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2021年云南省红河州开远市中考数学模拟试卷（一） 解析版
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这是一份2021年云南省红河州开远市中考数学模拟试卷（一） 解析版，共21页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年云南省红河州开远市中考数学模拟试卷（一）
一、填空题：本大题共6小题，每小题3分，满分18分．
1．（3分）计算：＝ ．
2．（3分）因式分解：4a﹣4a3＝ ．
3．（3分）如图，a⊥c，b⊥c，∠1＝70°，则∠2＝ ．
4．（3分）要使有意义，则x的取值范围是 ．
5．（3分）天堑变通途，致富路更宽，农村公路像“毛细血管”一样遍布红河大地，“十三五”以来，红河州共实施农村公路硬化10500千米，人们的幸福感和获得感明显提升．把数据10500用科学记数法表示为 ．
6．（3分）△ABC中，sin∠ABC＝，AD为BC边上的高，∠CAD＝45°，BD＝12，则BC的长为 ．
二、选择题：本大题共8小题，每小题4分，满分32分，每小题只有一个正确选项．
7．（4分）下列体育运动图案中，属于轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（4分）如图是由八个相同小正方体组合而成的几何体，其俯视图是（ ）
A． B． C． D．
9．（4分）观察下列一组数：1，，，，，…，它们是按照一定的规律排列的，用代数式表示第n个数是（ ）
A． B． C． D．
10．（4分）已知圆锥的底面半径为2cm，母线长为4cm，则圆锥的侧面积是（ ）
A．10 cm2 B．10πcm2 C．8 cm2 D．8πcm2
11．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．3﹣1+30＝﹣2 B．（2x）3＝6x3
C．（π﹣3.14）0＝1 D．
12．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1cm，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转得到Rt△AB'C'，使点C'落在AB边上，连接BB'，则BB'的长度是（ ）
A．1cm B．2cm C．cm D．2cm
13．（4分）如图，是某供水管道的截面图，里面尚有一些水，若液面宽度AB＝8cm，半径OC⊥AB于D，液面深度CD＝2cm，则该管道的半径长为（ ）
A．6cm B．5.5cm C．5cm D．4cm
14．（4分）已知△ABC三边长分别为3、a、7（a为整数），且关于x的不等式组 无解，则满足所有条件的a的和为（ ）
A．17 B．26 C．27 D．30
三、解答题：本大题共9小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（6分）先化简，再求值：，其中x＝3．
16．（6分）已知：如图AC和BD相交于点O，AB∥CD，OA＝OC，求证：△AOB≌△COD．
17．（8分）某校为了解本校初中学生在学校号召的“积极公益”活动中周末参加公益的时间（单位：h），随机调查了该校的部分初中学生．根据调查结果，绘制出如图的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）本次接受调查的初中学生人数为 ，图①中m的值为 ；
（Ⅱ）求统计的这部分学生参加公益的时间数据的平均数、众数和中位数；
（Ⅲ）根据统计的这部分学生周末参加公益时间的样本数据，若该校共有650名初中学生，估计该校在这个周末参加公益时间大于1h的学生人数．
18．（8分）城镇老旧小区改造是重大民生工程和发展工程，某县积极响应党的号召，全面推进城区老旧小区改造工作．现计划对城区某小区的居民自来水管道进行改造，该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1.5倍．如果由甲、乙队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需5天．这项工程的规定时间是多少天？
19．（7分）为落实“垃圾分类”，环保部门要求垃圾要按A，B，C，D四类分别装袋、投放，其中A类指废电池、过期药品等有毒垃圾，B类指剩余食品等厨余垃圾，C类指塑料、废纸等可回收物，D类指其他垃圾．小明、小亮各自投放了一袋垃圾．
（1）小明投放的垃圾恰好是C类的概率是 ；
（2）求小明投放的垃圾与小亮投放的垃圾是同一类的概率．
20．（8分）如图，已知一次函数y＝ax+b与反比例函数的图象相交于点A（1，3）和B（m，1）．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）当反比例函数的值小于一次函数的值时，请直接写出实数x的取值范围；
（3）求△OAB的面积．
21．（7分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，过点D作DE⊥BC于E，延长CB到点F，使BF＝CE，连接AF，OF．
（1）求证：四边形AFED是矩形．
（2）若AD＝7，BE＝2，∠ABF＝45°，试求OF的长．
22．（8分）已知抛物线L：y＝﹣x2+bx+c过点（﹣3，3）和（1，﹣5），与x轴的交点为A，B（点A在点B的左侧）．
（1）求抛物线L的表达式；
（2）若点P在抛物线L上，点E、F在抛物线L的对称轴上，D是抛物线L的顶点，要使△PEF∽△DAB（P的对应点是D），且PE：DA＝1：4，求满足条件的点P的坐标．
