数学选择性必修第二册第8章 概率本章综合与测试导学案

这是一份数学选择性必修第二册第8章 概率本章综合与测试导学案，共8页。学案主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．某单位举行诗词大会比赛，给每位参赛者设计了“保留题型”“升级题型”“创新题型”三类题型，每类题型均指定一道题让参赛者回答．已知某位参赛者答对每道题的概率均为eq \f(4,5)，且各次答对与否相互独立，则该参赛者答完三道题后答对两道题的概率为( )
A.eq \f(48,125) B.eq \f(80,125)
C.eq \f(113,125) D.eq \f(124,125)
答案 A
解析 某位参赛者答对每道题的概率均为eq \f(4,5)，且各次答对与否相互独立，则该参赛者答完三道题后答对两道题的概率：P＝Ceq \\al(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)))1＝eq \f(48,125).
2．若随机变量X～B(3，p)，Y～N(2，σ2)，若P(X≥1)＝0.657，P(04)等于( )
A．0.2 B．0.3
C．0.7 D．0.8
答案 A
解析 由题意，
P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－(1－p)3＝0.657，
解得p＝0.3，
则P(0所以P(Y>4)＝P(Y<0)＝0.5－P(03．已知X是离散型随机变量，P(X＝2)＝eq \f(3,4)，P(X＝a)＝eq \f(1,4)，E(X)＝eq \f(9,4)，则D(2X＋1)等于( )
A.eq \f(3,4) B.eq \f(3,8)
C.eq \f(3,16) D.eq \f(9,2)
答案 A
解析 ∵X是离散型随机变量，P(X＝2)＝eq \f(3,4)，
P(X＝a)＝eq \f(1,4)，E(X)＝eq \f(9,4)，
∴由已知得eq \f(3,4)×2＋a×eq \f(1,4)＝eq \f(9,4)，
解得a＝3，
∴D(X)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(9,4)))2×eq \f(3,4)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3－\f(9,4)))2×eq \f(1,4)＝eq \f(3,16)，
∴D(2X＋1)＝22D(X)＝4×eq \f(3,16)＝eq \f(3,4).
4．已知随机变量满足P(ξ＝X)＝aX＋b(X＝－1,0,1)，其中a，b∈R.若E(ξ)＝eq \f(1,3)，则D(ξ)等于( )
A.eq \f(2,9) B.eq \f(5,9)
C.eq \f(8,9) D.eq \f(11,9)
答案 B
解析 根据题意可得概率分布为
∴E(ξ)＝－1×(b－a)＋0×b＋1×(a＋b)＝eq \f(1,3)，
解得a＝eq \f(1,6)，
∵(b－a)＋b＋(a＋b)＝1，解得b＝eq \f(1,3)，
∴D(ξ)＝eq \f(1,6)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1－\f(1,3)))2＋eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0－\f(1,3)))2＋eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))2＝eq \f(5,9).
5．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，D(X)＝2.4，P(X＝4)A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.3
答案 B
解析 由题意可知，10位成员中使用移动支付的人数X服从二项分布，即X～B(10，p)，
所以D(X)＝10p(1－p)＝2.4，所以p＝0.4或0.6.
又因为P(X＝4)所以Ceq \\al(4,10)p4(1－p)6所以p＞0.5，所以p＝0.6.
6．某人射击一次命中目标的概率为eq \f(1,2)，则此人射击6次，3次命中且恰有2次连续命中的概率为( )
A．Ceq \\al(3,6)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))6 B．Aeq \\al(2,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))6
C．Ceq \\al(2,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))6 D．Ceq \\al(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))6
答案 B
解析 根据射手每次射击击中目标的概率是eq \f(1,2)，且各次射击的结果互不影响，故此人射击6次，3次命中的概率为Ceq \\al(3,6)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))6，
恰有两次连续击中目标的概率为eq \f(A\\al(2,4),C\\al(3,6))，
故此人射击6次，3次命中且恰有2次连续命中的概率为Ceq \\al(3,6)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))6·eq \f(A\\al(2,4),C\\al(3,6))＝Aeq \\al(2,4)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))6.
