沪科版九年级上册第23章 解直角三角形23.1 锐角的三角函数公开课教案及反思

这是一份沪科版九年级上册第23章 解直角三角形23.1 锐角的三角函数公开课教案及反思，共9页。教案主要包含了知识与技能，过程与方法，情感、态度与价值观等内容，欢迎下载使用。

第1课时 锐角的三角函数
教学目标
【知识与技能】
1．了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sin A、cs A、tan A表示直角三角形中两边的比．
2．理解坡度的概念，并能够计算坡面的坡度．
【过程与方法】
通过锐角三角函数的学习进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，体会数学在解决实际问题中的应用．
【情感、态度与价值观】
1．通过学习培养学生的合作意识．
2．通过探究提高学生学习数学的兴趣．
重点难点
【重点】
锐角三角函数的概念，坡比的概念．
【难点】
锐角三角函数概念的理解．
教学过程
一、创设情境，导入新知
师：高架桥的起始一段有倾斜的部分，这个坡面的坡度或者说倾斜程度是怎样度量的呢？
学生思考．
二、共同探究，获取新知
1．正切的概念．
教师多媒体课件出示：
如图中，有两个直角三角形，直角边AC与A1C1表示水平面，斜边AB与A1B1 分别表示两个不同的坡面，坡面AB和A1B1哪个更陡？你是怎样判断的？
生：A1B1更陡．
师：你是怎样判断的呢？
生甲：这两个中同样是100的一段，对应的高度A1B1上升得多．
生乙：(2)倾斜得厉害．
教师多媒体课件出示：
师：这个图里，你能判断坡面AB和A1B1哪个更陡吗？
学生观察后回答：A1B1更陡．
教师质疑，学生思考、交流．
教师多媒体课件出示图1.
图1
如图，在锐角A的一边上任取一点B，自点B向另一边作垂线，垂足为C，得到Rt△ABC；再任取一点B1，自点B1向另一边作垂线，垂足为C1，得到另一个Rt△AB1C1……这样，我们可以得到无数个直角三角形，这些直角三角形都相似．在这些直角三角形中，锐角A的对边与邻边之比eq \f(BC,AC)、eq \f(B 1C1,AC1)、eq \f(B2C2,AC2)…… 究竟有怎样的关系？
教师读题后学生思考．
生：锐角A的这些对边与邻边之比都是相等的．
师：对，在这些直角三角形中，当锐角A的大小确定后，无论直角三角形的大小怎样变化，∠A的对边与邻边的比值总是一个定值．
教师边操作边讲解图2.
图2
在这个直角三角形ABC中，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tan A，即tan A＝eq \f(∠A的对边,∠A的邻边)＝eq \f(BC,AC)＝eq \f(a,b).
2．坡度、坡角的概念．
教师边作图边讲解：
正切经常用来描述坡面的坡度．坡面的铅直高度h和水平长度l的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i，即i＝eq \f(h,l)，坡度通常写成h∶l的形式．坡面与水平面的夹角叫做坡角(或称倾斜角)，记作α，于是有i＝eq \f(h,l)＝tan α.你能得到坡度与坡角之间的关系吗？
生：能．坡度越大，坡角越大，坡面就越陡．
师：很好！
三、举例应用，巩固新知
教师多媒体课件出示课本第114页例1.
师：你能计算出∠A和∠B的正切吗？
学生思考后回答：能．
师：怎样计算？
教师找一生回答．
生：tan A＝eq \f(BC,AC)＝eq \f(3,4)，tan B＝eq \f(AC,BC)＝eq \f(4,3)
四、继续探究，层层推进
教师多媒体课件出示图1(同前)．
师：在这个图中，这些直角三角形都是相似的，当锐角A的大小确定后，不仅∠A的对边与邻边的比随之确定，还有一些量也是确定的，你知道还有哪些量也是确定的吗？
学生思考、交流．
教师提示：还有哪两条边的比值也是确定的？
生甲：∠A的对边与斜边的比值也是确定的．
生乙：邻边与斜边的比值也是确定的．
师：对．
教师多媒体课件出示图2(同前)．
师：在这个直角三角形ABC中，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sin A，即sin A＝eq \f(∠A的对边,斜边)＝eq \f(BC,AB)＝eq \f(b,c).锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cs A，即cs A＝eq \f(∠A的邻边,斜边)＝eq \f(AC,AB)＝eq \f(b,c).锐角A的正弦、余弦、正切称为锐角A的三角函数．我们介绍了正弦、余弦，下面我们通过具体的实例加深对这些函数的印象．
老师多媒体课件出示课本第115页例2.