23．（12分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是直径，AB＝BC，连接BD，过点D的直线与CA的延长线相交于点E，且∠EDA＝∠ACD．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）求证：BD平分∠ADC；
（3）若AD＝6，CD＝8，求BD的长．
2021年云南省红河州开远市中考数学模拟试卷（一）
参考答案与试题解析
一、填空题：本大题共6小题，每小题3分，满分18分．
1．（3分）计算：＝ ．
【分析】根据绝对值的定义解决此题．
【解答】解：根据绝对值的定义，得．
故答案为：．
2．（3分）因式分解：4a﹣4a3＝ 4a（1+a）（1﹣a） ．
【分析】直接提取公因式4a，再利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：4a﹣4a3＝4a（1﹣a2）
＝4a（1+a）（1﹣a）．
故答案为：4a（1+a）（1﹣a）．
3．（3分）如图，a⊥c，b⊥c，∠1＝70°，则∠2＝ 70° ．
【分析】由a⊥c，b⊥c，可证得a∥b，然后由平行线的性质与对顶角相等，求得答案．
【解答】解：∵a⊥c，b⊥c，
∴a∥b，
∵∠3＝∠1＝70°，
∴∠2＝∠3＝70°．
故答案为：70°．
4．（3分）要使有意义，则x的取值范围是 x≤ ．
【分析】根据二次根式有意义的条件可得1﹣2x≥0，再解即可．
【解答】解：由题意得：1﹣2x≥0，
解得：x≤，
故答案为：x≤．
5．（3分）天堑变通途，致富路更宽，农村公路像“毛细血管”一样遍布红河大地，“十三五”以来，红河州共实施农村公路硬化10500千米，人们的幸福感和获得感明显提升．把数据10500用科学记数法表示为 1.05×104 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．据此解答即可．
【解答】解：10500＝1.05×104，
故答案为：1.05×104．
6．（3分）△ABC中，sin∠ABC＝，AD为BC边上的高，∠CAD＝45°，BD＝12，则BC的长为 7或17 ．
【分析】根据题意，可以画出相应的图形，然后根据锐角三角函数可以得到AD、AB的长，然后利用分类讨论的方法，可以求得BC的长．
【解答】解：如右图所示，
∵sin∠ABC＝，AD为BC边上的高，BD＝12，
∴设AD＝5a，则AB＝13a，
∴（5a）2+122+（13a）2，
解得a＝1，
∴AD＝5，AB＝13，
∵∠CAD＝45°，∠ADC＝90°，
∴AD＝CD＝5，
当点C在C1的位置时，BC1＝BD﹣DC1＝12﹣5＝7，
当点C在C2的位置时，BC2＝BD+DC2＝12+5＝17，
故答案为：7或17．
二、选择题：本大题共8小题，每小题4分，满分32分，每小题只有一个正确选项．
7．（4分）下列体育运动图案中，属于轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：B．
8．（4分）如图是由八个相同小正方体组合而成的几何体，其俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】俯视图是从图形的上面看所得到的图形，据此判断即可．
【解答】解：俯视图有3列，从左往右分别有2，1，2个小正方形，
故选：C．
9．（4分）观察下列一组数：1，，，，，…，它们是按照一定的规律排列的，用代数式表示第n个数是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据题目中的数据可知，分子是一些连续的奇数，从1开始，分母是n2，然后即可写出这列数的第n个数．
【解答】解：∵一组数：1，，，，，…，
∴这组数的第n个数为，
故选：C．
10．（4分）已知圆锥的底面半径为2cm，母线长为4cm，则圆锥的侧面积是（ ）
A．10 cm2 B．10πcm2 C．8 cm2 D．8πcm2
【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2．
【解答】解：底面圆的半径为2cm，则底面周长＝4πcm，侧面面积＝×4π×4＝8π（cm2）．
故选：D．
11．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．3﹣1+30＝﹣2 B．（2x）3＝6x3
C．（π﹣3.14）0＝1 D．
【分析】利用有理数的运算，积的乘方的法则，零指数幂，二次根式的运算法则对各项进行运算即可得出结果．
【解答】解：A、3﹣1+30＝1，计算不正确，故A不符合题意；
B、（2x）3＝8x3，计算不正确，故B不符合题意；
C、（π﹣3.14）0＝1，计算正确，故C符合题意；
D、和不是同类二次根式，无法合并，故D不符合题意．
故选：C．
12．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1cm，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转得到Rt△AB'C'，使点C'落在AB边上，连接BB'，则BB'的长度是（ ）
A．1cm B．2cm C．cm D．2cm
【分析】由直角三角形的性质得到AB＝2AC＝2cm，然后根据旋转的性质和线段垂直平分线的性质得到AB′＝BB′．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1cm，
∴AC＝AB，则AB＝2AC＝2cm．
又由旋转的性质知，AC′＝AC＝AB，B′C′⊥AB，
∴B′C′是△ABB′的中垂线，
∴AB′＝BB′．
根据旋转的性质知AB＝AB′＝BB′＝2cm．
故选：B．
