高中苏教版 (2019)7.3组合第1课时学案

这是一份高中苏教版 (2019)7.3组合第1课时学案，共9页。学案主要包含了组合的概念，组合数及组合数公式，简单的组合问题等内容，欢迎下载使用。

学习目标 1.了解组合及组合数的概念.2.能利用计数原理推导组合数公式，并会应用公式解决简单的组合问题．
导语
高考不分文理后，思想政治、历史、地理、物理、化学、生物这6大科目是选考的，考生可以从中任选取3科作为自己的高考科目，那么选考的组合方式一共有多少种可能的情况呢？
一、组合的概念
(1)填报高考志愿时，小张同学要在3所大学中选择2所，分别作为自己的第一志愿和第二志愿，小张共有多少种不同的选择方式？
(2)填报高考志愿时，小张同学要在3所大学中选择2所作为自己努力的目标，小张共有多少种不同的选择方式？
问题1 以上两个问题都是排列吗？
提示 (1)是排列，(2)不是排列．
问题2 (1)与(2)有何不同特点？
提示 (1)中选取的两个志愿是有序的，(2)中选取的两个志愿是无序的．
知识梳理
组合的概念
一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
注意点：
排列与组合的区别与联系
(1)共同点：两者都是从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象．
(2)不同点：排列与对象的顺序有关，组合与对象的顺序无关．
(3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．
例1 判断下列问题是组合问题还是排列问题：
(1)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需比赛多少场？
(2)a，b，c，d四支足球队争夺冠、亚军，有多少种不同的结果？
(3)从全班40人中选出3人分别担任班长、副班长、团支部书记三个职务，有多少种不同的选法？
(4)从全班40人中选出3人参加某项活动，有多少种不同的选法？
解 (1)单循环比赛要求两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题．
(2)冠、亚军是有顺序的，是排列问题．
(3)3人分别担任三个不同职务，有顺序，是排列问题．
(4)3人参加某项活动，没有顺序，是组合问题．
反思感悟 判断一个问题是否是组合问题的流程
跟踪训练1 从5个不同元素a，b，c，d，e中取出2个，共有多少种不同的组合？请写出所有组合．
解 先将元素按照一定顺序排好，然后按顺序用图示的方法将各个组合逐个写出来，如图所示．
由此可得所有的组合：ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共有10种．
二、组合数及组合数公式
问题3 组合数Ceq \\al(3,4)与排列数Aeq \\al(3,4)有什么关系？你能求出Ceq \\al(3,4)吗？
提示 求从4个不同元素中取出3个元素的排列数Aeq \\al(3,4)，可以分如下两步：①考虑从4个不同元素中取出3个元素的组合，共有Ceq \\al(3,4)个；②对每一个组合的3个不同元素进行全排列，各有Aeq \\al(3,3)种方法．由分步计数原理得，Aeq \\al(3,4)＝Ceq \\al(3,4)·Aeq \\al(3,3)，所以Ceq \\al(3,4)＝eq \f(A\\al(3,4),A\\al(3,3)).
知识梳理
注意点：
(1)Ceq \\al(0,n)＝1.
(2)Ceq \\al(m,n)＝eq \f(A\\al(m,n),A\\al(m,m))＝eq \f(nn－1n－2·…·[n－m－1],mm－1m－2×…×2×1)常用于计算．
(3)Ceq \\al(m,n)＝eq \f(n！,m！n－m！)常用于证明．
角度1 利用组合数化简、求值
例2 求值：
(1)3Ceq \\al(3,8)－2Ceq \\al(2,5)；
(2)Ceq \\al(38－n,3n)＋Ceq \\al(3n,21＋n).
解 (1)3Ceq \\al(3,8)－2Ceq \\al(2,5)＝3×eq \f(8×7×6,3×2×1)－2×eq \f(5×4,2×1)＝148.
(2)∵eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(38－n≤3n，,3n≤21＋n，))∴9.5≤n≤10.5.
∵n∈N*，∴n＝10，
∴Ceq \\al(38－n,3n)＋Ceq \\al(3n,21＋n)＝Ceq \\al(28,30)＋Ceq \\al(30,31)＝eq \f(30！,28！×2！)＋eq \f(31！,30！)＝466.
角度2 利用组合数证明
例3 证明：Ceq \\al(m,n)＝eq \f(n,n－m)Ceq \\al(m,n－1).
