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第八章概率章节练习卷5-2023-2024学年高二数学-（苏教版2019选择性必修第二册）
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第八章概率章节练习卷5-2023-2024学年高二数学-（苏教版2019选择性必修第二册）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．已知随机变量.若，则（ ）A．0.954 B．0.977C．0.477 D．0.6282．在含有3件次品的50件产品中，任取2件，则至少取到1件次品的概率为（ ）A． B． C． D．3．已知某品牌电视机使用寿命超过15000小时的概率为0.95，而使用寿命超过30000小时的寿命的概率为0.85，则已经使用了15000小时的这种电视，使用寿命能超过30000小时的概率为（ ）A． B． C． D．4．2022卡塔尔世界杯比赛场地是在卡塔尔的8座体育馆举办．将甲、乙、丙、丁4名裁判随机派往卢赛尔，贾努布，阿图玛玛三座体育馆进行执法，每座体育馆至少派1名裁判，A表示事件“裁判甲派往卢赛尔体有馆”；B表示事件“裁判乙派往卢赛尔体育馆”；C表示事件“裁判乙派往贾努布体育馆”，则（ ）A．事件A与B相互独立 B．事件A与C为互斥事件C． D．5．设有甲、乙两箱数量相同的产品，甲箱中产品的合格率为90%，乙箱中产品的合格率为80%.从两箱产品中任取一件，经检验不合格，放回原箱后在该箱中再随机取一件产品，则该件产品合格的概率为（ ）A． B． C． D．6．现有4个人通过掷一枚质地均匀的骰子去参加篮球和乒乓球的体育活动，掷出点数为1或2的人去打篮球，掷出点数大于2的人去打乒乓球.用，分别表示这4个人中去打篮球和乒乓球的人数，记，求随机变量的数学期望为（ ）A． B． C． D．7．设随机变量（且），最大时，（ ）A．1.98 B．1.99 C．2.00 D．2.018．李华在研究化学反应时，把反应抽象为小球之间的碰撞，而碰撞又分为有效碰撞和无效碰撞，李华有3个小球和3个小球，当发生有效碰撞时，，上的计数器分别增加2计数和1计数，，球两两发生有效碰撞的概率均为，现在李华取三个球让他们之间两两碰撞，结束后从中随机取一个球，发现其上计数为2，则李华一开始取出的三个球里，小球个数的期望是（ ）个A．1.2 B．1.6 C．1.8 D．29．某市有甲、乙两个工厂生产同一型号的汽车零件，零件的尺寸分别记为X，Y，已知X，Y均服从正态分布，，其正态曲线如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A．甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值B．甲工厂生产零件尺寸的平均值小于乙工厂生产零件尺寸的平均值C．甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性D．甲工厂生产零件尺寸的稳定性低于乙工厂生产零件尺寸的稳定性10．廉江红橙是广东省廉江市特产、中国国家地理标志产品．设廉江地区某种植园成熟的红橙单果质量（单位：g）服从正态分布，且，．下列说法正确的是（ ）A．若从种植园成熟的红橙中随机选取1个，则这个红橙的质量小于167 g的概率为0.7B．若从种植园成熟的红橙中随机选取1个，则这个红橙的质量在167 g～168 g的概率为0.05C．若从种植园成熟的红橙中随机选取600个，则质量大于163 g的个数的数学期望为480D．若从种植园成熟的红橙中随机选取600个，则质量在163 g～168 g的个数的方差为136.511．中华人民共和国第十九届亚运会将于2023年9月在杭州举办．为了组建一支朝气蓬勃、训练有素的赛会志愿者队伍，向全国人民奉献一场精彩圆满的体育盛会，组委会欲从6名男志愿者，4名女志愿者中随机抽取3人聘为志愿者队的队长．下列说法正确的是（ ）A．设事件A：“抽取的3人中至少有一名男志愿者”，事件B：“抽取的3人中全是男志愿者”，则B．设事件C：“抽取的3人中既有男志愿者，也有女志愿者”，则C．用表示抽取的3人中女志愿者的人数，则D．用表示抽取的3人中男志愿者的人数，则12．某工厂有甲、乙、丙3个车间生产同一种产品，产量依次占全厂的45%，35%，20%，且各车间的次品率分别为4%，2%，5%，现从一批产品中检查出1个次品，则该次品由 车间生产的可能性最大．13．已知随机事件A，B，满足，则 ．14．已知有两个盒子，其中盒装有3个黑球和3个白球，盒装有3个黑球和2个白球，这些球除颜色外完全相同．甲从盒、乙从盒各随机取出一个球，若2个球同色，则甲胜，并将取出的2个球全部放入盒中，若2个球异色，则乙胜，并将取出的2个球全部放入盒中．按上述方法重复操作两次后，盒中恰有7个球的概率是 ．15．一袋中装有50个白球，45个黑球，5个红球，现从中随机抽取20个球，求取出的红球个数的数学期望．