高中数学6.4 平面向量的应用学案及答案

6.4.2　向量在物理中的应用举例

[目标] 1.通过力的合成与分解模型、速度的合成与分解模型，掌握利用向量方法研究物理中相关问题的步骤；2.明了向量在物理中应用的基本题型，进一步加深对所学向量的概念和向量运算的认识．

[重点] 运用向量的有关知识对物理中的力的作用、速度分解进行相关分析来计算．

[难点] 将物理中有关矢量的问题转化为数学中向量的问题．

要点整合夯基础

知识点一　　　　　向量在物理中的应用

[填一填]

1．物理学中的许多量，如力、速度、加速度、位移都是向量．

2．物理学中的力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的加减法运算．用向量解决速度、加速度、位移等问题，用的知识主要是向量的线性运算，有时也用坐标运算．

3．力所做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是力和位移两个向量的数量积，即W＝F·s＝|F||s|cosθ(θ为F和s的夹角)．

[答一答]

1．利用向量解决物理中的问题的实质是什么？

提示：向量在物理中的应用，实际上是把物理问题转化为向量问题，然后通过向量运算解决向量问题，最后用所获得的结果解释物理现象．

2．利用向量解决物理问题时应注意什么？

提示：在用向量解决物理问题时，应作出相应的图形，以帮助建立数学模型，分析解题思路．

在解题过程中要注意两方面的问题：一方面是如何把物理问题转化成数学问题，也就是将物理量之间的关系抽象成数学模型；另一方面是如何利用建立起来的数学模型解释和回答相关的物理现象．

知识点二　　　　　用向量讨论物理中相关问题的步骤

[填一填]

用向量讨论物理中相关问题，一般来说分为四步：

(1)问题的转化，把物理问题转化成数学问题；

(2)模型的建立，建立以向量为主体的数学模型；

(3)参数的获取，求出数学模型的相关解；

(4)问题的答案，回到物理现象中，用已经获取的数值去解释一些物理现象．

[答一答]

3. 用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个灯具，如图所示，已知灯具重10 N，则每根绳子的拉力大小为10 N.

解析：设重力为G，每根绳的拉力分别为F1、F2，

则由题意得F1，F2与－G都成60°角，

且|F1|＝|F2|，∴|F1|＝|F2|＝|G|＝10 N，

∴每根绳子的拉力都为10  N.

典例讲练破题型

类型一　　　向量的线性运算在物理中的应用

[例1]　在重300 N的物体上系两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°(如图)，求重物平衡时，两根绳子拉力的大小．

[解]　如图，两根绳子的拉力之和＋＝，且||＝||＝300 N，∠AOC＝30°，∠BOC＝60°，

在△OAC中，∠ACO＝∠BOC＝60°，∠AOC＝30°，则∠OAC＝90°，

从而||＝||·cos30°＝150 N.

||＝||·sin30°＝150 N.

所以||＝||＝150 N.

利用向量法解决物理问题有两种思路，第一种是几何法，选取适当的基底，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量运算法则，运算律或性质计算.第二种是坐标法，通过建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，转化为代数运算.

 [变式训练1]　帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动，如果一帆船所受的风力方向为北偏东30°，速度为20 km/h，此时水的流向是正东，流速为20 km/h，若不考虑其他因素，求帆船的速度与方向．

解：建立如图所示的直角坐标系，风的方向为北偏东30°，速度为|v1|＝20 km/h，水流的方向为正东，速度为|v2|＝20 km/h，该帆船行驶的速度为v，则v＝v1＋v2，由题意，可得向量v1＝(20cos60°，20sin60°)＝(10,10)，向量v2＝(20,0)，则帆船的行驶速度v＝v1＋v2＝(10，10)＋(20,0)＝(30,10)，

所以|v|＝＝20(km/h)．

因为tanα＝＝(α为v和v2的夹角，α为锐角)，

所以α＝30°，所以帆船向北偏东60°的方向行驶，速度为20 km/h.

