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2021年云南省昆明市校际合作学校中考数学模拟试卷（5月份） 解析版
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这是一份2021年云南省昆明市校际合作学校中考数学模拟试卷（5月份） 解析版，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年云南省昆明市校际合作学校中考数学模拟试卷（5月份）
一、选择题（本大题共8个小题，每小题只有一个正确选项，每小题4分，满分32分，请用2B铅笔填涂在答题卡的相应位置上）
1．（4分）熔喷布，俗称口罩的“心脏”，是口罩中间的过滤层，能过滤细菌，阻止病菌传播．经测量，医用外科口罩的熔喷布厚度约为0.000156米，将0.000156用科学记数法表示应为（ ）
A．0.156×10﹣3 B．1.56×10﹣3 C．1.56×10﹣4 D．15.6×10﹣4
2．（4分）如图，这是一个机械模具，则它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
3．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．m2m3＝m6 B．3m+2n＝5mn C．＝4 D．2﹣2＝
4．（4分）垃圾分类是对垃圾进行有效处置的一种科学管理方式，是对垃圾收集处置传统方式的改革，甲乙两班各有40名同学参加了学校组织的2020年“生活垃圾分类回收”的考试．考试规定成绩大于等于96分为优异，两个班成绩的平均数、中位数、方差如表所示，则下列说法正确的是（ ）
参加人数
平均数
中位数
方差
甲
40
95
93
5.1
乙
40
95
95
4.6
A．甲班的成绩比乙班的成绩稳定
B．甲班成绩优异的人数比乙班多
C．甲，乙两班竞褰成绩的众数相同
D．小明得94分将排在甲班的前20名
5．（4分）如图，在5×5的正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，则tan∠BAC的值等于（ ）
A． B．3 C．1 D．
6．（4分）国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．5000（1+2x）＝7500
B．5000×2（1+x）＝7500
C．5000（1+x）2＝7500
D．5000+5000（1+x）+5000（1+x）2＝7500
7．（4分）若关于x的不等式组的解集为x≤﹣2，关于x的一元二次方程ax2﹣3x+1＝0有两个不相等的实数根，则符合条件的整数a有（ ）个．
A．3 B．4 C．5 D．6
8．（4分）如图，正方形ABCD的边长为a，点E，F分别在边BC，CD上，且满足∠EAF＝45°，AE、AF分别与对角线BD交于点M、N，AH⊥EF于点H，以下说法：①AH＝a；②△CEF的周长是2a；③若BE＝2，DF＝3，则a＝6；④△ABM≌△NEM；⑤AN⊥NE，其中正确的是（ ）
A．①②③⑤ B．①②④⑤ C．①②③ D．①②⑤
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分，请用黑色的碳素笔写在答题卡的相应位置上）
9．（3分）如果向东走3米记作+3米，那么向西走5米记作 米．
10．（3分）函数y＝中，自变量x的取值范围是 ．
11．（3分）数学活动课上，小明制作了一顶圆锥形纸帽（如图），其底面直径为24cm，母线长为20cm，将这顶纸帽剪开，展开成扇形时圆心角的度数为 度．
12．（3分）如图，已知△ABC，AB＝BC＝1，∠B＝36°，以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB、AC于点M、N，分别以M、N为圆心，以大于MN长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点P，连接AP交BC于点E，则BE的长是 ．
13．（3分）将一些相同的“•”按如图所示摆放，观察每个图形中“•”的个数，按此规律，若第n个图案中“•”的个数是90，则n的值＝ ．
14．（3分）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，在△AOB内部作正方形，使正方形的四个顶点都落在△AOB的边上，则正方形的边长＝ ．
三、解答题（本大题共9个小题，满分70分，请用黑色的碳素笔写在答题卡的相应位置上）
15．（6分）先化简，再求值：，其中x＝tan60°﹣2．
16．（6分）如图，已知AB＝CD，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，BF＝DE，求证：AB∥CD．
17．（6分）新冠疫情期间，某校开展线上教学．为了解该校九年级10个班500名学生线上数学学习情况，返校后进行了数学考试．在10个班中随机抽样了部分同学的考试成绩（得分均为整数，最低分60分）进行整理，并分别绘制成扇形统计图和频数分布直方图．部分信息如下：
（1）样本中的学生共有 人，图1中59.5﹣69.5的扇形圆心角是 ；
（2）补全图2频数分布直方图；
（3）考前年级规定，成绩由高到低前40%的同学可以奖励，小玲的成绩为88分，请判断她能否得到奖励．并说明理由．
18．（7分）为了理解面积一定的矩形中，相邻两边的关系，小华画出面积为16的一些矩形，若记矩形一边长为x，另一边长为y，把x，y列表如下：
x
..．
1
2
3
4
8
16
..．
y
..．
16
8
m
4
2
1
..．
（1）根据表中的数据在给定的平面直角坐标系中描点，并画出y与x的函数图象；
（2）写出y关于x的函数解析式，并求出m；
（3）在此条件下，若矩形的周长不大于20，直接写出同时满足这两个条件的边长x的取值范围 ．
19．（7分）在一个不透明的盒子中装有大小和形状相同的3个红球和1个白球，把它们充分搅匀．
（1）“从中任意抽取1个球不是红球就是白球”是 事件，“从中任意抽取1个球是黄球”是 事件；
（2）为了更好的迎接“《生物多样性公约》第15次缔约方大会”（简称“COPL5”）昆明的某校决定开展使昆明的城市形象大变化、大转身的“城市美容”演讲，学校要在甲、乙两名同学中选取一名同学作为主持人，制定如下规则：从盒子中同时抓两个球，若两球颜色相同，则选甲；若两球颜色不同，则选乙．你认为这个规则公平吗？够说明理由．
20．（8分）如图，已知矩形ABCD，连接AC，EF垂直平分AC于点O，分别交AD、BC于点E、点F，连接FC．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若△CEF与△CED的面积比为3：1，且AB＝4，求四边形AECF的面积．
21．（9分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，∠COB＝2∠PCB．
（1）求证：CP是⊙O的切线；
（2）若M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB＝6．求MC•MN的值．
22．（10分）某商场计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元，用150元购进甲种玩具的件数与用90元购进乙种玩具的件数相同．
（1）求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？
（2）商场用不超过1200元的资金购进甲、乙两种玩具共50件，其中甲种玩具的件数不少于乙种玩具的件数，若甲玩具售价40元，乙玩具售价20元，当玩具售完后，要使利润最大，应怎样进货？
（3）在（2）的条件下，每卖一件甲玩具就捐款给希望小学m元（8＜m＜12），当玩具售完后，要使利润最大，对甲玩具应怎样进货？
23．（11分）已知抛物线：y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）过点（﹣1，0）与（0，﹣3）．直线y＝x﹣6交x轴、y轴分别于点A、B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是抛物线上的任意一点．连接PA，PB，使得△PAB的面积最小，求△PAB的面积最小时，P的横坐标；
