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高中数学第8章 概率本章综合与测试精品课时作业
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这是一份高中数学第8章 概率本章综合与测试精品课时作业，文件包含第8章概率章末检测试卷原卷版docx、第8章概率章末检测试卷解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共20页， 欢迎下载使用。
1．（2023春·河北·高二校联考期中）已知，且，则（ ）
A．0.3 B．0.4 C．0.7 D．0.8
【答案】C
【解析】由题设，，则，
所以.故选：C
2．（2023·全国·高二专题练习）已知随机变量，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，，.故选：A.
3．（2023春·高二平湖市当湖高级中学校联考期中）2023年4月5日是我国的传统节日“清明节”.这天，王华的妈妈煮了五个青团子，其中两个肉馅，三个豆沙馅，王华随机拿了两个青团子，若已知王华拿到的两个青团子为同一种馅，则这两个青团子都为肉馅的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设事件A为“王华拿到的两个青团子为同一种馅”，事件AB为“两个青团子都为肉馅”，
则事件A包含的基本事件的个数为，
事件AB包含的基本事件的个数为，
所以,故选：A
4．（2023春·湖北·高二宜昌市三峡高级中学校联考期中）2023年4月12日湖北省运会在宜昌奥体中心开幕，在观看湖北省运会的同时，也有很多游客慕名来宜昌旅游，甲乙两名游客准备分别从三峡大坝、三峡人家、三峡大瀑布和清江画廊四个5A景区中随机选择一个游玩，记事件A：甲和乙至少一人选择三峡大坝景区，事件：甲和乙选择的景点不同，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，，
，故选：A.
5．（2023春·河南郑州·高二郑州市第二高级中学校考阶段练习）某同学参加篮球测试，老师规定每个同学罚篮次，每罚进一球记分，不进记分，已知该同学的罚球命中率为，并且各次罚球互不影响，则该同学得分的数学期望为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】记该同学罚球命中的次数为，则，，
该同学得分的数学期望为.故选：D.
6．（2023春·山东滨州·高二统考期中）某海鲜商家的海产品每只质量（克）在正常环境下服从正态分布．现随机购买10只该商家的海产品，则至少买到一只质量小于265克该海产品的概率为（ ）
，则：
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为单只海鲜产品质量，所以，，则，
所以，
现随机购买只该商家的海产品，
则至少买到一只质量小于克该海产品的概率.故选：B
7．（2023春·河南开封·高二统考期中）下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【解析】对于A，当与不是两个互斥事件，不成立，A错误；
对于B，条件概率的性质与其他概率的性质一样，
概率范围应该为，B错误；
对于C，因为，
若，则，所以或，C错误；
对于D，若，则，所以，D正确.故选：D.
8．（2023·全国·高二专题练习）甲口袋中有3个红球，2个白球和5个黑球，乙口袋中有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以和表示由甲口袋取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙口袋中随机取出一球，以B表示由乙口袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．事件与事件B相互独立
C． D．
【答案】D
【解析】由题意得，所以A错误；
因为，
，
所以，即，
故事件事件与事件B不相互独立，所以B错误，D正确；
，所以C错误；故选：D
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（2023·浙江·高三专题练习）已知,随机变量的分布列为:
则( )
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】因为,所以错，
因为,所以对，
因为
，
所以,所以,所以对，
举特例来说明错,取，
则，
，
，
,所以错.故选:BC
10．（2023春·江西抚州·高二南城县第二中学校考阶段练习）一个盒子中装有3个黑球和1个白球，现从该盒子中有放回的随机取球3次，取到白球记1分，取到黑球记0分，记3次取球后的总得分为X，则（ ）
A．X服从二项分布 B． C． D．
【答案】AC
【解析】对于A项，由题意知，每次取球的结果只有2个可能.取后放回，
所以X服从二项分布，故A项正确；
对于B项，每次取球后得1分的概率，则.
所以，，故B项错误；
对于C项，因为，所以，故C项正确；
对于D项，因为，所以，故D项错误.故选：AC.
