2020-2021学年北师版陕西省西安市西安高新区九年级数学上学期期末考试试卷

2020-2021学年陕西省西安市高新一中九年级（上）期末

数学试卷

一、选择题（共10小题，每小题3分，记30分，每小题只有一个选项符合题意）

1. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，AC=3，则cosB==（　　）

A.  B.  C.  D.

2. 如图，用一个半径为6cm的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了120°，假设绳索粗细不计，且与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（　　）

A. πcm B. 2πcm C. 3πcm D. 4πcm

3. 如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为10cm，AB＝16cm，则CD的长是（　　）

A. 2cm B. 3cm C. 4cm D. 5cm

4. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OA，OC，若∠AOC：∠ADC＝2：3，则∠ABC的度数为（　　）

A. 30° B. 40° C. 45° D. 50°

5. 若二次函数y＝x2﹣6x+c的图象过A（﹣1，y1），B（2，y2），C（5，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（　　）

A y1＞y2＞y3 B. y1＞y3＞y2 C. y2＞y1＞y3 D. y3＞y1＞y2

6. 如图,将大小不同的两块量角器的零度线对齐,且小量角器的中心恰好在大量角器的圆周上,设图中两圆周的交点为.且点在小量角器上对应的刻度为,那么点在大量角器上对应的刻度为(只考虑小于的角)(    )

A.  B.  C.  D.

7. 如图△MBC中，∠B＝90°，∠C＝60°，MB＝2，点A在MB上，以AB为直径作⊙O与MC相切于点D，则CD的长为（　　）

A.  B.  C. 2 D. 3

8. 在同一平面直角坐标系内，二次函数与一次函数的图象可能是（  ）

A.  B.

C.  D.

9. 将抛物线l1：y＝x2+2x+3绕其对称轴上一点P旋转180°，得到一个新抛物线l2，若l1、l2两条抛物线交点以及它们的顶点构成一个正方形，则P点坐标为（　　）

A. （1，3） B. （﹣1，3） C. （1，﹣3） D. （﹣1，﹣3）

10. 在平面坐标系中，将抛物线y＝-x2+（m-1）x-m（m＞1）沿y轴向上平移3个单位，则平移后得到的抛物线的顶点一定在（　　）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

二、填空题（共7小题，每小题3分，记21分）

11. 若正六边形的边长为3，则其较长的一条对角线长为___.   

12. 在平面直角坐标系xOy中，A（5，6），B（5，2），C（3，0），△ABC的外接圆的圆心坐标为____．

13. 抛物线的顶点坐标是_____．

14. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A与D在函数的图象上，轴，垂足为C，点B的坐标为，则k的值为______．

15. 如图，在扇形OAB中，已知∠AOB＝90°，OA＝，过弧AB的中点C作CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D、E，则图中阴影部分的面积为_____．

16. 已知抛物线y＝（x﹣1）2﹣4关于直线x＝﹣1对称的图象解析式为_____．

17. 如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D为线段AC上一动点，连接BD，过点C作CH⊥BD于H，连接AH，则AH的最小值为_____．

三、解答题（共8小题，记69分，解答题应写出必要的过得程）

18. （1）计算：﹣tan230°；

（2）计算：3cos30°+（π﹣2020）0+|2﹣tan60°|．

19. 尺规作图：已知⊙O及圆外一点P，求作⊙O的一条切线，使这条切线经过点P．

20. 如图，已知是一次函数图象和反比例函数的图象的两个交点,直线AB与y轴交于点C．

（1）求反比例函数和一次函数的关系式；

（2）求△AOC面积.