类型二　　　　向量的数量积在物理中的应用

 [例2]　已知力F(斜向上)与水平方向的夹角为30°，大小为50 N，一个质量为8 kg的木块受力F的作用在动摩擦因数μ＝0.02的水平面上运动了20 m．问力F和摩擦力f所做的功分别为多少？(g＝10 m/s2)

[解]　如图所示，设木块的位移为s，则

WF＝F·s＝|F||s|cos30°＝50×20×＝500(J)．

将力F分解，它的铅垂方向上的分力F1的大小为|F1|＝|F|sin30°＝50×＝25(N)．

所以摩擦力f的大小为

|f|＝|μ(G－F1)|＝(80－25)×0.02＝1.1(N)．

因此Wf＝f·s＝|f||s|cos180°＝1.1×20×(－1)＝－22(J)．

即F和f所做的功分别为500 J和－22 J.

物理中力F所做功W问题常运用向量的数量积解决．

 [变式训练2]　一个物体受到同一平面内的三个力F1，F2，F3的作用，沿北偏东45°的方向移动了8 m，其中|F1|＝2 N，方向为北偏东30°，|F2|＝4 N，方向为北偏东60°，|F3|＝6 N，方向为北偏西30°，求合力F所做的功．

解：以物体上的一点O为原点，正东方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系，如图所示．

则F1＝(1，)，F2＝(2，2)，

F3＝(－3,3)，

所以F＝F1＋F2＋F3＝(2－2,2＋4)．

又因为位移s＝(4，4)．

所以合力F所做的功为W＝F·s＝(2－2)×4＋(2＋4)×4＝4×6＝24(J)．

即合力F所做的功为24 J.

课堂达标练经典

1．如图所示，一力作用在小车上，其中力F的大小为10 N，方向与水平面成60°角，当小车向前运动10 m，则力F做的功为(　B　)

A．100 J B．50 J

C．50 J D．200 J

解析：设小车位移为s，则|s|＝10 m，WF＝F·s＝|F||s|·cos60°＝10×10×＝50 J.

2．坐标平面内一只小蚂蚁以速度ν＝(1,2)从点A(4,6)处移动到点B(7,12)处，其所用时间长短为(　B　)

A．2 B．3

C．4 D．8

解析：|ν|＝＝，又||＝＝，∴时间t＝＝3.

3．已知力F＝(2,3)作用于一物体，使物体从A(2,0)移动到B(－2,3)，则力F对物体所做的功为1.

解析：W＝F·s＝F·＝(2,3)×(－4,3)＝－8＋9＝1.

4．如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列说法中正确的是①③(写出正确的所有序号)．

①绳子的拉力不断增大；②绳子的拉力不断减小；③船的浮力不断变小；④船的浮力保持不变．

解析：设水的阻力为f，绳的拉力为F，F与水平方向夹角为θ(0<θ<)．

则|F|cosθ＝|f|，∴|F|＝，

∵θ增大，cosθ减小，∴|F|增大，

∵|F|sinθ增大，∴船的浮力减小．

5．一辆汽车在平直公路上向西行驶，车上装着风速计和风向标，测得风往东偏南30°方向吹，风速为4米/秒，这时气象台报告实际风速为2米/秒．试求风的实际方向和汽车的速度大小．

解：依据物理知识，有三对相对速度，汽车对地的速度为ν车地，风对车的速度为ν风车、风对地的速度为ν风地，风对地的速度可以看成车对地与风对车的速度的合速度，即ν风地＝ν风车＋ν车地．如图，

根据向量加法的平行四边形法则可知，表示向量ν风地的有向线段是平行四边形ABDC的对角线．

因为||＝4，∠ACD＝30°，||＝2，

所以∠ADC＝90°，

在Rt△ADC中，||＝||cos30°＝2，即风的实际方向是由正北向正南方向，汽车速度的大小为2米/秒．

——本课须掌握的两大问题

1．物理中的速度、加速度、位移都具有大小和方向，它们都是向量，从而物理量之间的关系可抽象为数学模型来解决．速度的分解也就是向量的分解，因而满足平行四边形法则．

2．用向量理论讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤：①问题的转化：把物理问题转化成数学问题；②模型的建立：建立以向量为主体的数学模型；③参数的获取：求出数学模型的解；④问题的答案：回到物理现象中，用已经获取的数值去解释一些物理现象．