二、多项选择题
7．一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列4个结论，其中正确的有( )
A．从中任取3球，恰有一个白球的概率是eq \f(3,5)
B．从中有放回的取球6次，每次任取一球，则取到红球次数的方差为eq \f(4,3)
C．现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再取到红球的概率为eq \f(2,5)
D．从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为eq \f(26,27)
答案 ABD
解析 对于A，恰有一个白球的概率
P＝eq \f(C\\al(1,2)C\\al(2,4),C\\al(3,6))＝eq \f(3,5)，故A正确；
对于B，每次任取一球，取到红球次数X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6，\f(2,3)))，其方差为6×eq \f(2,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,3)))＝eq \f(4,3)，故B正确；
对于C，设A＝“第一次取到红球”，B＝“第二次取到红球”．
则P(A)＝eq \f(2,3)，P(AB)＝eq \f(4×3,6×5)＝eq \f(2,5)，
所以P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)＝eq \f(3,5)，故C错误；
对于D，每次取到红球的概率P＝eq \f(2,3)，所以至少有一次取到红球的概率为1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,3)))3＝eq \f(26,27)，故D正确．
8．下列说法正确的有( )
A．均值和方差都是衡量平均值偏离程度的量
B．E(2X＋1)＝2E(X)＋1，D(4X＋1)＝16D(X)＋1
C．设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，若P(ξ>1)＝p，则P(－1<ξ<1)＝1－2p
D．甲、乙、丙、丁4个人到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A＝“4个人去的景点各不相同”，事件B＝“甲独自去一个景点”，则P(A|B)＝eq \f(2,9)
答案 CD
解析 对于A，根据均值和方差的定义，可得均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量与均值的偏离程度，所以A错误；
对于B，由E(2X＋1)＝2E(X)＋1，D(4X＋1)＝16D(X)，所以B错误；
对于C，设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，P(ξ>1)＝P(ξ<－1)＝p，则P(－1<ξ<1)＝1－2p，所以C正确；
对于D，甲、乙、丙、丁4个人到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A＝“4个人去的景点各不相同”，事件B＝“甲独自去一个景点”，
则P(A|B)＝eq \f(PAB,PB)＝eq \f(nAB,nB)＝eq \f(A\\al(4,4),C\\al(1,4)×33)＝eq \f(2,9)，
所以D正确．
三、填空题
9．现有3个灯泡并联而成的闭合电路，如果在某段时间内每个灯泡能正常照明的概率都是0.9，那么在这段时间内该电路上的灯泡至少有两个能正常照明的概率是________．
答案 0.972
解析 根据题意可知，这段时间内该电路上有两个或三个灯泡能正常照明，
因此所求事件的概率为P＝Ceq \\al(2,3)×0.92×0.1＋0.93＝0.972.
10．在“学习强国”APP中，“争上游”的答题规则为：首局胜利得3分，第二局胜利得2分，失败均得1分．如果甲每局胜利的概率为eq \f(1,4)，且答题相互独立，那么甲作答两局的得分均值为________．
答案 eq \f(11,4)
解析 根据题意，得该人参加两局答题活动得分为ξ，则ξ可取的值为2,3,4,5，
若ξ＝2，即该人两局都失败，
则P(ξ＝2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,4)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,4)))＝eq \f(9,16)；
若ξ＝3，即该人第一局失败，而第二局胜利，
则P(ξ＝3)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,4)))×eq \f(1,4)＝eq \f(3,16)；
若ξ＝4，即该人第一局胜利，而第二局失败，
则P(ξ＝4)＝eq \f(1,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,4)))＝eq \f(3,16)；
若ξ＝5，即该人两局都胜利，
则P(ξ＝5)＝eq \f(1,4)×eq \f(1,4)＝eq \f(1,16)，
故E(ξ)＝2×eq \f(9,16)＋3×eq \f(3,16)＋4×eq \f(3,16)＋5×eq \f(1,16)＝eq \f(11,4).