（3）作直线x＝t分别与抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）和直线y＝x﹣6交于点E，F，点C是抛物线对称轴上的任意点，若△CEF是以点E或点F为直角顶点的等腰直角三角形，求点C的纵坐标．
2021年云南省昆明市校际合作学校中考数学模拟试卷（5月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题只有一个正确选项，每小题4分，满分32分，请用2B铅笔填涂在答题卡的相应位置上）
1．（4分）熔喷布，俗称口罩的“心脏”，是口罩中间的过滤层，能过滤细菌，阻止病菌传播．经测量，医用外科口罩的熔喷布厚度约为0.000156米，将0.000156用科学记数法表示应为（ ）
A．0.156×10﹣3 B．1.56×10﹣3 C．1.56×10﹣4 D．15.6×10﹣4
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000156＝1.56×10﹣4．
故选：C．
2．（4分）如图，这是一个机械模具，则它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：从左边看，得到的图形只有一列两层，第一层是正方形，第二层的正方形里面有实心的圆圈，
故选：B．
3．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．m2m3＝m6 B．3m+2n＝5mn C．＝4 D．2﹣2＝
【分析】运用同底数幂的乘法法则、合并同类项法则、算术平方根、负整数指数幂的意义等知识点，逐个计算得结论．
【解答】解：m2m3＝m2+3＝m5≠m6，故选项A运算错误；
3m与2n不是同类项，不能合并，故选项B运算错误；
＝2≠4，故选项C运算错误；
2﹣2＝，故选项D运算正确．
故选：D．
4．（4分）垃圾分类是对垃圾进行有效处置的一种科学管理方式，是对垃圾收集处置传统方式的改革，甲乙两班各有40名同学参加了学校组织的2020年“生活垃圾分类回收”的考试．考试规定成绩大于等于96分为优异，两个班成绩的平均数、中位数、方差如表所示，则下列说法正确的是（ ）
参加人数
平均数
中位数
方差
甲
40
95
93
5.1
乙
40
95
95
4.6
A．甲班的成绩比乙班的成绩稳定
B．甲班成绩优异的人数比乙班多
C．甲，乙两班竞褰成绩的众数相同
D．小明得94分将排在甲班的前20名
【分析】分别根据方差的意义、中位数意义、众数的定义及平均数的意义逐一判断即可．
【解答】解：A．乙班成绩的方差小于甲班成绩的方差，所以乙班成绩稳定，此选项错误，不符合题意；
B．乙班成绩的中位数大于甲班，所以乙班成绩不低于95分的人数多于甲班，此选项错误，不符合题意；
C．根据表中数据无法判断甲、乙两班成绩的众数，此选项错误，不符合题意；
D．因为甲班共有40名同学，甲班的中位数是93分，所以小明得94分将排在甲班的前20名，此选项正确，符合题意；
故选：D．
5．（4分）如图，在5×5的正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，则tan∠BAC的值等于（ ）
A． B．3 C．1 D．
【分析】求出△ABC三边的长，根据勾股定理的逆定理可得△ABC是直角三角形，利用锐角三角函数得出结论．
【解答】解：∵AC＝，AB＝，BC＝，
∴AC2＝2，AB2＝20，BC2＝18，
∴AB2＝AC2+BC2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，
∴tan∠BAC＝，
故选：B．
6．（4分）国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．5000（1+2x）＝7500
B．5000×2（1+x）＝7500
C．5000（1+x）2＝7500
D．5000+5000（1+x）+5000（1+x）2＝7500
【分析】根据题意可得等量关系：2017年的快递业务量×（1+增长率）2＝2019年的快递业务量，根据等量关系列出方程即可．
【解答】解：设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，
由题意得：5000（1+x）2＝7500，
故选：C．
7．（4分）若关于x的不等式组的解集为x≤﹣2，关于x的一元二次方程ax2﹣3x+1＝0有两个不相等的实数根，则符合条件的整数a有（ ）个．
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】求得不等式组的解集可确定a＞﹣3，再根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到a≠0且Δ＝9﹣4a＞0，所以﹣3＜a＜且a≠0，然后找出此范围内的整数即可．
【解答】解：解不等式组得，
而此不等式组的解集是x≤﹣2，
∴a+1＞﹣2，
∴a＞﹣3，
∵关于x的一元二次方程ax2﹣3x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝9﹣4a＞0且a≠0，
∴a＜且a≠0，
∴﹣3＜a＜且a≠0，
∴符合条件的整数a为﹣2、﹣1、1、2共4个．
故选：B．
8．（4分）如图，正方形ABCD的边长为a，点E，F分别在边BC，CD上，且满足∠EAF＝45°，AE、AF分别与对角线BD交于点M、N，AH⊥EF于点H，以下说法：①AH＝a；②△CEF的周长是2a；③若BE＝2，DF＝3，则a＝6；④△ABM≌△NEM；⑤AN⊥NE，其中正确的是（ ）
A．①②③⑤ B．①②④⑤ C．①②③ D．①②⑤
【分析】延长EB至点G，使BG＝DF，通过证明△AEG≌△AEF，然后结合全等三角形的性质判断①和②，利用全等三角形的性质结合勾股定理判断③，证明△AMN∽△BME，然后根据相似三角形的判断和性质判断④，结合相似三角形的性质求得∠ABM＝∠AEN＝45°，从而判断⑤．
【解答】解：如图，延长EB至点G，使BG＝DF，
∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠ABC＝∠ADF＝∠ABG＝90°，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴∠BAG＝∠DAF，AF＝AG，
又∵∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠DAF＝45°，
∴∠BAE+∠BAG＝45°，
∴∠GAE＝∠EAF，
∴△AGE≌△AFE，
∴GE＝FE，S△AGE＝S△AFE，
又∵AH⊥EF，AB⊥GE，
∴AH＝AB＝a，故①正确；
∵BG＝DF，GE＝FE，
∴△CEF的周长＝CE+EF+CF
＝CE+EG+CF
＝CE+BE+BG+CF
＝CE+BE+DF+CF
＝BC+CD
＝2a，故②正确；
∵BE＝2，DF＝3，
∴EF＝GE＝BE+BG＝BE+DF＝2+3＝5，
在Rt△ECF中，CF＝a﹣3，EC＝a﹣2，
∴（a﹣3）2+（a﹣2）2＝52，
解得：a＝6或a＝﹣1（负值舍去），故③正确；
∵∠EAF＝45°，∠DBC＝45°，
∴∠EAF＝∠DBC，
又∵∠BME＝∠AMN，
∴△BME∽△AMN，
∴，
又∵∠AMB＝∠NME，
∴△ABM相似△NEM，但并一定全等，故④错误；
∵△AMB∽△NME，
∴∠ABM＝∠AEN＝45°，
又∵∠EAF＝45°，
∴∠ANE＝180°﹣∠AEN﹣∠EAF＝90°，
即AN⊥NE，故⑤正确，
正确的是①②③⑤，
故选：A．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分，请用黑色的碳素笔写在答题卡的相应位置上）
9．（3分）如果向东走3米记作+3米，那么向西走5米记作 ﹣5 米．
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
【解答】解：∵“正”和“负”相对，向东走3米记作+3米，
∴向西走5米记作﹣5米．
10．（3分）函数y＝中，自变量x的取值范围是 x≤3 ．
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，3﹣x≥0，
解得x≤3．