师：要求这三个三角函数的值，需要知道几条边的长？
生：三条．
师：现在已知了哪几条边的长？
生：AC、BC两条边的长．
师：那么我们需要求什么才能求出三个三角函数的值？
生：还要求出AB的长．
师：怎样求呢？
生：用勾股定理．
师：很好！现在请同学们求出AB的长，并进一步求出∠A的各个三角函数的值．
学生做题．
师：请同学们将你的步骤和结果与课本上的解答相比照，对不正确的地方加以纠正．
学生对照．
教师多媒体课件出示课本第115页例3.
师：以前是在直角三角形中，用直角三角形的边长之比求三角函数的，现在没有直角三角形怎么办？
学生思考．
生：作辅助线．
师：怎样作？
生：过点P向x轴作垂线，垂足为Q.这样在直角三角形OPQ中求角α的三角函数值就行了．
师：很好！作出这样的辅助线就方便了，就变成了我们以前遇到过的类型，同学们能求出吗？
生：能．
师：好！现在请同学们画出辅助线，并求出角α的三角函数值．
学生作图，计算．
师：请同学们将结果与课本上的解答比较，加以修正．
学生对照，修正．
五、课堂小结
师：本节课你又学习了什么内容？
学生回答．
师 ：你还有什么疑问？
学生提问，教师解答．
第2课时 30°，45°，60°角的三角函数值
教学目标
【知识与技能】
1．熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并能根据这些值说出对应的锐角度数．
2．在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
【过程与方法】
1．培养学生把实际问题转化为数学问题的能力．
2．培养学生观察、比较、分析、概括的能力．
【情感、态度与价值观】
经历观察、操作、归纳等学习数学的过程，感受数学思考过程的合理性，感受数学说理的必要性、说理过程的严谨性，养成科学、严谨的学习态度．
重点难点
【重点】
30°、45°、60°角的三角函数值．
【难点】
与特殊角的三角函数值有关的计算．
教学进程
一、复习回顾，引入新课
教师多媒体课件出示问题：
为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具：(1)含30°和60°两个锐角的三角尺；(2)皮尺．请你设计一个测量方案，测出一棵大树的高度．
学生讨论，交流想法．
生：我们组设计的方案如下：
让一位同学拿着三角尺站在一个适当的位置B处，这位同学拿起三角尺，使她的视线恰好和斜边重合且过树梢C点，30°角的邻边和水平方向平行，用卷尺测出AB的长度、BE的长度，因为DE＝AB，所以只需在Rt△CDA中求出CD的长度即可．
师：在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，AD＝BE，BE是已知的，设BE＝a米，则AD＝a米，如何求CD呢？
生：含30°角的直角三角形有一个非常重要的性质：30°的角所对的直角边等于斜边的一半，即AC＝2CD，根据勾股定理，得(2CD)2＝CD2＋a2.解得，CD＝eq \f(\r(3),3)a.则树的高度即可求出．
师：我们前面学习了三角函数的定义，如果一个角的大小确定，那么它的正切、正弦、余弦值也随之确定，如果能求出30°角的正切值，在上图中，tan 30°＝eq \f(CD,AD)＝eq \f(CD,a)，则CD＝atan 30°，岂不简单！你能求出30°角的三个三角函数值吗？
二、探究新知
(1)探索30°、45°、60°角的三角函数值．
师：观察一副三角尺，其中有几个锐角？它们分别等于多少度？
生：一副三角尺中有四个锐角，它们分别是30°、60°、45°、45°.
师：sin 30°等于多少呢？你是怎样得到的？与同伴交流．
生：sin 30°＝eq \f(1,2).sin 30°表示在直角三角形中，30°角的对边与斜边的比值，与直角三角形的大小无关．我们不妨设30°角所对的边长为a(如图所示)，根据“直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半”的性质，则斜边长等于2a.根据勾股定理，可知30°角的邻边长为eq \r(3)a，所以sin30°＝eq \f(a,2a)＝eq \f(1,2).
师：cs 30°等于多少？tan 30°呢？
生：cs 30°＝eq \f(\r(3)a,2a)＝eq \f(\r(3),2).tan 30°＝eq \f(a,\r(3)a)＝eq \f(1,\r(3))＝eq \f(\r(3),3).
