人教A版 (2019)必修 第一册3.1 函数的概念及其表示第2课时导学案

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册3.1 函数的概念及其表示第2课时导学案，共11页。学案主要包含了区间的应用，同一个函数的判断，求函数的值域等内容，欢迎下载使用。

第2课时　函数的概念(二)
学习目标　1.会判断两个函数是否为同一个函数.2.能正确使用区间表示数集.3.会求一些简单函数的值域．

知识点一　区间
设a，b∈R，且a 定义
名称
符号
数轴表示
{x|a≤x≤b}
闭区间
[a，b]

{x|a 开区间
(a，b)

{x|a≤x 半开半
闭区间
[a，b)

{x|a 半开半
闭区间
(a，b]

{x|x≥a}

[a，＋∞)

{x|x>a}

(a，＋∞)

{x|x≤a}

(－∞，a]

{x|x
(－∞，a)

R

(－∞，＋∞)


思考1　区间是数集的另一种表示方法，那么任何数集都能用区间表示吗？
答案　不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示．
思考2　“∞”是数吗？如何正确使用“∞”？
答案　“∞”读作“无穷大”，是一个符号，不是数．以“－∞”或“＋∞”作为区间一端时，这一端必须是小括号．
知识点二　同一个函数
1．前提条件：(1)定义域相同；(2)对应关系相同．
2．结论：这两个函数为同一个函数．
思考　函数的值域与定义域、对应关系是相互独立的吗？
答案　不是．函数的值域是由定义域和对应关系共同确定的，只要函数的定义域及其对应关系确定，函数的值域也就随之确定了．
知识点三　常见函数的值域
1．一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)的定义域为R，值域是R.
2．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定义域是R，
当a>0时，值域为，
当a<0时，值域为.

1．集合{x|x<－2}表示的区间是________．
答案　(－∞，－2)
解析　根据区间的意义集合{x|x<－2}表示的区间是(－∞，－2)．
2．区间[1,2)表示的集合为________．
答案　{x|1≤x<2}
解析　根据区间的定义，可表示为{x|1≤x<2}．
3．已知函数f(x)与函数g(x)＝是同一个函数，则函数f(x)的定义域用区间表示为____________________．
答案　(－∞，0)∪(0,1]
解析　因为f(x)与g(x)为同一个函数，
则f(x)与g(x)的定义域相同，
所以f(x)的定义域需满足
则即x≤1且x≠0.
4．函数f(x)＝x2＋1的值域为________．
答案　[1，＋∞)
解析　因为x2≥0，所以x2＋1≥1，
则函数f(x)＝x2＋1的值域为[1，＋∞)．

