数学23.1 锐角的三角函数教案设计

25.1 锐角三角函数

教学内容

    本节课主要运用类比的方法得到正弦和余弦的概念，并且学习它们的应用．

教学目标

    1．知识与技能．

    理解锐角三角函数中的正弦、余弦的概念，并能够举例说明．

2．过程与方法．

    经历探索正弦、余弦概念的过程，掌握运用sinA、cosA表示直角边的比．

    3．情感、态度与价值观．

    培养良好的数形结合的能力，体会三角函数在现实生活中的应用价值．

重难点、关键

    1．重点：理解正弦、余弦的概念．

    2．难点：怎样运用已学过的正余切，以及正余弦概念解决实际问题．

    3．关键：要注意正切、余切、正弦、余弦的特性，把握应用的方法．

教学准备

    1．教师准备：投影仪、制作投影片．

    2．学生准备：复习上一节课内容，预习本节课内容．

教学过程

一、回顾交流，迁移导入

    1．专题讨论．（投影显示）

    问题牵引1：下图是两个不同商场的自动扶梯，依据图形数据探讨下列问题．

    （1）哪一个自动扶梯陡？为什么？

    （2）甲、乙两个自动扶梯的倾斜程度是通过什么数学公式计算的？

（3）如图（甲），当Rt△ABC中的锐角∠ABC确定时，∠ABC的对边与邻边的比便随之确定，此时其他边之间的比确定吗？

    教师活动：操作投影仪，显示“问题牵引”，组织学生讨论．

    学生活动：四人小组讨论，交流解决方法，上讲台演示．

    思路点拨：问题（1）的解决方法是通过计算∠ABC和∠DEF的正切值来比较，tan∠ABC>tan∠DEF，因此，甲梯较乙梯陡．这道题复习了正切的概念．问题（2）实际上是在问题（1）的基础上进一步明确倾斜程度是正切定义来确定的，即斜面的铅直高度与水平宽度的比．问题（3），在锐角∠ABC的三角函数概念中，如图甲∠ABC是自变量，其取值范围是0°<∠ABC<90°，三个比值是因变量，当∠ABC确定时，三个比值分别唯一确定，当∠ABC变化时，三个比值也分别有唯一确定的值与之对应．

    答案：（1）甲梯中：tan∠ABC=2，乙梯中，tan∠DEF=，因此tan∠ABC>tan∠DEF，所以甲梯更陡． （2）甲、乙两梯的倾斜程度分别为2：1和：7， （3）略．

    2．发展认知．

在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与斜边的比，邻边与斜边之比也就确定．

    正弦定义：∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即

sinA=

    余弦定义：∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即

cosA=

    评析：锐角∠A的正弦、余斜、正切、余切，统称为锐角∠A的三角函数，这些函数值都是正实数，而且0<sinA<1，0<cosA<1．

    定义拓展：sin2A+cos2A=1，tanA·cosA=1．

二、激情促思，多种思维

    教师提问：请同学们思考：梯子的倾斜程度与sinA和cosA有关吗？

    学生活动：与同桌交流，得出探究思路：

    思路1：甲梯中，sin∠ABC=；

    乙梯中，sin∠DEF=．

    由于sin∠ABC>sin∠DEF，因此，甲梯较乙校更陡．

    规律：sinA的值越大，梯子越陡．

    思路2：甲梯中，cos∠ABC=；

    乙梯中，cos∠DEF=．

    由于cos∠ABC<cos∠DEF，因此甲梯较乙梯更陡．

    规律：cosA的值越小，梯子越陡．

    评析：从理论上来讲，正弦和余弦都可以用来刻画梯子的倾斜程度，但是，一般情况下还是使用正切最好．

三、范例学习，类比领悟

    1．例1：见课本   

    2．例2：如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=200，sinA=0.6，求BC的长．

思路点拨：可以从sinA=0.6，找到解题途径，由于定义sinA=，又因为AC=200，可以求出BC的值．

    教师板书：在Rt△ABC中，

    ∵sina===0.6，

    ∴BC=200×0.6=120．

    学生活动：参与例2分析，探讨不同解法，上台演示．

    学生板书：在Rt△ABC中，

    ∵sinA=0.6=，

    ∴可以设BC=3x，AC=5x，

    由于AC=200，因此5x=200，x=40．

    ∴BC=120．

    评析：例2中的解法一是运用正弦定义求对边长度，而解法二也是一种常见的方法，引入参数x，将比值转化成具体的线段（舍x），再运用已知量求解．

四、丰富联想，拓展延伸

    问题牵引2：在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=，Ac=10，求AB；sinB的值．

    思路点拨：首先应用余弦定义cosA=，又因为AC=100，cosA=，建立等式=，可求出AB的值，再应用正弦定义sinB=，求出sinB值，sinB=．

    学生活动：先独立思考，再与同伴交流，在解题中探寻规律．

    教师活动：帮助学生归纳“正、余弦”互化公式．

sin（90°-A）=cosA

cos（90°-A）=sinA．

    评析：在有关三角函数计算的某些习题中，常常遇到三角函数的互化，实现这种转化，需要灵活运用上述几个公式．

五、随堂练习，巩固深化

    1．课本练习第1、2、3题．

    2．探研时空．

    直角三角形的一条直角边为8cm，这条直角边所对锐角的余弦是方程5x+7x-6=0的两个根，求出这个三角形的斜边长．（10cm）

六、课堂总结，提高认识

    1．正弦和余弦的概念是什么？（学生回答）

    2．正弦、余弦、正切、余切这四个三角函数在定义上有哪些异同点？（学生回答）

    教师归纳：上述四个定义把锐角三角函数值与图形融合在一起，充分体现了数形结合的思想，这里角是图形，边的比是数值．锐角A的任一三角函数值可以是实数，这个数值的大小不仅由锐角A的大小确定，而且与直角三角形大小无关，角与边的比是一一对应．

七、布置作业，专题突破

    1．课本习题

    2．选用课时作业设计．

八、课后反思（略）

作业设计

1．如图，在△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanA=_____，cosA=_____．

    2．在△ABC中，∠C=90°，a=3b，则cotB=________．

    3．在△ABC中，∠C=90°，tanA=0.85，b=4，则a=______．

    4．汽车在坡度为1：7的斜坡路上行进200米，则它垂直上升了____米．

    5．在△ABC中，∠C=90°，C=16，tanB=，则△ABC面积（  ）

    A．64      B．32       C．64      D．32

    6．菱形ABCD中，对角线AC=24，BD=10，则sin等于（ ）

A．

7．方程4x2-2（m+1）x+m=0的两个根恰好是一个直角三角形的两个锐角的余弦，那么这时的m值应取多少呢？

    8．如图，甲城市气象台测得台风中心在甲城正东300千米时，以每小时26.5千米的速度向北偏西60°的BF方向移动，距台风中心200米范围内将受到台风影响，请问甲城市是否会受到台风影响？为什么？

参考答案

1． 

2． 

3．3.4 

4．20 

5．B 

6．B 

7．m= 

8．会受到影响