13．（4分）如图，是某供水管道的截面图，里面尚有一些水，若液面宽度AB＝8cm，半径OC⊥AB于D，液面深度CD＝2cm，则该管道的半径长为（ ）
A．6cm B．5.5cm C．5cm D．4cm
【分析】连接AO，由OC垂直于AB，利用垂径定理得到D为AB的中点，求出AD的长，设圆的半径为rcm，由OC﹣CD表示出OD，在直角三角形AOD中，利用勾股定理求出r的值即可．
【解答】解：连接AO，
∵OC⊥AB，∴D为AB的中点，
∴AD＝4cm，
设圆的半径为rcm，
在Rt△AOD中，OD＝OC﹣CD＝（r﹣2）cm，
根据勾股定理得：OA2＝AD2+OD2，即r2＝16+（r﹣2）2，
解得：r＝5，
故选：C．
14．（4分）已知△ABC三边长分别为3、a、7（a为整数），且关于x的不等式组 无解，则满足所有条件的a的和为（ ）
A．17 B．26 C．27 D．30
【分析】直接利用三角形三边关系得出a的取值范围，再解不等式组得出a的取值范围，进而得出答案．
【解答】解：∵△ABC三边长分别为3、a、7（a为整数），
∴7﹣3＜a＜3+7，
即4＜a＜10，
∵关于x的不等式组 无解，
∴整理得无解，
则2+a≤10，
解得：a≤8，
故a＝5，6，7，8，
则满足所有条件的a的和为：5+6+7+8＝26．
故选：B．
三、解答题：本大题共9小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（6分）先化简，再求值：，其中x＝3．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝÷＝•＝﹣，
当x＝3时，原式＝﹣．
16．（6分）已知：如图AC和BD相交于点O，AB∥CD，OA＝OC，求证：△AOB≌△COD．
【分析】由AB∥CD可得内错角相等，这样可利用AAS证三角形全等，本题比较简单．
【解答】证明：∵AB∥CD，
∴∠OAB＝∠OCD，∠OBA＝∠ODC，
又∵OA＝OC，
∴△AOB≌△COD．
17．（8分）某校为了解本校初中学生在学校号召的“积极公益”活动中周末参加公益的时间（单位：h），随机调查了该校的部分初中学生．根据调查结果，绘制出如图的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）本次接受调查的初中学生人数为 40 ，图①中m的值为 25 ；
（Ⅱ）求统计的这部分学生参加公益的时间数据的平均数、众数和中位数；
（Ⅲ）根据统计的这部分学生周末参加公益时间的样本数据，若该校共有650名初中学生，估计该校在这个周末参加公益时间大于1h的学生人数．
【分析】（1）计算各组频数的和即可求出调查人数，计算“1.8h”的人数所占的百分比即可确定m的值；
（2）根据平均数、中位数、众数的意义和计算方法进行计算即可；
（3）求出样本中“参加公益活动时间大于1h”的人数所占的百分比即可计算总体650人中“参加公益活动时间大于1h”的人数．
【解答】解：（Ⅰ）4+8+15+10+3＝40（人），10÷40×100%＝25%，即m＝25，
故答案为：40，25；
（Ⅱ）平均数是＝1.5，
这组数据中出现次数最多的是“1.5h”，共出现15次，因此众数是1.5，
将这组数据从小到大排列后处在中间位置的两个数都是1.5h，因此中位数是1.5，
所以平均数为1.5，1.5，1.5；
（Ⅲ）650×＝585（人），
答：该校每天在校体育活动时间大于1h的学生有585人．
18．（8分）城镇老旧小区改造是重大民生工程和发展工程，某县积极响应党的号召，全面推进城区老旧小区改造工作．现计划对城区某小区的居民自来水管道进行改造，该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1.5倍．如果由甲、乙队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需5天．这项工程的规定时间是多少天？
【分析】设该项工程的规定时间是x天，由题意：如果由甲、乙队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需5天．列出分式方程，解方程即可．
【解答】解：设该项工程的规定时间是x天，则乙队单独施工完成工程所需天数为1.5x天，
由题意得，，
解得：x＝30，
经检验，x＝30是原分式方程的解，
答：该项工程的规定时间是30天．
19．（7分）为落实“垃圾分类”，环保部门要求垃圾要按A，B，C，D四类分别装袋、投放，其中A类指废电池、过期药品等有毒垃圾，B类指剩余食品等厨余垃圾，C类指塑料、废纸等可回收物，D类指其他垃圾．小明、小亮各自投放了一袋垃圾．
（1）小明投放的垃圾恰好是C类的概率是 ；
（2）求小明投放的垃圾与小亮投放的垃圾是同一类的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式求出小明投放的垃圾恰好是C类的概率；
（2）首先利用树状图法得出所有可能，进而利用概率公式求出答案．
【解答】解：（1）∵垃圾要按A，B，C，D四类分别装袋，小明投放了一袋垃圾，
∴小明投放的垃圾恰好是C类的概率为：，
故答案为：；
（2）画树状图如图所示：
由图可知，共有16种可能结果，其中小明投放的垃圾与小亮投放的垃圾是同一类的结果有4种，
∴小明投放的垃圾与小亮投放的垃圾是同一类的概率为＝．
20．（8分）如图，已知一次函数y＝ax+b与反比例函数的图象相交于点A（1，3）和B（m，1）．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）当反比例函数的值小于一次函数的值时，请直接写出实数x的取值范围；
（3）求△OAB的面积．
【分析】（1）由反比例函数图象过点A，可求出反比例函数的表达式，再求出点B的坐标，然后将A点坐标代入y＝﹣x+b，可求一次函数的表达式；