一、区间的应用
例1　把下列数集用区间表示：
(1){x|x≥－1}；(2){x|x<0}；
(3){x|－1 解　(1){x|x≥－1}＝[－1，＋∞)；
(2){x|x<0}＝(－∞，0)；
(3){x|－1 (4){x|0 反思感悟　用区间表示数集的方法
(1)区间左端点值小于右端点值．
(2)区间两端点之间用“，”隔开．
(3)含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号．
(4)以“－∞”，“＋∞”为区间的一端时，这端必须用小括号．
跟踪训练1　(1)集合{x|－2 答案　(－2,0)∪(0,2]
解析　{x|－2 (2)已知区间(a2＋a＋1,7]，则实数a的取值范围是________．
答案　(－3,2)
解析　由题意可知a2＋a＋1<7，即a2＋a－6<0，
解得－3 所以实数a的取值范围是(－3,2)．
二、同一个函数的判断
例2　下列各组函数：
①f(x)＝，g(x)＝x－1；
②f(x)＝，g(x)＝；
③f(x)＝·，g(x)＝；
④f(x)＝，g(x)＝x＋3；
⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f(t)＝80t(0≤t≤5)与一次函数g(x)＝80x(0≤x≤5)．
其中表示同一个函数的是________(填上所有正确的序号)．
答案　③⑤
解析　①不是同一个函数，定义域不同，
f(x)定义域为{x|x≠0}，g(x)定义域为R.
②不是同一个函数，对应关系不同，
f(x)＝，g(x)＝.
③是同一个函数，定义域、对应关系都相同．
④不是同一个函数，值域不同，f(x)≥0，g(x)∈R.
⑤是同一个函数，定义域、对应关系都相同．
反思感悟　判断两个函数为同一个函数应注意的三点
(1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是同一个函数．
(2)函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的．
(3)在化简解析式时，必须是等价变形．
跟踪训练2　下列各组函数中是同一个函数的是(　　)
A．y＝x＋1与y＝
B．y＝x2＋1与s＝t2＋1
C．y＝2x与y＝2x(x≥0)
D．y＝(x＋1)2与y＝x2
答案　B
解析　A，C选项中两函数的定义域不同，D选项中两函数的对应关系不同，故A，C，D错误．
三、求函数的值域
例3　求下列函数的值域：
(1)y＝2x＋1，x∈{1,2,3,4,5}；
(2)y＝＋1；
(3)y＝x2－4x＋6，x∈[1,5]；
(4)y＝.
解　(1)∵y＝2x＋1，且x∈{1,2,3,4,5}，
∴y∈{3,5,7,9,11}．
∴函数的值域为{3,5,7,9,11}．
(2)∵≥0，∴＋1≥1.∴函数的值域为[1，＋∞)．
(3)配方得y＝(x－2)2＋2.∵x∈[1,5]，画函数图象如图所示，由图知，2≤y≤11，即函数的值域为[2,11]．

(4)∵y＝＝＝3＋≠3，
∴函数的值域为(－∞，3)∪(3，＋∞)．
反思感悟　求函数值域的方法
(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到．
(2)配方法：此方法是求“二次函数类”值域的基本方法，即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的方法．
(3)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域．
(4)换元法：对于一些无理函数(如y＝ax±b±)，通过换元把它们转化为有理函数，然后利用有理函数求值域的方法，间接地求解原函数的值域．
跟踪训练3　求下列函数的值域：
(1)y＝－x2－2x＋3(－5≤x≤－2)；
(2)y＝x＋.
解　(1)∵x∈[－5，－2]在对称轴x＝－1的左侧，
∴x∈[－5，－2]时，抛物线上升．
∴当x＝－5时，ymin＝－12，当x＝－2时，ymax＝3.
∴y＝－x2－2x＋3的值域是[－12,3]．
(2)方法一　设u＝，则u≥0，∴x＝.
∴y＝＋u＝(u＋1)2.
∵u≥0，∴y≥，
∴y＝x＋的值域为.
方法二　∵2x－1≥0，
∴x≥.
而当x增大时y也增大，∴y≥，
∴y＝x＋的值域为.

1．已知区间[2a－1,11]，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，6) B．(6，＋∞)
C．(1,6) D．(－1,6)
答案　A
解析　由题意可知，2a－1<11，解得a<6.
2．函数y＝x2－2x的定义域为{0,1,2,3}，那么其值域为(　　)
A．{－1,0,3} B．{0,1,2,3}
C．{y|－1≤y≤3} D．{y|0≤y≤3}
答案　A
解析　由对应关系y＝x2－2x得，
0→0,1→－1,2→0,3→3，
所以值域为{－1,0,3}．
3．已知四组函数：
①f(x)＝x，g(x)＝()2；②f(x)＝x，g(x)＝；③f(n)＝2n－1，g(n)＝2n＋1(n∈N)；④f(x)＝x2－2x－1，g(t)＝t2－2t－1.
其中是同一个函数的是(　　)
A．没有 B．仅有②
C．②④ D．②③④
答案　C
解析　对于第一组，定义域不同；对于第三组，对应关系不同；对于第二、四组，定义域与对应关系都相同．
4．函数f(x)＝(x∈R)的值域是(　　)
A．[0,1] B．[0,1)
C．(0,1] D．(0,1)
答案　C
解析　因为x2≥0，所以x2＋1≥1，所以0<≤1，
所以函数的值域为(0,1]．
5．用区间表示下列数集：
(1){x|x≥1}＝________；
(2){x|2 (3){x|x>－1，且x≠2}＝________________.
答案　(1)[1，＋∞)　(2)(2,4]　(3)(－1,2)∪(2，＋∞)

