数学必修 第一册5.2 三角函数的概念教案

这是一份数学必修 第一册5.2 三角函数的概念教案，文件包含专题20三角函数的概念2同角三角函数基本关系讲原卷版doc、专题20三角函数的概念2同角三角函数基本关系讲解析版doc等2份教案配套教学资源，其中教案共18页， 欢迎下载使用。

同角三角函数的基本关系式
1．公式
(1)平方关系： sin2α＋cs2α＝1.
(2)商数关系： eq \f(sinα,csα)＝tanα.
2．公式推导
如图，以正弦线MP、余弦线OM和半径OP的长作为直角三角形三边长，而且OP＝1．
由勾股定理，得OM2＋MP2＝1，因此x2＋y2＝1，
即sin2α＋cs2α＝1．
根据三角函数的定义，当α≠kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)时，有eq \f(sinα,csα)＝tanα．
这就是说，同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切．
[知识点拨]对同角三角函数基本关系式的理解
(1)注意“同角”，这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，即与角的表达形式无关，如sin23α＋cs23α＝1成立，但是sin2α＋cs2β＝1就不一定成立．
(2)sin2α是(sinα)2的简写，读作“sinα的平方”，不能将sin2α写成sinα2，前者是α的正弦的平方，后者是α2的正弦，两者是不同的，要弄清它们的区别，并能正确书写．
(3)同角三角函数的基本关系式是针对使三角函数有意义的角而言的，sin2α＋cs2α＝1对一切α∈R恒成立，而tanα＝eq \f(sinα,csα)仅对α≠eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)成立．
3．常用的等价变形
sin2α＋cs2α＝1⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin2α＝1－cs2α，,cs2α＝1－sin2α，,sinα＝±\r(1－cs2α)，,csα＝±\r(1－sin2α)；))
tanα＝eq \f(sinα,csα)⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sinα＝tanαcsα，,csα＝\f(sinα,tanα).))
[拓展]变形公式的应用要注意哪些方面？
(1)使用变形公式sinα＝±eq \r(1－cs2α)，csα＝±eq \r(1－sin2α)时，“±”号是由α的终边所在的象限确定的，而对于其他形式的变形公式就不必考虑符号问题．
(2)对这些关系式不仅要牢牢掌握，还要能灵活运用(正用、逆用、变形应用)．
1．已知2，则tanα的值为 ．
2．若，csθ＞0，则tanθ＝ ．
3．已知sinα﹣2csα＝0，则3sinαcsα﹣cs2α的值是
4．若tanθ＝2，则 ．
5．已知α＜π，sinαcsα，则tanα＝ ．
重要考点一：根据同角三角函数关系求值
【典型例题】已知，，则tanα等于 ．
【题型强化】已知tanα，α∈（0，π），则sinα﹣csα＝ ．
【收官验收】已知sinα，且α是第二象限角，则csα＝ ．
【名师点睛】
在使用开平方关系sinα＝±eq \r(1－cs2α)和csα＝±eq \r(1－sin2α)时，一定要注意正负号的选取，确定正负号的依据是角α所在的象限，如果角α所在的象限是已知的，则按三角函数在各个象限的符号来确定正负号；如果角α所在的象限是未知的，则需要按象限进行讨论．
重要考点二：弦化切求值
【典型例题】已知，α∈（0，π），分别求下列各式的值：
（1）tanα；
（2）．
【题型强化】已知csα，且α为第二象限角．
（Ⅰ）求tanα的值；
（Ⅱ）求的值．
【收官验收】已知tanα＝2，计算：
（1）；
（2）sinαcsα；
（3）若α是第三象限角，求sinα、csα．
【名师点睛】
1.若已知tanα＝m，求形如eq \f(asinα＋bcsα,csinα＋dcsα)(或eq \f(asin2α＋bcs2α,csin2α＋dcs2α))的值，其方法是将分子、分母同除以csα(或cs2α)转化为tanα的代数式，再求值，如果先求出sinα和csα的值再代入，那么运算量会很大，问题的解决就会变得繁琐．
2．形如asin2α＋bsinαcsα＋ccs2α通常把分母看作1，然后用sin2α＋cs2α代换，分子、分母同除以cs2α再求解．
重要考点三：化简三角函数式
【典型例题】已知α为第三象限角，则 ．
【题型强化】已知α为第三象限角且tanα＝3，则的值为 ．
【收官验收】 ．
【名师点睛】
三角函数式的化简过程中常用的方法：
(1)化切为弦，即把非正弦、非余弦的函数都化成正弦、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的．
(2)对于含有根号的，常把根号下式子化成完全平方式，然后去根号，达到化简的目的．
(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cs2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．
重要考点四：三角恒等式的证明
【典型例题】若sinθ+csθ＝2sinα，sin2β＝sinθcsθ．求证：2cs2α＝cs2β．
【题型强化】（1）已知tanα＝﹣3，求的值；
（2）求证：tan2βsin2β＝tan2β﹣sin2β．
【收官验收】求证：sinα﹣csα
【名师点睛】
利用同角三角函数的基本关系证明三角恒等式
三角恒等式的证明方法非常多，其主要方法有：
(1)从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简；
(2)左右归一，即证明左右两边都等于同一个式子；
(3)化异为同法，即针对题设与结论间的差异，有针对地变形，以消除差异；
(4)变更命题法，如要证明eq \f(a,b)＝eq \f(c,d)，可证ad＝bc或证eq \f(d,b)＝eq \f(c,a)等；
(5)比较法，即设法证明“左边－右边＝0”或“eq \f(左边,右边)＝1”．
重要考点五：sinθ±csθ，sinθ·csθ三者的关系及方程思想的运用
【典型例题】已知，α∈（0，π），求下列式子的值：
（1）sinαcsα；
（2）；
（3）sin3α+cs3α．
【题型强化】（1）已知0＜x＜π，sinx+csx．
①求sinx﹣csx的值；
②求sin3x+cs3x的值．
（2）已知tanα，tanβ是方程x2﹣3x﹣1＝0的两个实数根．求3cs2（α+β）+6sin（α+β）cs（α+β）﹣sin2（α+β）的值．
【收官验收】已知θ∈（0，π），sinθ+csθ，试计算：
（1）sinθ﹣csθ的值；
（2）sin3θ﹣cs3θ的值．
【名师点睛】
在解三角函数问题时要注意题目中的隐含条件，本题就是灵活运用了平方关系，列方程求出sinθ，csθ，使问题得解．
(1)对于三角函数式sinθ±csθ，sinθ·csθ之间的关系，可以通过(sinθ±csθ)2＝1±2sinθ·csθ进行转化．
(2)若已知sinθ±csθ，sinθ·csθ中三者之一，利用方程思想进一步可以求得sinθ，csθ的值，从而求出其余的三角函数值．
重要考点六：忽略隐含条件致错
【典型例题】已知sinx+csy，则sinx﹣sin2y的最大值为 ．
【题型强化】已知，，则，csα+sinα＝ ．
【收官验收】已知sinα+2csα＝0，则2sinαcsα﹣cs2α+1的值是 ．
知识点课前预习与精讲精析
典型题型与解题方法