16．不负青山，力换“金山”，民宿旅游逐渐成为一种热潮，山野乡村的民宿深受广大旅游爱好者的喜爱.某地区结合当地资源，按照“山上生态做减法、山下产业做加法”的思路，科学有序发展环山文旅康养产业，温泉度假小镇、环山绿道、农家乐提档升级、特色民宿群等一批生态产业项目加快实施.2023年“五一”假期来临之前，为了在节假日接待好游客，该地旅游局对本地区各乡村的普通型民宿和品质型民宿进行了调研，随机抽取了10家乡村民宿，统计得到各家的房间数如下表：(1)若旅游局随机从乙、丙2家各选2间民宿进行调研，求选出的4间均为普通型民宿的概率；(2)从这10家中随机抽取4家民宿，记其中普通型民宿的房间不低于17间的有X家，求X的分布列和数学期望.17．研究表明：人体内某部位的半径约的结节约有的可能性会在1年内发生病变.某医院引进一台检测设备，可以通过对血液检测，估计患者体内半径约为的结节是否会在1年内发生病变，若检测结果为阳性，则提示该结节会在1年内发生病变，若检测结果为阴性，则提示该结节不会在1年内发生病变.这种检测的准确率为，即一个会在1年内发生病变的患者有的可能性被检出阳性，一个不会在1年内发生病变的患者有的可能性被检出阴性.患者甲被检查出体内长了一个半径约为的结节，他做了该项血液检测.(1)求患者甲检查结果为阳性的概率；(2)若患者甲的检查结果为阳性，求他的这个结节在1年内发生病变的概率（结果保留4位小数）.18．设的所有可能取值为，称（）为二维离散随机变量的联合分布列，用表格表示为：仿照条件概率的定义，有如下离散随机变量的条件分布列：定义，对于固定的，若，则称为给定条件下的条件分布列．离散随机变量的条件分布的数学期望（若存在）定义如下：．(1)设二维离散随机变量的联合分布列为求给定条件下的条件分布列；(2)设为二维离散随机变量，且存在，证明：；(3)某人被困在有三个门的迷宫里，第一个门通向离开迷宫的道，沿此道走30分钟可走出迷宫；第二个门通一条迷道，沿此迷道走50分钟又回到原处；第三个门通一条迷道，沿此迷道走70分钟也回到原处．假定此人总是等可能地在三个门中选择一个，试求他平均要用多少时间才能走出迷宫．19．在三维空间中，立方体的坐标可用三维坐标表示，其中．而在n维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的项点坐标可表示为n维坐标，其中．现有如下定义：在n维空间中两点间的曼哈顿距离为两点与坐标差的绝对值之和，即为．回答下列问题：(1)求出n维“立方体”的顶点数；(2)在n维“立方体”中任取两个不同顶点，记随机变量X为所取两点间的曼哈顿距离①求出X的分布列与期望；②证明：在n足够大时，随机变量X的方差小于．（已知对于正态分布，P随X变化关系可表示为） 评卷人得分一、单选题评卷人得分二、多选题评卷人得分三、填空题评卷人得分四、解答题民宿甲乙丙丁戊己庚辛壬癸普通型民宿19541713189201015品质型民宿61210111091285YX…………………………………………………………………………1YX12310.10.30.20.620．050.20.150.40.150.50.351参考答案：1．A【分析】根据正态分布的对称性结合已知条件求解即可.【详解】因为随机变量，，所以，故选：A2．D【分析】至少取到1件次品包含1件次品与2件次品两种情况，再根据超几何分布的概率公式计算可得；【详解】解：在含有3件次品的50件产品中，任取2件，则至少取到1件次品的概率为．故选：D3．B【分析】根据题意，结合条件概率的计算公式，代入计算，即可得到结果.【详解】设该电视“使用寿命超过15000小时”为事件，该电视“使用寿命超过30000小时”为事件，依题意得，，由条件概率的计算公式可得：.故选:B.4．D【分析】先求出每个体育馆至少派一名裁判总的方法数，再求出事件A，B分别发生的情况数与事件A，B同时发生的情况数，得到，判断出A错误，同理可得B错误；利用条件概率求解公式得到C错误，D正确.【详解】记三座体育馆依次为①②③，每个体育馆至少派一名裁判，则有种方法，事件A：甲派往①，则若①体育馆分2人，则只需将乙、丙、丁与三个体育馆进行全排列即可，有种，若①体育馆分1人：则将乙、丙、丁分为两组，与体育馆②③进行全排列，有种，共有种，∴，同理，若甲与乙同时派往①体有馆，则①体育馆分两人，只需将丙，丁与体育馆②③进行全排列，有种，∴，故事件A与B不相互独立，A错误；同理可得，，若甲派往①体有馆与乙派往②体育馆同时发生，若丙丁2人都去往体育馆③，有种，若丙丁只有1人去往体育馆③，剩余的1人去往体育馆①或②，有种情况，综上：甲派往①体有馆与乙派往②体育馆同时发生的情况有种，故，B错误；，D正确；事件C：裁判乙派往②体育馆，若②体育馆分2人，则只需将甲、丙、丁与三个体育馆进行全排列，有种，若②体育馆分1人，则则将甲、丙、丁分为两组，与体育馆①③进行全排列，有种，共有种，∴，若事件A，C同时发生，若丙丁2人都去往体育馆③，有种，若丙丁只有1人去往体育馆③，剩余的1人去往体育馆①或②，有种情况，综上：事件A，C同时发的情况有种，∴，，C错误；故选：D5．