（2）根据图象即可得到结论；
（3）求得直线与x轴的交点C的坐标，然后根据S△OAB＝S△OAC﹣S△OBC求得即可．
【解答】解：（1）∵反比例函数图象经过A（1，3），
∴k＝1×3＝3，
∴反比例函数的表达式是，
∵反比例函数的图象过点B（m，1），
∴m＝3．
∴B（3，1）．
∵一次函数y＝ax+b图象相交于A（1，3），B（3，1）．
∴，解得．
∴一次函数的表达式是y＝﹣x+4；
（2）当反比例函数的值小于一次函数的值时，实数x的取值范围是x＜0或1＜x＜3；
（3）把y＝0代入y＝﹣x+4得，x＝4，
∴直线y＝﹣x+4与x轴的交点C为（4，0），
∵A、B的坐标分别是（1，3）、（3，1）．
∴S△OAB＝S△OAC﹣S△OBC＝﹣＝4．
21．（7分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，过点D作DE⊥BC于E，延长CB到点F，使BF＝CE，连接AF，OF．
（1）求证：四边形AFED是矩形．
（2）若AD＝7，BE＝2，∠ABF＝45°，试求OF的长．
【分析】（1）证四边形AFED是平行四边形，∠DEF＝90°，即可得出结论．
（2）求出CE＝BF＝5，则FC＝FE+CE＝12，证出△ABF是等腰直角三角形，得出AF＝FB＝5，在Rt△AFC中，由勾股定理求出AC＝13，由平行四边形的性质得出OA＝OC，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵BF＝CE，
∴FE＝BC，
∴四边形AFED是平行四边形，
∵DE⊥BC，
∴∠DEF＝90°，
∴四边形AFED是矩形．
（2）解：由（1）得：∠AFE＝90°，FE＝AD，
∵AD＝7，BE＝2，
∴FE＝7，
∴FB＝FE﹣BE＝5，
∴CE＝BF＝5，
∴FC＝FE+CE＝7+5＝12，
∵∠ABF＝45°，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴AF＝FB＝5，
在Rt△AFC中，由勾股定理得：AC＝＝＝13，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，
∴OF＝AC＝．
22．（8分）已知抛物线L：y＝﹣x2+bx+c过点（﹣3，3）和（1，﹣5），与x轴的交点为A，B（点A在点B的左侧）．
（1）求抛物线L的表达式；
（2）若点P在抛物线L上，点E、F在抛物线L的对称轴上，D是抛物线L的顶点，要使△PEF∽△DAB（P的对应点是D），且PE：DA＝1：4，求满足条件的点P的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法可求解析式；
（2）先求出点A，点B，点D坐标，由相似三角形的性质可求解．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c过点（﹣3，3）和（1，﹣5），
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣4x；
（2）令y＝0，则0＝﹣x2﹣4x，
∴x1＝﹣4，x2＝0，
∴点A（﹣4，0），点B（0，0），
∴对称轴为x＝﹣2，
∴点D（﹣2，4），
如图，设对称轴与x轴的交点为H，过点P作PQ⊥DH于Q，设点P（m，﹣m2﹣4m），
∵△PEF∽△DAB，
∴，
∴PQ＝×4＝1，
∴|m+2|＝1，
∴m＝﹣1或﹣3，
∴点P（﹣1，3）或（﹣3，3）．
23．（12分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是直径，AB＝BC，连接BD，过点D的直线与CA的延长线相交于点E，且∠EDA＝∠ACD．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）求证：BD平分∠ADC；
（3）若AD＝6，CD＝8，求BD的长．
【分析】（1）连接OD，根据圆周角定理及等腰三角形的性质得出∠EDO＝∠EDA+∠ADO＝90°，则OD⊥DE，根据切线的定义即可得解；
（2）根据题意得到△ABC是等腰直角三角形，再根据圆周角定理及等腰三角形的性质得出∠ADB＝∠CDB，根据角平分线的定义即可得解；
（3）过点B作BH⊥BD交DC延长线于点H．证明△BDH是等腰直角三角形，求出DH，再根据勾股定理求解即可．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∵∠EDA＝∠ACD，
∴∠ADO+∠ODC＝∠EDA+∠ADO＝90°，
∴∠EDO＝∠EDA+∠ADO＝90°，
∴OD⊥DE，
∵OD是半径，
∴直线DE是⊙O的切线；
（2）证明：∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∵AB＝BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC＝∠BCA＝45°，
∴∠ADB＝∠BCA＝45°，∠CDB＝∠BAC＝45°，
∴∠ADB＝∠CDB，
∴BD平分∠ADC；
（3）过点B作BH⊥BD交DC延长线于点H，
∴∠DBH＝90°，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∵∠ABD＝90°﹣∠DBC，∠CBH＝90°﹣∠DBC，
∴∠ABD＝∠CBH，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
∵∠BCD+∠BCH＝180°，
∴∠BAD＝∠BCH，
∵AB＝CB，
∴△ABD≌△CBH（ASA），
∴AD＝CH，BD＝BH，
