高中苏教版3.1.2 指数函数教案设计

第二章  基本初等函数（Ⅰ）

2.1  指数函数

2.1.1  指数与指数幂的运算（2课时）

三维目标定向

〖知识与技能〗

（1）了解根式的概念，方根的概念及二者的关系；

（2）理解分数指数幂的概念，掌握有理数指数幂的运算性质，并能运用性质进行计算和化简。

〖过程与方法〗

通过对实际问题的探究过程，感知应用数学解决问题的方法，理解分类讨论思想、化归与转化思想在数学中的应用。

〖情感、态度与价值观〗

通过对数学实例的探究，感受现实生活对数学的需求，体验数学知识与现实的密切联系。

教学重难点

根式、分数指数幂的概念及其性质。

教学过程设计

一、问题情境设疑

问题1、根据国务院发展研究中心2000年发表的《未来20年我国发展前景分析》判断，未来20年，我国GDP（国内生产总值）年平均增长率可望达到7.3%，那么，在2001 ~ 2020年，各年的GDP可望为2000年的多少倍？

问题2、当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”，根据此规律，人们获得了生物体内碳14含量P与死亡年数t之间的关系，考古学家根据这个式子可以知道，生物死亡t年后，体内碳14含量P的值。

二、核心内容整合

（一）根式

（1）平方根：；立方根：。

（2）n次方根：如果，那么x叫做a的次方根。

练习1、填空：

（1）25的平方根等于_________；         （2）27的立方根等于__________；

（3）– 32的五次方根等于_____________；  （4）16的四次方根等于___________；

（5）a6的三次方根等于_____________；    （6）0的七次方根等于____________。

性质：

（1）当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，记为：。

（2）当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数，记为。

（3）负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0。

（4）。

练习2：求下列各式的值：

（1）；      （2）；      （3）；      （4）。

探究：一定成立吗？

例1、求下列各式的值：

（1）；  （2）；  （3）；  （4）。

练习3：（1）计算；

（2）若，求a的取值范围；

（3）已知，则b      a（填大于、小于或等于）；

（4）已知，求的值。

（二）分数指数幂

（1）整数指数幂：（简化运算，连加为乘，连乘为乘方）

运算性质：

（2）正分数指数幂

引入：，

小结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式，（分数指数幂形式）

思考：根式的被开方数不能被根指数整除时，根式是否也可以写成分数指数幂的形式？如：如何表示？

规定：

（3）负分数指数幂

规定：

如：

规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。

由于整数指数幂，分数指数幂都有意义，因此，有理数指数幂是有意义的，整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：

（1）； （2）； （3）。

例题剖析

例2、求值：

例3、用分数指数幂的形式表示下列各式（其中a > 0）

例4、计算下列各式（式中字母都是正数）

（1）；

（2）。

例5、计算下列各式：

（1）；

（2）。

（三）无理指数幂

问题：当指数是无理数时，如，我们又应当如何理解它呢？

一般地，无理数指数幂（a > 0，是无理数）是一个确定的实数。有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂。

四、知识反馈：P54，练习，1，2，3。

补充练习：

1、已知，求的值。

2、计算下列各式：（1）；

（2）。

3、已知，求下列各式的值：

（1）；（2）。

4、化简的结果是（    ）

（A）      （B）      （C）      （D）

5、等于（    ）

（A）    （B）    （C）    （D）2

6、有意义，则的取值范围是                          。

7、若，则           。

8、，下列各式总能成立的是（    ）

（A）      （B）

（C）       （D）

9、化简的结果是（    ）

（A）   （B）   （C）   （D）

五、三维体系构建

1、根式与分数指数幂的意义

2、根式与分数指数幂的相互转化

3、有理指数幂的含义及其运算性质：

（1）； （2）； （3）。

六、课后作业：P59，习题2.1，A组：1，2，3，4；B组：2。

教学反思：

2.1.2  指数函数及其性质

第一课时  指数函数的图象和性质

三维目标定向

〖知识与技能〗

（1）掌握指数函数的概念、图象和性质；

（2）能够运用指数函数的性质解决某些简单的实际问题。

〖过程与方法〗

通过对现实问题情境的探究，感受数学与现实生活的密切联系，理解从特殊到一般，转化与化归等数学思想方法。

〖情感、态度与价值观〗

在本节的学习过程中要注意列表计算中结果的分析，它是掌握指数函数的图象和性质的基础，函数图象是研究函数性质的直观工具，利用图象可以帮助我们记忆函数的性质和变化规律，因此，本节的学习要注重类比分析法、发现法、转化与化归等数学思想的应用，了解事物之间的普遍联系与相互转化，体验数学知识在生产生活实际中的应用。