A【分析】设事件表示任选一件产品，来自于甲箱，事件表示任选一件产品，来自于乙箱，事件从两箱产品中任取一件，恰好不合格，先利用全概率公式求出，进而可得，，进而可得放回原箱后再取该件产品合格的概率.【详解】设事件表示任选一件产品，来自于甲箱，事件表示任选一件产品，来自于乙箱，事件从两箱产品中任取一件，恰好不合格，又，经检验不合格，放回原箱后在该箱中再随机取一件产品，则该件产品合格的概率为.故选：A.6．D【分析】分别求出每个人去打篮球、打乒乓球的概率，的所有可能取值为0，2，4，利用二项分布的概率公式求出的分布列即可求得的期望值.【详解】依题意，这4个人中，每个人去打篮球的概率为，去打乒乓球的概率为，设“这4个人中恰有人去打篮球”为事件，则﹐的所有可能取值为0，2，4.由于与互斥﹐与互斥，故﹐，所以的分布列为随机变量ξ的数学期望.【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列与期望、二项分布的概率求解，属于较难题.7．C【分析】根据给定条件，求出最大时的M值，再利用超几何分布的期望公式计算作答.【详解】随机变量，则，因最大，则有，即，，整理得，解得，而，则，所以.故选：C【点睛】关键点睛：熟练掌握组合数公式，这是正确计算的关键．8．B【分析】由题意可得两球发生有效碰撞和无效碰撞的可能性相等，根据种不同的取法，每种取法里三个球两两碰撞之后共有种等可能的情况发生，其中可产生计数为的球的情况有种，再算出其中不同取法里球个数各自的概率，即可计算出期望.【详解】由，球两两发生有效碰撞的概率均为，可得两球发生有效碰撞和无效碰撞的可能性相等.取出三个球后，每两个球之间碰撞一次，则需碰撞次，每次碰撞均有有效碰撞和无效碰撞两种情况发生，且可能性相等，所以三个球两两碰撞之后共有种等可能的情况发生.①若取出的三个球均为球，有种取法，碰撞之后产生计数为的球的情况有：每个球之间有效碰撞次，无效碰撞次，计数结果为，有种，1个球计数为2；每个球之间有效碰撞次，计数结果为，有种，有三个球计数为2；则符合条件的情况数为. ②若取出的三个球为个球，个球，有种取法，碰撞之后产生计数为的球的情况有：，球之间有效碰撞次，无效碰撞次，计数结果为或，有种1，计数为2的球个数分别为1和2；每个球之间有效碰撞次，计数结果为，有种，计数为2的球个数为2；则符合条件的情况数为. ③若取出的三个球为个球，个球，有种取法，碰撞之后产生计数为的球的情况有：a，a碰撞有效，a，b碰撞无效，计数结果为，有种，计数为2的球个数为2；a，a碰撞无效，a，b碰撞1次有效1次无效，计数结果为，有种，计数为2的球个数为1；a，a碰撞无效，a，b碰撞均有效，计数结果为，有种，计数为2的球个数为3；a，a碰撞有效，a，b碰撞1次有效1次无效，计数结果为，有2种，计数为2的球个数为1；a，a碰撞有效，a，b碰撞有效，计数结果为，有1种，计数为2的球个数为1；所以符合条件的情况数为.④若取出的三个球均为球，有种取法，碰撞之后产生计数为的球的情况有：每个球之间有效碰撞次，计数结果为，有种，计数为2的球个数为2；每个球之间有效碰撞次，计数结果为，有种，计数为2的球个数为2；符合条件的情况数为.所以碰撞之后产生计数为的球的情况总数为，设李华一开始取出的三个球里，球个数为随机变量，则随机变量所有可能取值的集合是，，，，，故的分布列如下表：数学期望，所以李华一开始取出的三个球里，球个数的期望是个.故选：.9．AC【分析】根据正态密度函数的图象，得到，，即可求解.【详解】X，Y均服从正态分布，，结合正态密度函数的图象可知，可得，，故甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值，故A正确，B错误；甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性，故C正确，D错误．故选：AC10．BCD【分析】A.由求解判断；B.由求解判断；C.由质量大于163 g的个数求解判断；D.由质量在163 g～168 g的个数求解判断.【详解】解：因为，所以，所以A错误．因为，所以，所以B正确．，若从种植园成熟的红橙中随机选取600个，则质量大于163 g的个数．所以，所以C正确．因为，所以，又因为，所以，则，所以，若从种植园成熟的红橙中随机选取600个，则质量在163 g～168 g的个数，所以，所以D正确．故选：BCD11．ACD【分析】对于A，利用古典概型与组合的应用求得事件A与事件 的概率，再利用条件概率公式求解即可；对于B，利用对立事件与古典概型的概率公式即可得解；对于CD，依题意分别求得的分布列，再利用数学期望公式与方差公式求解即可判断.【详解】对于A，从6名男志愿者，4名女志愿者中随机抽取3人聘为志愿者队的队长的基本事件有件，其中事件A：“抽取的3人中至少有一名男志愿者”包含的基本事件有件，故，事件表示“抽取的3人中全是男志愿者”，其包含的基本事件有件，故，所以，故A正确；对于B，事件C：“抽取的3人中既有男志愿者，也有女志愿者” 包含的基本事件有件，所以，故B错误；对于C，可得的可能取值为0，1，2，3，则，，，，所以，故C正确；对于D，可得的可能取值为0，1，2，3，则，，，，则，，则，故D正确.