5.已知a、b是非零实数，且a>b,则下列不等式中成 立的是 ( ) A. B.a2>b2 C.|a+b|>|a-b| D. 解析 ∵a>b,∴a-b>0.而a可能大于0，也可能小于0， 因此a(a-b)>0不一定成立，即A不一定成立； a2>b2(a-b)(a+b)>0,
∵a-b>0，只有当a+b>0时，a2>b2成立，故B不一定成立；|a+b|>|a-b|(a+b)2>(a-b)2ab>0,而ab<0也有可能，故C不一定成立；∵a,b非零，a>b,∴上式一定成立，因此只有D正确.答案 D
6.设a，b是两个实数，给出下列条件： (1)a+b>1;(2)a+b=2;(3)a+b>2; (4)a2+b2>2;(5)ab>1. 其中能推出：“a,b中至少有一个大于1”的条 件是( ) A.(2)(3) B.(1)(2)(3) C.(3) D.(3)(4)(5) 解析 但a<1,b<1,故（1）推不出；
若a=b=1,则a+b=2,故（2）推不出；若a=-2,b=-3,则a2+b2>2,故（4）推不出；若a=-2,b=-3,则ab>1,故（5）推不出；对于（3），即a+b>2,则a,b中至少有一个大于1，反证法：假设a≤1且b≤1,则a+b≤2与a+b>2矛盾，因此假设不成立，故a,b中至少有一个大于1.答案 C
二、填空题7.某同学准备用反证法证明如下一个问题:函数f（x） 在［0,1］上有意义，且f（0）=f（1），如果对于 不同的x1，x2∈［0，1］，都有|f（x1）-f（x2） |<|x1-x2|,求证：|f（x1）-f（x2）|< .那么它的 反设应该是 .
“ x1，x2∈［0,1］,使得|f(x1)-f(x2)|
<|x1-x2|且|f(x1)-f(x2)|≥ ”
8.凸函数的性质定理为:如果函数f(x)在区间D上是 凸函数,则对于区间D内的任意x1,x2,…,xn,有 已知函数y=sin x在区间（0,π）上是凸函数，则 在△ABC中，sin A+sin B+sin C的最大值 为 . 解析 ∵f（x）=sin x在区间（0，π）上是凸 函数， 且A、B、C∈（0，π），
9.设x,y,z是空间的不同直线或不同平面，且直线不 在平面内，下列条件中能保证“若x⊥z,且y⊥z， 则x∥y”为真命题的是 .(填写所有正确 条件的代号) ①x为直线，y,z为平面；②x,y,z为平面； ③x,y为直线,z为平面；④x,y为平面,z为直线； ⑤x,y,z为直线. 解析 ①中x⊥平面z,平面y⊥平面z， ∴x∥平面y或x平面y. 又∵x平面y，故x∥y成立.
②中若x,y,z均为平面,则x可与y相交,故②不成立.③x⊥z,y⊥z,x,y为不同直线，故x∥y成立.④z⊥x，z⊥y，z为直线，x,y为平面可得x∥y,④成立.⑤x,y,z均为直线可异面垂直，故⑤不成立.答案 ①③④
三、解答题10.(1)设x是正实数,求证: （x+1）(x2+1)(x3+1)≥8x3; (2)若x∈R，不等式（x+1）(x2+1)(x3+1)≥8x3是 否仍然成立？如果成立,请给出证明；如果不成 立，请举出一个使它不成立的x的值. （1）证明 x是正实数，由均值不等式知 x+1≥2 ，x2+1≥2x，x3+1≥2 ， 故（x+1）(x2+1)(x3+1)≥2 ·2x·2 =8x3 （当且仅当x=1时等号成立）.
（2）解 若x∈R,不等式（x+1）(x2+1)(x3+1)≥8x3仍然成立.由（1）知，当x>0时，不等式成立；当x≤0时，8x3≤0,而（x+1）(x2+1)(x3+1)=(x+1)2(x2+1)(x2-x+1)此时不等式仍然成立.