师：我们求出了30°角的三个三角函数值，还有两个特殊角——45°、60°，它们的三角函数值分别是多少？你是如何得到的？
生：求60°角的三角函数值可以利用求30°角的三角函数值的三角形．因为30°角的对边和邻边分别是60°角的邻边和对边．利用上图，很容易求得sin 60°＝eq \f(\r(3)a,2a)＝eq \f(\r(3),2)，cs 60°＝eq \f(a,2a)＝eq \f(1,2)，tan 60°＝eq \f(\r(3)a,a)＝eq \r(3).
师生共同分析：我们一起来求45°角的三角函数值．含45°角的直角三角形是等腰直角三角形．如图，设其中一条直角边为a，则另一条直角边也为a，斜边为eq \r(2)a.由此可求得
sin 45°＝eq \f(a,\r(2)a)＝eq \f(1,\r(2))＝eq \f(\r(2),2)，
cs 45°＝eq \f(a,\r(2)a)＝eq \f(1,\r(2))＝eq \f(\r(2),2)，
tan 45°＝eq \f(a,a)＝1.
教师多媒体课件出示：
师：这个表格中的30°、45°、60°角的三角函数值需要熟记．另一方面，要能够根据30°、45°、60°角的三角函数值说出相应的锐角的大小．
为了帮助大家记忆，我们观察表格中函数值的特点．先看第一列30°、45°、60°角的正弦值，你能发现什么规律呢？
生：30°、45°、60°角的正弦值分母都为2，分子从小到大分别为eq \r(1)、eq \r(2)、eq \r(3)，随着角度的增大，正弦值在逐渐增大．
师：再来看第二列的函数值，有何特点呢？
生：第二列是30°、45°、60角的余弦值，它们的分母也都是2，而分子从小到大分别为eq \r(3)、eq \r(2)、eq \r(1)，余弦值随角度的增大而减小．
师：第三列呢？
生：第三列是30°、45°、60°角的正切值，首先45°角是等腰直角三角形中的一个锐角，所以tan 45°＝1比较特殊．
师：很好！掌握了上述规律，记忆就方便多了．下面同桌之间可互相检查一下对30°、45°、60°角的三角函数值的记忆情况．相信同学们一定会做得很棒！
(2)进一步探究锐角的三角函数值．
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.
∵sin A＝eq \f(a,c)，cs A＝eq \f(b,c)，
sin B＝eq \f(b,c)，cs B＝eq \f(a,c)，
∴sin A＝cs B，cs A＝sin B.
∵∠A＋∠B＝90°，
∴∠B＝90－∠A，
即sin A＝cs B＝cs(90°－∠A)，
cs A＝sin B＝sin(90°－∠A)．
任意一个锐角的正(余)弦值，等于它的余角的余(正)弦值．
三、例题讲解，巩固新知
【例1】 计算：
(1)sin 30°＋cs 45°；
(2)sin260°＋cs260°－tan 45°.
分析：本题旨在帮助学生巩固特殊角的三角函数值，今后若无特别说明，用特殊角的三角函数值进行计算时，一般不取近似值，另外sin260°表示(sin 60°)2，cs260°表示(cs 60°)2；
教师找两生板演，其余同学在下面做，然后集体订正得到：
解：(1)sin 30°＋cs 45°＝eq \f(1,2)＋eq \f(\r(2),2)＝eq \f(1＋\r(2),2)；
(2)sin260°＋cs260°－tan 45°
＝(eq \f(\r(3),2))2＋(eq \f(1,2))2－1
＝eq \f(3,4)＋eq \f(1,4)－1
＝0.
【例2】 在Rt△ABC中，∠C＝90°，且sin A＝eq \f(1,3)，求cs B的值．
解：∵∠A＋∠B＝90°，
∴cs B＝cs(90°－∠A)
＝sin A＝eq \f(1,3).
四、课堂小结
本节课总结如下：
1．探索30°、45°、60°角的三角函数值．
sin 30°＝eq \f(1,2)，sin 45°＝eq \f(\r(2),2)，sin 60°＝eq \f(\r(3),2)；
cs 30°＝eq \f(\r(3),2)，cs 45°＝eq \f(\r(2),2)，cs 60°＝eq \f(1,2)；
tan 30°＝eq \f(\r(3),3)，tan 45°＝1，tan 60°＝eq \r(3).