故答案为：x≤3．
11．（3分）数学活动课上，小明制作了一顶圆锥形纸帽（如图），其底面直径为24cm，母线长为20cm，将这顶纸帽剪开，展开成扇形时圆心角的度数为 216 度．
【分析】利用圆锥的底面周长＝展开扇形的弧长可得到24π＝，求得n值即可．
【解答】解：设展开扇形的度数为n°，
由图知圆锥的底面直径为24cm，母线长为20cm，
∵圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长，
∴24π＝，
解得n＝216．
故答案为：216．
12．（3分）如图，已知△ABC，AB＝BC＝1，∠B＝36°，以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB、AC于点M、N，分别以M、N为圆心，以大于MN长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点P，连接AP交BC于点E，则BE的长是 ．
【分析】根据作图过程可得AE平分∠BAC，根据AB＝BC＝1，∠B＝36°，可得BE＝AE＝AC，证明△BAC∽△AEC，对应边成比例解方程即可求出BE的长．
【解答】解：∵AB＝BC＝1，∠B＝36°，
∴∠BAC＝∠C＝72°，
根据作图过程可知：AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE＝BAC＝36°，
∴∠B＝∠BAE＝∠CAE，
∴BE＝AE，
∵∠AEC＝∠B+∠BAE＝72°，
∴∠AEC＝∠C，
∴AE＝AC，
∴BE＝AE＝AC，
∴△BAC∽△AEC，
∴＝，
∴＝，
解得BE＝（舍去），
故答案为：．
13．（3分）将一些相同的“•”按如图所示摆放，观察每个图形中“•”的个数，按此规律，若第n个图案中“•”的个数是90，则n的值＝ 9 ．
【分析】通过观察图形找到“•”的排列规律，用含有n的代数式表示第n个图形中“•”的个数，再把90代入，得到关于n的方程，解出即得答案．
【解答】解：∵第1个图形有“•”的个数为：2＝1×2；
第2个图形有“•”的个数为：6＝2×3；
第3个图形有“•”的个数为：12＝3×4；
第4个图形有“•”的个数为：20＝4×5；
∴第n个图形有“•”的个数为：n（n+1）；
∴当第n个图案中“•”的个数是90，得：
n（n+1）＝90，
解得：n＝9或n＝﹣10（舍去）．
故答案为：9．
14．（3分）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，在△AOB内部作正方形，使正方形的四个顶点都落在△AOB的边上，则正方形的边长＝ 或 ．
【分析】本题分两种情况分别讨论：如图①所示，以坐标轴作为正方形的两条邻边，做正方形OEDC，设D（m，m），将D点横纵坐标代入y＝﹣x+3，求出m，也就求出正方形的边长；如图②所示，以直线y＝﹣x+3为正方形的一边可得正方形CDEF，根据一次函数与坐标轴的特点求出45°角，再根据正方形的性质用x表示出边长，根据线段之和求出x的值，从而求出正方形的边长．
【解答】解：①如图①所示，以坐标轴作为正方形的两条邻边，做正方形OEDC，
∴CD＝DE，
设D（m，m），将D点横纵坐标代入y＝﹣x+3，
得m＝﹣m+3，
m＝，
∴D（，）
∴正方形的边长是；
②如图②所示，以直线y＝﹣x+3为正方形的一边可得正方形CDEF，
令x＝0，y＝3，y＝0，x＝3，
∴OB＝OA，
∵∠AOB＝90°，
∴∠OBA＝∠OAB＝45°，
∵四边形CDEF是正方形，
∴CF＝CD＝DE＝FE，CF∥BA，
∴∠OCF＝∠OBA＝45°，∠CFO＝∠OAB＝45°，
设OF＝x，则CF＝x，
∴EF＝x，
在Rt△FEA中，sin45°＝，
∴AF＝2x，
∵OF+AF＝OA，
∴x+2x＝3，
解得x＝1．
∴EF＝，
∴正方形的边长是；
综上所述：正方形的边长是或．
故答案为：或．
三、解答题（本大题共9个小题，满分70分，请用黑色的碳素笔写在答题卡的相应位置上）
15．（6分）先化简，再求值：，其中x＝tan60°﹣2．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由特殊锐角三角函数值得出x的值，代入计算可得．
【解答】解：原式＝﹣•
＝﹣
＝﹣，
当x＝tan60°﹣2＝﹣2时，
原式＝﹣＝﹣＝﹣．
16．（6分）如图，已知AB＝CD，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，BF＝DE，求证：AB∥CD．
【分析】根据全等三角形的判定与性质，可得∠B＝∠D，根据平行线的判定，可得答案．
【解答】证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB＝∠CFD＝90°，
∵BF＝DE，
∴BF+EF＝DE+EF，
∴BE＝DF．
在Rt△AEB和Rt△CFD中，
，
∴Rt△AEB≌Rt△CFD（HL），
∴∠B＝∠D，
∴AB∥CD．
17．（6分）新冠疫情期间，某校开展线上教学．为了解该校九年级10个班500名学生线上数学学习情况，返校后进行了数学考试．在10个班中随机抽样了部分同学的考试成绩（得分均为整数，最低分60分）进行整理，并分别绘制成扇形统计图和频数分布直方图．部分信息如下：
（1）样本中的学生共有 50 人，图1中59.5﹣69.5的扇形圆心角是 36° ；
（2）补全图2频数分布直方图；
（3）考前年级规定，成绩由高到低前40%的同学可以奖励，小玲的成绩为88分，请判断她能否得到奖励．并说明理由．
【分析】（1）用“79.5～89.5”的人数除以它们所占的百分比可得到调查的总人数；用360°乘以59.5～69.5”这一范围的人数占总人数的百分比，即可得出答案；
（2）求出“69.5～74.5”这一范围的人数即可补全图2频数分布直方图；
（3）求出成绩由高到低前40%的参赛选手人数为50×40%＝20（人），由88＞84.5，即可得出结论．
【解答】解：（1）样本中的学生共有（10+8）÷36%＝50（人），
59.5﹣69.5的扇形圆心角度数为360°×＝36°，
故答案为：50、36°；
（2）69.5﹣74.5对应的人数为50﹣（4+8+8+10+8+3+2）＝7，
补全频数分布直方图如下：
（3）能得到奖励．理由如下：
∵本次比赛参赛选手50人，
∴成绩由高到低前40%的人数为50×40%＝20，
又∵88＞84.5，
∴能得到奖励．
18．（7分）为了理解面积一定的矩形中，相邻两边的关系，小华画出面积为16的一些矩形，若记矩形一边长为x，另一边长为y，把x，y列表如下：
x
..．
1
2
3
4
8
16
..．
y
..．
16
8
m
4
2
1
..．
（1）根据表中的数据在给定的平面直角坐标系中描点，并画出y与x的函数图象；
（2）写出y关于x的函数解析式，并求出m；
（3）在此条件下，若矩形的周长不大于20，直接写出同时满足这两个条件的边长x的取值范围 2≤x≤8 ．
【分析】（1）根据题意画出函数的图象即可；
（2）根据已知条件得到函数的解析式；
（3）根据题意列不等式组，解不等式组即可得到结论．
【解答】解：（1）如图所示；
（2）设y关于x的函数解析式为y＝，
把（1，16）代入得，k＝16，
∴y关于x的函数解析式为y＝，
当x＝3时，y＝，
∴m＝；
（3）∵矩形的周长不大于20，
∴，
∴2≤x≤8，
故答案为：2≤x≤8．
19．（7分）在一个不透明的盒子中装有大小和形状相同的3个红球和1个白球，把它们充分搅匀．
（1）“从中任意抽取1个球不是红球就是白球”是 必然 事件，“从中任意抽取1个球是黄球”是 不可能 事件；
（2）为了更好的迎接“《生物多样性公约》第15次缔约方大会”（简称“COPL5”）昆明的某校决定开展使昆明的城市形象大变化、大转身的“城市美容”演讲，学校要在甲、乙两名同学中选取一名同学作为主持人，制定如下规则：从盒子中同时抓两个球，若两球颜色相同，则选甲；若两球颜色不同，则选乙．你认为这个规则公平吗？够说明理由．
【分析】（1）直接利用必然事件以及不可能事件的定义分别求解即可得出答案；
（2）首先根据题意画出树状图得出所有等情况数，找出两个球颜色相同的情况数和不同的情况数，再利用概率公式即可求出答案．
【解答】解：（1）∵不透明的盒子中装有大小和形状相同的3个红球和1个白球，
∴“从中任意抽取1个球不是红球就是白球”是必然事件；
