高中数学苏教版必修1第3章 指数函数、对数函数和幂函数3.1 指数函数3.1.2 指数函数教案

2.1.2指数函数及其性质（第1个课时）

一. 教学目标：

1．知识与技能

①通过实际问题了解指数函数的实际背景；

②理解指数函数的概念和意义，根据图象理解和掌握指数函数的性质.

③体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想；

2．情感、态度、价值观

①让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理.

②培养学生观察问题，分析问题的能力.

3．过程与方法

展示函数图象，让学生通过观察，进而研究指数函数的性质.

二．重、难点

重点：指数函数的概念和性质及其应用.

难点：指数函数性质的归纳，概括及其应用.

三、学法与教具：

①学法：观察法、讲授法及讨论法.

②教具：多媒体.

第一课时

一．教学设想：

1. 情境设置

①在本章的开头，问题（1）中时间与GDP值中的

，请问这两个函数有什么共同特征.

    ②这两个函数有什么共同特征

，从而得出这两个关系式中的底数是一个正数，自变量为指数，即都可以用（＞0且≠1来表示）.

二．讲授新课

指数函数的定义

一般地，函数（＞0且≠1）叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为R.

提问：在下列的关系式中，哪些不是指数函数，为什么？

（1）       （2）        （3）

（4）        （5）           （6）

（7）        （8）  （＞1，且）

小结：根据指数函数的定义来判断说明：因为＞0，是任意一个实数时，是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R.

若＜0，如在实数范围内的函数值不存在.

若=1, 是一个常量，没有研究的意义，只有满足的形式才能称为指数函数，不符合.

我们在学习函数的单调性的时候，主要是根据函数的图象，即用数形结合的方法来研究. 下面我们通过

先来研究＞1的情况

用计算机完成以下表格，并且用计算机画出函数的图象

再研究，0＜＜1的情况，用计算机完成以下表格并绘出函数的图象.

从图中我们看出

通过图象看出实质是上的

讨论：的图象关于轴对称，所以这两个函数是偶函数，对吗？

②利用电脑软件画出的函数图象.

问题：1：从画出的图象中，你能发现函数的图象与底数间有什么样的规律.

从图上看（＞1）与（0＜＜1）两函数图象的特征.

问题2：根据函数的图象研究函数的定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性.

问题3：指数函数（＞0且≠1），当底数越大时，函数图象间有什么样的关系.

5．利用函数的单调性，结合图象还可以看出：

（1）在（＞0且≠1）值域是

（2）若

（3）对于指数函数（＞0且≠1），总有

（4）当＞1时，若＜，则＜；

例题：

例1：（P66 例6）已知指数函数（＞0且≠1）的图象过点（3，π），求

分析：要求再把0，1，3分别代入，即可求得

提问：要求出指数函数，需要几个条件？

课堂练习：P68  练习：第1，2，3题

补充练习：1、函数

          2、当

解（1）

  （2）（－，１）

例2：求下列函数的定义域：

（1）    （2）

分析：类为的定义域是R，所以，要使（1），（2）题的定义域，保要使其指数部分有意义就得 .

3．归纳小结

作业：P69  习题2.1  A组第5、6题

1、理解指数函数

2、解题利用指数函数的图象，可有利于清晰地分析题目，培养数型结合与分类讨论的数学思想 .

2.1.2指数函数及其性质（第2课时）

教学过程：

1、复习指数函数的图象和性质

2、例题

例1：（P66例7）比较下列各题中的个值的大小

（1）1.72.5   与  1.73

( 2 )与

( 3 )  1.70.3  与   0.93.1

解法1：用数形结合的方法，如第（1）小题，用图形计算器或计算机画出的图象，在图象上找出横坐标分别为2.5, 3的点，显然，图象上横坐标就为3的点在横坐标为2.5的点的上方，所以  .

解法2：用计算器直接计算：   

所以，

解法3：由函数的单调性考虑

        因为指数函数在R上是增函数，且2.5＜3，所以，

        仿照以上方法可以解决第（2）小题 .

注：在第（3）小题中，可以用解法1，解法2解决，但解法3不适合 .

    由于1.70.3=0.93.1不能直接看成某个函数的两个值，因此，在这两个数值间找到1，把这两数值分别与1比较大小，进而比较1.70.3与0.93.1的大小 .

思考：

1、已知按大小顺序排列.

2. 比较（＞0且≠0）.

指数函数不仅能比较与它有关的值的大小，在现实生活中，也有很多实际的应用.

例2（P67例8）截止到1999年底，我们人口哟13亿，如果今后，能将人口年平均均增长率控制在1%，那么经过20年后，我国人口数最多为多少（精确到亿）？

分析：可以先考试一年一年增长的情况，再从中发现规律，最后解决问题：

1999年底       人口约为13亿

经过1年        人口约为13（1+1%）亿

经过2年        人口约为13（1+1%）（1+1%）=13(1+1%)2亿

经过3年        人口约为13(1+1%)2(1+1%)=13(1+1%)3亿

经过年        人口约为13(1+1%)亿

经过20年       人口约为13(1+1%)20亿

解：设今后人口年平均增长率为1%，经过年后，我国人口数为亿，则

当=20时，

答：经过20年后，我国人口数最多为16亿.

小结：类似上面此题，设原值为N，平均增长率为P，则对于经过时间后总量，＞0且≠1）的函数称为指数型函数 .

思考：P68探究：

（1）如果人口年均增长率提高1个平分点，利用计算器分别计算20年后，33年后的我国人口数 .

（2）如果年平均增长率保持在2%，利用计算器2020~2100年，每隔5年相应的人口数 .

（3）你看到我国人口数的增长呈现什么趋势？

（4）如何看待计划生育政策？

3．课堂练习

（1）右图是指数函数①  ②   ③  ④的图象，判断与1的大小关系；

（2）设其中＞0，≠1，确定为何值时，有：

①      ②＞      

（3）用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的，写出存留污垢与漂洗次数的函数关系式，若要使存留的污垢，不超过原有的1%，则少要漂洗几次（此题为人教社B版101页第6题）.

归纳小结：本节课研究了指数函数性质的应用，关键是要记住＞1或0＜＜时的图象，在此基础上研究其性质 .本节课还涉及到指数型函数的应用，形如（a＞0且≠1）.

作业：P69 A组第 7 ，8 题　　　　P70 B组   第 1，4题