故选：ACD.【点睛】关键点睛：本题CD选项的解决关键是利用离散型随机变量分布列的求法，分别求得的分布列，从而得解.12．甲【分析】设事件，，分别表示产品来自甲、乙、丙车间，事件表示产品为次品，结合全概率公式求出，再利用条件概率的概率公式分别求出，，的值，再比较即可．【详解】设事件，，分别表示产品来自甲、乙、丙车间，事件表示产品为次品，则，，，，，，，，，，该次品由甲车间生产的可能性最大故答案为：甲.13．/0.1【分析】由利用条件概率公式可得，由，利用概率的乘法公式求得，借助于全概率公式求得.【详解】因 即则得，∵，又因,且与互斥，故,则．故答案为：.14．【分析】确定出两次取球后盒中恰有7个球必须满足两次取球均为乙获胜，再分别计算出第一次取黑球、第二次取白球和第一次取白球、第二次取黑球的概率，相加即可求得结果.【详解】若两次取球后，盒中恰有7个球，则两次取球均为乙获胜；若第一次取球甲取到黑球，乙取到白球，其概率为，第一次取球后盒中有2个黑球和3个白球，盒装有4个黑球和2个白球，第二次取到异色球为取到一个白球一个黑球，其概率为；此时盒中恰有7个球的概率为；若第一次取球甲取到白球，乙取到黑球，其概率为，第一次取球后盒中有3个黑球和2个白球，盒装有3个黑球和3个白球，第二次取到异色球为取到一个白球一个黑球，其概率为；此时盒中恰有7个球的概率为；所以盒中恰有7个球的概率为.故答案为：【点睛】关键点点睛：本题的突破口在于先分清楚两次取球后，盒中恰有7个球必须满足两次取球均为乙获胜；再分别讨论并计算出第一次取黑球、第二次取白球和第一次取白球、第二次取黑球的概率即可求得结果.15．1【分析】由题设可得服从超几何分，根据公式可求数学期望.【详解】袋中球的总数为，根据题意可知，随机抽取的20个球中红球的个数服从超几何分布，即．因为，，，所以．16．(1)(2)分布列见解析，数学期望为.【分析】（1）利用超几何分布和独立事件的概率乘法公式求解；（2）利用超几何分布概率模型求解.【详解】（1）设“从乙家选2间民宿，选到的2间民宿为普通型”为事件；“从丙家选2间民宿，选到的2间民宿为普通型”为事件；所以选出的4间均为普通型民宿的概率为.（2）这10家民宿，其中普通型民宿的房间不低于17间的有4家，随机变量的可能取值有，则分布列如下，所以.17．(1)0.1016(2)0.0177【分析】（1）记事件：半径约的结节在1年内发生病变，事件B：该项血液检测结果为阳性，由全概率公式求出概率；（2）由乘法公式得出，再由条件概率求出他的这个结节在1年内发生病变的概率.【详解】（1）记事件：半径约的结节在1年内发生病变，事件B：该项血液检测结果为阳性.由题意可知，，则患者甲检查结果为阳性的概率为0.1016；（2）患者甲的检查结果为阳性，他的这个结节在1年内发生病变的概率为0.0177.18．(1)分布列见解析(2)证明见解析(3)150分钟【分析】（1）由题目所给信息结合表格可得条件下的条件分布列；（2）由题可得，后由与题目信息结合可证明结论；（3）设需要小时离开迷宫，记表示第一次所选的门，事件表示选第个门，由（2）所得结论可得关于的方程，即可得答案.【详解】（1）因为，所以用第一行各元素分别除以0．6，可得给定条件下的条件分布列：（2）二维离散随机变量的概率为，有由，．于是，．由，有．（3）由（2）知，对于二维离散随机变量，．设他需要小时离开迷宫，记表示第一次所选的门，事件表示选第个门，由题设有．因为选第一个门后30分钟可离开迷宫，所以．又因为选第二个门后50分钟回到原处，所以．又因为选第三个门后70分钟也回到原处，所以．所以．解得，即他平均要150分钟才能离开迷宫．【点睛】关键点睛：本题前两小问首先要把所给信息理解透彻，其次要灵活运用求和符号.第三小问需利用第二小问所得结论，并利用方程思想解决问题.19．(1)(2)①分布列见解析，；②证明见解析【分析】（1）根据乘法原理，即可确定顶点个数；（2）①首先确定，再结合组合数公式求概率，即可求解分布列和数学期望；②由①可知，n足够大时，，可得正态分布，正态分布曲线为，并设题中分布列所形成的曲线为，则当与均在处取最大值，说明当时，且，则可认为方差．【详解】（1）对于n维坐标有两种选择（）．故共有种选择，即个顶点（2）①对于的随机变量，在坐标与中有k个坐标值不同，即，剩下个坐标值满足．此时所对应情况数为种．即故分布列为：数学期望倒序相加得即．②当n足够大时，．设正态分布，正态分布曲线为，由定义知该正态分布期望为，方差为．设题中分布列所形成的曲线为．则当与均在处取最大值，若当时，且，则可认为方差． I．：当时，有即．II． 当n足够大时，有当时，当时，故．综上所述，可以认为．【点睛】思路点睛：本题考查立体几何新定义和排列组合，概率，分布列，正态分布相结合的综合应用问题，属于难题，本题的关键是理解题意，能正确理解随机变量取值的意义，并能利用正态分布的意义，进行求解. 02401234123012……
