高中数学人教版新课标B必修21.2.3空间中的垂直关系一课一练

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1.PA垂直于正方形ABCD所在平面，连结PB，PC，PD，AC，BD，则下列垂直关系正确的是( )
①面PAB⊥面PBC ②面PAB⊥面PAD
③面PAB⊥面PCD ④面PAB⊥面PAC
A．①② B．①③
C．②③ D．②④
解析：选A.易证BC⊥平面PAB，
则平面PAB⊥平面PBC；
又AD∥BC，
故AD⊥平面PAB，
则平面PAD⊥平面PAB，
因此选A.
2．设a、b、c表示三条直线，α、β表示两个平面，则下列命题的逆命题不成立的是( )
A．c⊥α，若c⊥β，则α∥β
B．b⊂α，c⊄α，若c∥α，则b∥c
C．b⊂β，若b⊥α，则β⊥α
D．b⊂β，c是a在β内的射影，若b⊥c，则b⊥a
解析：选C.C选项的逆命题为b⊂β，若β⊥α则b⊥α.不正确，因为根据平面垂直的性质定理，如果两个平面垂直，其中一个平面内的直线只有垂直于交线的才垂直另一个平面．故选C.
3．若l、m、n是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是( )
A．若α∥β，l⊂α，n⊂β，则l∥n
B．若α⊥β，l⊂α，则l⊥β
C．若l⊥n，m⊥n，则l∥m
D．若l⊥α，l∥β，则α⊥β
解析：选D.选项A中，l除平行n外，还有异面的位置关系，则A不正确．选项B中，l与β的位置关系有相交、平行、在β内三种，则B不正确．选项C中，l与m的位置关系还有相交和异面，故C不正确．故选D.
4.已知a、b是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：
①若a⊥α，a⊥β，则α∥β；
②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；
③若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b；
④若α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，则a∥b.
其中正确命题的序号有________．
解析：垂直于同一直线的两平面平行，①正确；α⊥β也成立，②错；a、b也可异面，③错；由面面平行性质知，a∥b，④正确．
答案：①④
5．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足__________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)
解析：由定理可知，BD⊥PC.
∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，
而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.
答案：DM⊥PC(或BM⊥PC等)
6．如图，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，点E、F分别是AB、BD的中点，求证：
(1)直线EF∥平面ACD；
(2)平面EFC⊥平面BCD.
证明：(1)在△ABD中，因为E、F分别是AB、BD的中点，
所以EF∥AD.
又AD⊂平面ACD，EF⊄平面ACD，
所以直线EF∥平面ACD.
(2)在△ABD中，因为AD⊥BD，
EF∥AD，所以EF⊥BD.
在△BCD中，因为CD＝CB，F为BD的中点，
所以CF⊥BD.
因为EF⊂平面EFC，CF⊂平面EFC，
EF与CF交于点F，
所以BD⊥平面EFC.
又因为BD⊂平面BCD，
所以平面EFC⊥平面BCD.
练习
1．若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中为真命题的是( )
A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥α
B．若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β
C．若α⊥γ，α⊥β，则β∥γ
D．若m⊥β，m∥α，则α⊥β
解析：选D.对于选项D，若m∥α，则过直线m的平面与平面α相交得交线n，由线面平行的性质定理可得m∥n，又m⊥β，故n⊥β，且n⊂α，故由面面垂直的判定定理可得α⊥β.
2．设a、b是不同的直线，α、β是不同的平面，则下列四个命题中正确的是( )
A．若a⊥b，a⊥α，则b∥α
B．若a∥α，α⊥β，则a⊥β
C．若a⊥β，α⊥β，则a∥α
D．若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β
解析：选D.A中，b可能在α 内；B中，a可能在β内，也可能与β平行或相交(不垂直)；C中，a可能在α内；D中，a⊥b，a⊥α，则b⊂α或b∥α，又b⊥β，∴α⊥β.
3.如图，在斜三棱柱ABC—A1B1C1中，∠BAC=90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在( )
A．直线AB上
B．直线BC上
C．直线AC上
D．△ABC内部
解析：选A.∵BA⊥AC，BC1⊥AC，BA∩BC1＝B，
∴AC⊥平面ABC1.
∵AC⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面ABC1，且交线是AB.故平面ABC1上一点C1在底面ABC的射影H必在交线AB上．
4.如图，已知△ABC为直角三角形，其中∠ACB=90°，M为AB中点，PM垂直于△ABC所在平面，那么( )
A．PA＝PB>PC
B．PA＝PB