“从中任意抽取1个球是黄球”是不可能事件；
故答案为：必然，不可能；
（2）根据题意画图如下：
一共有12种可能出现的结果，其中两个球是同色的有6种情况，
则甲获胜的概率是＝，乙获胜的概率是，
∵＝，
∴这个规则公平．
20．（8分）如图，已知矩形ABCD，连接AC，EF垂直平分AC于点O，分别交AD、BC于点E、点F，连接FC．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若△CEF与△CED的面积比为3：1，且AB＝4，求四边形AECF的面积．
【分析】（1）根据线段的垂直平分线得出EF⊥AC，AO＝CO，根据矩形的性质得出AD∥BC，求出∠EAO＝∠FCO，根据全等三角形的判定定理得出△EAO≌△FCO，求出AE＝CF，得出四边形AECF为平行四边形，再得出答案即可；
（2）根据菱形的性质得出AF＝CF，设AF＝CF＝x，根据勾股定理求出x，再求出面积即可．
【解答】（1）证明：∵EF是AC的垂直平分线，
∴EF⊥AC，AO＝CO，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO，
在△EAO和△FCO中
，
∴△EAO≌△FCO（ASA），
∴AE＝CF，
∵AE∥CF，
∴四边形AECF为平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴四边形AECF为菱形；
（2）解：∵△CEF与△CED的面积比为3：1，
∴CF：DE＝AF：BF＝3：1，
设AF＝3x，BF＝x，
由勾股定理得：AB2+BF2＝AF2，
即42+x2＝（3x）2，
解得：x＝，
∴CF＝3，
∴S菱形AECF＝CF×AB＝3×4＝12．
21．（9分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，∠COB＝2∠PCB．
（1）求证：CP是⊙O的切线；
（2）若M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB＝6．求MC•MN的值．
【分析】（1）已知C在圆上，故只需证明OC与PC垂直即可；根据圆周角定理，易得∠PCB+∠OCB＝90°，即OC⊥CP；故PC是⊙O的切线；
（2）连接MA，MB，由圆周角定理可得∠ACM＝∠BCM，进而可得△MBN∽△MCB，故BM2＝MN•MC；代入数据可得MN•MC＝BM2＝18．
【解答】（1）证明：∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO．
又∵∠COB＝2∠A，∠COB＝2∠PCB，
∴∠A＝∠ACO＝∠PCB．
又∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACO+∠OCB＝90°．
∴∠PCB+∠OCB＝90°．
即OC⊥CP，
∵OC是⊙O的半径．
∴PC是⊙O的切线；
（2）解：连接MA，MB，
∵点M是弧AB的中点，
∴＝，
∴∠ACM＝∠BCM．
∵∠ACM＝∠ABM，
∴∠BCM＝∠ABM．
∵∠BMN＝∠BMC，
∴△MBN∽△MCB．
∴＝，
∴BM2＝MN•MC．
∵AB是⊙O的直径，＝，
∴∠AMB＝90°，AM＝BM．
∵AB＝6，
∴BM＝3
∴MN•MC＝BM2＝18．
22．（10分）某商场计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元，用150元购进甲种玩具的件数与用90元购进乙种玩具的件数相同．
（1）求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？
（2）商场用不超过1200元的资金购进甲、乙两种玩具共50件，其中甲种玩具的件数不少于乙种玩具的件数，若甲玩具售价40元，乙玩具售价20元，当玩具售完后，要使利润最大，应怎样进货？
（3）在（2）的条件下，每卖一件甲玩具就捐款给希望小学m元（8＜m＜12），当玩具售完后，要使利润最大，对甲玩具应怎样进货？
【分析】（1）设甲种玩具进价a元/件，则乙种玩具进价为（40﹣a）元/件，根据“用150元购进甲种玩具的件数与用90元购进乙种玩具的件数相同”可列方程求解；
（2）设购进甲种玩具x件，则购进乙种玩具（50﹣x）件，根据甲种玩具的件数不少于乙种玩具的件数，商场用不超过1200元的资金购进甲、乙两种玩具，可列出不等式组求解，解不等式组求出x的取值范围；设总利润为W元，再根据“利润＝售价﹣成本”，求出W与x的函数关系式，再根据一次函数的性质求解即可；
（3）根据题意求出利润W与x之间的函数关系式，再结合（8＜m＜12）分类讨论即可．
【解答】解：（1）设甲种玩具进价a元/件，则乙种玩具进价为（40﹣a）元/件，根据题意得：
，
解得a＝25，
经检验，a＝25是原方程的解并满足题意，
答：甲种玩具进价25元/件，乙种玩具进价为15元/件；
（2）设购进甲种玩具x件，则购进乙种玩具（50﹣x）件，根据题意得：
，
解得25≤x≤45；
设总利润为W元，根据题意得：W＝（40﹣25）x+（20﹣15）×（50﹣x）＝10x+250，
∵10＞0，
∴W随x的增大而增大，
∴当x＝45时，利润最大，
故购进甲种玩具45件，购进乙种玩具5件利润最大；
（3）由题意可得，W＝（40﹣25）x+（20﹣15）×（50﹣x）﹣mx＝（10﹣m）x+250；
∵8＜m＜12，
①当8＜m＜10时，10﹣m＞0，
∴W随x的增大而增大，即购进甲种玩具45件，购进乙种玩具5件利润最大；
②当10＜m＜12时，10﹣m＜0，
∴W随x的增大而减小，即购进甲种玩具25件，购进乙种玩具25件利润最大；
③当m＝10时，不管x取何值，W＝250．
23．（11分）已知抛物线：y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）过点（﹣1，0）与（0，﹣3）．直线y＝x﹣6交x轴、y轴分别于点A、B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是抛物线上的任意一点．连接PA，PB，使得△PAB的面积最小，求△PAB的面积最小时，P的横坐标；
（3）作直线x＝t分别与抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）和直线y＝x﹣6交于点E，F，点C是抛物线对称轴上的任意点，若△CEF是以点E或点F为直角顶点的等腰直角三角形，求点C的纵坐标．
【分析】（1）将点（﹣1，0）、（0，﹣3）分别代入得到方程组，然后求出a、c，最后得到解析式；
（2）对于直线y＝x﹣6，先求出点A、B的坐标，过点P作x轴的垂线交直线AB于点D，然后设点P的坐标，然后即可表示出点D的坐标，最后利用三角形的面积表示出△PAB的面积，从而利用二次函数的性质求得面积小值时点P的横坐标；
（3）用含有t的式子表示点E和点F的坐标，然后表示出EC和EF的长度，最后利用等腰直角三角形的性质列出方程求解．
【解答】解：（1）将点（﹣1，0）、（0，﹣3）分别代入y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）得，
，解得：，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3．
（2）对直线y＝x﹣6，当x＝0时，y＝﹣6，当y＝0时，x＝6，
∴A（6，0），B（0，﹣6），
过点P作x轴的垂线交直线AB于点，连接PA和PB，
设P（x，x2﹣2x﹣3），则D（x，x﹣6），
∴PD＝x2﹣2x﹣3﹣（x﹣6）＝x2﹣3x+3，
∴S△PAB＝S△PBD+S△PAD＝•x•PD+•（6﹣x）•PD＝3（x2﹣3x+3）＝3（x﹣）2+，
∴x＝时，S△PAB有最小值，
∴△PAB的面积最小时，点P的横坐标为．
（3）由题意可设，E（m，m2﹣2m﹣3），F（m，m﹣6），
∴EF＝m2﹣2m﹣3﹣（m﹣6）＝m2﹣3m+3，
由y＝x2﹣2x﹣3可知抛物线的对称轴为直线x＝1，
∵△CEF是以点E或点F为直角顶点的等腰直角三角形，点C在抛物线对称轴上，
∴点C的横坐标为1，m≠1，
当点E为直角顶点时，CE＝EF，C（1，m2﹣2m﹣3），
∴CE＝|m﹣1|，
∴|m﹣1|＝m2﹣3m+3，
解得：m＝2，
∴点C的纵坐标为22﹣2×2﹣3＝﹣3；