2．能进行含30°、45°、60°角的三角函数值的计算．
3.能根据30°、45°、60°角的三角函数值，说出相应锐角的大小．
第3课时 一般锐角的三角函数值
教学目标
【知识与技能】
1．会使用计算器求锐角的三角函数值．
2．会使用计算器根据锐角三角函数的值求对应的锐角．
【过程与方法】
在做题、计算的过程中，逐步熟悉计算器的使用方法．
【情感、态度与价值观】
经历计算器的使用过程，熟悉其按键顺序．
重点难点
【重点】
利用计算器求锐角三角函数的值．
【难点】
计算器的按键顺序．
教学过程
一、复习回顾
教师多媒体课件出示：
已知2sin(90°－α)－eq \r(3)＝0，求锐角α的度数．
教师找一生板演，其余同学在下面做，然后集体订正．
二、讲解新知
师：上节课我们学习了几个特殊角的三角函数值，但如果是任意的一个锐角，如何求它的三角函数值呢？比如让你求sin 36°的值．
学生思考，讨论．
生：作一个有一个锐角的直角三角形，量出它的对边和斜边长，求它的比值．
师：很好！现在请同学们按这种方法求出sin 36°的值．
学生作图、测量、计算．
生：约等于0.587 8.
师：对！用这种方法确实可以求出任意一个锐角三角函数的近似值，古代的数学家、天文学家也采用过这样的方法，只是误差较大．经过许多数学家不断的改进，不同角的三角函数值被制成了常用表，三角函数表大大改进了三角函数值的应用．今天，三角函数表又被带有eq \x(sin)、eq \x(cs)和eq \x(tan)功能键的计算器所取代．请同学们想一想用计算器得到的数是精确的吗？
学生思考，讨论．
生甲：是，比如sin 30°是0.5.
生乙：不是，比如sin 45°等于eq \f(\r(2),2)，eq \f(\r(2),2)是一个无理数，就是无限不循环小数，用计算器得到的是有限个数字．
生丙：有些是精确的，有些不精确．
师：对！我们用计算器得到的是三角函数值的近似值．不同计算器给出的近似值的有效数字也不同，有10个、有8个．我们一般取四个有效数字，具体的根据要求去取．不同计算器的按键方法也各有不同．
教师拿出计算器．
师：我们学习这种计算器的使用方法．请同学们拿出自己的计算器．
学生拿出自己的计算器．
师：先按eq \x(ON)键，再按eq \x(DEG/RAD)键，使显示器屏幕出现“DEG”，然后再按有关三角函数的键．
教师板书：
1．求已知锐角的三角函数值．
【例1】 求sin 40°的值．(精确到0.0001)
师：比如我们求sin 40°的值，依次按eq \x(sin)、eq \x(4)、eq \x(0)、eq \x(＝)这几个键．
学生操作．
师：因为要求精确到万分位，我们将得到的数字四舍五入到万分位即可，你得到四舍五入后的值是多少？
生：0.642 8.
师：很好！如果带有分呢？
【例2】 求cs 54°38′的值．(精确到0.000 1)
师：我们依次按eq \x(cs)、eq \x(5)、eq \x(4)、eq \x(D·M′S)、eq \x(3)、eq \x(8)、eq \x(D ·M′S)、eq \x(＝)这几个键．
学生操作后回答．
2．由锐角三角函数值求锐角．
【例3】 已知sin A＝0.508 6，求锐角A.
师：你有没有注意到计算器上有个eq \x(2ndf)键？
生：注意到了．
师：这个键叫做第二功能键，我们用这个可以转换键盘上的功能键的作用．我们依次按eq \x(2ndf)eq \x(sin－1)eq \x(0)eq \x(·)eq \x(5)eq \x(0)eq \x(8)eq \x(6)eq \x(）)eq \x(＝).
学生操作．
师：这样我们得到的是多少度，要化成度分秒的形式，我们按那个第二功能键eq \x(2ndf)和度分秒键eq \x(D·M′S).
学生操作后回答结果．
三、课堂小结
师：本节课，我们学习了什么内容？
生甲：用计算器求一个锐角的三角函数值．
生乙：还学习了已知一个函数值，求它对应的锐角的大小．
师：对，你还有什么不懂的地方吗？
学生提问，教师解答． 三角函数
角度α
sinα
csα
tanα
30°
eq \f(1,2)
eq \f(\r(3),2)
eq \f(\r(3),3)
45°
eq \f(\r(2),2)
eq \f(\r(2),2)
1
60°
eq \f(\r(3),2)
eq \f(1,2)
eq \r(3)