高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质学案，共11页。

学习目标 1.了解正弦函数、余弦函数的图象.2.会用“五点法”画正弦函数、余弦函数的图象.3.能利用正弦函数、余弦函数的图象解决简单问题．
知识点 正弦函数、余弦函数的图象
思考 为什么把正弦、余弦曲线向左、右平移2π的整数倍个单位长度后图象形状不变？
答案 由诱导公式一知sin(x＋2kπ)＝sin x，
cs(x＋2kπ)＝cs x，k∈Z可得．
1．正弦函数的图象向左右是无限伸展的．( √ )
2．正弦函数y＝sin x的图象在x∈[2kπ，2kπ＋2π](k∈Z)上的图象形状相同，只是位置不同．( √ )
3．函数y＝sin x的图象向右平移eq \f(π,2)个单位长度得到函数y＝cs x的图象．( × )
4．函数y＝cs x的图象关于x轴对称．( × )
一、正弦函数、余弦函数图象的初步认识
例1 (1)下列叙述正确的个数为( )
①y＝sin x，x∈[0,2π]的图象关于点P(π，0)成中心对称；
②y＝cs x，x∈[0,2π]的图象关于直线x＝π成轴对称；
③正弦、余弦函数的图象不超过直线y＝1和y＝－1所夹的范围．
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 D
解析 分别画出函数y＝sin x，x∈[0,2π]和y＝cs x，x∈[0,2π]的图象，由图象(略)观察可知①②③均正确．
(2)函数y＝sin |x|的图象是( )
答案 B
解析 y＝sin |x|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin x，x≥0，,－sin x，x<0，))
结合选项可知选B.
反思感悟 解决正弦、余弦函数图象的注意点
对于正弦、余弦函数的图象问题，要画出正确的正弦曲线、余弦曲线，掌握两者的形状相同，只是在坐标系中的位置不同，可以通过相互平移得到．
跟踪训练1 下列关于正弦函数、余弦函数的图象的描述，不正确的是( )
A．都可由[0,2π]内的图象向上、向下无限延展得到
B．都是对称图形
C．都与x轴有无数个交点
D．y＝sin(－x)的图象与y＝sin x的图象关于x轴对称
答案 A
解析 由正弦、余弦函数图象知，B，C，D正确．
二、用“五点法”作三角函数的图象
例2 用“五点法”作出下列函数的简图：
(1)y＝sin x－1，x∈[0,2π]；
(2)y＝－2cs x＋3，x∈[0,2π]．
解 (1)列表：
描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图．
(2)列表：
描点、连线得出函数y＝－2cs x＋3，x∈[0,2π]的图象．
(学生留)
反思感悟 作形如y＝asin x＋b(或y＝acs x＋b)，x∈[0,2π]的图象的三个步骤
跟踪训练2 利用“五点法”作出函数y＝2＋cs x(0≤x≤2π)的简图．
解 列表：
描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图．
三、正弦函数、余弦函数图象的应用
例3 不等式2sin x－1≥0，x∈[0,2π]解集为( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,6))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，π)) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(5π,6)))
答案 D
解析 因为2sin x－1≥0，所以sin x≥eq \f(1,2).
在同一直角坐标系下，作函数y＝sin x，x∈[0,2π]以及直线y＝eq \f(1,2)的图象．由函数的图象知，sin eq \f(π,6)＝sin eq \f(5π,6)＝eq \f(1,2).
所以根据图象可知，sin x≥eq \f(1,2)的解集为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(5π,6))).
延伸探究
1．在本例中把“x∈[0,2π]”改为“x∈R”，求不等式2sin x－1≥0的解集．
解 在x∈[0,2π]上的解集为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(5π,6))).
所以x∈R时，不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋2kπ≤x≤\f(5π,6)＋2kπ，k∈Z)))).
(教师留)
2．试求关于x的不等式eq \f(1,2)解 作出正弦函数y＝sin x在[0,2π]上的图象，作出直线y＝eq \f(1,2)和y＝eq \f(\r(3),2)，如图所示．
由图可知，在[0,2π]上当eq \f(π,6)反思感悟 利用三角函数图象解三角不等式sin x>a(cs x>a)的步骤
(1)作出相应的正弦函数或余弦函数在[0,2π]上的图象．
(2)确定在[0,2π]上sin x＝a(cs x＝a)的x值．
(3)写出不等式在区间[0,2π]上的解集．
(4)根据公式一写出定义域内的解集．
跟踪训练3 求函数y＝eq \r(1－2cs x)的定义域．
解 依题意有1－2cs x≥0，即cs x≤eq \f(1,2).