21. 如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径⊙O交BC于点D，过点D作EF⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．

（1）求证：EF是⊙O的切线；

（2）若AC＝3CD，BF＝2，求⊙O的半径．

22. 为进一步加强疫情防控工作，避免在测温过程中出现人员聚集现象，某学校决定安装红外线体温监测仪，该设备通过探测人体红外辐射能量对进入测温区域的人员进行快速测温，无需人员停留和接触，安装说明书的部分内容如表．

根据以上内容，解决问题：

学校要求测温区域的宽度AB为4m，请你帮助学校确定该设备的安装高度OC．

（结果精确到0.1m，参考数据：sin73.14°≈0.957，cos73.14°≈0.290，tan73.14°≈3.300，sin30.97°≈0.515，cos30.97°≈0.857，tan30.97°≈0.600）

23. 2016年里约奥运会，中国女排的姑娘们在郎平教练指导下，通过刻苦训练，取得了世界冠军，为国争光，如图，已知排球场的长度OD为18米，位于球场中线处球网的高度AB为2.43米，一队员站在点O处发球，排球从点O的正上方1.8米的C点向正前方飞出，当排球运行至离点O的水平距离OE为7米时，到达最高点G建立如图所示的平面直角坐标系．

（1）当球上升的最大高度为3.2米时，求排球飞行的高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）的函数关系式．（不要求写自变量x的取值范围）．

（2）在（1）的条件下，对方距球网0.5米的点F处有一队员，他起跳后的最大高度为3.1米，问这次她是否可以拦网成功？请通过计算说明．

（3）若队员发球既要过球网，又不出边界，问排球飞行的最大高度h的取值范围是多少？（排球压线属于没出界）

24. 如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，且B点的坐标为(3，0)，经过A点的直线交抛物线于点D (2， 3).

（1）求抛物线的解析式和直线AD的解析式；

（2）过x轴上的点E (a，0) 作直线EF∥AD，交抛物线于点F，是否存在实数a，使得以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出满足条件的a；如果不存在，请说明理由.

25. 问题探究

（1）如图①，在正方形ABCD内，请画出使∠BPC＝90°的所有点P；

（2）如图②，已知矩形ABCD，AB＝9，BC＝10，在矩形ABCD内画出使∠BPC＝60°的所有点P，并求出△APD面积的最小值；

（3）随着社会发展，农业观光园走进了我们的生活．某农业观光园的平面示意图如图3所示的四边形ABCD，其中∠A＝120°，∠B＝∠C＝90°，AB＝km，BC＝6km，观光园的设计者想在园中找一点P，使得点P与点A、B、C、D所连接的线段将整个观光园分成四个区域，用来进行不同的设计与规划，从实用和美观的角度他们还要求在△BPC的区域内∠BPC＝120°，且△APD的区域面积最小，试问在四边形ABCD内是否存在这样的点P，使得∠BPC＝120°，且△APD面积最小？若存在，请你在图中画出点P点的位置，并求出△APD的最小面积．若不存在，说明理由．

2020-2021学年陕西省西安市高新一中九年级（上）期末

数学试卷答案

一、选择题

1-5：CDCCB      6-10:ACCBA

二、填空题（共7小题，每小题3分，记21分）

11.6

12. (1，4)

13.

14. 8

15. ﹣1

16. y＝（x+3）2﹣4

17. 2﹣2

三、解答题（共8小题，记69分，解答题应写出必要的过得程）

18. 【详解】（1）原式

＝

＝；

（2）原式＝

=

．

19. 【详解】①连接OP，作OP的垂直平分线l，交OP于点A；

②以A为圆心，AO为半径作圆，交⊙O于点M；

③作直线PM，则直线PM即为⊙O切线．

如图，直线PM即为所求作．

20. 【详解】（1）∵A（n，﹣2），B（1，4）是一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y的图象的两个交点，∴4，得：m＝4，∴y，∴﹣2，得：n＝﹣2，∴点A（﹣2，﹣2），∴，得：，∴一次函数解析式为y＝2x+2，即反比例函数解析式为y，一次函数解析式为y＝2x+2；