11.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若am,am+2, am+1(m∈N*)成等差数列,试判断Sm,Sm+2,Sm+1是否 成等差数列，并证明你的结论. 解 设等比数列{an}的首项为a1,公比为 q(a1≠0,q≠0), 若am,am+2,am+1成等差数列， 则2am+2=am+am+1. ∴2a1qm+1=a1qm-1+a1qm. ∵a1≠0,q≠0,∴2q2-q-1=0. 解得q=1或
当q=1时，∵Sm=ma1,Sm+1=(m+1)a1,Sm+2=(m+2)a1,∴2Sm+2≠Sm+Sm+1.∴当q=1时，Sm,Sm+2,Sm+1不成等差数列.当 时，Sm，Sm+2,Sm+1成等差数列.下面给出证明：方法一 ∵（Sm+Sm+1）-2Sm+2=(Sm+Sm+am+1)-2(Sm+am+1+am+2)=-am+1-2am+2=-am+1-2am+1q
∴2Sm+2=Sm+Sm+1.∴当 时，Sm,Sm+2,Sm+1成等差数列.方法二
12.已知a,b,c是互不相等的实数. 求证：由y=ax2+2bx+c,y=bx2+2cx+a和y=cx2+2ax+b 确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的 交点. 证明 假设题设中的函数确定的三条抛物线都不 与x轴有两个不同的交点（即任何一条抛物线与x 轴没有两个不同的交点）， 由y=ax2+2bx+c, y=bx2+2cx+a, y=cx2+2ax+b, 得Δ1=(2b)2-4ac≤0,Δ2=(2c)2-4ab≤0,
(2)分析法 ①定义：从 出发，逐步寻求使它成 立的 ，直至最后，把要证明的结论归结 为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、 定义、公理等）为止.这种证明方法叫做分析法. ②框图表示： 2.间接证明 反证法：假设原命题 ，经过正确的推理, 最后得出 ，因此说明假设错误，从而证明 了原命题成立，这样的证明方法叫反证法.
得到一个明显成立的条件
基础自测1.分析法是从要证的结论出发,寻求使它成立 的( ) A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 解析 由分析法的特点可知.
2.否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正 确的反设为( ) A.a，b，c都是奇数 B.a，b，c都是偶数 C.a，b，c中至少有两个偶数 D.a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数 解析 ∵a,b,c恰有一个偶数，即a，b，c中只有 一个偶数,其反面是有两个或两个以上偶数或没 有一个偶数即全都是奇数，故只有D正确.
3.若a
5.用分析法证明：欲使①A>B,只需②C
综合法往往以分析法为基础，是分析法的逆过程,但更要注意从有关不等式的定理、结论或题设条件出发，根据不等式的性质推导证明.知能迁移1 已知x+y+z=1，求证： 证明 ∵x2+y2≥2xy，x2+z2≥2xz， y2+z2≥2yz， ∴2x2+2y2+2z2≥2xy+2xz+2yz. ∴3x2+3y2+3z2≥x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz. ∴3（x2+y2+z2）≥（x+y+z）2=1.
题型二 分析法 （12分）已知函数f(x)=tan x, 本题若使用综合法进行推演，三角 函数式的化简较难处理，因此，可考虑分析法. 证明
∴cs x1cs x2>0,sin(x1+x2)>0,1+cs(x1+x2)>0, 6分故只需证明1+cs(x1+x2)>2cs x1·cs x2, 8分即证1+cs x1cs x2-sin x1sin x2>2cs x1cs x2,即证：cs(x1-x2)<1. 10分
分析法是数学中常用到的一种直接证明方法,就证明程序来讲,它是一种从未知到已知(从结论到题设)的逻辑推理方法.具体地说,即先假设所要证明的结论是正确的,由此逐步推出保证此结论成立的充分条件,而当这些判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时命题得证.
知能迁移2 已知a>0,求证: 证明
题型三 反证法 若x,y都是正实数，且x+y>2, 求证： 中至少有一个成立. 本题结论以“至少”形式出现，从正面 思考有多种形式，不易入手，故可用反证法加以 证明. 证明
因为x>0且y>0,所以1+x≥2y，且1+y≥2x，两式相加，得2+x+y≥2x+2y，
所以x+y≤2，这与已知条件x+y>2相矛盾， (1)当一个命题的结论是以“至多”、“至少”、“惟一”或以否定形式出现时，宜用反证法来证，反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是：①与已知条件矛盾，②与假设矛盾，③与定义、公理、定理矛盾，④与事实矛盾等方面，反证法常常是解决某些“疑难”问题的有力工具，是数学证明中的一件有力武器.（2）利用反证法证明问题时，要注意与之矛盾的定理不能是用本题的结论证明的定理，否则，将出现循环论证的错误.
知能迁移3 已知a、b、c∈(0,1),求证: (1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能同时大于 . “不能同时大于 ”包含多种情形， 不易直接证明，可用反证法证明. 证明 方法一 假设三式同时大于 ， ∵a、b、c∈(0,1), ∴三式同向相乘得(1-a)b(1-b)c(1-c)a> .