∵AD＝6，CD＝8，
∴CH＝6，
∴DH＝CD+CH＝14，
在Rt△BDH中，BD2＝DH2﹣BH2，BD＝BH，
∴2BD2＝196，
∴BD＝7．
2021年云南省红河州开远市中考数学模拟试卷（一）
一、填空题：本大题共6小题，每小题3分，满分18分．
1．（3分）计算：＝ ．
2．（3分）因式分解：4a﹣4a3＝ ．
3．（3分）如图，a⊥c，b⊥c，∠1＝70°，则∠2＝ ．
4．（3分）要使有意义，则x的取值范围是 ．
5．（3分）天堑变通途，致富路更宽，农村公路像“毛细血管”一样遍布红河大地，“十三五”以来，红河州共实施农村公路硬化10500千米，人们的幸福感和获得感明显提升．把数据10500用科学记数法表示为 ．
6．（3分）△ABC中，sin∠ABC＝，AD为BC边上的高，∠CAD＝45°，BD＝12，则BC的长为 ．
二、选择题：本大题共8小题，每小题4分，满分32分，每小题只有一个正确选项．
7．（4分）下列体育运动图案中，属于轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（4分）如图是由八个相同小正方体组合而成的几何体，其俯视图是（ ）
A． B． C． D．
9．（4分）观察下列一组数：1，，，，，…，它们是按照一定的规律排列的，用代数式表示第n个数是（ ）
A． B． C． D．
10．（4分）已知圆锥的底面半径为2cm，母线长为4cm，则圆锥的侧面积是（ ）
A．10 cm2 B．10πcm2 C．8 cm2 D．8πcm2
11．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．3﹣1+30＝﹣2 B．（2x）3＝6x3
C．（π﹣3.14）0＝1 D．
12．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1cm，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转得到Rt△AB'C'，使点C'落在AB边上，连接BB'，则BB'的长度是（ ）
A．1cm B．2cm C．cm D．2cm
13．（4分）如图，是某供水管道的截面图，里面尚有一些水，若液面宽度AB＝8cm，半径OC⊥AB于D，液面深度CD＝2cm，则该管道的半径长为（ ）
A．6cm B．5.5cm C．5cm D．4cm
14．（4分）已知△ABC三边长分别为3、a、7（a为整数），且关于x的不等式组 无解，则满足所有条件的a的和为（ ）
A．17 B．26 C．27 D．30
三、解答题：本大题共9小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（6分）先化简，再求值：，其中x＝3．
16．（6分）已知：如图AC和BD相交于点O，AB∥CD，OA＝OC，求证：△AOB≌△COD．
17．（8分）某校为了解本校初中学生在学校号召的“积极公益”活动中周末参加公益的时间（单位：h），随机调查了该校的部分初中学生．根据调查结果，绘制出如图的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）本次接受调查的初中学生人数为 ，图①中m的值为 ；
（Ⅱ）求统计的这部分学生参加公益的时间数据的平均数、众数和中位数；
（Ⅲ）根据统计的这部分学生周末参加公益时间的样本数据，若该校共有650名初中学生，估计该校在这个周末参加公益时间大于1h的学生人数．
18．（8分）城镇老旧小区改造是重大民生工程和发展工程，某县积极响应党的号召，全面推进城区老旧小区改造工作．现计划对城区某小区的居民自来水管道进行改造，该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1.5倍．如果由甲、乙队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需5天．这项工程的规定时间是多少天？
19．（7分）为落实“垃圾分类”，环保部门要求垃圾要按A，B，C，D四类分别装袋、投放，其中A类指废电池、过期药品等有毒垃圾，B类指剩余食品等厨余垃圾，C类指塑料、废纸等可回收物，D类指其他垃圾．小明、小亮各自投放了一袋垃圾．
（1）小明投放的垃圾恰好是C类的概率是 ；
（2）求小明投放的垃圾与小亮投放的垃圾是同一类的概率．
20．（8分）如图，已知一次函数y＝ax+b与反比例函数的图象相交于点A（1，3）和B（m，1）．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）当反比例函数的值小于一次函数的值时，请直接写出实数x的取值范围；
（3）求△OAB的面积．
21．（7分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，过点D作DE⊥BC于E，延长CB到点F，使BF＝CE，连接AF，OF．
（1）求证：四边形AFED是矩形．
（2）若AD＝7，BE＝2，∠ABF＝45°，试求OF的长．
22．（8分）已知抛物线L：y＝﹣x2+bx+c过点（﹣3，3）和（1，﹣5），与x轴的交点为A，B（点A在点B的左侧）．
（1）求抛物线L的表达式；
（2）若点P在抛物线L上，点E、F在抛物线L的对称轴上，D是抛物线L的顶点，要使△PEF∽△DAB（P的对应点是D），且PE：DA＝1：4，求满足条件的点P的坐标．
23．（12分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是直径，AB＝BC，连接BD，过点D的直线与CA的延长线相交于点E，且∠EDA＝∠ACD．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）求证：BD平分∠ADC；