11．（2023春·江苏南京·高二南京外国语学校校考期中）下列说法正确的是（ ）
A．若随机变量，其中，则
B．若事件与互斥，且，则
C．若事件发生，则事件一定发生，且则
D．甲、乙两个箱子里各装有5个大小形状都相同的球，其中甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和3个白球，先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，则取出的球是红球的概率为
【答案】BD
【解析】对于A，若随机变量，其中，
则或，故A不正确；
对于B，若事件与互斥，则，
，所以，
因为，，故B正确；
对于C，若事件发生，则事件一定发生，则，
，，故C不正确；
对于D，设事件表示从甲箱中随机取出一红球放入乙箱中，
事件表示从甲箱中随机取出一白球放入乙箱中，
设事件表示从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，
则取出的球是红球，
则有,
所以，故D正确.故选：BD.
12．（2023·江苏·高二专题练习）乒乓球（tabletennis），被称为中国的“国球”，是一种世界流行的球类体育项目，是推动外交的体育项目，被誉为“小球推动大球”．某次比赛采用五局三胜制，当参赛甲、乙两位中有一位赢得三局比赛时，就由该选手晋级而比赛结束．每局比赛皆须分出胜负，且每局比赛的胜负不受之前已赛结果影响．假设甲在任一局赢球的概率为，实际比赛局数的期望值记为，下列说法正确的是（ ）
A．三局就结束比赛的概率为 B．的常数项为3
C． D．
【答案】ABD
【解析】设实际比赛局数为，
则，，，
因此三局就结束比赛的概率为，则A正确；
则，
由，则常数项为3，则B正确；
由，则D正确；
由，
，所以，
令，则；令，则，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
因为，
所以关于对称，且越极端，越可能快结束，有，得
则C不正确.故选：ABD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．（2023春·高二平湖市当湖高级中学校联考期中）某单位的一次招聘中，应聘者都要经过三个独立项目的测试，如果通过两个或三个项目的测试即可被录用.已知甲通过每个项目测试的概率都是.若用表示甲通过测试项目的个数，则__________.
【答案】
【解析】由题意，随机变量的可能的取值分别为，
因为甲通过每个项目测试的概率都是，且每个项目之间相互独立，
所以随机变量服从二项分布，
则.
故答案为：.
14．（2023春·江苏南京·高二南京外国语学校校考期中）公共汽车门的高度是按照确保以上的成年男子头部不跟车门顶部碰撞设计的.如果某地成年男子的身高（单位：），则车门应设计至少高__________（结果精确到）.参考数据：若，则.
【答案】
【解析】设车门设计的高度为，
由题意需使，
因为，，
所以，解得，
所以车门应设计至少高.
故答案为：.
15．（2023春·山西吕梁·高二山西省交城中学校统考期中）已知两个不透明的盒中各有形状､大小都相同的红球､白球若干个，盒中有个红球与个白球，盒中有个红球与个白球，若从两盒中各取1个球，表示所取的2个球中红球的个数，则的最大值为__________．
【答案】/0.5
【解析】的可能取值为，
，
，
，
所以的分布列为
，
，当且仅当时，等号成立，
所以的最大值为．
故答案为：
16．（2022秋·新疆乌鲁木齐·高二乌鲁木齐市第四中学校考期中）假设某市场供应的灯泡中，甲厂产品占，乙厂产品占，甲厂产品的合格率为，乙厂产品的合格率为，在该市场中购买甲厂的两个灯泡，则恰有一个是合格品的概率为___________；若在该市场中随机购买一个灯泡，则这个灯泡是合格品的概率为___________；若在该市场中购买的一个灯泡是合格品，则这个灯泡是甲厂的概率为_______________.
【答案】 / /
【解析】在该市场中购买甲厂的两个灯泡，则恰有一个是合格品的概率为；
设“购买一个甲厂灯泡”，“购买一个一厂灯泡”，“灯泡是合格品”，
则，，，，
则.
即若在该市场中随机购买一个灯泡，则这个灯泡是合格品的概率为；
.
即若在该市场中购买的一个灯泡是合格品，则这个灯泡是甲厂的概率为.
故答案为：；；.