1．知识清单：
(1)区间的概念．
(2)同一个函数．
(3)函数的值域．
2．方法归纳：观察法、配方法、换元法、分离常数法．
3．常见误区：求函数的值域时首先要确定函数的定义域．


1．区间(0,1]等于(　　)
A．{0,1} B．{(0,1]}
C．{x|0 答案　C
2．函数y＝的值域为(　　)
A．[－1，＋∞) B．[0，＋∞)
C．(－∞，0] D．(－∞，－1]
答案　B
解析　由题意得，x＋1≥0，则有y≥0，所以B正确．
3．(多选)下列各组函数为同一个函数的是(　　)
A．f(x)＝x，g(x)＝
B．f(x)＝1，g(x)＝(x－1)0
C．f(x)＝，g(x)＝
D．f(t)＝，g(t)＝t＋4(t≠4)
答案　CD
解析　A．因为这两个函数的定义域不同，所以这两个函数不是同一个函数；
B．这两个函数的定义域不同，所以这两个函数不是同一个函数；
C．这两个函数的定义域与对应关系均相同，所以这两个函数为同一个函数；
D．这两个函数的定义域和对应关系均相同，所以这两个函数是同一个函数．
4．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”．函数解析式为y＝2x2－1，值域为{1,7}的“孪生函数”共有(　　)
A．10个 B．9个 C．8个 D．4个
答案　B
解析　由2x2－1＝1，得x1＝1，x2＝－1；由2x2－1＝7，得x3＝－2，x4＝2，所以定义域为2个元素的集合有4个，定义域为3个元素的集合有4个，定义域为4个元素的集合有1个，因此共有9个“孪生函数”．
5．已知函数f(x)的值域为，则函数g(x)＝f(x)＋的值域为(　　)
A. B.
C. D.∪
答案　B
解析　设t＝(t≥0)，
∵f(x)∈，∴≤t≤2.
∴设h(t)＝＋t＝－(t－1)2＋1，
∵h(t)＝－(t－1)2＋1图象的对称轴为直线t＝1，
∴当t＝1时，h(t)取得最大值1，当t＝2时，h(t)取得最小值，∴函数g(x)的值域是.
6．若函数f(x)的定义域为[2a－1，a＋1]，值域为[a＋3,4a]，则a的取值范围为________．
答案　(1,2)
解析　由区间的定义知⇒1 7．试写出一个与函数y＝x2定义域和值域都相同的函数________．
答案　y＝(x＋1)2(答案不唯一)
解析　函数y＝x2与y＝(x＋1)2的定义域和值域都相同．
8．下列各对函数中是同一个函数的是________(填序号)．
①f(x)＝2x－1与g(x)＝2x－x0；
②f(x)＝与g(x)＝|2x＋1|；
③f(n)＝2n＋2(n∈Z)与g(n)＝2n(n∈Z)；
④f(x)＝3x＋2与g(t)＝3t＋2.
答案　②④
解析　①函数g(x)＝2x－x0＝2x－1，函数g(x)的定义域为{x|x≠0}，两个函数的定义域不相同，不是同一个函数；
②f(x)＝＝|2x＋1|与g(x)＝|2x＋1|的定义域和对应关系相同，是同一个函数；
③f(n)＝2n＋2(n∈Z)与g(n)＝2n(n∈Z)的对应关系不相同，不是同一个函数；
④f(x)＝3x＋2与g(t)＝3t＋2的定义域和对应关系相同，是同一个函数．
9．求下列函数的值域：
(1)y＝；
(2)y＝2x－.
解　(1)y＝＝＝2＋，
显然≠0，所以y≠2，
故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．
(2)设t＝，则t≥0，且x＝t2＋1，
所以y＝2(t2＋1)－t＝22＋，
由t≥0，结合函数的图象可得原函数的值域为.