（3）若AD＝6，CD＝8，求BD的长．
2021年云南省红河州开远市中考数学模拟试卷（一）
参考答案与试题解析
一、填空题：本大题共6小题，每小题3分，满分18分．
1．（3分）计算：＝ ．
【分析】根据绝对值的定义解决此题．
【解答】解：根据绝对值的定义，得．
故答案为：．
2．（3分）因式分解：4a﹣4a3＝ 4a（1+a）（1﹣a） ．
【分析】直接提取公因式4a，再利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：4a﹣4a3＝4a（1﹣a2）
＝4a（1+a）（1﹣a）．
故答案为：4a（1+a）（1﹣a）．
3．（3分）如图，a⊥c，b⊥c，∠1＝70°，则∠2＝ 70° ．
【分析】由a⊥c，b⊥c，可证得a∥b，然后由平行线的性质与对顶角相等，求得答案．
【解答】解：∵a⊥c，b⊥c，
∴a∥b，
∵∠3＝∠1＝70°，
∴∠2＝∠3＝70°．
故答案为：70°．
4．（3分）要使有意义，则x的取值范围是 x≤ ．
【分析】根据二次根式有意义的条件可得1﹣2x≥0，再解即可．
【解答】解：由题意得：1﹣2x≥0，
解得：x≤，
故答案为：x≤．
5．（3分）天堑变通途，致富路更宽，农村公路像“毛细血管”一样遍布红河大地，“十三五”以来，红河州共实施农村公路硬化10500千米，人们的幸福感和获得感明显提升．把数据10500用科学记数法表示为 1.05×104 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．据此解答即可．
【解答】解：10500＝1.05×104，
故答案为：1.05×104．
6．（3分）△ABC中，sin∠ABC＝，AD为BC边上的高，∠CAD＝45°，BD＝12，则BC的长为 7或17 ．
【分析】根据题意，可以画出相应的图形，然后根据锐角三角函数可以得到AD、AB的长，然后利用分类讨论的方法，可以求得BC的长．
【解答】解：如右图所示，
∵sin∠ABC＝，AD为BC边上的高，BD＝12，
∴设AD＝5a，则AB＝13a，
∴（5a）2+122+（13a）2，
解得a＝1，
∴AD＝5，AB＝13，
∵∠CAD＝45°，∠ADC＝90°，
∴AD＝CD＝5，
当点C在C1的位置时，BC1＝BD﹣DC1＝12﹣5＝7，
当点C在C2的位置时，BC2＝BD+DC2＝12+5＝17，
故答案为：7或17．
二、选择题：本大题共8小题，每小题4分，满分32分，每小题只有一个正确选项．
7．（4分）下列体育运动图案中，属于轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：B．
8．（4分）如图是由八个相同小正方体组合而成的几何体，其俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】俯视图是从图形的上面看所得到的图形，据此判断即可．
【解答】解：俯视图有3列，从左往右分别有2，1，2个小正方形，
故选：C．
9．（4分）观察下列一组数：1，，，，，…，它们是按照一定的规律排列的，用代数式表示第n个数是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据题目中的数据可知，分子是一些连续的奇数，从1开始，分母是n2，然后即可写出这列数的第n个数．
【解答】解：∵一组数：1，，，，，…，
∴这组数的第n个数为，
故选：C．
10．（4分）已知圆锥的底面半径为2cm，母线长为4cm，则圆锥的侧面积是（ ）
A．10 cm2 B．10πcm2 C．8 cm2 D．8πcm2
【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2．
【解答】解：底面圆的半径为2cm，则底面周长＝4πcm，侧面面积＝×4π×4＝8π（cm2）．
故选：D．
11．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．3﹣1+30＝﹣2 B．（2x）3＝6x3
C．（π﹣3.14）0＝1 D．
【分析】利用有理数的运算，积的乘方的法则，零指数幂，二次根式的运算法则对各项进行运算即可得出结果．
【解答】解：A、3﹣1+30＝1，计算不正确，故A不符合题意；
B、（2x）3＝8x3，计算不正确，故B不符合题意；
C、（π﹣3.14）0＝1，计算正确，故C符合题意；
D、和不是同类二次根式，无法合并，故D不符合题意．
故选：C．
12．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1cm，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转得到Rt△AB'C'，使点C'落在AB边上，连接BB'，则BB'的长度是（ ）
A．1cm B．2cm C．cm D．2cm
【分析】由直角三角形的性质得到AB＝2AC＝2cm，然后根据旋转的性质和线段垂直平分线的性质得到AB′＝BB′．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1cm，
∴AC＝AB，则AB＝2AC＝2cm．
又由旋转的性质知，AC′＝AC＝AB，B′C′⊥AB，
∴B′C′是△ABB′的中垂线，
∴AB′＝BB′．
根据旋转的性质知AB＝AB′＝BB′＝2cm．
故选：B．
13．（4分）如图，是某供水管道的截面图，里面尚有一些水，若液面宽度AB＝8cm，半径OC⊥AB于D，液面深度CD＝2cm，则该管道的半径长为（ ）
A．6cm B．5.5cm C．5cm D．4cm