11．随着电商的兴起，物流快递的工作越来越重要了，早在周代，我国便已出现快递制度，据《周礼·秋官》记载，周王朝的官职中设置了主管邮驿，物流的官员“行夫”，其职责要求是“虽道有难，而不时必达”．现某机构对国内排名前五的5家快递公司的某项指标进行了3轮测试(每轮测试的客观条件视为相同)，每轮测试结束后都要根据该轮测试的成绩对这5家快递公司进行排名，那么跟测试之前的排名比较，这3轮测试中恰好有2轮测试结果都出现2家公司排名不变的概率为________．
答案 eq \f(5,72)
解析 首先，在一轮测试中5家快递公司进行排名与测试之前的排名比较出现2家公司排名不变的概率为eq \f(C\\al(2,5)×2,A\\al(5,5))＝eq \f(20,120)＝eq \f(1,6)，
其次，3轮测试每次发生上述情形的概率均为P＝eq \f(1,6)，
故3轮测试中恰好有2轮测试结果都出现2家公司排名不变的概率为Ceq \\al(2,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,6)))2×eq \f(5,6)＝eq \f(5,72).
12．已知箱中装有10个不同的小球，其中2个红球、3个黑球和5个白球，现从该箱中有放回地依次取出3个小球，则3个小球颜色互不相同的概率是________；若变量ξ为取出3个球中红球的个数，则ξ的方差D(ξ)＝________.
答案 eq \f(9,50) eq \f(12,25)
解析 箱中装有10个不同的小球，其中2个红球、3个黑球和5个白球，现从该箱中有放回地依次取出3个小球，则3个小球颜色互不相同的概率是P＝Aeq \\al(3,3)×eq \f(2,10)×eq \f(3,10)×eq \f(5,10)＝eq \f(9,50).变量ξ为取出3个球中红球的个数，则ξ～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(1,5)))，∴ξ的方差D(ξ)＝3×eq \f(1,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,5)))＝eq \f(12,25).
四、解答题
13．某校高三(1)班有学生40人，其中共青团员15人．全班平均分成4个小组，其中第一组有共青团员4人．从该班任选一人作学生代表．
(1)求选到的是第一组的学生的概率；
(2)已知选到的是共青团员，求他是第一组学生的概率．
解 设事件A表示“选到第一组学生”，事件B表示“选到共青团员”．
(1)由题意，得P(A)＝eq \f(10,40)＝eq \f(1,4).
(2)方法一 要求的是在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率P(A|B)．
不难理解，在事件B发生的条件下(即以所选到的学生是共青团员为前提)，有15种不同的选择，其中属于第一组的有4种选择．因此，P(A|B)＝eq \f(4,15).
方法二 P(B)＝eq \f(15,40)＝eq \f(3,8)，P(AB)＝eq \f(4,40)＝eq \f(1,10)，
∴P(A|B)＝eq \f(PAB,PB)＝eq \f(4,15).
14．某厂销售部以箱为单位销售某种零件，每箱的定价为200元，低于100箱按原价销售，不低于100箱则有以下两种优惠方案：①以100箱为基准，每多50箱送5箱；②通过双方议价，买方能以优惠8%成交的概率为0.6，以优惠6%成交的概率为0.4.
(1)甲、乙两单位都要在该厂购买150箱这种零件，两单位都选择方案②，且各自达成的成交价格相互独立，求甲单位优惠比例不低于乙单位优惠比例的概率；
(2)某单位需要这种零件650箱，以购买总价的均值为决策依据，试问该单位选择哪种优惠方案更划算？
解 (1)因为甲单位优惠比例低于乙单位优惠比例的概率为0.4×0.6＝0.24，
所以甲单位优惠比例不低于乙单位优惠比例的概率为
1－0.24＝0.76.
