高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.2 三角函数的概念教案设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.2 三角函数的概念教案设计，文件包含专题19三角函数的概念1三角函数的定义讲原卷版doc、专题19三角函数的概念1三角函数的定义讲解析版doc等2份教案配套教学资源，其中教案共25页， 欢迎下载使用。

1．任意角的三角函数的定义
(1)单位圆
在直角坐标系中，我们称以原点为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆．
(2)三角函数的定义
①如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：
y叫做α的正弦，记作sinα，即sinα＝y；
x叫做α的余弦，记作csα，即csα＝x；
eq \f(y,x)叫做α的正切，记作tanα，即tanα＝eq \f(y,x)(x≠0)．
正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数．
②我们也可以利用角α终边上任意一点的坐标来定义三角函数．
设α是一个任意角，α的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，它与原点的距离是r(r＝eq \r(x2＋y2)>0)，那么：
比值eq \f(y,r)叫做α的正弦，记作sinα，即sinα＝ eq \f(y,r) ；
比值eq \f(x,r)叫做α的余弦，记作csα，即csα＝ eq \f(x,r) ；
比值eq \f(y,x)叫做α的正切，记作tanα，即tanα＝ eq \f(y,x) ．
正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数(trignmetric functin)．
[知识点拨](1)在任意角的三角函数的定义中，应该明确：α是一个任意角，其范围是使函数有意义的实数集．
(2)要明确sinα是一个整体，不是sin与α的乘积，它是“正弦函数”的一个记号，就如f(x)表示自变量为x的函数一样，离开自变量的“sin”“cs”“tan”等是没有意义的．
(3)由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应的关系，所以三角函数可以看成是自变量为实数的函数．
(3)定义域：如表所示
2．三角函数值的符号
sinα、csα、tanα在各个象限的符号如下：
[知识点拨]正弦、余弦和正切函数在各象限的符号可用以下口诀记忆：
“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．
其含义是在第一象限各三角函数值全为正，在第二象限只有正弦值为正，在第三象限只有正切值为正，在第四象限只有余弦值为正．
3．公式一(k∈Z)
sin(α＋2kπ)＝sinα，
cs(α＋2kπ)＝csα，
tan(α＋2kπ)＝tanα．
[知识点拨]该组公式说明：终边相同的角的同名三角函数值相等；如果给定一个角，它的三角函数值是唯一确定的(不存在者除外)，反过来，如果给定一个三角函数值，却有无数多个角与之对应．
4．有向线段
一条线段有两个端点，如果规定其中一个端点为起点，另一个为终点，这条线段被看做带有方向，于是把它叫做有向线段．表示有向线段时，要先写起点的字母，后写终点的字母．当有向线段与数轴平行时，我们可根据此线段的方向(从起点向终点)与数轴的方向相同或相反，分别把它的长度加上正号或负号，这样所得的数，就是此有向线段的数值，它是一个实数，如图所示，有向线段AB＝2，CD＝1，而有向线段BA＝－2，DC＝－1．
5．三角函数线的作法
如图，设单位圆与x轴的正半轴交于点A，与角α的终边交于点P(角α的顶点与原点重合，角α的始边与x轴的非负半轴重合)．
过点P作x轴的垂线PM，垂足为M，过点A作单位圆的切线交OP的延长线(或反向延长线)于T点，这样就有sinα＝MP，csα＝OM，tanα＝AT.单位圆中的有向线段MP、OM、AT分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线．
[知识点拨]①三角函数线的位置：正弦线为α的终边与单位圆的交点到x轴的垂直线段；余弦线在x轴上；正切线在过单位圆与x轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中正弦线和余弦线在单位圆内，正切线在单位圆外．