作出余弦函数y＝cs x，x∈[0,2π]以及直线y＝eq \f(1,2)的图象，如图所示，由图象可以得到满足条件的x的集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋2kπ≤x≤\f(5π,3)＋2kπ，k∈Z)))).
根据函数图象求范围
典例 函数f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0,2π]的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是________．
答案 (1,3)
解析 f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3sin x，0≤x≤π，,－sin x，π结合图象可知1[素养提升] 关于方程根的个数问题，往往运用数形结合的方法构造函数，转化为函数图象交点的个数问题来解决，体现了直观想象的核心素养．
1．函数y＝sin(－x)，x∈[0,2π]的简图是( )
答案 B
解析 y＝sin(－x)＝－sin x，y＝－sin x与y＝sin x的图象关于x轴对称，故选B.
2．用“五点法”画函数y＝1＋eq \f(1,2)sin x的图象时，首先应描出五点的横坐标是( )
A．0，eq \f(π,4)，eq \f(π,2)，eq \f(3π,4)，π B．0，eq \f(π,2)，π，eq \f(3π,2)，2π
C．0，π，2π，3π，4π D．0，eq \f(π,6)，eq \f(π,3)，eq \f(π,2)，eq \f(2π,3)
答案 B
解析 所描出的五点的横坐标与函数y＝sin x的五点的横坐标相同，即0，eq \f(π,2)，π，eq \f(3π,2)，2π，故选B.
3．在同一平面直角坐标系内，函数y＝sin x，x∈[0,2π]与y＝sin x，x∈[2π，4π]的图象( )
A．重合 B．形状相同，位置不同
C．关于y轴对称 D．形状不同，位置不同
答案 B
解析 根据正弦曲线的作法可知函数y＝sin x，x∈[0,2π]与y＝sin x，x∈[2π，4π]的图象只是位置不同，形状相同．
4．在[0,2π]内，不等式sin x<－eq \f(\r(3),2)的解集是( )
A．(0，π) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(4π,3))) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4π,3)，\f(5π,3))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)，2π))
答案 C
解析 画出y＝sin x，x∈[0,2π]的草图如下．
当sin x＝－eq \f(\r(3),2)时，x＝eq \f(4π,3)或x＝eq \f(5π,3)，
可知不等式sin x<－eq \f(\r(3),2)在[0,2π]上的解集是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4π,3)，\f(5π,3))).故选C.
5．函数y＝cs x＋4，x∈[0,2π]的图象与直线y＝4的交点的坐标为________．
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，4))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，4))
解析 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝cs x＋4，,y＝4))得cs x＝0，
当x∈[0,2π]时，x＝eq \f(π,2)或eq \f(3π,2)，
∴交点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，4))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，4)).
1．知识清单：
(1)正弦函数、余弦函数的图象．
(2)“五点法”作图．
(3)函数图象的应用．
2．方法归纳：数形结合．
3．常见误区：五点的选取；平移得余弦函数的图象．
1．(多选)用五点法画y＝3sin x，x∈[0,2π]的图象时，下列哪个点不是关键点( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(3,2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，3)) C．(π，0) D．(2π，3)
答案 AD
解析 五个关键点的横坐标依次是0，eq \f(π,2)，π，eq \f(3π,2)，2π.代入计算得B，C是关键点．
2．函数y＝－sin x，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(3π,2)))的简图是( )
答案 D
解析 函数y＝－sin x与y＝sin x的图象关于x轴对称，故选D.
3．已知函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))，g(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,2)))，则f(x)的图象( )
A．与g(x)的图象相同
B．与g(x)的图象关于y轴对称
C．向左平移eq \f(π,2)个单位长度，得g(x)的图象
D．向右平移eq \f(π,2)个单位长度，得g(x)的图象
答案 D
解析 f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))，
g(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,2)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))＝sin x，
f(x)的图象向右平移eq \f(π,2)个单位长度得到g(x)的图象．
4．在[0,2π]上，函数y＝eq \r(2sin x－\r(2))的定义域是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(3π,4)))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π))
答案 B
解析 依题意得2sin x－eq \r(2)≥0，即sin x≥eq \f(\r(2),2).作出y＝sin x在[0,2π]上的图象及直线y＝eq \f(\r(2),2)，如图所示．
由图象可知，满足sin x≥eq \f(\r(2),2)的x的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(3π,4)))，故选B.