四、解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2023春·广东深圳·高二红岭中学校考期中）某商场为了回馈顾客，开展一个抽奖活动，在抽奖箱中放8个大小相同的小球，其中红球4个，白球4个. 规定：①每次抽奖时顾客从抽奖箱中随机摸出两个小球，如果摸出的两个小球颜色相同即为中奖，颜色不同即为不中奖；②每名顾客只能选一种抽奖方案进行抽奖，方案如下：
方案一：共进行两次抽奖，第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖；
方案二：共进行两次抽奖，第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖.
（1）顾客甲按照方案一进行抽奖，记中奖次数为，求的数学期望；
（2）（ⅰ）顾客乙按照方案二进行抽奖，记中奖次数为，求的分布列和数学期望；
（ii）已知有300位顾客按照方案二抽奖，则其中中奖2次的人数为多少的概率最大？
【答案】（1）；（2）（ⅰ）分布列见解析，期望为；（ii）60
【解析】（1）若第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，
则每次中奖的概率为，
因为两次抽奖相互独立，所以中奖次数服从二项分布，即，
所以的数学期望为．
（2）（ⅰ）若第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，
中奖次数的所有可能取值为0，1，2，
则，，
，
所以的分布列为
所以的数学期望为．
（ii）每位顾客按照方案二抽奖中奖2次的概率为，
则300位顾客按照方案二抽奖，其中中奖2次的人数，
恰有人中奖2次的概率为，
令，解得，
于是，当时，；当时，，
故当时，最大，
所以300位顾客按照方案二抽奖，则其中中奖2次的人数为60的概率最大．
18．（2022春·重庆南岸·高二重庆市第十一中学校校考阶段练习）某电子设备制造厂所用的元件是由甲、乙、丙三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有下图所示的数据．设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的且不区别标志．
（1）在仓库中随机取一只元件，求它是次品的概率；
（2）在仓库中随机地取一只元件，若已知取到的是次品，求此次品出自甲工厂生产的概率是多少？
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）设事件表示“取到的是一只次品”，
事件表示“所取到的产品是由第家工厂提供的”，
则，，，，
，，
由全概率公式可得：
，
即在仓库中随机取一只元件，则它是次品的概率为.
（2）由贝叶斯公式得：，
即在取到的是次品的条件下，此次品出自甲工厂生产的概率是.
19．（2023·贵州贵阳·统考模拟预测）某学习APP的注册用户分散在A，B，C三个不同的学习群里，分别有24000人，24000人，36000人，该APP设置了一个名为“七人赛”的积分游戏，规则要求每局游戏从A，B，C三个学习群以分层抽样的方式，在线随机匹配学员共计7人参与游戏．
（1）每局“七人赛”游戏中，应从A，B，C三个学习群分别匹配多少人？
（2）现需要从匹配的7名学员中随机抽取3人进入互动环节，并用X表示进入互动环节的C群人数，求X的分布列与数学期望．
【答案】（1）2,2,3；；（2）分布列见解析；期望为.
【解析】（1）三个学习群人数比例为24000:24000 : 36000 = 2 : 2 : 3
因此,应从A、B、C三个学习群分别匹配2,2,3人.
（2）由题X所有可能的取值为0,1,2,3,故
X的分布列为
.
20．（2023春·四川眉山·高二仁寿一中校考阶段练习）近日，国家卫健委公布了2020年9月到12月开展的全国性近视专项调查结果：2020年，我国儿童青少年总体近视率为.为掌握某校学生近视情况，从该校高三（1）班随机抽取7名学生，其中4人近视、3人不近视.现从这7人中随机抽取球3人做进一步医学检查.
（1）用表示抽取的3人中近视的学生人数，求所有可能的取值以及相应的概率；
（2）设为事件“抽取的3人，既有近视的学生，又有不近视的学生”，求事件发生的概率.
【答案】（1）答案见解析；（2）
【解析】（1）随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，
则，，
，；
（2）设B为事件“抽取的3名学生中，不近视2人，近视1人”；
设为事件“抽取的3名学生中，不近视1人，近视2人”，
则，且与互斥，，
所以事件A发生的概率为.