【分析】连接AO，由OC垂直于AB，利用垂径定理得到D为AB的中点，求出AD的长，设圆的半径为rcm，由OC﹣CD表示出OD，在直角三角形AOD中，利用勾股定理求出r的值即可．
【解答】解：连接AO，
∵OC⊥AB，∴D为AB的中点，
∴AD＝4cm，
设圆的半径为rcm，
在Rt△AOD中，OD＝OC﹣CD＝（r﹣2）cm，
根据勾股定理得：OA2＝AD2+OD2，即r2＝16+（r﹣2）2，
解得：r＝5，
故选：C．
14．（4分）已知△ABC三边长分别为3、a、7（a为整数），且关于x的不等式组 无解，则满足所有条件的a的和为（ ）
A．17 B．26 C．27 D．30
【分析】直接利用三角形三边关系得出a的取值范围，再解不等式组得出a的取值范围，进而得出答案．
【解答】解：∵△ABC三边长分别为3、a、7（a为整数），
∴7﹣3＜a＜3+7，
即4＜a＜10，
∵关于x的不等式组 无解，
∴整理得无解，
则2+a≤10，
解得：a≤8，
故a＝5，6，7，8，
则满足所有条件的a的和为：5+6+7+8＝26．
故选：B．
三、解答题：本大题共9小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（6分）先化简，再求值：，其中x＝3．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝÷＝•＝﹣，
当x＝3时，原式＝﹣．
16．（6分）已知：如图AC和BD相交于点O，AB∥CD，OA＝OC，求证：△AOB≌△COD．
【分析】由AB∥CD可得内错角相等，这样可利用AAS证三角形全等，本题比较简单．
【解答】证明：∵AB∥CD，
∴∠OAB＝∠OCD，∠OBA＝∠ODC，
又∵OA＝OC，
∴△AOB≌△COD．
17．（8分）某校为了解本校初中学生在学校号召的“积极公益”活动中周末参加公益的时间（单位：h），随机调查了该校的部分初中学生．根据调查结果，绘制出如图的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）本次接受调查的初中学生人数为 40 ，图①中m的值为 25 ；
（Ⅱ）求统计的这部分学生参加公益的时间数据的平均数、众数和中位数；
（Ⅲ）根据统计的这部分学生周末参加公益时间的样本数据，若该校共有650名初中学生，估计该校在这个周末参加公益时间大于1h的学生人数．
【分析】（1）计算各组频数的和即可求出调查人数，计算“1.8h”的人数所占的百分比即可确定m的值；
（2）根据平均数、中位数、众数的意义和计算方法进行计算即可；
（3）求出样本中“参加公益活动时间大于1h”的人数所占的百分比即可计算总体650人中“参加公益活动时间大于1h”的人数．
【解答】解：（Ⅰ）4+8+15+10+3＝40（人），10÷40×100%＝25%，即m＝25，
故答案为：40，25；
（Ⅱ）平均数是＝1.5，
这组数据中出现次数最多的是“1.5h”，共出现15次，因此众数是1.5，
将这组数据从小到大排列后处在中间位置的两个数都是1.5h，因此中位数是1.5，
所以平均数为1.5，1.5，1.5；
（Ⅲ）650×＝585（人），
答：该校每天在校体育活动时间大于1h的学生有585人．
18．（8分）城镇老旧小区改造是重大民生工程和发展工程，某县积极响应党的号召，全面推进城区老旧小区改造工作．现计划对城区某小区的居民自来水管道进行改造，该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1.5倍．如果由甲、乙队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需5天．这项工程的规定时间是多少天？
【分析】设该项工程的规定时间是x天，由题意：如果由甲、乙队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需5天．列出分式方程，解方程即可．
【解答】解：设该项工程的规定时间是x天，则乙队单独施工完成工程所需天数为1.5x天，
由题意得，，
解得：x＝30，
经检验，x＝30是原分式方程的解，
答：该项工程的规定时间是30天．
19．（7分）为落实“垃圾分类”，环保部门要求垃圾要按A，B，C，D四类分别装袋、投放，其中A类指废电池、过期药品等有毒垃圾，B类指剩余食品等厨余垃圾，C类指塑料、废纸等可回收物，D类指其他垃圾．小明、小亮各自投放了一袋垃圾．
（1）小明投放的垃圾恰好是C类的概率是 ；
（2）求小明投放的垃圾与小亮投放的垃圾是同一类的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式求出小明投放的垃圾恰好是C类的概率；
（2）首先利用树状图法得出所有可能，进而利用概率公式求出答案．
【解答】解：（1）∵垃圾要按A，B，C，D四类分别装袋，小明投放了一袋垃圾，
∴小明投放的垃圾恰好是C类的概率为：，
故答案为：；
（2）画树状图如图所示：
由图可知，共有16种可能结果，其中小明投放的垃圾与小亮投放的垃圾是同一类的结果有4种，
∴小明投放的垃圾与小亮投放的垃圾是同一类的概率为＝．
20．（8分）如图，已知一次函数y＝ax+b与反比例函数的图象相交于点A（1，3）和B（m，1）．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）当反比例函数的值小于一次函数的值时，请直接写出实数x的取值范围；
（3）求△OAB的面积．
【分析】（1）由反比例函数图象过点A，可求出反比例函数的表达式，再求出点B的坐标，然后将A点坐标代入y＝﹣x+b，可求一次函数的表达式；
（2）根据图象即可得到结论；
（3）求得直线与x轴的交点C的坐标，然后根据S△OAB＝S△OAC﹣S△OBC求得即可．
【解答】解：（1）∵反比例函数图象经过A（1，3），
∴k＝1×3＝3，
∴反比例函数的表达式是，