（2）当x＝0时，y＝2×0+2＝2，∴点C的坐标是（0，2）．

∵点A（﹣2，﹣2），点C（0，2），∴△AOC的面积是：．

21. 【详解】（1）证明：连接OD，

∵AB＝AC，

∴∠C＝∠OBD，

∵OD＝OB，

∴∠1＝∠OBD，

∴∠1＝∠C，

∴OD//AC，

∵EF⊥AC，

∴EF⊥OD，

∴EF是⊙O的切线；

（2）∵AB是⊙O的直径，

∴AD⊥BC，

∵AC＝AB，

∴CD＝BD，

∵AC＝3CD，

∴AB＝3BD，

设BD＝x，则AB＝3x，

∴AD＝2x，

∵∠BDF+∠1＝∠ADO+∠1＝90°，

∴∠BDF＝∠ADO，

∵AO＝OD，

∴∠OAD＝∠ADO，

∴∠BDF＝∠DAF，

∵∠F＝∠F，

∴△ADF∽△DBF，

∴＝，

∴＝＝，

∴DF＝4，x＝2，

∴AB＝14，

∴⊙O的半径为7．

22. 【详解】根据题意可知：
OC⊥AC，∠OBC=73.14°，∠OAC=30.97°，AB=4m，
∴AC=AB+BC=4+BC，
∴在Rt△OBC中，BC=，

在Rt△OAC中，OC=AC•tan∠OAC≈(4+BC)×0.6，
∴OC=0.6(4+)，

解得OC≈2.9（m）．
答：该设备的安装高度OC约为2.9m．

23. 【详解】试题分析：（1）根据题意得抛物线的顶点为（5，3），∴可以设抛物线的解析式为 ，把C（0，2）代入即可. （2）∵OD=15，∴OA=7.5, ∵对方距球网0.5米的点F，∴OF=8,把x＝8代入解析式求出y的值，和2.7比较即可. （3）根据题意可以把解析式设为y＝(x－5)2＋h，把C（0，2）代入得

a(－5)2＋h＝2，，要求过网，所以当 时， ，要求不出界，所以当时， ，解不等式即可求出h的取值范围.

试题解析：

(1)

(2) 当x＝8时，

不能拦网成功

(3) 设y＝(x－5)2＋h

将C(0，2)代入y＝(x－5)2＋h中，得

a(－5)2＋h＝2，

∴

由 解得h＞

24. 【详解】（1）把点B和D的坐标代入抛物线y=-x2+bx+c得：

解得：b=2，c=3，

∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3；

当y=0时，-x2+2x+3=0，

解得：x=3，或x=-1，

∵B（3，0），

∴A（-1，0）；

设直线AD的解析式为y=kx+a，

把A和D的坐标代入得：

解得：k=1，a=1，

∴直线AD的解析式为y=x+1；

（2）分两种情况：①当a＜-1时，DF∥AE且DF=AE，

则F点即为（0，3），

∵AE=-1-a=2，

∴a=-3；

②当a＞-1时，显然F应在x轴下方，EF∥AD且EF=AD，

设F （a-3，-3），

由-（a-3）2+2（a-3）+3=-3，

解得：a=；

综上所述，满足条件的a的值为-3或．

25. 【详解】（1）如图1中，以BC为直径作⊙O，点P的轨迹是（不包括B，C）．

（2）如图2中，以BC为边向上作等边三角形△BCP，作△BCP的外接圆，交AB于E，交CD于F，点P轨迹是（不包括E，F），

当点P是的中点时，△ADP的面积最小．

此时S△APD＝×10×（9﹣5）＝45﹣25．

（3）如图3中，以BC为边向下作等边三角形△BCE，作△BCE的外接圆，点P轨迹是（不包括B，C），

作OJ⊥BC于J，交AD于K，作AT⊥OK于T．延长OP交AD于H，当OH⊥AD时，PH的值最小，此时△PAD的面积最小．

由题意BJ＝JC＝3，OJ＝，

∵四边形ABJT是矩形，

∴∠BAT＝90°，AT＝BJ＝3，AB＝TJ＝，

∵∠DAB＝120°，

∴∠KAT＝30°，

∴KT＝，AK＝2，

∴OK＝OJ+JT+TK＝3，

∵∠OKH＝60°，

∴OH＝OK•sin60°＝，

∴PH＝OH﹣OP＝﹣2，

∵AB∥JK∥CD，BJ＝CJ，

∴AK＝KD＝2，

∴AD＝4，

∴△PAD的面积的最小值＝×（﹣2）＝9﹣12．