当点F为直角顶点时，CF＝EF，C（1，m﹣6），
∴CF＝|m﹣1|，
∴|m﹣1|＝m2﹣3m+3，
解得：m＝2，
∴点C的纵坐标为2﹣6＝﹣4；
综上所述，点C的纵坐标为﹣3或﹣4．
2021年云南省昆明市校际合作学校中考数学模拟试卷（5月份）
一、选择题（本大题共8个小题，每小题只有一个正确选项，每小题4分，满分32分，请用2B铅笔填涂在答题卡的相应位置上）
1．（4分）熔喷布，俗称口罩的“心脏”，是口罩中间的过滤层，能过滤细菌，阻止病菌传播．经测量，医用外科口罩的熔喷布厚度约为0.000156米，将0.000156用科学记数法表示应为（ ）
A．0.156×10﹣3 B．1.56×10﹣3 C．1.56×10﹣4 D．15.6×10﹣4
2．（4分）如图，这是一个机械模具，则它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
3．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．m2m3＝m6 B．3m+2n＝5mn C．＝4 D．2﹣2＝
4．（4分）垃圾分类是对垃圾进行有效处置的一种科学管理方式，是对垃圾收集处置传统方式的改革，甲乙两班各有40名同学参加了学校组织的2020年“生活垃圾分类回收”的考试．考试规定成绩大于等于96分为优异，两个班成绩的平均数、中位数、方差如表所示，则下列说法正确的是（ ）
参加人数
平均数
中位数
方差
甲
40
95
93
5.1
乙
40
95
95
4.6
A．甲班的成绩比乙班的成绩稳定
B．甲班成绩优异的人数比乙班多
C．甲，乙两班竞褰成绩的众数相同
D．小明得94分将排在甲班的前20名
5．（4分）如图，在5×5的正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，则tan∠BAC的值等于（ ）
A． B．3 C．1 D．
6．（4分）国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．5000（1+2x）＝7500
B．5000×2（1+x）＝7500
C．5000（1+x）2＝7500
D．5000+5000（1+x）+5000（1+x）2＝7500
7．（4分）若关于x的不等式组的解集为x≤﹣2，关于x的一元二次方程ax2﹣3x+1＝0有两个不相等的实数根，则符合条件的整数a有（ ）个．
A．3 B．4 C．5 D．6
8．（4分）如图，正方形ABCD的边长为a，点E，F分别在边BC，CD上，且满足∠EAF＝45°，AE、AF分别与对角线BD交于点M、N，AH⊥EF于点H，以下说法：①AH＝a；②△CEF的周长是2a；③若BE＝2，DF＝3，则a＝6；④△ABM≌△NEM；⑤AN⊥NE，其中正确的是（ ）
A．①②③⑤ B．①②④⑤ C．①②③ D．①②⑤
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分，请用黑色的碳素笔写在答题卡的相应位置上）
9．（3分）如果向东走3米记作+3米，那么向西走5米记作 米．
10．（3分）函数y＝中，自变量x的取值范围是 ．
11．（3分）数学活动课上，小明制作了一顶圆锥形纸帽（如图），其底面直径为24cm，母线长为20cm，将这顶纸帽剪开，展开成扇形时圆心角的度数为 度．
12．（3分）如图，已知△ABC，AB＝BC＝1，∠B＝36°，以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB、AC于点M、N，分别以M、N为圆心，以大于MN长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点P，连接AP交BC于点E，则BE的长是 ．
13．（3分）将一些相同的“•”按如图所示摆放，观察每个图形中“•”的个数，按此规律，若第n个图案中“•”的个数是90，则n的值＝ ．
14．（3分）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，在△AOB内部作正方形，使正方形的四个顶点都落在△AOB的边上，则正方形的边长＝ ．
三、解答题（本大题共9个小题，满分70分，请用黑色的碳素笔写在答题卡的相应位置上）
15．（6分）先化简，再求值：，其中x＝tan60°﹣2．
16．（6分）如图，已知AB＝CD，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，BF＝DE，求证：AB∥CD．
17．（6分）新冠疫情期间，某校开展线上教学．为了解该校九年级10个班500名学生线上数学学习情况，返校后进行了数学考试．在10个班中随机抽样了部分同学的考试成绩（得分均为整数，最低分60分）进行整理，并分别绘制成扇形统计图和频数分布直方图．部分信息如下：
（1）样本中的学生共有 人，图1中59.5﹣69.5的扇形圆心角是 ；
（2）补全图2频数分布直方图；
（3）考前年级规定，成绩由高到低前40%的同学可以奖励，小玲的成绩为88分，请判断她能否得到奖励．并说明理由．
18．（7分）为了理解面积一定的矩形中，相邻两边的关系，小华画出面积为16的一些矩形，若记矩形一边长为x，另一边长为y，把x，y列表如下：
x
..．
1
2
3
4
8
16
..．
y
..．
16
8
m
4
2
1
..．
（1）根据表中的数据在给定的平面直角坐标系中描点，并画出y与x的函数图象；
（2）写出y关于x的函数解析式，并求出m；
（3）在此条件下，若矩形的周长不大于20，直接写出同时满足这两个条件的边长x的取值范围 ．
19．（7分）在一个不透明的盒子中装有大小和形状相同的3个红球和1个白球，把它们充分搅匀．
（1）“从中任意抽取1个球不是红球就是白球”是 事件，“从中任意抽取1个球是黄球”是 事件；
（2）为了更好的迎接“《生物多样性公约》第15次缔约方大会”（简称“COPL5”）昆明的某校决定开展使昆明的城市形象大变化、大转身的“城市美容”演讲，学校要在甲、乙两名同学中选取一名同学作为主持人，制定如下规则：从盒子中同时抓两个球，若两球颜色相同，则选甲；若两球颜色不同，则选乙．你认为这个规则公平吗？够说明理由．
20．（8分）如图，已知矩形ABCD，连接AC，EF垂直平分AC于点O，分别交AD、BC于点E、点F，连接FC．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若△CEF与△CED的面积比为3：1，且AB＝4，求四边形AECF的面积．
21．（9分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，∠COB＝2∠PCB．
（1）求证：CP是⊙O的切线；
（2）若M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB＝6．求MC•MN的值．
22．（10分）某商场计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元，用150元购进甲种玩具的件数与用90元购进乙种玩具的件数相同．
（1）求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？
（2）商场用不超过1200元的资金购进甲、乙两种玩具共50件，其中甲种玩具的件数不少于乙种玩具的件数，若甲玩具售价40元，乙玩具售价20元，当玩具售完后，要使利润最大，应怎样进货？
（3）在（2）的条件下，每卖一件甲玩具就捐款给希望小学m元（8＜m＜12），当玩具售完后，要使利润最大，对甲玩具应怎样进货？
23．（11分）已知抛物线：y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）过点（﹣1，0）与（0，﹣3）．直线y＝x﹣6交x轴、y轴分别于点A、B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是抛物线上的任意一点．连接PA，PB，使得△PAB的面积最小，求△PAB的面积最小时，P的横坐标；
（3）作直线x＝t分别与抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）和直线y＝x﹣6交于点E，F，点C是抛物线对称轴上的任意点，若△CEF是以点E或点F为直角顶点的等腰直角三角形，求点C的纵坐标．