(2)设在折扣优惠中每箱零件的价格为X元，则X＝184或188.X的概率分布为
则E(X)＝184×0.6＋188×0.4＝185.6.
若选择方案②，则购买总价的均值为
185．6×650＝120 640(元)．
若选择方案①，由于购买600箱能获赠50箱，所以该单位只需要购买600箱，
从而购买总价为200×600＝120 000(元)．
因为120 640>120 000，所以选择方案①更划算．
15．“全国文明城市”已成为一块在国内含金量最高、综合性最强、影响力最大的“金字招牌”．为提升城市管理水平和区域竞争力，提升市民素养和群众幸福指数，某市决定参与创建“全国文明城市”．为确保创建工作各项指标顺利完成，市“创建办”拟通过网络对市民进行一次“文明创建知识”问卷调查(一位市民只参加一次)．通过随机抽样，得到参加调查的100人的得分统计如表所示：
(1)由频数分布表可以大致认为：此次问卷调查的得分ξ～N(μ，198)，μ近似为这100人得分的均值．求得分在区间(80,94)的概率P(80<ξ<94)；(注：同一组的数据用该组区间的中点值作代表)
(2)在(1)的条件下，市“创建办”为鼓励市民积极参与创建问卷调查，制定了如下奖励方案：①得分不低于μ的可以获赠2次随机话费，得分低于μ的可以获赠1次随机话费；②每次获赠的随机话费和对应的概率如表所示：
现有市民甲参加此次问卷调查，记X(单位：元)为该市民参加问卷调查获赠的话费，求X的概率分布与均值．
附：参考数据：①35×1＋45×12＋55×22＋65×25＋75×25＋85×11＋95×4＝6 600；②eq \r(198)≈14；③若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ解 (1)根据表格中的数据，可得μ＝
eq \f(35×1＋45×12＋55×22＋65×25＋75×25＋85×11＋95×4,100)
＝eq \f(6 600,100)＝66，σ＝eq \r(198)≈14，
所以P(80<ξ<94)＝P(μ＋σ<ξ<μ＋2σ)
＝eq \f(0.954－0.683,2)＝0.135 5.
(2)由题意，可得P(ξ<μ)＝P(ξ≥μ)＝eq \f(1,2)，
则获赠话费X的可能取值为30,50,60,80,100，
P(X＝30)＝eq \f(1,2)×eq \f(2,3)＝eq \f(1,3)，
P(X＝50)＝eq \f(1,2)×eq \f(1,3)＝eq \f(1,6)，
P(X＝60)＝eq \f(1,2)×eq \f(2,3)×eq \f(2,3)＝eq \f(2,9)，
P(X＝80)＝eq \f(1,2)×eq \f(2,3)×eq \f(1,3)＋eq \f(1,2)×eq \f(1,3)×eq \f(2,3)＝eq \f(2,9)，
P(X＝100)＝eq \f(1,2)×eq \f(1,3)×eq \f(1,3)＝eq \f(1,18)，
则X的概率分布为
故均值E(X)＝30×eq \f(1,3)＋50×eq \f(1,6)＋60×eq \f(2,9)＋80×eq \f(2,9)＋100×eq \f(1,18)＝55(元)．ξ
－1
0
1
P
b－a
b
a＋b
X
184
188
P
0.6
0.4
组别
[30，
40)
[40，
50)
[50，
60)
[60，
70)
[70，
80)
[80，
90)
[90，
100]
频数
1
12
22
25
25
11
4
赠送话费的金额(元)
30
50
概率
eq \f(2,3)
eq \f(1,3)
X
30
50
60
80
100
P
eq \f(1,3)
eq \f(1,6)
eq \f(2,9)
eq \f(2,9)
eq \f(1,18)