②三角函数线的方向：正弦线由垂足指向α的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向切线与α的终边(或反向延长线)的交点．
③三角函数线的正负：三条有向线段凡与x轴正方向或y轴正方向同向的为正值，与x轴正方向或y轴正方向反向的为负值．
④三角函数线的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后．
⑤三角函数线的意义：三角函数线的方向表示三角函数值的符号；三角函数线的长度等于所表示的三角函数值的绝对值．
6．三角函数线的作用
(1)用三角函数线可以比较两数的大小．在代数中，我们经常采用作差、作商、利用函数的单调性等方法比较大小，而三角函数线就表示了三角函数值的大小，所以在比较一些三角函数值的大小时，常采用比较三角函数线的方法，更加方便与直观．
(2)利用三角函数线可以求角或角的范围，即解简单的三角方程或三角不等式．即由三角函数线得三角函数值，再找角的终边，进而找到角的值或取值范围．
1．若点P在角的终边上，且|OP|＝2（点O为坐标原点），则点P的坐标为 ．
【解析】解：点P在角的终边上，且|OP|＝2（点O为坐标原点），
设点P的坐标为（a，b），a＜0，b＞0．
则 a2+b2＝4，且 tan，
求得a，b＝﹣1（舍去），或 a，b＝1，
故点P的坐标为（，1），
故答案为：（，1）．
2．已知角α终边落在直线上，求值： ．
【解析】解：当角α终边落在直线（x≥0）上，α为锐角，
sinα csα均为正值，且tanα，
再结合sin2α+cs2α＝1，求得sinα，csα，
则2．
当角α终边落在直线（x＜0）上，α∈（π，），
sinα csα均为负值，且tanα，
再结合sin2α+cs2α＝1，求得sinα，csα，
则，
故答案为：2或．
3．函数的值域为 ．
【解析】解：当角是第一象限中的角时，y＝1+1＝2，
当角是第二象限的角时，y＝﹣1﹣1＝﹣2，
当角是第三象限的角时，y＝﹣1+1＝0，
当角是第四象限的角时，y＝1﹣1＝0，
可知函数的值域是{﹣2，0，2}，
故答案为：{﹣2，0，2}．
4．若csα＞0，tanα＜0，则α在第 象限．
【解析】解：∵csα＞0，∴α在第一象限或第四象限或x轴正半轴，
∵tanα＜0，∴α在第二象限或第四象限，
综上，α在第四象限．
故答案为：四．
5．若，则点P（tanθ，sinθ）位于第 象限．
【解析】解：∵，
∴tanθ＜0，sinθ＞0，
故点P（tanθ，sinθ）位于第二象限，
故答案为：二．
重要考点一：利用三角函数的定义求三角函数值
【典型例题】已知角α和角β的终边垂直，且角α终边上一点坐标P（1，2），则tanα＝ ，csβ＝ ．
【解析】解：由任意角的三角函数的定义可知tanα2，
可得sinα，
所以csβ＝cs（α±）＝±sinα＝±．
故答案为：2，±．
【题型强化】已知a＜0，角α的终边上有一点P（3a，﹣4a），则sinα＝ ．
【解析】解：由三角函数的定义可知sinα，
当a＜0时，sinα．
故答案为：．
【收官验收】已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P（，），则tanα＝ ，cs2α＝ ．
【解析】解：∵角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，
终边经过点P（，），则tanα，
cs2α，
故答案为：； ．
【名师点睛】
(1)已知角α的终边在直线上的问题时，常用的解题方法有以下两种：
①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．
②注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上任意一点坐标(a，b)，则对应角的正弦值sinα＝eq \f(b,\r(a2＋b2))，余弦值csα＝eq \f(a,\r(a2＋b2))，正切值tanα＝eq \f(a,b)．
(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．
重要考点二：三角函数在各象限内符号的应用
【典型例题】如果sinθ＞0，tanθ＜0，那么角θ所在象限是 ．
【解析】解：根据题意，若sinθ＞0，θ为第一二象限的角，
tanθ＜0，θ为第二四象限的角，
则sinθ＞0，tanθ＜0，则θ为第二象限的角，
故答案为：第二象限
【题型强化】若点P（sin2θ，2sinθ）位于第三象限，那么角θ终边落在第 象限．