证明 右边＝eq \f(n,n－m)Ceq \\al(m,n－1)＝eq \f(n,n－m)·eq \f(n－1！,m！n－1－m！)＝eq \f(n！,m！n－m！)＝Ceq \\al(m,n)＝左边．所以原式成立．
反思感悟 (1)两个组合数公式在使用中的用途有所区别．
(2)在解有关组合数的方程或不等式时，必须注意隐含条件，即Ceq \\al(m,n)中的n为正整数，m为自然数，且n≥m.因此求出方程或不等式的解后，要进行检验，将不符合的解舍去．
跟踪训练2 (1)计算：Ceq \\al(4,10)－Ceq \\al(3,7)·Aeq \\al(3,3)；
(2)证明：mCeq \\al(m,n)＝nCeq \\al(m－1,n－1).
(1)解 原式＝Ceq \\al(4,10)－Aeq \\al(3,7)＝eq \f(10×9×8×7,4×3×2×1)－7×6×5
＝210－210＝0.
(2)证明 mCeq \\al(m,n)＝m·eq \f(n！,m！n－m！)
＝eq \f(n·n－1！,m－1！n－m！)
＝n·eq \f(n－1！,m－1！n－m！)＝nCeq \\al(m－1,n－1).
三、简单的组合问题
例4 现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．
(1)现要从中选2名去参加会议有多少种不同的选法？
(2)选出2名男教师或2名女教师参加会议，有多少种不同的选法？
(3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？
解 (1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，
即Ceq \\al(2,10)＝eq \f(10×9,2×1)＝45(种)．
(2)可把问题分两类情况：
第1类，选出的2名是男教师有Ceq \\al(2,6)种方法；
第2类，选出的2名是女教师有Ceq \\al(2,4)种方法．
根据分类计数原理，
共有Ceq \\al(2,6)＋Ceq \\al(2,4)＝15＋6＝21(种)不同选法．
(3)从6名男教师中选2名的选法有Ceq \\al(2,6)种，从4名女教师中选2名的选法有Ceq \\al(2,4)种，根据分步计数原理，共有不同的选法Ceq \\al(2,6)×Ceq \\al(2,4)＝15×6＝90(种)．
延伸探究 本例其他条件不变，问题变为从中选2名教师参加会议，至少有1名男教师的选法是多少？最多有1名男教师的选法又是多少？
解 至少有1名男教师可分两类：1男1女有Ceq \\al(1,6)Ceq \\al(1,4)种，2男0女有Ceq \\al(2,6)种．
由分类计数原理知有Ceq \\al(1,6)Ceq \\al(1,4)＋Ceq \\al(2,6)＝39(种)．
最多有1名男教师包括两类：1男1女有Ceq \\al(1,6)Ceq \\al(1,4)种，0男2女有Ceq \\al(2,4)种．
由分类计数原理知有Ceq \\al(1,6)Ceq \\al(1,4)＋Ceq \\al(2,4)＝30(种)．
反思感悟 (1)解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关．
(2)要注意两个计数原理的运用，即分类与分步的灵活运用．
在分类和分步时，一定注意有无重复或遗漏．
跟踪训练3 一位教练的足球队共有17名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛．按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人．问：
(1)这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上场方案？
(2)如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？
解 (1)由于上场学员没有角色差异，所以可以形成的学员上场方案种数为Ceq \\al(11,17)＝12 376.
(2)教练员可以分两步完成这件事情：
第1步，从17名学员中选出11人组成上场小组，共有Ceq \\al(11,17)种选法；
第2步，从选出的11人中选出1名守门员，共有Ceq \\al(1,11)种选法．
所以教练员做这件事情的方式种数为Ceq \\al(11,17)×Ceq \\al(1,11)＝136 136.
1．知识清单：
(1)组合与组合数的定义．
(2)排列与组合的区别与联系．
(3)组合数的计算与证明．
2．方法归纳：列举法、公式法．
3．常见误区：分不清“排列”还是“组合”．
1．(多选)下面四组元素，是相同组合的是( )
A．a，b，c—b，c，a B．a，b，c—a，c，b
C．a，c，d—d，a，c D．a，b，c—a，b，d
答案 ABC
2．若Ceq \\al(2,n)＝28，则n的值为( )
A．9 B．8 C．7 D．6
答案 B
解析 ∵Ceq \\al(2,n)＝eq \f(nn－1,2)＝28，
∴n(n－1)＝56，即n＝8(负舍)．
3．(多选)给出下列问题，其中是组合问题的是( )
A．从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别去参加2个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法
B．有4张相同的电影票，要在7人中选出4人去观看，有多少种不同的选法
C．某人射击8枪，击中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，则不同的结果有多少种
D．高中部10个班进行足球单循环赛，需要进行多少场比赛
答案 BCD
解析 A与顺序有关，是排列问题，BCD均与顺序无关，是组合问题．
4．五个点中任何三点都不共线，则这五个点可以连成________条线段；如果是有向线段，共有________条．
答案 10 20
解析 从五个点中任取两个点恰好连成一条线段，这两个点没有顺序，所以是组合问题，连成的线段共有Ceq \\al(2,5)＝10(条) .再考虑有向线段的问题，这时两个点的先后排列次序不同则对应不同的有向线段，所以是排列问题，排列数是Aeq \\al(2,5)＝20.所以有向线段共有20条．
课时对点练
1．(多选)以下四个问题，属于组合问题的是( )
A．从3个不同的小球中，取出2个排成一列
B．老师从全班40名同学中选出8人成立一个学习小组
C．在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星
D．从13位司机中任选出两位开同一辆车分别往返甲、乙两地
答案 BC
解析 老师从40名学生中选出8人成立学习小组与顺序无关．主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星，与顺序无关，是组合问题．
2．若Aeq \\al(3,n)＝12Ceq \\al(2,n)，则n等于( )
A．8 B．5或6
C．3或4 D．4
答案 A
解析 Aeq \\al(3,n)＝n(n－1)(n－2)，Ceq \\al(2,n)＝eq \f(1,2)n(n－1)，
所以n(n－1)(n－2)＝12×eq \f(1,2)n(n－1)．
由n∈N*，且n≥3，解得n＝8.
