高中数学第2章 圆与方程2.1 圆的方程第二课时学案

这是一份高中数学第2章 圆与方程2.1 圆的方程第二课时学案，

第二课时　椭圆的方程及性质的应用(习题课)[例1]　已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：(1)有两个不同的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点．[解]　直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝2x＋m，　　　　　　　　　　　　　　　　①,\f(x2,4)＋\f(y2,2)＝1，　　　　　　　　　　　　　　　　②))将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0， ③关于x的一元二次方程的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.(1)由Δ>0，得－3eq \r(2)3eq \r(2).从而当m<－3eq \r(2)或m>3eq \r(2)时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点．eq \a\vs4\al()1．直线与椭圆有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题，此时要注意分类讨论思想和数形结合思想的运用．2．判断直线与椭圆的位置关系，通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则Δ>0⇔直线与椭圆相交；Δ＝0⇔直线与椭圆相切；Δ<0⇔直线与椭圆相离．　　　　 [跟踪训练]若直线mx＋ny＝4和圆O：x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1的交点个数为(　　)A．至多一个　　　　　 B．2C．1 D．0解析：选B　因为直线mx＋ny＝4和圆O：x2＋y2＝4没有交点，所以eq \f(4,\r(m2＋n2))＞2，所以m2＋n2＜4.所以eq \f(m2,9)＋eq \f(n2,4)＜eq \f(m2,9)＋eq \f(4－m2,4)＝1－eq \f(5,36)m2≤1，所以点(m，n)在椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1的内部，所以过点(m，n)的直线与椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1的交点有2个.[例2]　(链接教科书第84页例2)酒泉卫星发射中心将一颗人造卫星送入到距地球表面近地点(离地面最近的点)高度约200 km，远地点(离地面最远的点)高度约350 km的椭圆轨道(将地球看作一个球，其半径约为6 371 km)，求卫星运行的轨道方程．(注：地心(地球的中心)位于椭圆轨道的一个焦点，且近地点、远地点与地心共线) [解]　如图，设地心为椭圆轨道右焦点F2，近地点、远地点分别为A2，A1，以直线A1A2为x轴，线段A1A2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则F2，A1，A2三点都在x轴上，|F2A2|＝a－c＝200＋6 371，|A1F2|＝a＋c＝350＋6 371，所以a＝6 646，c＝75，从而b2＝a2－c2＝6 6462－752＝44 163 691.所以卫星运行的轨道方程为eq \f(x2,44 169 316)＋eq \f(y2,44 163 691)＝1.eq \a\vs4\al()解决椭圆的实际问题的基本步骤(1)认真审题，理顺题中的各种关系，如等量关系；(2)结合所给图形及题意建立适当的平面直角坐标系；(3)利用椭圆知识及其他相关知识求解．　　　　 [跟踪训练]神舟五号飞船成功完成了第一次载人航天飞行，实现了中国人民的航天梦想．某段时间飞船在太空中运行的轨道是一个椭圆，地心为椭圆的一个焦点，如图所示．假设航天员到地球的最近距离为d1，最远距离为d2，地球的半径为R，我们想象存在一个镜像地球，其中心在神舟飞船运行轨道的另外一个焦点上，上面住着一个神秘生物发射某种神秘信号，需要飞行中的航天员中转后地球人才能接收到，则传送神秘信号的最短距离为(　　)A．d1＋d2＋R　　　　　 B．d2－d1＋2RC．d2＋d1－2R D．d1＋d2解析：选D　设椭圆的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，半焦距为c，两焦点分别为F1，F2，飞行中的航天员为点P，由已知可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(d1＋R＝a－c，,d2＋R＝a＋c，))则2a＝d1＋d2＋2R，故传送神秘信号的最短距离为|PF1|＋|PF2|－2R＝2a－2R＝d1＋d2.[例3]　在椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,7)＝1上求一点P，使它到直线l：3x－2y－16＝0的距离最短，并求出最短距离．[解]　设与椭圆相切并与l平行的直线方程为y＝eq \f(3,2)x＋m，代入eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,7)＝1，消去y并整理得4x2＋3mx＋m2－7＝0，由Δ＝9m2－16(m2－7)＝0得m2＝16，∴m＝±4，故两切线方程为y＝eq \f(3,2)x＋4和y＝eq \f(3,2)x－4，显然y＝eq \f(3,2)x－4即3x－2y－8＝0距l最近，它们之间的距离即为所求最短距离，且y＝eq \f(3,2)x－4与椭圆的切点即为所求点P.