【解析】解：根据题意，点P（sin2θ，2sinθ）位于第三象限，
则有，即，
则有，
则角θ终边落在第四象限；
故答案为：四
【收官验收】已知α是第三象限的角，则sin（csα）•cs（sinα）的符号是 号（填正或负）
【解析】解：∵α是第三象限的角，∴﹣1＜csα＜0，﹣1＜sinα＜0，
则sin（csα）＜0，cs（sinα）＞0，
即则sin（csα）•cs（sinα）＜0，
故答案为：负．
【名师点睛】
(1)能准确判定角的终边位置是判断该角的三角函数值符号的关键；
(2)要熟记三角函数值在各象限的符号规律．
重要考点三：分类讨论思想在化简三角函数式中的应用
【典型例题】已知扇形的圆心角为θ，其弧长是其半径的2倍，则 ．
【解析】解：圆心角θ2，
∵2＜π，
∴sinθ＞0，csθ＜0，tanθ＜0，
∴1﹣1﹣1＝﹣1，
故答案为：﹣1
【题型强化】函数y的值域是 ．
【解析】解：由题意可得：sinx≠0，csx≠0，tanx≠0，角x的终边不在坐标轴上，
当x∈（2kπ，2kπ），k∈Z时，y1+1+1＝3；
当x∈（2kπ，2kπ+π），k∈Z时，y1﹣1﹣1＝﹣1；
当x∈（2kπ+π，2kπ），k∈Z时，y1﹣1+1＝﹣1；
当x∈（2kπ，2kπ+2π），k∈Z时，y1+1﹣1＝﹣1．
可得：函数y的值域是{3，﹣1}．
故答案为：{3，﹣1}．
【收官验收】设α角属于第二象限，且|cs|＝﹣cs，则角属于 象限．
【解析】解：∵|cs|＝﹣cs，
∴cs0，
∵α角属于第二象限，
∴属于第一或三象限，
∴角属于第三象限，
故答案为：三
【名师点睛】
对于多个三角函数符号的判断问题，要进行分类讨论．
重要考点四：三角函数定义理解中的误区
【典型例题】已知角α的终边经过点P（x，﹣6），且csα，则x＝ ．
【解析】解：由题意可得csα，求得x＝﹣8，
故答案为：﹣8．
【题型强化】已知点P（csθ，sinθ）在第三象限，则角θ的终边落在第 象限．
【解析】解：∵点P（csθ，sinθ）在第三象限，
∴csθ＜0，θ可能在第三象限或者第二象限或x轴的负半轴，
sinθ＜0，θ可能在第三象限或者第四象限或y轴的负半轴，
所以θ在第三象限．
故答案为：三．
【收官验收】α，β∈{1，2，3，4，5}，那么使得sinα•csβ＜0的数对（α，β）有 个．
【解析】解：∵1在第一象限，2，3在第二象限，3，4在第三象限，5在第四象限，
若sinα•csβ＜0，
则若α是第一象限，则β是第三象限，此时为（1，3），（1，4），
若α是第二象限，则β是第三象限，此时为（2，3），（2，4），（3，3），（3，4），
若α是第三象限，则β是第一或第四象限，此时为（3，1），（4，1），（3，5），（4，5），
若α是第四象限，则β是第一或第四象限，此时为（5，1），（5，3），（5，4），
综上共有13个，
故答案为：13
重要考点五：利用三角函数线比较大小
【典型例题】设a＝sin24°，b＝tan38°，c＝cs52°，则（ ）
A．a＜b＜cB．b＜a＜cC．c＜a＜bD．a＜c＜b
【解析】解：a＝sin24°，b＝tan38°，c＝cs52°＝sin28°，
根据单位圆的三角函数线：
AB＝b，EF＝c，CD＝a，
即：tan38°＞sin28°＞sin24°，
即a＜c＜b，
故选：D．
【题型强化】sin4，cs4，tan4的大小关系是（ ）
A．sin4＜tan4＜cs4B．tan4＜sin4＜cs4
C．cs4＜sin4＜tan4D．sin4＜cs4＜tan4
【解析】解：如图作单位圆，
∵4，
∴tanα＝AT＞0，sinα＝BP＜0，csα＝OB＜0；
故BP＜OB＜AT；
故sin4＜cs4＜tan4；
故选：D．
【收官验收】已知sinθ，利用单位圆中的三角函数线，确定角θ的范围．
【解析】解：画出三角函数线如图．
由图可知角θ的范围是{θ|2kπθ≤2kπ或2kπx≤2kπ，k∈Z}
【名师点睛】
利用三角函数线比较函数值大小的关键及注意点：
(1)关键：在单位圆中作出所要比较的角的三角函数线．
(2)注意点：比较大小，既要注意三角函数线的长短，又要注意方向．
重要考点六：利用三角函数线求解不等式
【典型例题】利用单位圆和三角函数线，分别求出使下列各组条件成立的x的集合．
（1）；
（2）tanx．
【解析】解：（1）画出图形，如图所示；
单位圆中的三角函数线同时满足sinx，csx的x是，k∈z；
即x的取值范围是{x|2kπx≤2kπ，k∈z}．
（2）（2）如图①所示，过点（1，）和原点作直线交单位圆于P和P′，
则射线OP、OP′就是满足tanx的角x的终边，
∵在[0，2π）内，满足条件的∠POx＝π，