2021年云南省昆明市校际合作学校中考数学模拟试卷（5月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题只有一个正确选项，每小题4分，满分32分，请用2B铅笔填涂在答题卡的相应位置上）
1．（4分）熔喷布，俗称口罩的“心脏”，是口罩中间的过滤层，能过滤细菌，阻止病菌传播．经测量，医用外科口罩的熔喷布厚度约为0.000156米，将0.000156用科学记数法表示应为（ ）
A．0.156×10﹣3 B．1.56×10﹣3 C．1.56×10﹣4 D．15.6×10﹣4
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000156＝1.56×10﹣4．
故选：C．
2．（4分）如图，这是一个机械模具，则它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：从左边看，得到的图形只有一列两层，第一层是正方形，第二层的正方形里面有实心的圆圈，
故选：B．
3．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．m2m3＝m6 B．3m+2n＝5mn C．＝4 D．2﹣2＝
【分析】运用同底数幂的乘法法则、合并同类项法则、算术平方根、负整数指数幂的意义等知识点，逐个计算得结论．
【解答】解：m2m3＝m2+3＝m5≠m6，故选项A运算错误；
3m与2n不是同类项，不能合并，故选项B运算错误；
＝2≠4，故选项C运算错误；
2﹣2＝，故选项D运算正确．
故选：D．
4．（4分）垃圾分类是对垃圾进行有效处置的一种科学管理方式，是对垃圾收集处置传统方式的改革，甲乙两班各有40名同学参加了学校组织的2020年“生活垃圾分类回收”的考试．考试规定成绩大于等于96分为优异，两个班成绩的平均数、中位数、方差如表所示，则下列说法正确的是（ ）
参加人数
平均数
中位数
方差
甲
40
95
93
5.1
乙
40
95
95
4.6
A．甲班的成绩比乙班的成绩稳定
B．甲班成绩优异的人数比乙班多
C．甲，乙两班竞褰成绩的众数相同
D．小明得94分将排在甲班的前20名
【分析】分别根据方差的意义、中位数意义、众数的定义及平均数的意义逐一判断即可．
【解答】解：A．乙班成绩的方差小于甲班成绩的方差，所以乙班成绩稳定，此选项错误，不符合题意；
B．乙班成绩的中位数大于甲班，所以乙班成绩不低于95分的人数多于甲班，此选项错误，不符合题意；
C．根据表中数据无法判断甲、乙两班成绩的众数，此选项错误，不符合题意；
D．因为甲班共有40名同学，甲班的中位数是93分，所以小明得94分将排在甲班的前20名，此选项正确，符合题意；
故选：D．
5．（4分）如图，在5×5的正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，则tan∠BAC的值等于（ ）
A． B．3 C．1 D．
【分析】求出△ABC三边的长，根据勾股定理的逆定理可得△ABC是直角三角形，利用锐角三角函数得出结论．
【解答】解：∵AC＝，AB＝，BC＝，
∴AC2＝2，AB2＝20，BC2＝18，
∴AB2＝AC2+BC2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，
∴tan∠BAC＝，
故选：B．
6．（4分）国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．5000（1+2x）＝7500
B．5000×2（1+x）＝7500
C．5000（1+x）2＝7500
D．5000+5000（1+x）+5000（1+x）2＝7500
【分析】根据题意可得等量关系：2017年的快递业务量×（1+增长率）2＝2019年的快递业务量，根据等量关系列出方程即可．
【解答】解：设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，
由题意得：5000（1+x）2＝7500，
故选：C．
7．（4分）若关于x的不等式组的解集为x≤﹣2，关于x的一元二次方程ax2﹣3x+1＝0有两个不相等的实数根，则符合条件的整数a有（ ）个．
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】求得不等式组的解集可确定a＞﹣3，再根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到a≠0且Δ＝9﹣4a＞0，所以﹣3＜a＜且a≠0，然后找出此范围内的整数即可．
【解答】解：解不等式组得，
而此不等式组的解集是x≤﹣2，
∴a+1＞﹣2，
∴a＞﹣3，
∵关于x的一元二次方程ax2﹣3x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝9﹣4a＞0且a≠0，
∴a＜且a≠0，
∴﹣3＜a＜且a≠0，
∴符合条件的整数a为﹣2、﹣1、1、2共4个．
故选：B．
8．（4分）如图，正方形ABCD的边长为a，点E，F分别在边BC，CD上，且满足∠EAF＝45°，AE、AF分别与对角线BD交于点M、N，AH⊥EF于点H，以下说法：①AH＝a；②△CEF的周长是2a；③若BE＝2，DF＝3，则a＝6；④△ABM≌△NEM；⑤AN⊥NE，其中正确的是（ ）
A．①②③⑤ B．①②④⑤ C．①②③ D．①②⑤
【分析】延长EB至点G，使BG＝DF，通过证明△AEG≌△AEF，然后结合全等三角形的性质判断①和②，利用全等三角形的性质结合勾股定理判断③，证明△AMN∽△BME，然后根据相似三角形的判断和性质判断④，结合相似三角形的性质求得∠ABM＝∠AEN＝45°，从而判断⑤．
【解答】解：如图，延长EB至点G，使BG＝DF，
∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠ABC＝∠ADF＝∠ABG＝90°，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴∠BAG＝∠DAF，AF＝AG，
又∵∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠DAF＝45°，
∴∠BAE+∠BAG＝45°，
∴∠GAE＝∠EAF，
∴△AGE≌△AFE，
∴GE＝FE，S△AGE＝S△AFE，
又∵AH⊥EF，AB⊥GE，
∴AH＝AB＝a，故①正确；
∵BG＝DF，GE＝FE，
∴△CEF的周长＝CE+EF+CF
＝CE+EG+CF
＝CE+BE+BG+CF
＝CE+BE+DF+CF
＝BC+CD
＝2a，故②正确；
∵BE＝2，DF＝3，
∴EF＝GE＝BE+BG＝BE+DF＝2+3＝5，
在Rt△ECF中，CF＝a﹣3，EC＝a﹣2，
∴（a﹣3）2+（a﹣2）2＝52，
解得：a＝6或a＝﹣1（负值舍去），故③正确；
∵∠EAF＝45°，∠DBC＝45°，
∴∠EAF＝∠DBC，
又∵∠BME＝∠AMN，
∴△BME∽△AMN，
∴，
又∵∠AMB＝∠NME，
∴△ABM相似△NEM，但并一定全等，故④错误；
∵△AMB∽△NME，
∴∠ABM＝∠AEN＝45°，
又∵∠EAF＝45°，
∴∠ANE＝180°﹣∠AEN﹣∠EAF＝90°，
即AN⊥NE，故⑤正确，
正确的是①②③⑤，
故选：A．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分，请用黑色的碳素笔写在答题卡的相应位置上）
9．（3分）如果向东走3米记作+3米，那么向西走5米记作 ﹣5 米．
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
【解答】解：∵“正”和“负”相对，向东走3米记作+3米，
∴向西走5米记作﹣5米．
10．（3分）函数y＝中，自变量x的取值范围是 x≤3 ．
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，3﹣x≥0，
解得x≤3．
故答案为：x≤3．
11．（3分）数学活动课上，小明制作了一顶圆锥形纸帽（如图），其底面直径为24cm，母线长为20cm，将这顶纸帽剪开，展开成扇形时圆心角的度数为 216 度．
【分析】利用圆锥的底面周长＝展开扇形的弧长可得到24π＝，求得n值即可．
【解答】解：设展开扇形的度数为n°，