教学重难点：掌握指数函数的图象、性质及应用。

教学过程设计

一、问题情境设疑

材料1：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个……一个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞分裂的个数y与x的函数关系是什么？

材料2：当生物死后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”。根据此规律，人们获得了生物体内碳14含量P与死亡年数t之间的关系，这个关系式应该怎样表示呢？

思考1：函数与函数有什么共同特征？

如果用字母a来代替数和2，那么以上两个函数都可以表示为形如的函数，其中自变量x是指数，底数a是一个大于0且不等于1的变量。

这就是我们要学习的指数函数：（a > 0且）。

思考2：（a > 0且），当x取全体实数对中的底数为什么要求a > 0且？

方法：可举几个“特例”，看一看a为何值时，x不能取全体实数；a为何值时，x可取全体实数；不能取全体实数的将不研究。

结论：当a > 0且时，有意义；

当a = 1时，是常量，无研究价值；

当a = 0时，若x > 0，无研究价值；若，无意义；

当a < 0时，不一定有意义，如。

为了便于研究，规定： a > 0且。

提问：那么什么是指数函数呢？思考后回答。

二、核心内容整合

1、指数函数的定义：

函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R。

练习1：下列函数中，那些是指数函数？               。

（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（且）

2、指数函数的图象和性质：

思考3：我们研究函数的性质，通常通过函数图象来研究函数的哪几个性质？

答：1、定义域；2、值域；3、单调性；4、对称性等。

思考4：得到函数的图象一般用什么方法？

列表、求对应的x和y的值、描点、作图。

用描点法画出指数函数的图象。

思考：函数的图象和函数的图象有什么关系？可否利用的图象画出的图象？（两个函数的图象关于轴对称）

（3）相关结论

三、例题分析示例

例1、已知指数函数的图象经过点（3，π），求，的值。

例2、比较下列各题中两个值的大小：

（1）1.7 2.5，1.7 3；  （2）0.8 – 0.1，0.8 – 0.2；  （3）1.7 0.3，0.9 3.1。

四、学习水平反馈：课本P58，练习1、2、3。

五、三维体系构建

1、指数函数的定义；

2、指数函数简图的作法以及应注意的地方；

3、指数函数的图象和性质（见上表）

六、课后作业：P59，习题2.1，A组：5、6、7、8。

教学反思：

第二课时  指数函数性质的应用

三维目标定向

〖知识与技能〗

在掌握指数函数性质的基础上利用指数函数的性质解决求函数的单调区间、比较大小、求字母的取值范围、求一类函数的值域等问题，充分体现指数函数的性质应用，并且会借助指数函数模型求解实际问题。