方法二 假设三式同时大于
∵0
题型四 分析法与综合法的综合应用 若a、b、c是不全相等的正数， 求证: 用分析法得到 再用综合法证明.证明 方法一
又∵a、b、c是不全相等的正数，∴（*）式等号不成立，∴原不等式成立.方法二 ∵a、b、c∈R+，
又∵a、b、c是不全相等的正数，
分析法和综合法是对立统一的两种方法，分析法的证明过程，恰好是综合法的分析、思考过程，综合法是分析法的逆过程.
知能迁移4 设a，b均为正数，且a≠b,求证:a3+b3 >a2b+ab2. 证明 方法一 （分析法） 要证a3+b3>a2b+ab2成立， 只需证(a+b)(a2-ab+b2)>ab(a+b)成立. 又因为a+b>0, 只需证a2-ab+b2>ab成立. 又需证a2-2ab+b2>0成立， 即需证（a-b）2>0成立. 而依题设a≠b,则(a-b)2>0显然成立，由此命题 得证.
方法二 （综合法）a≠ba-b≠0(a-b)2>0a2-2ab+b2>0a2-ab+b2>ab.(*)而a,b均为正数，∴a+b>0，由（*）式即得(a+b)(a2-ab+b2)>ab(a+b),∴a3+b3>a2b+ab2.
思想方法 感悟提高方法与技巧1.分析法的特点是：从未知看需知，逐步靠拢已知.2.综合法的特点是：从已知看可知，逐步推出未知.3.分析法和综合法各有优缺点.分析法思考起来比较 自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思 路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较 简捷地解决问题，但不便于思考.实际证题时常常 两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用 综合法叙述出来.
4.应用反证法证明数学命题,一般分下面几个步骤: 第一步：分清命题“p→q”的条件和结论； 第二步：作出与命题结论q相矛盾的假定 q； 第三步：由p和 q出发，应用正确的推理方法, 推出矛盾结果； 第四步：断定产生矛盾结果的原因，在于开始所 作的假定 q不真，于是原结论q成立，从而间接 地证明了命题p→q为真. 第三步所说的矛盾结果，通常是指推出的结果 与已知公理矛盾、与已知定义矛盾、与已知定 理矛盾、与已知条件矛盾、与临时假定矛盾以 及自相矛盾等各种情况.
失误与防范1.利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误, 并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理 而推出矛盾结果，其推理过程是错误的.2.用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的 规范性，常常用“要证（欲证）”…“即要 证”…“就要证”等分析到一个明显成立的结 论P，再说明所要证明的数学问题成立.
一、选择题1.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点P1(x1,y1)、 P2（x2，y2）、P3(x3，y3)在抛物线上，且 2x2=x1+x3，则有 ( ) A.|FP1|+|FP2|=|FP3| B.|FP1|2+|FP2|2=|FP3|2 C.2|FP2|=|FP1|+|FP3| D.|FP2|2=|FP1|·|FP3| 解析 如图所示，y2=2px的准线为 P1A⊥l，P2B⊥l，P3C⊥l.
由抛物线定义知：P1F=P1A=P2F=P2B=P3F=P3C=∴2|FP2|=又∵2x2=x1+x3，∴2|FP2|=|FP1|+|FP3|.答案 C
2.用反证法证明“如果a>b,那么 ”假设内容 应是 ( ) A. B. C. D. 解析
3.a，b，c为互不相等的正数，且a2+c2=2bc，则下列 关系中可能成立的是 ( ) A.a>b>c B.b>c>a C.b>a>c D.a>c>b 解析 由a2+c2>2ac2bc>2acb>a,可排除A、D, 令a=2, 可得c=1或4，可知C可能成立.
4.设x、y、z∈R+， 则a、b、c三数 ( ) A.至少有一个不大于2 B.都小于2 C.至少有一个不小于2 D.都大于2 解析 假设a、b、c都小于2，则a+b+c<6, 而事实上：a+b+c= ∴a、b、c中至少有一个不小于2.
5.已知a、b是非零实数，且a>b,则下列不等式中成 立的是 ( ) A. B.a2>b2 C.|a+b|>|a-b| D. 解析 ∵a>b,∴a-b>0.而a可能大于0，也可能小于0， 因此a(a-b)>0不一定成立，即A不一定成立； a2>b2(a-b)(a+b)>0,
∵a-b>0，只有当a+b>0时，a2>b2成立，故B不一定成立；|a+b|>|a-b|(a+b)2>(a-b)2ab>0,而ab<0也有可能，故C不一定成立；∵a,b非零，a>b,∴上式一定成立，因此只有D正确.答案 D
6.设a，b是两个实数，给出下列条件： (1)a+b>1;(2)a+b=2;(3)a+b>2; (4)a2+b2>2;(5)ab>1. 其中能推出：“a,b中至少有一个大于1”的条 件是( ) A.(2)(3) B.(1)(2)(3) C.(3) D.(3)(4)(5) 解析 但a<1,b<1,故（1）推不出；
若a=b=1,则a+b=2,故（2）推不出；若a=-2,b=-3,则a2+b2>2,故（4）推不出；若a=-2,b=-3,则ab>1,故（5）推不出；对于（3），即a+b>2,则a,b中至少有一个大于1，反证法：假设a≤1且b≤1,则a+b≤2与a+b>2矛盾，因此假设不成立，故a,b中至少有一个大于1.答案 C
二、填空题7.某同学准备用反证法证明如下一个问题:函数f（x） 在［0,1］上有意义，且f（0）=f（1），如果对于 不同的x1，x2∈［0，1］，都有|f（x1）-f（x2） |<|x1-x2|,求证：|f（x1）-f（x2）|< .那么它的 反设应该是 .