3．把三张游园票分给10个人中的3人，分法有( )
A．Aeq \\al(3,10)种 B．Ceq \\al(3,10)种
C．Ceq \\al(3,10)Aeq \\al(3,10)种 D．30种
答案 B
解析 三张票没区别，从10人中选3人即可，即Ceq \\al(3,10).
4．某新农村社区共包括8个自然村，且这些村庄分布零散，没有任何三个村庄在一条直线上，现要在该社区内建“村村通”工程，则共需建公路的条数为( )
A．4 B．8 C．28 D．64
答案 C
解析 由于“村村通”公路的修建，是组合问题，故共需要建Ceq \\al(2,8)＝eq \f(A\\al(2,8),A\\al(2,2))＝eq \f(8×7,2×1)＝28(条)公路．
5．已知平面内A，B，C，D这4个点中任何3点不共线，则由其中每3点为顶点的所有三角形的个数为( )
A．3 B．4 C．12 D．24
答案 B
解析 由于与顺序无关，所以是组合问题，共有4个：△ABC，△ABD，△ACD，△BCD.
6．(多选)下列选项正确的是( )
A．Ceq \\al(m,n)＝eq \f(A\\al(m,n),m！) B．Aeq \\al(m,n)＝mAeq \\al(m－1,n－1)
C．Ceq \\al(m,n)÷Ceq \\al(m＋1,n)＝eq \f(m＋1,n－m) D．Ceq \\al(m＋1,n＋1)＝eq \f(n＋1,m＋1)Ceq \\al(m,n)
答案 ACD
解析 A显然成立；
对于B选项，Aeq \\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，
Aeq \\al(m－1,n－1)＝(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，
所以Aeq \\al(m,n)＝nAeq \\al(m－1,n－1)，故B不成立；
对于C选项，Ceq \\al(m,n)÷Ceq \\al(m＋1,n)＝eq \f(C\\al(m,n),C\\al(m＋1,n))＝eq \f(A\\al(m,n)·m＋1！,m！·A\\al(m＋1,n))＝eq \f(m＋1,n－m)，故C成立；
对于D选项，Ceq \\al(m＋1,n＋1)＝eq \f(A\\al(m＋1,n＋1),m＋1！)＝eq \f(n＋1·A\\al(m,n),m＋1m！)＝eq \f(n＋1,m＋1)Ceq \\al(m,n)，故D成立．
7．6个朋友聚会，每两人握手1次，一共握手________次．
答案 15
解析 每两人握手1次，无顺序之分，是组合问题，故一共握手Ceq \\al(2,6)＝15(次)．
8．若已知集合P＝{1,2,3,4}，则集合P的子集中含有2个元素的子集数为________．
答案 6
解析 由于集合中的元素具有无序性，因此含2个元素的子集个数与元素顺序无关，是组合问题，
共有Ceq \\al(2,4)＝eq \f(A\\al(2,4),A\\al(2,2))＝eq \f(4×3,2×1)＝6(个)．
9．已知eq \f(1,C\\al(m,5))－eq \f(1,C\\al(m,6))＝eq \f(7,10C\\al(m,7))，求Ceq \\al(m,8)的值．
解 根据组合数公式可将原方程化为
eq \f(m！5－m！,5！)－eq \f(m！6－m！,6！)＝eq \f(7·7－m！·m！,10·7！)，
即60－10(6－m)＝(7－m)(6－m)，
整理得m2－23m＋42＝0，
解得m＝2或m＝21.
又0≤m≤5，m∈N*，所以m＝2.
故Ceq \\al(m,8)＝Ceq \\al(2,8)＝eq \f(8×7,2)＝28.