21．（2023春·山西晋中·高二介休一中校考期中）在牛年春节前夕，某市质监部门严把食品质量关，根据质量管理考核指标对本地的1000家食品生产企业进行考核，通过随机抽样抽取其中的100家，统计其考核成绩（单位：分），并制成如图频率分布直方图.
（1）估计抽样中考核成绩在80分以上的企业共有多少家，并求中位数a（精确到0.01）；
（2）若该市食品生产企业的考核成绩X服从正态分布，其中近似为100家食品生产企业考核成绩的平均数，近似为样本方差，经计算得，，利用该正态分布，估计该1000家食品生产企业质量管理考核成绩高于95.32分的有多少家？（精确到1）
附：参考数据：；若，则，，.
【答案】（1）84，；（2）22
【解析】（1）由频率分布直方图得，
考核成绩位于的频率为：，
考核成绩位于的企业共有：（家），
，
，解得中位数.
（2）由题意，，，
，
，，
估计该1000家食品生产企业质量管理考核成绩高于95.32分的有22家.
22．（2023春·北京·高二校考阶段练习）地区期末进行了统一考试，为做好本次考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图．
（1）求频率分布直方图中的值；
（2）在这50名学生中用分层抽样的方法从成绩在的三组中抽取了11人，再从这11人中随机抽取3人，记为3人中成绩在的人数，求的分布列和数学期望；
(3)转化为百分制后，规定成绩在的为A等级，成绩在的为B等级，其它为C等级．以样本估计总体，用频率代替概率．从所有参加考试的同学中随机抽取3人，求获得等级的人数不少于2人的概率.
【答案】（1）；（2）分布列见解析，数学期望为；（3）.
【解析】（1）由频率和为可得，
解得.
（2）由频率分布直方图可得，成绩在的三组人数比为，
根据分层抽样抽取的成绩在的三组人数为，
所以的可能取值为.
，，
，
所以的分布列为
（3）由题意，成绩为A,B,C等级的频率分别为，
设从所有参加考试的同学中随机抽取3人，获得B等级的人数为，
则服从二项分布，
所以获得B等级的人数不少于2人的概率为0
1
2
0
1
2
元件制造厂
次品率
提供元件的份额
甲
乙
丙
X
0
1
2
3
P
1．（2023春·河北·高二校联考期中）已知，且，则（ ）
A．0.3 B．0.4 C．0.7 D．0.8
【答案】C
【解析】由题设，，则，
所以.故选：C
2．（2023·全国·高二专题练习）已知随机变量，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，，.故选：A.
3．（2023春·高二平湖市当湖高级中学校联考期中）2023年4月5日是我国的传统节日“清明节”.这天，王华的妈妈煮了五个青团子，其中两个肉馅，三个豆沙馅，王华随机拿了两个青团子，若已知王华拿到的两个青团子为同一种馅，则这两个青团子都为肉馅的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设事件A为“王华拿到的两个青团子为同一种馅”，事件AB为“两个青团子都为肉馅”，
则事件A包含的基本事件的个数为，
事件AB包含的基本事件的个数为，
所以,故选：A
4．（2023春·湖北·高二宜昌市三峡高级中学校联考期中）2023年4月12日湖北省运会在宜昌奥体中心开幕，在观看湖北省运会的同时，也有很多游客慕名来宜昌旅游，甲乙两名游客准备分别从三峡大坝、三峡人家、三峡大瀑布和清江画廊四个5A景区中随机选择一个游玩，记事件A：甲和乙至少一人选择三峡大坝景区，事件：甲和乙选择的景点不同，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，，
，故选：A.
5．（2023春·河南郑州·高二郑州市第二高级中学校考阶段练习）某同学参加篮球测试，老师规定每个同学罚篮次，每罚进一球记分，不进记分，已知该同学的罚球命中率为，并且各次罚球互不影响，则该同学得分的数学期望为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】记该同学罚球命中的次数为，则，，
该同学得分的数学期望为.故选：D.
