高中数学人教版新课标B必修21.2.3空间中的垂直关系学案
展开平面的基本性质
学习目的：理解并掌握平面的基本性质（三个公理及公理3的三个推论及其有关的符号表其示）。会证共面、共线问题。
学习重点、难点：理解并掌握三个公理及公理三的三个推论在证明共面、共线等问题时的作用。
学习过程：
一、【双基练习】
1） 符号表示：
点A在直线a上，记： 。点A不在直线a上，记： 。
点A在平面上，记： 。点A不在平面上，记： 。
直线a在平面上，记： 。直线a不在平面上，记： 。
平面与平面相交，交线是a，记：
2） 公理1的集合表示：若Aa,Ba,A,B,则AB。
3） 公理2的集合表示：若A, A ,则且Aa。
4）公理3的集合表示：过A、B、C三个不共线的点的平面可记为——
5）下列命题属于真命题的是：
① 若点A、B、C l, A， B,则可能有点C；
② 若点A及上，点B及，则平面与平面相交于直线AB;
③ 若直线a,直线b,则不可能有直线b
④ 若直线a，点Aa,则点A;
二、【例题】：
【例题1】 已知空间四点A，B，C，D不在同一个平面内，求证：直线AB和CD既不相交也不平行．
证明 用反证法．假设直线AB和CD相交或平行．由公理3的推论2，3知，这两条直线确定一个平面，设这个平面为，则有AB，CD
由公理1知A∈α，B∈α，C∈α，Dα，即点A，B，C，D同在平面α内．与已知条件矛盾．因此假设不成立．于是AB和CD既不相交也不平行．
说明 用反证法证题，必须注意驳倒与原结论相反的所有情况，如要证∠A＞∠B，就应把∠A=∠B， ∠A＜∠B两种情况都驳倒．因此，若结沦的反面情况多于两种时，用反证法就不适宜了．
【例题2】 已知四边形ABCD中，AB∥DC，AB，BC，CD，DA所在直线分别与平面α交于点E，G，F，H．求证E，H，F，G必共线．
证明 如图1-5．∵AB∥CD．设AB、CD确定平面β．∵ 点E，F，G，H分别在直线AB，CD，BC，AD上；∴ E，F，G，H都在β内．又因点E，F，G，H都在平面α内；
∴点E，F，G，H在α和β的交线上．由公理2，两个平面有且只有一条交线，知点E，F，G，H共直线．
说明 要证明若干点在同一条直线上．只需证这些点同在两个相交平面的交线上．这是常用方法之一．
说明：①共面： ；
共线： ；
②证点、线共面的方法：先证某些 一个平面，再证其余元素 此
面内。
课后练习题：
1、空间有四个点，如果其中任意三个点都不在同一条直线上，那么经过其中三个点的平面 [ ]
A．可能有3个，也可能有2个 B．可能有4个，也可能有3个
C．可能有3个，也可能有1个 D．可能有4个，也可能有1个
解析：分类，第一类，四点共面，则有一个平面，第二类，四点不共面，因为没有任何三点共线，则任何三点都确定一个平面，共有4个。
2．下列命题中正确的个数是 [ ]
①三角形是平面图形 ②四边形是平面图形
③四边相等的四边形是平面图形 ④矩形一定是平面图形
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析：命题①是正确的，因为三角形的三个顶点不共线，所以这三点确定平面。
命题②是错误，因平面四边形中的一个顶点在平面的上、下方向稍作运动，就形成了空间四边形。命题③也是错误，它是上一个命题中比较特殊的四边形。
命题④是正确的，因为矩形必须是平行四边形，有一组对边平行，则确定了一个平面。
3．如果一条直线上有一个点不在平面上，则这条直线与这个平面的公共点最多有____1个。
解析：如果有两个，则直线就在平面内，那么直线上的所有点都在这个平面内，这就与已知有一个点不在平面上矛盾，所以这条直线与这个平面的公共点最多有一个。
4．两两相交的三条直线，仅当交点数等于_______1个时，这三条直线才可能不共面。
5．空间一条直线及不在这条直线上的两个点，如果连结这两点的直线与已知直线_______，则它们在同一平面内。答案：相交或平行
解析：根据推论2，推论3确定平面的条件。
6．三角形、四边形、正六边形、圆，其中一定是平面图形的有________3个。
解析：三角形的三个顶点不在一条直线上，故可确定一个平面，三角形在这个平面内；圆上任取三点一定不在一条直线上，这三点即确定一个平面，也确定了这个圆所在的平面，所以圆是平面图形；而正六边形内接于圆，故正六边形也是平面图形；而四边形就不一定是平面图形了，它的四个顶点可以不在同一平面内。
7．三条平行直线可以确定平面_________个。答案：1个或3个
解析：分类、一类三线共面，即确定一个平面，另一类三线不共面，每两条确定一个，可确定3个。
8．画出满足下列条件的图形。
(1)α∩β=1，a α，b β，a∩b=A
(2)α∩β=a，b β，b∥a
解析：如图1-8-甲，1-8-乙