第八章概率章节练习卷5-2023-2024学年高二数学-（苏教版2019选择性必修第二册）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．已知随机变量.若，则（ ）A．0.954 B．0.977C．0.477 D．0.6282．在含有3件次品的50件产品中，任取2件，则至少取到1件次品的概率为（ ）A． B． C． D．3．已知某品牌电视机使用寿命超过15000小时的概率为0.95，而使用寿命超过30000小时的寿命的概率为0.85，则已经使用了15000小时的这种电视，使用寿命能超过30000小时的概率为（ ）A． B． C． D．4．2022卡塔尔世界杯比赛场地是在卡塔尔的8座体育馆举办．将甲、乙、丙、丁4名裁判随机派往卢赛尔，贾努布，阿图玛玛三座体育馆进行执法，每座体育馆至少派1名裁判，A表示事件“裁判甲派往卢赛尔体有馆”；B表示事件“裁判乙派往卢赛尔体育馆”；C表示事件“裁判乙派往贾努布体育馆”，则（ ）A．事件A与B相互独立 B．事件A与C为互斥事件C． D．5．设有甲、乙两箱数量相同的产品，甲箱中产品的合格率为90%，乙箱中产品的合格率为80%.从两箱产品中任取一件，经检验不合格，放回原箱后在该箱中再随机取一件产品，则该件产品合格的概率为（ ）A． B． C． D．6．现有4个人通过掷一枚质地均匀的骰子去参加篮球和乒乓球的体育活动，掷出点数为1或2的人去打篮球，掷出点数大于2的人去打乒乓球.用，分别表示这4个人中去打篮球和乒乓球的人数，记，求随机变量的数学期望为（ ）A． B． C． D．7．设随机变量（且），最大时，（ ）A．1.98 B．1.99 C．2.00 D．2.018．李华在研究化学反应时，把反应抽象为小球之间的碰撞，而碰撞又分为有效碰撞和无效碰撞，李华有3个小球和3个小球，当发生有效碰撞时，，上的计数器分别增加2计数和1计数，，球两两发生有效碰撞的概率均为，现在李华取三个球让他们之间两两碰撞，结束后从中随机取一个球，发现其上计数为2，则李华一开始取出的三个球里，小球个数的期望是（ ）个A．1.2 B．1.6 C．1.8 D．29．某市有甲、乙两个工厂生产同一型号的汽车零件，零件的尺寸分别记为X，Y，已知X，Y均服从正态分布，，其正态曲线如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A．甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值B．甲工厂生产零件尺寸的平均值小于乙工厂生产零件尺寸的平均值C．甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性D．甲工厂生产零件尺寸的稳定性低于乙工厂生产零件尺寸的稳定性10．廉江红橙是广东省廉江市特产、中国国家地理标志产品．设廉江地区某种植园成熟的红橙单果质量（单位：g）服从正态分布，且，．下列说法正确的是（ ）A．若从种植园成熟的红橙中随机选取1个，则这个红橙的质量小于167 g的概率为0.7B．若从种植园成熟的红橙中随机选取1个，则这个红橙的质量在167 g～168 g的概率为0.05C．若从种植园成熟的红橙中随机选取600个，则质量大于163 g的个数的数学期望为480D．若从种植园成熟的红橙中随机选取600个，则质量在163 g～168 g的个数的方差为136.511．中华人民共和国第十九届亚运会将于2023年9月在杭州举办．为了组建一支朝气蓬勃、训练有素的赛会志愿者队伍，向全国人民奉献一场精彩圆满的体育盛会，组委会欲从6名男志愿者，4名女志愿者中随机抽取3人聘为志愿者队的队长．下列说法正确的是（ ）A．设事件A：“抽取的3人中至少有一名男志愿者”，事件B：“抽取的3人中全是男志愿者”，则B．设事件C：“抽取的3人中既有男志愿者，也有女志愿者”，则C．用表示抽取的3人中女志愿者的人数，则D．用表示抽取的3人中男志愿者的人数，则12．某工厂有甲、乙、丙3个车间生产同一种产品，产量依次占全厂的45%，35%，20%，且各车间的次品率分别为4%，2%，5%，现从一批产品中检查出1个次品，则该次品由 车间生产的可能性最大．13．已知随机事件A，B，满足，则 ．14．已知有两个盒子，其中盒装有3个黑球和3个白球，盒装有3个黑球和2个白球，这些球除颜色外完全相同．甲从盒、乙从盒各随机取出一个球，若2个球同色，则甲胜，并将取出的2个球全部放入盒中，若2个球异色，则乙胜，并将取出的2个球全部放入盒中．按上述方法重复操作两次后，盒中恰有7个球的概率是 ．15．一袋中装有50个白球，45个黑球，5个红球，现从中随机抽取20个球，求取出的红球个数的数学期望．16．不负青山，力换“金山”，民宿旅游逐渐成为一种热潮，山野乡村的民宿深受广大旅游爱好者的喜爱.