6．（2023春·山东滨州·高二统考期中）某海鲜商家的海产品每只质量（克）在正常环境下服从正态分布．现随机购买10只该商家的海产品，则至少买到一只质量小于265克该海产品的概率为（ ）
，则：
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为单只海鲜产品质量，所以，，则，
所以，
现随机购买只该商家的海产品，
则至少买到一只质量小于克该海产品的概率.故选：B
7．（2023春·河南开封·高二统考期中）下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【解析】对于A，当与不是两个互斥事件，不成立，A错误；
对于B，条件概率的性质与其他概率的性质一样，
概率范围应该为，B错误；
对于C，因为，
若，则，所以或，C错误；
对于D，若，则，所以，D正确.故选：D.
8．（2023·全国·高二专题练习）甲口袋中有3个红球，2个白球和5个黑球，乙口袋中有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以和表示由甲口袋取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙口袋中随机取出一球，以B表示由乙口袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．事件与事件B相互独立
C． D．
【答案】D
【解析】由题意得，所以A错误；
因为，
，
所以，即，
故事件事件与事件B不相互独立，所以B错误，D正确；
，所以C错误；故选：D
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（2023·浙江·高三专题练习）已知,随机变量的分布列为:
则( )
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】因为,所以错，
因为,所以对，
因为
，
所以,所以,所以对，
举特例来说明错,取，
则，
，
，
,所以错.故选:BC
10．（2023春·江西抚州·高二南城县第二中学校考阶段练习）一个盒子中装有3个黑球和1个白球，现从该盒子中有放回的随机取球3次，取到白球记1分，取到黑球记0分，记3次取球后的总得分为X，则（ ）
A．X服从二项分布 B． C． D．
【答案】AC
【解析】对于A项，由题意知，每次取球的结果只有2个可能.取后放回，
所以X服从二项分布，故A项正确；
对于B项，每次取球后得1分的概率，则.
所以，，故B项错误；
对于C项，因为，所以，故C项正确；
对于D项，因为，所以，故D项错误.故选：AC.
11．（2023春·江苏南京·高二南京外国语学校校考期中）下列说法正确的是（ ）
A．若随机变量，其中，则
B．若事件与互斥，且，则
C．若事件发生，则事件一定发生，且则
D．甲、乙两个箱子里各装有5个大小形状都相同的球，其中甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和3个白球，先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，则取出的球是红球的概率为
【答案】BD
【解析】对于A，若随机变量，其中，
则或，故A不正确；
对于B，若事件与互斥，则，
，所以，
因为，，故B正确；
对于C，若事件发生，则事件一定发生，则，
，，故C不正确；
对于D，设事件表示从甲箱中随机取出一红球放入乙箱中，
事件表示从甲箱中随机取出一白球放入乙箱中，
设事件表示从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，
则取出的球是红球，
则有,
所以，故D正确.故选：BD.
12．（2023·江苏·高二专题练习）乒乓球（tabletennis），被称为中国的“国球”，是一种世界流行的球类体育项目，是推动外交的体育项目，被誉为“小球推动大球”．某次比赛采用五局三胜制，当参赛甲、乙两位中有一位赢得三局比赛时，就由该选手晋级而比赛结束．每局比赛皆须分出胜负，且每局比赛的胜负不受之前已赛结果影响．假设甲在任一局赢球的概率为，实际比赛局数的期望值记为，下列说法正确的是（ ）
A．三局就结束比赛的概率为 B．的常数项为3
C． D．
【答案】ABD
【解析】设实际比赛局数为，
则，，，
因此三局就结束比赛的概率为，则A正确；
则，
由，则常数项为3，则B正确；
由，则D正确；
由，
，所以，
令，则；令，则，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
因为，
所以关于对称，且越极端，越可能快结束，有，得
则C不正确.故选：ABD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．（2023春·高二平湖市当湖高级中学校联考期中）某单位的一次招聘中，应聘者都要经过三个独立项目的测试，如果通过两个或三个项目的测试即可被录用.已知甲通过每个项目测试的概率都是.若用表示甲通过测试项目的个数，则__________.
【答案】
【解析】由题意，随机变量的可能的取值分别为，
因为甲通过每个项目测试的概率都是，且每个项目之间相互独立，
所以随机变量服从二项分布，
则.
故答案为：.