5．函数y＝1＋sin x，x∈[0,2π]的图象与直线y＝eq \f(1,2)交点的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 C
解析 由函数y＝1＋sin x，x∈[0,2π]的图象(如图所示)，
可知其与直线y＝eq \f(1,2)有2个交点．
6．函数f(x)＝sin x－1，x∈[0,2π]的零点为________．
答案 eq \f(π,2)
解析 令f(x)＝0，∴sin x＝1，∴又x∈[0,2π]，∴x＝eq \f(π,2).
7．已知函数f(x)＝2cs x＋1，若f(x)的图象过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，m))，则m＝________；若f(x)<0，则x的取值集合为________．
答案 1 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)＋2kπ解析 当x＝eq \f(π,2)时，f(x)＝2cs eq \f(π,2)＋1＝1，∴m＝1.
f(x)<0，即cs x<－eq \f(1,2)，
作出y＝cs x在x∈[0,2π]上的图象，如图所示．
由图知x的取值集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)＋2kπ8．若sin x＝2m＋1且x∈R，则m的取值范围是________．
答案 [－1,0]
解析 因为sin x∈[－1,1]，所以－1≤2m＋1≤1，
故－1≤m≤0.
9．用“五点法”作出下列函数的图象y＝1＋2sin x，x∈[0,2π]．
解 列表：
描点、连线得出y＝1＋2sin x，x∈[0,2π]的图象如图所示：
10．根据y＝cs x的图象解不等式：－eq \f(\r(3),2)≤cs x≤eq \f(1,2)，x∈[0，2π]．
解 函数y＝cs x，x∈[0,2π]的图象如图所示：
根据图象可得不等式的解集为
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(π,3)≤x≤\f(5π,6)或\f(7π,6)≤x≤\f(5π,3))))).
11．(多选)函数y＝sin x－1，x∈[0,2π]与y＝a有一个交点，则a的值为( )
A．－1 B．0 C．1 D．－2
答案 BD
解析 画出y＝sin x－1的图象．如图．
依题意a＝0或a＝－2.
12．函数y＝cs x＋|cs x|，x∈[0,2π]的大致图象为( )
答案 D
解析 由题意得y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2cs x，0≤x≤\f(π,2)或\f(3π,2)≤x≤2π，,0，\f(π,2)13．方程sin x＝eq \f(x,10)的根的个数是( )
A．7 B．8 C．9 D．10
答案 A
解析 在同一平面直角坐标系内画出y＝eq \f(x,10)和y＝sin x的图象如图所示．
根据图象可知方程有7个根．
14．函数f(x)＝lg cs x＋eq \r(25－x2)的定义域为________________．
答案 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－5，－\f(3π,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))∪eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，5))
解析 由题意，得x满足不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(cs x>0，,25－x2≥0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(cs x>0，,－5≤x≤5，))作出y＝cs x的图象，如图所示．
结合图象可得x∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－5，－\f(3π,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))∪eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，5)).
15．函数y＝2cs x，x∈[0,2π]的图象和直线y＝2围成的一个封闭的平面图形的面积是________．
答案 4π
解析 如图所示，将余弦函数的图象在x轴下方的部分补到x轴的上方，可得一个矩形，其面积为2π×2＝4π.
16．若方程sin x＝eq \f(1－a,2)在x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，π))上有两个实数根，求a的取值范围．
解 在同一直角坐标系中作出y＝sin x，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，π))的图象，y＝eq \f(1－a,2)的图象，
由图象可知，当eq \f(\r(3),2)≤eq \f(1－a,2)<1，即当－1y＝sin x
y＝cs x
图象
图象画法
五点法
五点法
关键五点
(0,0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，1))，(π，0)，
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)
(0,1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，0))，(2π，1)
正(余)弦曲线
正(余)弦函数的图象叫做正(余)弦曲线
x
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
sin x
0
1
0
－1
0
sin x－1
－1
0
－1
－2
－1
x
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
－2cs x
－2
0
2
0
－2
－2cs x＋3
1
3
5
3
1
x
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
cs x
1
0
－1
0
1
2＋cs x
3
2
1
2
3
x
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
sin x
0
1
0
－1
0
1＋2sin x
1
3
1
－1
1