10．已知函数f(x)＝x2－x＋，是否存在实数m，使得函数的定义域和值域都是[1，m](m>1)？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
解　存在．理由如下：
f(x)＝x2－x＋＝(x－1)2＋1的对称轴为x＝1，顶点(1,1)且开口向上．
∵m>1，∴当x∈[1，m]时，y随x的增大而增大，
∴要使f(x)的定义域和值域都是[1，m]，
则有
∴m2－m＋＝m，即m2－4m＋3＝0，
∴m＝3或m＝1(舍)，
∴存在实数m＝3满足条件．

11．下列四组函数中表示同一个函数的是(　　)
A．f(x)＝，g(x)＝x
B．f(x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2
C．f(x)＝，g(x)＝|x|
D．f(x)＝0，g(x)＝＋
答案　C
解析　∵f(x)＝－x，g(x)＝x，对应关系不同，
∴A中两个函数不表示同一个函数；
∵f(x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2两个函数的对应关系不一致，
∴B中两个函数不表示同一个函数；
∵f(x)＝＝|x|与g(x)＝|x|，两个函数的定义域均为R，
∴C中两个函数表示同一个函数；f(x)＝0，g(x)＝＋＝0(x＝1)两个函数的定义域不一致，
∴D中两个函数不表示同一个函数．
12．若函数f(x)＝(a2－2a－3)x2＋(a－3)x＋1的定义域和值域都为R，则a的值是________．
答案　－1
解析　由题意知f(x)为一次函数，
则满足所以a＝－1.
13．已知集合A＝{x|y＝}，若函数f(x)＝－x，x∈A，则函数f(x)的值域是________．
答案　(－∞，2]
解析　∵A＝{x|y＝}＝{x|x≥－2}，
∴－x≤2，即函数f(x)的值域是(－∞，2]．
14．在实数的原有运算中，我们定义新运算“*”如下：当a≥b时，a*b＝a；当a 答案　[－2,2]
解析　由题意知f(x)＝x2－2，
因为x∈(－2,2]，所以x2∈[0,4]，
所以f(x)∈[－2,2]．

15．函数y＝的值域是____________________________________________．
答案　∪(3，＋∞)
解析　由y＝，
得(y－3)x2＋(y－3)x－(y＋1)＝0，
当y＝3时，上式无解．
当y≠3时，要使方程有解，需满足Δ＝(y－3)2＋4(y－3)(y＋1)≥0.
即5y2－14y－3≥0，解得y≤－或y>3.
∴y＝的值域为∪(3，＋∞)．
16．对于函数f(x)，若f(x)＝x，则称x为f(x)的“不动点”，若f(f(x))＝x，则称x为f(x)的“稳定点”，函数f(x)的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即A＝{x|f(x)＝x}，B＝{x|f(f(x))＝x}．
(1)求证：A⊆B；
(2)设f(x)＝x2＋ax＋b，若A＝{－1,3}，求集合B.
(1)证明　若A＝∅，则A⊆B显然成立．
若A≠∅，设t∈A，则f(t)＝t，f(f(t))＝t，t∈B，
从而A⊆B，故A⊆B成立．
(2)解　因为A＝{－1,3}，所以f(－1)＝－1，且f(3)＝3.
即所以
所以所以f(x)＝x2－x－3.
因为B＝{x|f(f(x))＝x}，
所以(x2－x－3)2－(x2－x－3)－3＝x，
所以(x2－x－3)2－x2＝0，
即(x2－3)(x2－2x－3)＝0，
所以(x2－3)(x＋1)(x－3)＝0，
所以x＝±或x＝－1或x＝3.
所以B＝{－，－1，，3}．