∵反比例函数的图象过点B（m，1），
∴m＝3．
∴B（3，1）．
∵一次函数y＝ax+b图象相交于A（1，3），B（3，1）．
∴，解得．
∴一次函数的表达式是y＝﹣x+4；
（2）当反比例函数的值小于一次函数的值时，实数x的取值范围是x＜0或1＜x＜3；
（3）把y＝0代入y＝﹣x+4得，x＝4，
∴直线y＝﹣x+4与x轴的交点C为（4，0），
∵A、B的坐标分别是（1，3）、（3，1）．
∴S△OAB＝S△OAC﹣S△OBC＝﹣＝4．
21．（7分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，过点D作DE⊥BC于E，延长CB到点F，使BF＝CE，连接AF，OF．
（1）求证：四边形AFED是矩形．
（2）若AD＝7，BE＝2，∠ABF＝45°，试求OF的长．
【分析】（1）证四边形AFED是平行四边形，∠DEF＝90°，即可得出结论．
（2）求出CE＝BF＝5，则FC＝FE+CE＝12，证出△ABF是等腰直角三角形，得出AF＝FB＝5，在Rt△AFC中，由勾股定理求出AC＝13，由平行四边形的性质得出OA＝OC，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵BF＝CE，
∴FE＝BC，
∴四边形AFED是平行四边形，
∵DE⊥BC，
∴∠DEF＝90°，
∴四边形AFED是矩形．
（2）解：由（1）得：∠AFE＝90°，FE＝AD，
∵AD＝7，BE＝2，
∴FE＝7，
∴FB＝FE﹣BE＝5，
∴CE＝BF＝5，
∴FC＝FE+CE＝7+5＝12，
∵∠ABF＝45°，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴AF＝FB＝5，
在Rt△AFC中，由勾股定理得：AC＝＝＝13，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，
∴OF＝AC＝．
22．（8分）已知抛物线L：y＝﹣x2+bx+c过点（﹣3，3）和（1，﹣5），与x轴的交点为A，B（点A在点B的左侧）．
（1）求抛物线L的表达式；
（2）若点P在抛物线L上，点E、F在抛物线L的对称轴上，D是抛物线L的顶点，要使△PEF∽△DAB（P的对应点是D），且PE：DA＝1：4，求满足条件的点P的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法可求解析式；
（2）先求出点A，点B，点D坐标，由相似三角形的性质可求解．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c过点（﹣3，3）和（1，﹣5），
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣4x；
（2）令y＝0，则0＝﹣x2﹣4x，
∴x1＝﹣4，x2＝0，
∴点A（﹣4，0），点B（0，0），
∴对称轴为x＝﹣2，
∴点D（﹣2，4），
如图，设对称轴与x轴的交点为H，过点P作PQ⊥DH于Q，设点P（m，﹣m2﹣4m），
∵△PEF∽△DAB，
∴，
∴PQ＝×4＝1，
∴|m+2|＝1，
∴m＝﹣1或﹣3，
∴点P（﹣1，3）或（﹣3，3）．
23．（12分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是直径，AB＝BC，连接BD，过点D的直线与CA的延长线相交于点E，且∠EDA＝∠ACD．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）求证：BD平分∠ADC；
（3）若AD＝6，CD＝8，求BD的长．
【分析】（1）连接OD，根据圆周角定理及等腰三角形的性质得出∠EDO＝∠EDA+∠ADO＝90°，则OD⊥DE，根据切线的定义即可得解；
（2）根据题意得到△ABC是等腰直角三角形，再根据圆周角定理及等腰三角形的性质得出∠ADB＝∠CDB，根据角平分线的定义即可得解；
（3）过点B作BH⊥BD交DC延长线于点H．证明△BDH是等腰直角三角形，求出DH，再根据勾股定理求解即可．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∵∠EDA＝∠ACD，
∴∠ADO+∠ODC＝∠EDA+∠ADO＝90°，
∴∠EDO＝∠EDA+∠ADO＝90°，
∴OD⊥DE，
∵OD是半径，
∴直线DE是⊙O的切线；
（2）证明：∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∵AB＝BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC＝∠BCA＝45°，
∴∠ADB＝∠BCA＝45°，∠CDB＝∠BAC＝45°，
∴∠ADB＝∠CDB，
∴BD平分∠ADC；
（3）过点B作BH⊥BD交DC延长线于点H，
∴∠DBH＝90°，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∵∠ABD＝90°﹣∠DBC，∠CBH＝90°﹣∠DBC，
∴∠ABD＝∠CBH，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
∵∠BCD+∠BCH＝180°，
∴∠BAD＝∠BCH，
∵AB＝CB，
∴△ABD≌△CBH（ASA），
∴AD＝CH，BD＝BH，
∵AD＝6，CD＝8，
∴CH＝6，
∴DH＝CD+CH＝14，
在Rt△BDH中，BD2＝DH2﹣BH2，BD＝BH，
∴2BD2＝196，
∴BD＝7．
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