某地区结合当地资源，按照“山上生态做减法、山下产业做加法”的思路，科学有序发展环山文旅康养产业，温泉度假小镇、环山绿道、农家乐提档升级、特色民宿群等一批生态产业项目加快实施.2023年“五一”假期来临之前，为了在节假日接待好游客，该地旅游局对本地区各乡村的普通型民宿和品质型民宿进行了调研，随机抽取了10家乡村民宿，统计得到各家的房间数如下表：(1)若旅游局随机从乙、丙2家各选2间民宿进行调研，求选出的4间均为普通型民宿的概率；(2)从这10家中随机抽取4家民宿，记其中普通型民宿的房间不低于17间的有X家，求X的分布列和数学期望.17．研究表明：人体内某部位的半径约的结节约有的可能性会在1年内发生病变.某医院引进一台检测设备，可以通过对血液检测，估计患者体内半径约为的结节是否会在1年内发生病变，若检测结果为阳性，则提示该结节会在1年内发生病变，若检测结果为阴性，则提示该结节不会在1年内发生病变.这种检测的准确率为，即一个会在1年内发生病变的患者有的可能性被检出阳性，一个不会在1年内发生病变的患者有的可能性被检出阴性.患者甲被检查出体内长了一个半径约为的结节，他做了该项血液检测.(1)求患者甲检查结果为阳性的概率；(2)若患者甲的检查结果为阳性，求他的这个结节在1年内发生病变的概率（结果保留4位小数）.18．设的所有可能取值为，称（）为二维离散随机变量的联合分布列，用表格表示为：仿照条件概率的定义，有如下离散随机变量的条件分布列：定义，对于固定的，若，则称为给定条件下的条件分布列．离散随机变量的条件分布的数学期望（若存在）定义如下：．(1)设二维离散随机变量的联合分布列为求给定条件下的条件分布列；(2)设为二维离散随机变量，且存在，证明：；(3)某人被困在有三个门的迷宫里，第一个门通向离开迷宫的道，沿此道走30分钟可走出迷宫；第二个门通一条迷道，沿此迷道走50分钟又回到原处；第三个门通一条迷道，沿此迷道走70分钟也回到原处．假定此人总是等可能地在三个门中选择一个，试求他平均要用多少时间才能走出迷宫．19．在三维空间中，立方体的坐标可用三维坐标表示，其中．而在n维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的项点坐标可表示为n维坐标，其中．现有如下定义：在n维空间中两点间的曼哈顿距离为两点与坐标差的绝对值之和，即为．回答下列问题：(1)求出n维“立方体”的顶点数；(2)在n维“立方体”中任取两个不同顶点，记随机变量X为所取两点间的曼哈顿距离①求出X的分布列与期望；②证明：在n足够大时，随机变量X的方差小于．（已知对于正态分布，P随X变化关系可表示为） 评卷人得分一、单选题评卷人得分二、多选题评卷人得分三、填空题评卷人得分四、解答题民宿甲乙丙丁戊己庚辛壬癸普通型民宿19541713189201015品质型民宿61210111091285YX…………………………………………………………………………1YX12310.10.30.20.620．050.20.150.40.150.50.351参考答案：1．A【分析】根据正态分布的对称性结合已知条件求解即可.【详解】因为随机变量，，所以，故选：A2．D【分析】至少取到1件次品包含1件次品与2件次品两种情况，再根据超几何分布的概率公式计算可得；【详解】解：在含有3件次品的50件产品中，任取2件，则至少取到1件次品的概率为．故选：D3．B【分析】根据题意，结合条件概率的计算公式，代入计算，即可得到结果.【详解】设该电视“使用寿命超过15000小时”为事件，该电视“使用寿命超过30000小时”为事件，依题意得，，由条件概率的计算公式可得：.故选:B.4．D【分析】先求出每个体育馆至少派一名裁判总的方法数，再求出事件A，B分别发生的情况数与事件A，B同时发生的情况数，得到，判断出A错误，同理可得B错误；利用条件概率求解公式得到C错误，D正确.【详解】记三座体育馆依次为①②③，每个体育馆至少派一名裁判，则有种方法，事件A：甲派往①，则若①体育馆分2人，则只需将乙、丙、丁与三个体育馆进行全排列即可，有种，若①体育馆分1人：则将乙、丙、丁分为两组，与体育馆②③进行全排列，有种，共有种，∴，同理，若甲与乙同时派往①体有馆，则①体育馆分两人，只需将丙，丁与体育馆②③进行全排列，有种，∴，故事件A与B不相互独立，A错误；同理可得，，若甲派往①体有馆与乙派往②体育馆同时发生，若丙丁2人都去往体育馆③，有种，若丙丁只有1人去往体育馆③，剩余的1人去往体育馆①或②，有种情况，综上：甲派往①体有馆与乙派往②体育馆同时发生的情况有种，故，B错误；，D正确；事件C：裁判乙派往②体育馆，若②体育馆分2人，则只需将甲、丙、丁与三个体育馆进行全排列，有种，若②体育馆分1人，则则将甲、丙、丁分为两组，与体育馆①③进行全排列，有种，共有种，∴，若事件A，C同时发生，若丙丁2人都去往体育馆③，有种，若丙丁只有1人去往体育馆③，剩余的1人去往体育馆①或②，有种情况，综上：事件A，C同时发的情况有种，∴，，C错误；故选：D5．A【分析】设事件表示任选一件产品，来自于甲箱，事件表示任选一件产品，来自于乙箱，事件从两箱产品中任取一件，恰好不合格，先利用全概率公式求出，进而可得，，进而可得放回原箱后再取该件产品合格的概率.