∠P′Ox；
∴满足条件tanx的角x的集合是{x|xkπ，k∈Z}，
则满足tanx的角x的集合是{x|kπ≤xkπ，k∈Z}．
【题型强化】利用三角函数线比较下列各组三角函数值的大小：
（1）sin与sinπ
（2）cs与cs（）
（3）tan与tanπ
【解析】解：（1）sin与sinπ，
sin与sinπ对应的三角函数线如图①所示：
即sinNB，sinπ＝MA，
则有sinπ＞sin；
（2）cs与cs（）
cs与cs（）对应的三角函数线如图②所示：
csOM，cs（）＝ON，
则有cscs（）；
（3）tan与tanπ，
tan与tanπ对应的三角函数线如图③所示：
即有tanAM，tanπ＝AN，
则有tanπ＞tan．
【收官验收】利用单位圆，求适合下列条件的角的集合．
（1）csα；
（2）sinα．
【解析】解：（1）在单位圆内作出csα的三角函数线如图1所示；
在[0，2π）内，cscs，
OA，OB分别为，的终边，
由余弦线可知，满足csα的角的取值集合是{α|α2kπ或α2kπ，k∈Z}；
（2）在单位圆内作出sinα的三角函数线如图2所示；
在[0，2π）内，sinsin，
OA，OB分别为，的终边，由正弦线可知，
满足sinα的角的解集为{α|2kπ≤α2kπ，k∈Z}．
【名师点睛】
利用三角函数线解sinα≥a，sinα≤a(|a|<1)型不等式的具体方法为：
①如图所示，画出单位圆；
②过y轴上一点M(0，a)作y轴的垂线，交单位圆于P，P′两点，作射线OP，OP′；
③写出射线OP与OP′对应的角；
④图中阴影部分(包括边界)即满足sinα≤a(|a|<1)的角α的终边所在的范围，空白部分(包括边界)即满足sinα≥a(|a|<1)的角α的终边所在的范围．
重要考点七：利用三角函数线证明几何结论
【典型例题】当α∈（0，）时，求证：sinα＜α＜tanα．
【解析】证明：方法一：由0＜α，可得sinα、α、tanα都是正实数．
设f（α）＝α﹣sinα，求导得：f′（α）＝1﹣csα＞0，
因此，f（α）＝α﹣sinα在α∈（0，）上是个增函数，
则有f（α）＝α﹣sinα＞f（0）＝0，即sinα＜α．
同理，令g（α）＝tanα﹣α，则g′（α）1＞0，
∴，g（α）＝tanα﹣α在α∈（0，）上也是个增函数，
也有g（α）＝tanα﹣α＞g（0）＝0，即tanα＞α．
综上，当α∈（0，）时，sinα＜α＜tanα．
方法二：如图，设角a的终边与单位圆相交于点P，单位圆与X轴正半轴的交点为A，
过点A作圆的切线交OP的延长线于T，过P作PM⊥OA于M，连结AP，
则sinα＝MP，，tanα＝AT，
∵S△POA＜S扇形POA＜S△OAT，
∴，
∴MPAT，
∴sinα＜α＜tanα．
【题型强化】设α是锐角，利用单位圆证明下列不等式：
（1）sinα+csα＞l；
（2）sinα＜α＜tanα．
【解析】证明：（1）α为锐角，角α的终边落在第一象限，
设角α的终边与单位圆交于点P（x，y）时，过P作PM⊥x轴于点M，作PN⊥Y轴于点N（如图），
则sinα＝MP，csα＝OM＝NP，
利用三角形两边之和大于第三边有：sinα+csα＝MP+OM＞1，得证．
（2）∵如图所示：S△OPA＜S扇形OPA＜S△OAE，
S△OPA•1•BP，S扇形OPA•1•，S△OAE•1•AE，
∴BPAE，
∴sinα＜α＜tanα．
【收官验收】利用三角函数线证明：若0＜α＜β，则有β﹣α＞sinβ﹣sinα．
【解析】证明：如图所示，∠AOQ＝α，∠AOP＝β，单位圆O与x轴正半轴交于点A，
与角α，β的终边分别交于点Q，P，过Q，P分别作OA的垂线，设垂足分别为M，N，
则由三角函数线的定义可知，sinα＝NQ，sinβ＝MP，过点Q作OH⊥MP，垂足为H，于是MH＝NQ，
则HP＝MP﹣MH＝MP﹣NQ＝sinβ﹣sinα．
设的长分别为m，p，q，
则由图可知HP＜m＝p﹣q＝β﹣α，即β﹣α＞sinβ﹣sinα．
【名师点睛】
解答利用三角函数线求解不等式这类题目时，一般先根据三角函数值的范围找出角的终边所在的区域，在找角的终边所在的区域时，注意对正弦要找单位圆上的纵坐标，对余弦应在单位圆上找横坐标，根据这些坐标找出单位圆上满足要求的弧，即可找到角的终边所在的区域，再根据角的终边所在的区域写出角的范围．
知识点课前预习与精讲精析
三角函数
解析式
定义域
正弦函数
y＝sinx
R
余弦函数
y＝csx
R
正切函数
y＝tanx
{x|x≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z}
典型题型与解题方法