“ x1，x2∈［0,1］,使得|f(x1)-f(x2)|
<|x1-x2|且|f(x1)-f(x2)|≥ ”
8.凸函数的性质定理为:如果函数f(x)在区间D上是 凸函数,则对于区间D内的任意x1,x2,…,xn,有 已知函数y=sin x在区间（0,π）上是凸函数，则 在△ABC中，sin A+sin B+sin C的最大值 为 . 解析 ∵f（x）=sin x在区间（0，π）上是凸 函数， 且A、B、C∈（0，π），
9.设x,y,z是空间的不同直线或不同平面，且直线不 在平面内，下列条件中能保证“若x⊥z,且y⊥z， 则x∥y”为真命题的是 .(填写所有正确 条件的代号) ①x为直线，y,z为平面；②x,y,z为平面； ③x,y为直线,z为平面；④x,y为平面,z为直线； ⑤x,y,z为直线. 解析 ①中x⊥平面z,平面y⊥平面z， ∴x∥平面y或x平面y. 又∵x平面y，故x∥y成立.
②中若x,y,z均为平面,则x可与y相交,故②不成立.③x⊥z,y⊥z,x,y为不同直线，故x∥y成立.④z⊥x，z⊥y，z为直线，x,y为平面可得x∥y,④成立.⑤x,y,z均为直线可异面垂直，故⑤不成立.答案 ①③④
三、解答题10.(1)设x是正实数,求证: （x+1）(x2+1)(x3+1)≥8x3; (2)若x∈R，不等式（x+1）(x2+1)(x3+1)≥8x3是 否仍然成立？如果成立,请给出证明；如果不成 立，请举出一个使它不成立的x的值. （1）证明 x是正实数，由均值不等式知 x+1≥2 ，x2+1≥2x，x3+1≥2 ， 故（x+1）(x2+1)(x3+1)≥2 ·2x·2 =8x3 （当且仅当x=1时等号成立）.
（2）解 若x∈R,不等式（x+1）(x2+1)(x3+1)≥8x3仍然成立.由（1）知，当x>0时，不等式成立；当x≤0时，8x3≤0,而（x+1）(x2+1)(x3+1)=(x+1)2(x2+1)(x2-x+1)此时不等式仍然成立.
11.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若am,am+2, am+1(m∈N*)成等差数列,试判断Sm,Sm+2,Sm+1是否 成等差数列，并证明你的结论. 解 设等比数列{an}的首项为a1,公比为 q(a1≠0,q≠0), 若am,am+2,am+1成等差数列， 则2am+2=am+am+1. ∴2a1qm+1=a1qm-1+a1qm. ∵a1≠0,q≠0,∴2q2-q-1=0. 解得q=1或
当q=1时，∵Sm=ma1,Sm+1=(m+1)a1,Sm+2=(m+2)a1,∴2Sm+2≠Sm+Sm+1.∴当q=1时，Sm,Sm+2,Sm+1不成等差数列.当 时，Sm，Sm+2,Sm+1成等差数列.下面给出证明：方法一 ∵（Sm+Sm+1）-2Sm+2=(Sm+Sm+am+1)-2(Sm+am+1+am+2)=-am+1-2am+2=-am+1-2am+1q
∴2Sm+2=Sm+Sm+1.∴当 时，Sm,Sm+2,Sm+1成等差数列.方法二
12.已知a,b,c是互不相等的实数. 求证：由y=ax2+2bx+c,y=bx2+2cx+a和y=cx2+2ax+b 确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的 交点. 证明 假设题设中的函数确定的三条抛物线都不 与x轴有两个不同的交点（即任何一条抛物线与x 轴没有两个不同的交点）， 由y=ax2+2bx+c, y=bx2+2cx+a, y=cx2+2ax+b, 得Δ1=(2b)2-4ac≤0,Δ2=(2c)2-4ab≤0,
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