由图知圆锥的底面直径为24cm，母线长为20cm，
∵圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长，
∴24π＝，
解得n＝216．
故答案为：216．
12．（3分）如图，已知△ABC，AB＝BC＝1，∠B＝36°，以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB、AC于点M、N，分别以M、N为圆心，以大于MN长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点P，连接AP交BC于点E，则BE的长是 ．
【分析】根据作图过程可得AE平分∠BAC，根据AB＝BC＝1，∠B＝36°，可得BE＝AE＝AC，证明△BAC∽△AEC，对应边成比例解方程即可求出BE的长．
【解答】解：∵AB＝BC＝1，∠B＝36°，
∴∠BAC＝∠C＝72°，
根据作图过程可知：AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE＝BAC＝36°，
∴∠B＝∠BAE＝∠CAE，
∴BE＝AE，
∵∠AEC＝∠B+∠BAE＝72°，
∴∠AEC＝∠C，
∴AE＝AC，
∴BE＝AE＝AC，
∴△BAC∽△AEC，
∴＝，
∴＝，
解得BE＝（舍去），
故答案为：．
13．（3分）将一些相同的“•”按如图所示摆放，观察每个图形中“•”的个数，按此规律，若第n个图案中“•”的个数是90，则n的值＝ 9 ．
【分析】通过观察图形找到“•”的排列规律，用含有n的代数式表示第n个图形中“•”的个数，再把90代入，得到关于n的方程，解出即得答案．
【解答】解：∵第1个图形有“•”的个数为：2＝1×2；
第2个图形有“•”的个数为：6＝2×3；
第3个图形有“•”的个数为：12＝3×4；
第4个图形有“•”的个数为：20＝4×5；
∴第n个图形有“•”的个数为：n（n+1）；
∴当第n个图案中“•”的个数是90，得：
n（n+1）＝90，
解得：n＝9或n＝﹣10（舍去）．
故答案为：9．
14．（3分）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，在△AOB内部作正方形，使正方形的四个顶点都落在△AOB的边上，则正方形的边长＝ 或 ．
【分析】本题分两种情况分别讨论：如图①所示，以坐标轴作为正方形的两条邻边，做正方形OEDC，设D（m，m），将D点横纵坐标代入y＝﹣x+3，求出m，也就求出正方形的边长；如图②所示，以直线y＝﹣x+3为正方形的一边可得正方形CDEF，根据一次函数与坐标轴的特点求出45°角，再根据正方形的性质用x表示出边长，根据线段之和求出x的值，从而求出正方形的边长．
【解答】解：①如图①所示，以坐标轴作为正方形的两条邻边，做正方形OEDC，
∴CD＝DE，
设D（m，m），将D点横纵坐标代入y＝﹣x+3，
得m＝﹣m+3，
m＝，
∴D（，）
∴正方形的边长是；
②如图②所示，以直线y＝﹣x+3为正方形的一边可得正方形CDEF，
令x＝0，y＝3，y＝0，x＝3，
∴OB＝OA，
∵∠AOB＝90°，
∴∠OBA＝∠OAB＝45°，
∵四边形CDEF是正方形，
∴CF＝CD＝DE＝FE，CF∥BA，
∴∠OCF＝∠OBA＝45°，∠CFO＝∠OAB＝45°，
设OF＝x，则CF＝x，
∴EF＝x，
在Rt△FEA中，sin45°＝，
∴AF＝2x，
∵OF+AF＝OA，
∴x+2x＝3，
解得x＝1．
∴EF＝，
∴正方形的边长是；
综上所述：正方形的边长是或．
故答案为：或．
三、解答题（本大题共9个小题，满分70分，请用黑色的碳素笔写在答题卡的相应位置上）
15．（6分）先化简，再求值：，其中x＝tan60°﹣2．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由特殊锐角三角函数值得出x的值，代入计算可得．
【解答】解：原式＝﹣•
＝﹣
＝﹣，
当x＝tan60°﹣2＝﹣2时，
原式＝﹣＝﹣＝﹣．
16．（6分）如图，已知AB＝CD，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，BF＝DE，求证：AB∥CD．
【分析】根据全等三角形的判定与性质，可得∠B＝∠D，根据平行线的判定，可得答案．
【解答】证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB＝∠CFD＝90°，
∵BF＝DE，
∴BF+EF＝DE+EF，
∴BE＝DF．
在Rt△AEB和Rt△CFD中，
，
∴Rt△AEB≌Rt△CFD（HL），
∴∠B＝∠D，
∴AB∥CD．
17．（6分）新冠疫情期间，某校开展线上教学．为了解该校九年级10个班500名学生线上数学学习情况，返校后进行了数学考试．在10个班中随机抽样了部分同学的考试成绩（得分均为整数，最低分60分）进行整理，并分别绘制成扇形统计图和频数分布直方图．部分信息如下：
（1）样本中的学生共有 50 人，图1中59.5﹣69.5的扇形圆心角是 36° ；
（2）补全图2频数分布直方图；
（3）考前年级规定，成绩由高到低前40%的同学可以奖励，小玲的成绩为88分，请判断她能否得到奖励．并说明理由．
【分析】（1）用“79.5～89.5”的人数除以它们所占的百分比可得到调查的总人数；用360°乘以59.5～69.5”这一范围的人数占总人数的百分比，即可得出答案；
（2）求出“69.5～74.5”这一范围的人数即可补全图2频数分布直方图；
（3）求出成绩由高到低前40%的参赛选手人数为50×40%＝20（人），由88＞84.5，即可得出结论．
【解答】解：（1）样本中的学生共有（10+8）÷36%＝50（人），
59.5﹣69.5的扇形圆心角度数为360°×＝36°，
故答案为：50、36°；
（2）69.5﹣74.5对应的人数为50﹣（4+8+8+10+8+3+2）＝7，
补全频数分布直方图如下：
（3）能得到奖励．理由如下：
∵本次比赛参赛选手50人，
∴成绩由高到低前40%的人数为50×40%＝20，
又∵88＞84.5，
∴能得到奖励．
18．（7分）为了理解面积一定的矩形中，相邻两边的关系，小华画出面积为16的一些矩形，若记矩形一边长为x，另一边长为y，把x，y列表如下：
x
..．
1
2
3
4
8
16
..．
y
..．
16
8
m
4
2
1
..．
（1）根据表中的数据在给定的平面直角坐标系中描点，并画出y与x的函数图象；
（2）写出y关于x的函数解析式，并求出m；
（3）在此条件下，若矩形的周长不大于20，直接写出同时满足这两个条件的边长x的取值范围 2≤x≤8 ．
【分析】（1）根据题意画出函数的图象即可；
（2）根据已知条件得到函数的解析式；
（3）根据题意列不等式组，解不等式组即可得到结论．
【解答】解：（1）如图所示；
（2）设y关于x的函数解析式为y＝，
把（1，16）代入得，k＝16，
∴y关于x的函数解析式为y＝，
当x＝3时，y＝，
∴m＝；
（3）∵矩形的周长不大于20，
∴，
∴2≤x≤8，
故答案为：2≤x≤8．
19．（7分）在一个不透明的盒子中装有大小和形状相同的3个红球和1个白球，把它们充分搅匀．
（1）“从中任意抽取1个球不是红球就是白球”是 必然 事件，“从中任意抽取1个球是黄球”是 不可能 事件；
（2）为了更好的迎接“《生物多样性公约》第15次缔约方大会”（简称“COPL5”）昆明的某校决定开展使昆明的城市形象大变化、大转身的“城市美容”演讲，学校要在甲、乙两名同学中选取一名同学作为主持人，制定如下规则：从盒子中同时抓两个球，若两球颜色相同，则选甲；若两球颜色不同，则选乙．你认为这个规则公平吗？够说明理由．
【分析】（1）直接利用必然事件以及不可能事件的定义分别求解即可得出答案；
（2）首先根据题意画出树状图得出所有等情况数，找出两个球颜色相同的情况数和不同的情况数，再利用概率公式即可求出答案．
【解答】解：（1）∵不透明的盒子中装有大小和形状相同的3个红球和1个白球，
∴“从中任意抽取1个球不是红球就是白球”是必然事件；
“从中任意抽取1个球是黄球”是不可能事件；
故答案为：必然，不可能；
（2）根据题意画图如下：
一共有12种可能出现的结果，其中两个球是同色的有6种情况，
则甲获胜的概率是＝，乙获胜的概率是，
∵＝，
∴这个规则公平．
