2020-2021学年陕西省西安市碑林区铁一中学九年级（上）期末数学试卷

2020-2021学年陕西省西安市碑林区铁一中学九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是符合题意的）

1．（3分）平行四边形的两条对角线一定　　

A．互相平分 B．互相垂直 C．相等 D．以上都不对

2．（3分）将抛物线向上平移1个单位得到新的抛物线的解析式是　　

A． B． C． D．

3．（3分）等于　　

A． B．1 C． D．

4．（3分）如图，已知的直径弦于点，则下列结论不一定成立的是　　

A． B． C． D．

5．（3分）已知，则的值为　　

A． B． C． D．

6．（3分）已知点，，都在反比例函数的图象上，则、、的大小关系正确的是　　

A． B． C． D．

7．（3分）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是　　

A． B．且 C．且 D．且

8．（3分）如图，的直径交弦相交于点，且，若，，则的长为　　

A．3 B． C． D．

9．（3分）如图，四边形中，，．，，，在边上确定一点，使得，则　　

A． B． C． D．

10．（3分）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，，则实数，，，的大小关系可能是　　

A． B． C． D．

二.填空题（共4小题，每题3分，共12分）

11．（3分）一元二次方程的解是　　．

12．（3分）二次函数的图象的顶点坐标为　　．

13．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、分别在轴、轴的正半轴上，点，，若反比例函数的图象经过的中点，则　　．

14．（3分）如图，四边形中，，，且，，则四边形周长的最小值是 　　．

三、解答题（共10小题，计78分）

15．（5分）计算：．

16．（5分）先化简，再求值：．其中是方程的根．

17．（6分）已知及外一点，在上找一点，使得，求作点．要求：尺规作图，保留作图痕迹．

18．（8分）如图所示，平行四边形，对角线平分；

（1）求证：四边形为菱形；

（2）已知于，若，求．

19．（6分）某商店分两次购进，两种商品进行销售，两次购进同一种商品的进价相同，具体情况如下表所示：

（1）求、两种商品每件的进价分别是多少元？

（2）商场决定种商品以每件30元出售，种商品以每件100元出售．为满足市场需求，需购进、两种商品共1000件，且种商品的数量不少于种商品数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案，并确定最大利润．

20．（8分）如图，一艘船在处测得北偏东的方向上有一个小岛，当它以每小时60海里的速度向正东方向航行了20分钟到达处后，测得小岛在其北偏东的方向上，求此时船与小岛之间的距离．

（参考数据：，，结果保留整数，

21．（8分）抽签规则如下：将正面分别写有字母、、、的四张卡片（除了正面字母不同外，其余均相间）背面朝上，洗匀，先由小明随机抽取一张卡片，然后将卡片放回、洗匀，再由小亮抽取一张卡片．

（1）求小明抽到卡片的概率；

（2）请用列表或画树状图的方法，求小明与小亮抽到同一卡片的概率．

22．（8分）如图，的边是的直径，边交于，边与相切于点，点为上一点，连接、、．

（1）求证：．

（2）已知，，求半径的长．

23．（10分）已知一个二次函数，当时，函数值最小是，且函数图象与轴两个交点、在点左侧）之间的距离为4．

（1）求该二次函数的表达式；

（2）请在平面直角坐标系中画出该函数图象，点为该图象的顶点，问在该图象上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．

24．（14分）问题探究：

（1）如图①所示，比较大小：　　；　　；　　．

（2）如图②，平面直角坐标系中，点、为两坐标轴上的动点，且，求三角形面积的最大值．

问题解决：

（3）如图③，区域是旧城改造工程设计的某公园的主景区区域，已知公园中间有条已修好的道路，且米，设计要求道路两侧的面积相等．且，计划在公园两侧、上种植同种树木，且树木间距相等，沿段根据情况配套健身器材，问怎样设计才能使种植的树木更多，即要求最大．问是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．

2020-2021学年陕西省西安市碑林区铁一中学九年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是符合题意的）