故所求最短距离为d＝eq \f(|16－8|,\r(32＋（－2）2))＝eq \f(8,\r(13))＝eq \f(8\r(13),13).由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x2,4)＋\f(y2,7)＝1，,y＝\f(3,2)x－4))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3,2)，,y＝－\f(7,4)，))即Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\f(7,4))).eq \a\vs4\al()本题将求最小距离问题转化为直线与椭圆的相切问题．此类问题的常规解法是将直线方程与椭圆方程联立，消去y(或x)得到关于x(或y)的一元二次方程，根据判别式Δ＝0建立方程求解．　　　　 [跟踪训练]已知椭圆x2＋8y2＝8，在椭圆上求一点P，使P到直线l：x－y＋4＝0的距离最短，并求出最短距离．解：设与直线x－y＋4＝0平行且与椭圆相切的直线方程为x－y＋a＝0，由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋8y2＝8，,x－y＋a＝0))消去x得9y2－2ay＋a2－8＝0，由Δ＝4a2－36(a2－8)＝0，解得a＝3或a＝－3，∴与直线l距离较近的切线为x－y＋3＝0，它们之间的距离即为所求最短距离，且x－y＋3＝0与椭圆的切点即为所求点P.故所求最短距离为d＝eq \f(|4－3|,\r(2))＝eq \f(\r(2),2).由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋8y2＝8，,x－y＋3＝0))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(8,3)，,y＝\f(1,3)，))即Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8,3)，\f(1,3))).1．直线y＝x＋2与椭圆eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,3)＝1有两个公共点，则m的取值范围是________．解析：由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x2,m)＋\f(y2,3)＝1，,y＝x＋2))得(m＋3)x2＋4mx＋m＝0.又∵直线与椭圆有两个公共点，∴Δ＝(4m)2－4m(m＋3)＝16m2－4m2－12m＝12m2－12m>0，解得m>1或m<0.又∵m>0且m≠3，∴m>1且m≠3.答案：(1，3)∪(3，＋∞)2．若直线y＝x＋1和椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1交于A，B两点，则线段AB的长为________．解析：由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x2,4)＋\f(y2,2)＝1，,y＝x＋1))消去y得3x2＋4x－2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝－eq \f(2,3)，x1＋x2＝－eq \f(4,3)，所以|AB|＝eq \r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2)＝eq \r(1＋k2)·eq \r(（x1＋x2）2－4x1x2)＝eq \r(1＋12)× eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)))\s\up12(2)－4×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3))))＝eq \f(4\r(5),3).答案：eq \f(4\r(5),3)3．已知椭圆C：eq \f(x2,2)＋y2＝1，若直线l：x－y＋m＝0与椭圆C有唯一的公共点，求实数m的值．解：如图，由直线l的方程特征可知，随着m的变化，直线l平行移动，若与椭圆C有唯一的公共点，则直线方程和椭圆方程应有唯一的公共解．联立直线与椭圆的方程，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x2,2)＋y2＝1，,x－y＋m＝0.))化简可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋2y2＝2，　　　　　　　　　　　　　①,y＝x＋m. 　　　　　　　　　　　　　　②))将②代入①，并整理，得3x2＋4mx＋2m2－2＝0. ③因为方程③是一元二次方程，所以它有唯一的实数解的充要条件是Δ＝16m2－24(m2－1)＝0，解得m＝－eq \r(3)或m＝eq \r(3).所以当直线l与椭圆C有唯一的公共点时，实数m的值为－eq \r(3)或eq \r(3).新课程标准解读核心素养1.巩固椭圆的简单几何性质及应用数学建模2.会判断直线与椭圆的公共点个数逻辑推理直线与椭圆公共点个数的判断椭圆的实际应用问题与椭圆有关的综合问题