14．（2023春·江苏南京·高二南京外国语学校校考期中）公共汽车门的高度是按照确保以上的成年男子头部不跟车门顶部碰撞设计的.如果某地成年男子的身高（单位：），则车门应设计至少高__________（结果精确到）.参考数据：若，则.
【答案】
【解析】设车门设计的高度为，
由题意需使，
因为，，
所以，解得，
所以车门应设计至少高.
故答案为：.
15．（2023春·山西吕梁·高二山西省交城中学校统考期中）已知两个不透明的盒中各有形状､大小都相同的红球､白球若干个，盒中有个红球与个白球，盒中有个红球与个白球，若从两盒中各取1个球，表示所取的2个球中红球的个数，则的最大值为__________．
【答案】/0.5
【解析】的可能取值为，
，
，
，
所以的分布列为
，
，当且仅当时，等号成立，
所以的最大值为．
故答案为：
16．（2022秋·新疆乌鲁木齐·高二乌鲁木齐市第四中学校考期中）假设某市场供应的灯泡中，甲厂产品占，乙厂产品占，甲厂产品的合格率为，乙厂产品的合格率为，在该市场中购买甲厂的两个灯泡，则恰有一个是合格品的概率为___________；若在该市场中随机购买一个灯泡，则这个灯泡是合格品的概率为___________；若在该市场中购买的一个灯泡是合格品，则这个灯泡是甲厂的概率为_______________.
【答案】 / /
【解析】在该市场中购买甲厂的两个灯泡，则恰有一个是合格品的概率为；
设“购买一个甲厂灯泡”，“购买一个一厂灯泡”，“灯泡是合格品”，
则，，，，
则.
即若在该市场中随机购买一个灯泡，则这个灯泡是合格品的概率为；
.
即若在该市场中购买的一个灯泡是合格品，则这个灯泡是甲厂的概率为.
故答案为：；；.
四、解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2023春·广东深圳·高二红岭中学校考期中）某商场为了回馈顾客，开展一个抽奖活动，在抽奖箱中放8个大小相同的小球，其中红球4个，白球4个. 规定：①每次抽奖时顾客从抽奖箱中随机摸出两个小球，如果摸出的两个小球颜色相同即为中奖，颜色不同即为不中奖；②每名顾客只能选一种抽奖方案进行抽奖，方案如下：
方案一：共进行两次抽奖，第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖；
方案二：共进行两次抽奖，第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖.
（1）顾客甲按照方案一进行抽奖，记中奖次数为，求的数学期望；
（2）（ⅰ）顾客乙按照方案二进行抽奖，记中奖次数为，求的分布列和数学期望；
（ii）已知有300位顾客按照方案二抽奖，则其中中奖2次的人数为多少的概率最大？
【答案】（1）；（2）（ⅰ）分布列见解析，期望为；（ii）60
【解析】（1）若第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，
则每次中奖的概率为，
因为两次抽奖相互独立，所以中奖次数服从二项分布，即，
所以的数学期望为．
（2）（ⅰ）若第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，
中奖次数的所有可能取值为0，1，2，
则，，
，
所以的分布列为
所以的数学期望为．
（ii）每位顾客按照方案二抽奖中奖2次的概率为，
则300位顾客按照方案二抽奖，其中中奖2次的人数，
恰有人中奖2次的概率为，
令，解得，
于是，当时，；当时，，
故当时，最大，
所以300位顾客按照方案二抽奖，则其中中奖2次的人数为60的概率最大．
18．（2022春·重庆南岸·高二重庆市第十一中学校校考阶段练习）某电子设备制造厂所用的元件是由甲、乙、丙三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有下图所示的数据．设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的且不区别标志．
（1）在仓库中随机取一只元件，求它是次品的概率；
（2）在仓库中随机地取一只元件，若已知取到的是次品，求此次品出自甲工厂生产的概率是多少？
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）设事件表示“取到的是一只次品”，
事件表示“所取到的产品是由第家工厂提供的”，
则，，，，
，，
由全概率公式可得：
，
即在仓库中随机取一只元件，则它是次品的概率为.
（2）由贝叶斯公式得：，
即在取到的是次品的条件下，此次品出自甲工厂生产的概率是.