1．（3分）平行四边形的两条对角线一定　　

A．互相平分 B．互相垂直 C．相等 D．以上都不对

【解答】解：因为平行四边形的两条对角线一定互相平分，菱形的对角线互相垂直，矩形的对角线相等，

所以选项正确．

故选：．

2．（3分）将抛物线向上平移1个单位得到新的抛物线的解析式是　　

A． B． C． D．

【解答】解：抛物线向上平移1个单位得到新的抛物线的解析式是：，

故选：．

3．（3分）等于　　

A． B．1 C． D．

【解答】解：．

故选：．

4．（3分）如图，已知的直径弦于点，则下列结论不一定成立的是　　

A． B． C． D．

【解答】解：的直径于点，

，，

在和中，

，

．

，即．

观察选项，只有选项符合题意．

故选：．

5．（3分）已知，则的值为　　

A． B． C． D．

【解答】解：由等比性质，得

，

故选：．

6．（3分）已知点，，都在反比例函数的图象上，则、、的大小关系正确的是　　

A． B． C． D．

【解答】解：反比例函数中，

函数图象位于二、四象限，且在每一象限内随的增大而增大，

，，

点位于第二象限，点，在第四象限，

，，

．

故选：．

7．（3分）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是　　

A． B．且 C．且 D．且

【解答】解：一元二次方程有两个不相等的实数根，

△，且，

解得：且．

故选：．

8．（3分）如图，的直径交弦相交于点，且，若，，则的长为　　

A．3 B． C． D．

【解答】解：作于，于，连接，，

．

又，

，

，，

，

在与中，

，

，

，．

又，，

，．

．

，

，

故选：．

9．（3分）如图，四边形中，，．，，，在边上确定一点，使得，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：如图所示：过作交于点，在上取一点使得

在中，，，

．

，，．

，，

．

，

四边形为平行四边形．

，．

，，

为等边三角形．

，，．

，，

，

，

．

，

，

．

，

，

，

设，则，，，

得

整理得．

，

，

．

故选：．

10．（3分）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，，则实数，，，的大小关系可能是　　

A． B． C． D．

【解答】解：设抛物线解析式为，则此抛物线与轴的交点坐标为，，

，关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，

当自变量为、时，

即、为直线与抛物线两交点的横坐标，

如图：

．

故选：．

二.填空题（共4小题，每题3分，共12分）

11．（3分）一元二次方程的解是　，　．

【解答】解：原方程可化为：，

或，

，．

12．（3分）二次函数的图象的顶点坐标为　　．

【解答】解：．

抛物线的顶点坐标为．

故答案为：．

13．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、分别在轴、轴的正半轴上，点，，若反比例函数的图象经过的中点，则　4　．

【解答】解：设

，，

，解得，

，

设，

点向右平移2个单位，向上平移个单位得到点，

点向右平移2个单位，向上平移个单位得到点，

，

，

，解得，

，

，即，

把代入得．

故答案为：4．

14．（3分）如图，四边形中，，，且，，则四边形周长的最小值是 　　．

【解答】解：过点作垂线交延长线于，

，

，

设，则，

，

，

，

，

，

当时，有最小值，

，，

设，则，，

，

的最小值为，

四边形周长的最小值为．

故答案为：．

三、解答题（共10小题，计78分）

15．（5分）计算：．

【解答】解：原式

．

16．（5分）先化简，再求值：．其中是方程的根．

【解答】解：原式

；

是方程的根．

，

即，

原式．

17．（6分）已知及外一点，在上找一点，使得，求作点．要求：尺规作图，保留作图痕迹．

【解答】解：如图，点和为所作．

18．（8分）如图所示，平行四边形，对角线平分；

（1）求证：四边形为菱形；

（2）已知于，若，求．

【解答】（1）证明：四边形是平行四边形，

，

，

平分，

，

，

，

平行四边形是菱形；

（2）解：连接，如图所示：

，

，

，

由（1）得：四边形是菱形，

，，

，

，

，

，

菱形的面积，

．

19．（6分）某商店分两次购进，两种商品进行销售，两次购进同一种商品的进价相同，具体情况如下表所示：

（1）求、两种商品每件的进价分别是多少元？

（2）商场决定种商品以每件30元出售，种商品以每件100元出售．为满足市场需求，需购进、两种商品共1000件，且种商品的数量不少于种商品数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案，并确定最大利润．