〖过程与方法〗

通过应用指数函数的性质解决实际问题的过程，体会应用知识分析问题、解决问题的思维方法，学会转化和化归的数学思想。

〖情感、态度与价值观〗

增强学生的应用意识，树立学好数学的信心，最终形成锲而不舍的钻研精神和科学态度。

教学重难点：指数函数性质的应用。

教学过程设计

一、温故而知新

指数函数的概念、图象与性质（强调单调性）

二、核心内容整合

1、图象的平移与对称变换

一般地，对形如形式的函数，其图象可由的图象经过左右上下平移得到。

将指数函数的图象通过翻折、对称，再辅助平移变换可得到较为复杂的函数图象。

例1、若函数恒过定点P，试求点P的坐标。

解：将指数函数的图象沿x轴右移一个单位，再沿y轴上移3个单位即可得到的图象，因为的图象恒过（0，1），故相应的恒过定点（1，4）。

练习1、说明下列函数的图象与指数函数的图象的关系，并画出他们的图象：

（1）；      （2）。

练习2：画出函数的图象。

2、复合函数单调性的应用

指数函数的单调性应用十分广泛，可以用来比较数或式的大小，求函数的定义域、值域、最大值、最小值、求字母参数的取值范围等。

对复合函数，若在区间（a，b）上是增函数，其值域为（c，d），又函数在（c，d）上是增函数，那么复合函数在（a，b）上为增函数。可推广为下表（简记为同增异减）：

例2、求不等式中x的取值范围。

解：当a > 1时，函数在R上是增函数，所以

；

当0 < a < 1时，函数在R上是减函数，所以

。

例3、求函数的定义域、值域、单调区间。

解：（1）函数的定义域为，

（2）令，则，

因为在上是减函数，而在其定义域内是减函数，所以函数在上为增函数。

又因为在上是减函数，而在其定义域内是减函数，所以函数在上为增函数。

（3）因为，而在其定义域内是减函数，所以，所以函数的值域为。

练习：讨论函数的单调性。

3、奇偶性分析及应用

无论0 < a < 1或a > 1，均不为奇函数或偶函数，但由其参与而构成的较为复杂的函数式的奇偶性，是经常出现的题型之一，其判断方法仍是判断与之间的关系。

例4、已知，

（1）求函数的定义域；

（2）判断的奇偶性。

（3）求证：。

解：（1）由，得，所以函数的定义域为；

（2），

则，所以为偶函数。

（3）当x > 0时，由指数函数的性质知，所以，所以当x > 0时，。由于为偶函数，所以当x < 0时，> 0。

总之，且时，函数。

练习：已知为奇函数，则k =         。

4、实际应用

指数函数应用广泛，如银行复利、人口增长、细菌繁衍、分期付款、土地流失等，这些问题有些模型是指数函数，有些则是指数型函数或，要具体问题具体分析。

例5、截止1999年底，我国人口约13亿，如果今后能将人口年平均增长率控制在1%，那么经过20年后，我国人口数最多为多少（精确到亿）？

解：设今后人口年平均增长率为1%，经过x年后，我国人口数为y亿，

则有（亿），当x = 20时，（亿）。所以，经过20年后，我国人口数最多为16亿。

小结：在实际问题中，经常会遇到类似的指数增长模型：设原有量为N，每次的增长率为p，经过x次增长，该量增长到y，则。我们把形如（且）的函数称为指数型函数，这是非常有用的函数模型。

练习（1）如果人口年平均增长率提高1个百分点，那么20年，33年后我国的人口数是多少？

（2）如果年均增长率保持在2%，试计算2020 ~ 2100年，每隔5年相应的人口数。

（3）我国人口数的增长呈现什么趋势？

（4）如何看待我国的计划生育政策？

三、课后作业：P65，习题2.1，A组9，B组3，4。

教学反思：

指数函数小结

学情分析：

本节要解决的问题是：运用幂的运算性质进行化简、求值，利用指数函数的定义、图象和性质解决有关问题。

解决上述问题的关键是：类比整数指数幂的运算性质记忆分数指数幂的运算公式，能实现根式和分数指数幂的转化，通过指数函数的图象牢记指数函数的定义域、值域、单调性等性质，注意底数对指数函数性质的影响。

一、利用幂的运算性质进行化简、求值：

例1：求的值。

解：原式。

说明：对于计算题的结果，不要求用什么形式来表示，没有特别要求，就用分数指数幂的形式表示，如果有特殊要求，可根据要求给出结果，但结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数。

练习1：化简：

（1）；  （2）。

二、指数函数的图象

例2：函数的图象如图所示，其中a、b为常数，则下列结论正确的是（    ）

（A）a > 1，b > 0         （B）a > 1，b < 0

（C）0 < a < 1，b > 0      （D）0 < a < 1，b < 0

练习：如图所示曲线是指数函数的图象，已知a的值取、、、，则相应于曲线C1、C2、C3、C4的a依次为（    ）

（A）、、、

（B）、、、    （C）、、、    （D）、、、

三、指数函数性质的综合应用

例3：已知是定义在（– 1，1）上的奇函数，当（0，1）时，，

（1）求在（– 1，1）上的解析式；

（2）研究的单调性；

（3）求的值域。

分析：依奇函数定义写出在（– 1，0）上的解析式，按单调性定义求单调区间可得函数的值域。

练习3：已知函数（a > 0且）。

（1）求的定义域和值域；

（2）讨论的单调性。

四、与指数函数有关的最值问题

例4：求函数的最大值与最小值。

分析：指数函数与二次函数复合构成的复合二次函数最值，一般都要先通过换元化去指数式，转化为二次函数的最值讨论，要留意换元后“新元”的取值范围。

练习4：如果函数（a > 0且）在[– 1，1]上的最大值为14，求a的值。