19．（2023·贵州贵阳·统考模拟预测）某学习APP的注册用户分散在A，B，C三个不同的学习群里，分别有24000人，24000人，36000人，该APP设置了一个名为“七人赛”的积分游戏，规则要求每局游戏从A，B，C三个学习群以分层抽样的方式，在线随机匹配学员共计7人参与游戏．
（1）每局“七人赛”游戏中，应从A，B，C三个学习群分别匹配多少人？
（2）现需要从匹配的7名学员中随机抽取3人进入互动环节，并用X表示进入互动环节的C群人数，求X的分布列与数学期望．
【答案】（1）2,2,3；；（2）分布列见解析；期望为.
【解析】（1）三个学习群人数比例为24000:24000 : 36000 = 2 : 2 : 3
因此,应从A、B、C三个学习群分别匹配2,2,3人.
（2）由题X所有可能的取值为0,1,2,3,故
X的分布列为
.
20．（2023春·四川眉山·高二仁寿一中校考阶段练习）近日，国家卫健委公布了2020年9月到12月开展的全国性近视专项调查结果：2020年，我国儿童青少年总体近视率为.为掌握某校学生近视情况，从该校高三（1）班随机抽取7名学生，其中4人近视、3人不近视.现从这7人中随机抽取球3人做进一步医学检查.
（1）用表示抽取的3人中近视的学生人数，求所有可能的取值以及相应的概率；
（2）设为事件“抽取的3人，既有近视的学生，又有不近视的学生”，求事件发生的概率.
【答案】（1）答案见解析；（2）
【解析】（1）随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，
则，，
，；
（2）设B为事件“抽取的3名学生中，不近视2人，近视1人”；
设为事件“抽取的3名学生中，不近视1人，近视2人”，
则，且与互斥，，
所以事件A发生的概率为.
21．（2023春·山西晋中·高二介休一中校考期中）在牛年春节前夕，某市质监部门严把食品质量关，根据质量管理考核指标对本地的1000家食品生产企业进行考核，通过随机抽样抽取其中的100家，统计其考核成绩（单位：分），并制成如图频率分布直方图.
（1）估计抽样中考核成绩在80分以上的企业共有多少家，并求中位数a（精确到0.01）；
（2）若该市食品生产企业的考核成绩X服从正态分布，其中近似为100家食品生产企业考核成绩的平均数，近似为样本方差，经计算得，，利用该正态分布，估计该1000家食品生产企业质量管理考核成绩高于95.32分的有多少家？（精确到1）
附：参考数据：；若，则，，.
【答案】（1）84，；（2）22
【解析】（1）由频率分布直方图得，
考核成绩位于的频率为：，
考核成绩位于的企业共有：（家），
，
，解得中位数.
（2）由题意，，，
，
，，
估计该1000家食品生产企业质量管理考核成绩高于95.32分的有22家.
22．（2023春·北京·高二校考阶段练习）地区期末进行了统一考试，为做好本次考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图．
（1）求频率分布直方图中的值；
（2）在这50名学生中用分层抽样的方法从成绩在的三组中抽取了11人，再从这11人中随机抽取3人，记为3人中成绩在的人数，求的分布列和数学期望；
(3)转化为百分制后，规定成绩在的为A等级，成绩在的为B等级，其它为C等级．以样本估计总体，用频率代替概率．从所有参加考试的同学中随机抽取3人，求获得等级的人数不少于2人的概率.
【答案】（1）；（2）分布列见解析，数学期望为；（3）.
【解析】（1）由频率和为可得，
解得.
（2）由频率分布直方图可得，成绩在的三组人数比为，
根据分层抽样抽取的成绩在的三组人数为，
所以的可能取值为.
，，
，
所以的分布列为
（3）由题意，成绩为A,B,C等级的频率分别为，
设从所有参加考试的同学中随机抽取3人，获得B等级的人数为，
则服从二项分布，
所以获得B等级的人数不少于2人的概率为0
1
2
0
1
2
元件制造厂
次品率
提供元件的份额
甲
乙
丙
X
0
1
2
3
P
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