20．（8分）如图，已知矩形ABCD，连接AC，EF垂直平分AC于点O，分别交AD、BC于点E、点F，连接FC．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若△CEF与△CED的面积比为3：1，且AB＝4，求四边形AECF的面积．
【分析】（1）根据线段的垂直平分线得出EF⊥AC，AO＝CO，根据矩形的性质得出AD∥BC，求出∠EAO＝∠FCO，根据全等三角形的判定定理得出△EAO≌△FCO，求出AE＝CF，得出四边形AECF为平行四边形，再得出答案即可；
（2）根据菱形的性质得出AF＝CF，设AF＝CF＝x，根据勾股定理求出x，再求出面积即可．
【解答】（1）证明：∵EF是AC的垂直平分线，
∴EF⊥AC，AO＝CO，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO，
在△EAO和△FCO中
，
∴△EAO≌△FCO（ASA），
∴AE＝CF，
∵AE∥CF，
∴四边形AECF为平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴四边形AECF为菱形；
（2）解：∵△CEF与△CED的面积比为3：1，
∴CF：DE＝AF：BF＝3：1，
设AF＝3x，BF＝x，
由勾股定理得：AB2+BF2＝AF2，
即42+x2＝（3x）2，
解得：x＝，
∴CF＝3，
∴S菱形AECF＝CF×AB＝3×4＝12．
21．（9分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，∠COB＝2∠PCB．
（1）求证：CP是⊙O的切线；
（2）若M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB＝6．求MC•MN的值．
【分析】（1）已知C在圆上，故只需证明OC与PC垂直即可；根据圆周角定理，易得∠PCB+∠OCB＝90°，即OC⊥CP；故PC是⊙O的切线；
（2）连接MA，MB，由圆周角定理可得∠ACM＝∠BCM，进而可得△MBN∽△MCB，故BM2＝MN•MC；代入数据可得MN•MC＝BM2＝18．
【解答】（1）证明：∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO．
又∵∠COB＝2∠A，∠COB＝2∠PCB，
∴∠A＝∠ACO＝∠PCB．
又∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACO+∠OCB＝90°．
∴∠PCB+∠OCB＝90°．
即OC⊥CP，
∵OC是⊙O的半径．
∴PC是⊙O的切线；
（2）解：连接MA，MB，
∵点M是弧AB的中点，
∴＝，
∴∠ACM＝∠BCM．
∵∠ACM＝∠ABM，
∴∠BCM＝∠ABM．
∵∠BMN＝∠BMC，
∴△MBN∽△MCB．
∴＝，
∴BM2＝MN•MC．
∵AB是⊙O的直径，＝，
∴∠AMB＝90°，AM＝BM．
∵AB＝6，
∴BM＝3
∴MN•MC＝BM2＝18．
22．（10分）某商场计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元，用150元购进甲种玩具的件数与用90元购进乙种玩具的件数相同．
（1）求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？
（2）商场用不超过1200元的资金购进甲、乙两种玩具共50件，其中甲种玩具的件数不少于乙种玩具的件数，若甲玩具售价40元，乙玩具售价20元，当玩具售完后，要使利润最大，应怎样进货？
（3）在（2）的条件下，每卖一件甲玩具就捐款给希望小学m元（8＜m＜12），当玩具售完后，要使利润最大，对甲玩具应怎样进货？
【分析】（1）设甲种玩具进价a元/件，则乙种玩具进价为（40﹣a）元/件，根据“用150元购进甲种玩具的件数与用90元购进乙种玩具的件数相同”可列方程求解；
（2）设购进甲种玩具x件，则购进乙种玩具（50﹣x）件，根据甲种玩具的件数不少于乙种玩具的件数，商场用不超过1200元的资金购进甲、乙两种玩具，可列出不等式组求解，解不等式组求出x的取值范围；设总利润为W元，再根据“利润＝售价﹣成本”，求出W与x的函数关系式，再根据一次函数的性质求解即可；
（3）根据题意求出利润W与x之间的函数关系式，再结合（8＜m＜12）分类讨论即可．
【解答】解：（1）设甲种玩具进价a元/件，则乙种玩具进价为（40﹣a）元/件，根据题意得：
，
解得a＝25，
经检验，a＝25是原方程的解并满足题意，
答：甲种玩具进价25元/件，乙种玩具进价为15元/件；
（2）设购进甲种玩具x件，则购进乙种玩具（50﹣x）件，根据题意得：
，
解得25≤x≤45；
设总利润为W元，根据题意得：W＝（40﹣25）x+（20﹣15）×（50﹣x）＝10x+250，
∵10＞0，
∴W随x的增大而增大，
∴当x＝45时，利润最大，
故购进甲种玩具45件，购进乙种玩具5件利润最大；
（3）由题意可得，W＝（40﹣25）x+（20﹣15）×（50﹣x）﹣mx＝（10﹣m）x+250；
∵8＜m＜12，
①当8＜m＜10时，10﹣m＞0，
∴W随x的增大而增大，即购进甲种玩具45件，购进乙种玩具5件利润最大；
②当10＜m＜12时，10﹣m＜0，
∴W随x的增大而减小，即购进甲种玩具25件，购进乙种玩具25件利润最大；
③当m＝10时，不管x取何值，W＝250．
23．（11分）已知抛物线：y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）过点（﹣1，0）与（0，﹣3）．直线y＝x﹣6交x轴、y轴分别于点A、B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是抛物线上的任意一点．连接PA，PB，使得△PAB的面积最小，求△PAB的面积最小时，P的横坐标；
（3）作直线x＝t分别与抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）和直线y＝x﹣6交于点E，F，点C是抛物线对称轴上的任意点，若△CEF是以点E或点F为直角顶点的等腰直角三角形，求点C的纵坐标．
【分析】（1）将点（﹣1，0）、（0，﹣3）分别代入得到方程组，然后求出a、c，最后得到解析式；
（2）对于直线y＝x﹣6，先求出点A、B的坐标，过点P作x轴的垂线交直线AB于点D，然后设点P的坐标，然后即可表示出点D的坐标，最后利用三角形的面积表示出△PAB的面积，从而利用二次函数的性质求得面积小值时点P的横坐标；
（3）用含有t的式子表示点E和点F的坐标，然后表示出EC和EF的长度，最后利用等腰直角三角形的性质列出方程求解．
【解答】解：（1）将点（﹣1，0）、（0，﹣3）分别代入y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）得，
，解得：，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3．
（2）对直线y＝x﹣6，当x＝0时，y＝﹣6，当y＝0时，x＝6，
∴A（6，0），B（0，﹣6），
过点P作x轴的垂线交直线AB于点，连接PA和PB，
设P（x，x2﹣2x﹣3），则D（x，x﹣6），
∴PD＝x2﹣2x﹣3﹣（x﹣6）＝x2﹣3x+3，
∴S△PAB＝S△PBD+S△PAD＝•x•PD+•（6﹣x）•PD＝3（x2﹣3x+3）＝3（x﹣）2+，
∴x＝时，S△PAB有最小值，
∴△PAB的面积最小时，点P的横坐标为．
（3）由题意可设，E（m，m2﹣2m﹣3），F（m，m﹣6），
∴EF＝m2﹣2m﹣3﹣（m﹣6）＝m2﹣3m+3，
由y＝x2﹣2x﹣3可知抛物线的对称轴为直线x＝1，
∵△CEF是以点E或点F为直角顶点的等腰直角三角形，点C在抛物线对称轴上，
∴点C的横坐标为1，m≠1，
当点E为直角顶点时，CE＝EF，C（1，m2﹣2m﹣3），
∴CE＝|m﹣1|，
∴|m﹣1|＝m2﹣3m+3，
解得：m＝2，
∴点C的纵坐标为22﹣2×2﹣3＝﹣3；
当点F为直角顶点时，CF＝EF，C（1，m﹣6），
∴CF＝|m﹣1|，
∴|m﹣1|＝m2﹣3m+3，
解得：m＝2，
∴点C的纵坐标为2﹣6＝﹣4；
综上所述，点C的纵坐标为﹣3或﹣4．
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