【解答】解：（1）设、两种商品每件的进价分别是元，元

根据题意得：

解得：

答、两种商品每件的进价分别是20元，80元．

（2）设商品件，商品件，利润为元．

根据题意得：

解得：

随的增大而减小

时，的最大值为12000元．

20．（8分）如图，一艘船在处测得北偏东的方向上有一个小岛，当它以每小时60海里的速度向正东方向航行了20分钟到达处后，测得小岛在其北偏东的方向上，求此时船与小岛之间的距离．

（参考数据：，，结果保留整数，

【解答】解：作于，

由题意得，，，（海里）

，

在中，，

，

在中，，

（海里），

答：船与小岛之间的距离约为14海里．

21．（8分）抽签规则如下：将正面分别写有字母、、、的四张卡片（除了正面字母不同外，其余均相间）背面朝上，洗匀，先由小明随机抽取一张卡片，然后将卡片放回、洗匀，再由小亮抽取一张卡片．

（1）求小明抽到卡片的概率；

（2）请用列表或画树状图的方法，求小明与小亮抽到同一卡片的概率．

【解答】解：（1）小明抽到卡片的概率是；

（2）画树状图为：

共有16种等可能的结果数，其中小明与小亮抽到同一卡片的结果数为4，

所以小明与小亮抽到同一讲解地点的概率．

22．（8分）如图，的边是的直径，边交于，边与相切于点，点为上一点，连接、、．

（1）求证：．

（2）已知，，求半径的长．

【解答】（1）证明：是的直径，

，

，

与相切于点，

，

，

，

，

，

；

（2）解：，

，

，

，

，

，

半径的长为．

23．（10分）已知一个二次函数，当时，函数值最小是，且函数图象与轴两个交点、在点左侧）之间的距离为4．

（1）求该二次函数的表达式；

（2）请在平面直角坐标系中画出该函数图象，点为该图象的顶点，问在该图象上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．

【解答】解：（1）由题意得：函数的对称轴为，

，则点、的坐标分别为、，

设抛物线的表达式为，

当时，，解得，

故抛物线的表达式为①；

（2）设直线交轴于点，

，

则，

，

故点的坐标为，

设直线的表达式为，则，解得，

故直线的表达式为②，

联立①②并解得：（舍去）或，

故点的坐标为．

24．（14分）问题探究：

（1）如图①所示，比较大小：　　；　　；　　．

（2）如图②，平面直角坐标系中，点、为两坐标轴上的动点，且，求三角形面积的最大值．

问题解决：

（3）如图③，区域是旧城改造工程设计的某公园的主景区区域，已知公园中间有条已修好的道路，且米，设计要求道路两侧的面积相等．且，计划在公园两侧、上种植同种树木，且树木间距相等，沿段根据情况配套健身器材，问怎样设计才能使种植的树木更多，即要求最大．问是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）由圆周角定理得，，

，

，

是直径，

，

故答案为：，，；

（2）如图2，取的中点，连接，作于，

，，

，

，

，即，

的最大值为2，

的面积的最大值；

（3）如图3，延长至点，使，连接、，

两侧的面积相等，

，

，

，

四边形为平行四边形，

，

，

，米，

，（米，，

在中，当时，最大，此时，四边形为菱形，

，

（米，

的最大值为800（米，

的最大值为800米．

声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布

日期：2021/12/9 19:02:11；用户：初中数学1；邮箱：jse032@xyh.com；学号：39024122