10．有8名男生和5名女生，从中任选6人．
(1)有多少种不同的选法？
(2)其中有3名女生，有多少种不同的选法？
(3)其中至多有3名女生，有多少种不同的选法？
解 (1)没有任何限制条件，相当于是从13个不同元素中取6个不同元素的组合，故共有Ceq \\al(6,13)＝1 716(种)不同的选法．
(2)分两步：第一步，选出3名女生，有Ceq \\al(3,5)种选法；
第二步，选出3名男生，有Ceq \\al(3,8)种选法．
根据分步计数原理，共有Ceq \\al(3,5)Ceq \\al(3,8)＝560(种)不同的选法．
(3)分四类：第一类，没有女生，有Ceq \\al(6,8)种选法；
第二类，有1名女生，有Ceq \\al(5,8)Ceq \\al(1,5)种选法；
第三类，有2名女生，有Ceq \\al(4,8)Ceq \\al(2,5)种选法；
第四类，有3名女生，有Ceq \\al(3,8)Ceq \\al(3,5)种选法．
由分类计数原理得，不同的选法共有Ceq \\al(6,8)＋Ceq \\al(5,8)Ceq \\al(1,5)＋Ceq \\al(4,8)Ceq \\al(2,5)＋Ceq \\al(3,8)Ceq \\al(3,5)＝1 568(种)．
11．已知圆上有9个点，每两点连一线段，若任意两条线的交点不同，则所有线段在圆内的交点有( )
A．36个 B．72个
C．63个 D．126个
答案 D
解析 此题可化归为圆上9个点可组成多少个四边形，所有四边形的对角线交点个数即为所求，所以交点为Ceq \\al(4,9)＝126(个)．
12．从8名女生和4名男生中，抽取3名学生参加某档电视节目，若按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为( )
A．224 B．112
C．56 D．28
答案 B
解析 由分层抽样知，应从8名女生中抽取2名，从4名男生中抽取1名，所以抽取2名女生和1名男生的方法数为Ceq \\al(2,8)Ceq \\al(1,4)＝eq \f(A\\al(2,8),A\\al(2,2))·eq \f(A\\al(1,4),A\\al(1,1))＝112.
13．身高各不相同的7名同学排成一排照相，要求正中间的同学最高，左右两边分别顺次一个比一个低，则这样的排法种数是( )
A．5 040 B．36
C．18 D．20
答案 D
解析 最高的同学站中间，从余下6人中选3人在一侧只有一种站法，另3人在另一侧也只有一种站法，所以排法有Ceq \\al(3,6)＝20(种)．
14．从2,3,5,7四个数中任取两个不同的数相乘，有m个不同的积，任取两个不同的数相除，有n个不同的商，则m∶n＝________.
答案 1∶2
解析 ∵m＝Ceq \\al(2,4)，n＝Aeq \\al(2,4)，∴m∶n＝1∶2.
15．某城市纵向有6条道路，横向有5条道路，构成如图所示的矩形道路网(图中黑线表示道路)，则从西南角A地到东北角B地的最短路线共有________条．
答案 126
解析 要使路线最短，只能向右或向上走，途中不能向左或向下走．因此，从A地到B地归结为走完5条横线段和4条纵线段．设每走一段横线段或纵线段为一个行走时段，从9个行走时段中任取4个时段走纵线段，其余5个时段走横线段，共有Ceq \\al(4,9)Ceq \\al(5,5)＝126(种)走法，故从A地到B地的最短路线共有126条．
16．某次足球比赛共12支球队参加，分三个阶段进行．
(1)小组赛：经抽签分成甲、乙两组，每组6队进行单循环比赛，以积分及净胜球数取前两名；
(2)半决赛：甲组第一名与乙组第二名，乙组第一名与甲组第二名作主客场交叉淘汰赛(每两队主客场各赛一场)决出胜者；
(3)决赛：两个胜队参加决赛一场，决出胜负．
问：全部赛程共需比赛多少场？
解 (1)小组赛中每组6队进行单循环比赛，就是6支球队的任两支球队都要比赛一次，所需比赛的场次即为从6个元素中任取2个元素的组合数，所以小组赛共要比赛2Ceq \\al(2,6)＝30(场)．
(2)半决赛中甲组第一名与乙组第二名(乙组第一名与甲组第二名)主客场各赛一次，
所以半决赛共要比赛2×2＝4(场)．
(3)决赛只需比赛1场，即可决出胜负．
所以全部赛程共需比赛30＋4＋1＝35(场)．
组合数定义及表示
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Ceq \\al(m,n)表示
组合数
公式
乘积形式
Ceq \\al(m,n)＝eq \f(A\\al(m,n),A\\al(m,m))＝eq \f(nn－1n－2…n－m＋1,m！)
阶乘形式
Ceq \\al(m,n)＝eq \f(n！,m！n－m！)