【详解】设事件表示任选一件产品，来自于甲箱，事件表示任选一件产品，来自于乙箱，事件从两箱产品中任取一件，恰好不合格，又，经检验不合格，放回原箱后在该箱中再随机取一件产品，则该件产品合格的概率为.故选：A.6．D【分析】分别求出每个人去打篮球、打乒乓球的概率，的所有可能取值为0，2，4，利用二项分布的概率公式求出的分布列即可求得的期望值.【详解】依题意，这4个人中，每个人去打篮球的概率为，去打乒乓球的概率为，设“这4个人中恰有人去打篮球”为事件，则﹐的所有可能取值为0，2，4.由于与互斥﹐与互斥，故﹐，所以的分布列为随机变量ξ的数学期望.【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列与期望、二项分布的概率求解，属于较难题.7．C【分析】根据给定条件，求出最大时的M值，再利用超几何分布的期望公式计算作答.【详解】随机变量，则，因最大，则有，即，，整理得，解得，而，则，所以.故选：C【点睛】关键点睛：熟练掌握组合数公式，这是正确计算的关键．8．B【分析】由题意可得两球发生有效碰撞和无效碰撞的可能性相等，根据种不同的取法，每种取法里三个球两两碰撞之后共有种等可能的情况发生，其中可产生计数为的球的情况有种，再算出其中不同取法里球个数各自的概率，即可计算出期望.【详解】由，球两两发生有效碰撞的概率均为，可得两球发生有效碰撞和无效碰撞的可能性相等.取出三个球后，每两个球之间碰撞一次，则需碰撞次，每次碰撞均有有效碰撞和无效碰撞两种情况发生，且可能性相等，所以三个球两两碰撞之后共有种等可能的情况发生.①若取出的三个球均为球，有种取法，碰撞之后产生计数为的球的情况有：每个球之间有效碰撞次，无效碰撞次，计数结果为，有种，1个球计数为2；每个球之间有效碰撞次，计数结果为，有种，有三个球计数为2；则符合条件的情况数为. ②若取出的三个球为个球，个球，有种取法，碰撞之后产生计数为的球的情况有：，球之间有效碰撞次，无效碰撞次，计数结果为或，有种1，计数为2的球个数分别为1和2；每个球之间有效碰撞次，计数结果为，有种，计数为2的球个数为2；则符合条件的情况数为. ③若取出的三个球为个球，个球，有种取法，碰撞之后产生计数为的球的情况有：a，a碰撞有效，a，b碰撞无效，计数结果为，有种，计数为2的球个数为2；a，a碰撞无效，a，b碰撞1次有效1次无效，计数结果为，有种，计数为2的球个数为1；a，a碰撞无效，a，b碰撞均有效，计数结果为，有种，计数为2的球个数为3；a，a碰撞有效，a，b碰撞1次有效1次无效，计数结果为，有2种，计数为2的球个数为1；a，a碰撞有效，a，b碰撞有效，计数结果为，有1种，计数为2的球个数为1；所以符合条件的情况数为.④若取出的三个球均为球，有种取法，碰撞之后产生计数为的球的情况有：每个球之间有效碰撞次，计数结果为，有种，计数为2的球个数为2；每个球之间有效碰撞次，计数结果为，有种，计数为2的球个数为2；符合条件的情况数为.所以碰撞之后产生计数为的球的情况总数为，设李华一开始取出的三个球里，球个数为随机变量，则随机变量所有可能取值的集合是，，，，，故的分布列如下表：数学期望，所以李华一开始取出的三个球里，球个数的期望是个.故选：.9．AC【分析】根据正态密度函数的图象，得到，，即可求解.【详解】X，Y均服从正态分布，，结合正态密度函数的图象可知，可得，，故甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值，故A正确，B错误；甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性，故C正确，D错误．故选：AC10．BCD【分析】A.由求解判断；B.由求解判断；C.由质量大于163 g的个数求解判断；D.由质量在163 g～168 g的个数求解判断.【详解】解：因为，所以，所以A错误．因为，所以，所以B正确．，若从种植园成熟的红橙中随机选取600个，则质量大于163 g的个数．所以，所以C正确．因为，所以，又因为，所以，则，所以，若从种植园成熟的红橙中随机选取600个，则质量在163 g～168 g的个数，所以，所以D正确．故选：BCD11．ACD【分析】对于A，利用古典概型与组合的应用求得事件A与事件 的概率，再利用条件概率公式求解即可；对于B，利用对立事件与古典概型的概率公式即可得解；对于CD，依题意分别求得的分布列，再利用数学期望公式与方差公式求解即可判断.【详解】对于A，从6名男志愿者，4名女志愿者中随机抽取3人聘为志愿者队的队长的基本事件有件，其中事件A：“抽取的3人中至少有一名男志愿者”包含的基本事件有件，故，事件表示“抽取的3人中全是男志愿者”，其包含的基本事件有件，故，所以，故A正确；对于B，事件C：“抽取的3人中既有男志愿者，也有女志愿者” 包含的基本事件有件，所以，故B错误；对于C，可得的可能取值为0，1，2，3，则，，，，所以，故C正确；对于D，可得的可能取值为0，1，2，3，则，，，，则，，则，故D正确.故选：ACD.【点睛】关键点睛：本题CD选项的解决关键是利用离散型随机变量分布列的求法，分别求得的分布列，从而得解.12．甲【分析】设事件，，分别表示产品来自甲、乙、丙车间，事件表示产品为次品，结合全概率公式求出，再利用条件概率的概率公式分别求出，，的值，再比较即可．【详解】设事件，，分别表示产品来自甲、乙、丙车间，事件表示产品为次品，则，，，，，，，，，，该次品由甲车间生产的可能性最大故答案为：甲.13．/0.1【分析】由利用条件概率公式可得，由，利用概率的乘法公式求得，借助于全概率公式求得.【详解】因 即则得，∵，又因,且与互斥，故,则．故答案为：.14．【分析】确定出两次取球后盒中恰有7个球必须满足两次取球均为乙获胜，再分别计算出第一次取黑球、第二次取白球和第一次取白球、第二次取黑球的概率，相加即可求得结果.【详解】若两次取球后，盒中恰有7个球，则两次取球均为乙获胜；若第一次取球甲取到黑球，乙取到白球，其概率为，第一次取球后盒中有2个黑球和3个白球，盒装有4个黑球和2个白球，第二次取到异色球为取到一个白球一个黑球，其概率为；此时盒中恰有7个球的概率为；若第一次取球甲取到白球，乙取到黑球，其概率为，第一次取球后盒中有3个黑球和2个白球，盒装有3个黑球和3个白球，第二次取到异色球为取到一个白球一个黑球，其概率为；此时盒中恰有7个球的概率为；所以盒中恰有7个球的概率为.故答案为：【点睛】关键点点睛：本题的突破口在于先分清楚两次取球后，盒中恰有7个球必须满足两次取球均为乙获胜；再分别讨论并计算出第一次取黑球、第二次取白球和第一次取白球、第二次取黑球的概率即可求得结果.15．1【分析】由题设可得服从超几何分，根据公式可求数学期望.【详解】袋中球的总数为，根据题意可知，随机抽取的20个球中红球的个数服从超几何分布，即．因为，，，所以．16．(1)(2)分布列见解析，数学期望为.【分析】（1）利用超几何分布和独立事件的概率乘法公式求解；（2）利用超几何分布概率模型求解.【详解】（1）设“从乙家选2间民宿，选到的2间民宿为普通型”为事件；“从丙家选2间民宿，选到的2间民宿为普通型”为事件；所以选出的4间均为普通型民宿的概率为.（2）这10家民宿，其中普通型民宿的房间不低于17间的有4家，随机变量的可能取值有，则分布列如下，所以.17．(1)0.1016(2)0.0177【分析】（1）记事件：半径约的结节在1年内发生病变，事件B：该项血液检测结果为阳性，由全概率公式求出概率；（2）由乘法公式得出，再由条件概率求出他的这个结节在1年内发生病变的概率.【详解】（1）记事件：半径约的结节在1年内发生病变，事件B：该项血液检测结果为阳性.由题意可知，，则患者甲检查结果为阳性的概率为0.1016；（2）患者甲的检查结果为阳性，他的这个结节在1年内发生病变的概率为0.0177.18．(1)分布列见解析(2)证明见解析(3)150分钟【分析】（1）由题目所给信息结合表格可得条件下的条件分布列；（2）由题可得，后由与题目信息结合可证明结论；（3）设需要小时离开迷宫，记表示第一次所选的门，事件表示选第个门，由（2）所得结论可得关于的方程，即可得答案.【详解】（1）因为，所以用第一行各元素分别除以0．6，可得给定条件下的条件分布列：（2）二维离散随机变量的概率为，有由，．于是，．由，有．（3）由（2）知，对于二维离散随机变量，．设他需要小时离开迷宫，记表示第一次所选的门，事件表示选第个门，由题设有．因为选第一个门后30分钟可离开迷宫，所以．又因为选第二个门后50分钟回到原处，所以．又因为选第三个门后70分钟也回到原处，所以．所以．解得，即他平均要150分钟才能离开迷宫．【点睛】关键点睛：本题前两小问首先要把所给信息理解透彻，其次要灵活运用求和符号.第三小问需利用第二小问所得结论，并利用方程思想解决问题.19．(1)(2)①分布列见解析，；②证明见解析【分析】（1）根据乘法原理，即可确定顶点个数；（2）①首先确定，再结合组合数公式求概率，即可求解分布列和数学期望；②由①可知，n足够大时，，可得正态分布，正态分布曲线为，并设题中分布列所形成的曲线为，则当与均在处取最大值，说明当时，且，则可认为方差．【详解】（1）对于n维坐标有两种选择（）．故共有种选择，即个顶点（2）①对于的随机变量，在坐标与中有k个坐标值不同，即，剩下个坐标值满足．此时所对应情况数为种．即故分布列为：数学期望倒序相加得即．②当n足够大时，．设正态分布，正态分布曲线为，由定义知该正态分布期望为，方差为．设题中分布列所形成的曲线为．则当与均在处取最大值，若当时，且，则可认为方差． I．：当时，有即．II． 当n足够大时，有当时，当时，故．综上所述，可以认为．【点睛】思路点睛：本题考查立体几何新定义和排列组合，概率，分布列，正态分布相结合的综合应用问题，属于难题，本题的关键是理解题意，能正确理解随机变量取值的意义，并能利用正态分布的意义，进行求解. 02401234123012……
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