2020-2021学年某校初二（上）12月月考数学试卷

这是一份2020-2021学年某校初二（上）12月月考数学试卷，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下面是某同学在一次测试中的计算：
①3m2n−5mn2=−2mn；
②2a3b⋅(−2a2b)=−4a6b；
③(a3)2=a5；
④(−a3)÷(−a)=a2．
其中运算正确的个数为( )
A.4个B.3个C.2个D.1个

2. 如果(a−2)0=1，则a的取值范围是( )
A.a>2B.a=2C.aN．
故选B．
6.
【答案】
B
【考点】
平方差公式
【解析】
能利用平方差公式的条件：这是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数．相乘的结果应该是：右边是乘式中两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）．
【解答】
解：能利用平方差公式计算的多项式的特点是：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项相同，另一项互为相反数．
(2x−3y)(−2x−3y)满足条件，
∴ (2x−3y)(−2x−3y)能用平方差公式计算．
故选B．
7.
【答案】
C
【考点】
等腰三角形的性质
线段垂直平分线的性质
【解析】
利用线段垂直平分线的性质得出DC＝BD，再利用三角形外角的性质以及三角形内角和定理得出即可．
【解答】
解：由题意可得：MN垂直平分BC，
则DC=BD，
故∠DCB=∠DBC=25∘，
则∠CDA=25∘+25∘=50∘，
∵ CD=AC，
∴ ∠A=∠CDA=50∘.
故选C.
8.
【答案】
D
【考点】
整式的混合运算——化简求值
【解析】
要求阴影部分的面积，若不规则图形可考虑利用大图形的面积减去小图形的面积
进行计算；若规则图形可以直接利用公式进行求解.
【解答】
解：由图2可知，阴影部分是一个长方形，它的长是a+b,宽是a−2b.
所以阴影面积是：a+ba−2b.
由图1可知，阴影部分是由边长为a的正方形的面积减去一个长、宽分别为a，b的长方形面积，再减去两个边长为b的两个小正方形的面积.
所以图2阴影部分面积是：a2−ab−2b2.
因为阴影部分的面积相等，
所以a+ba−2b=a2−ab−2b2.
故选D.
9.
【答案】
A
【考点】
线段垂直平分线的性质
角平分线的性质
直角三角形全等的判定
全等三角形的性质
【解析】
连接PA，PB，根据角平分线的性质得到PD=PE，根据线段垂直平分线的性质得到PA=PB，证明|Rt△AEP≅Rt△BDP，根据全等三角形的性质得到AE=BD，结合图形计算得到答案．
【解答】
解：连接PA，PB，
∵CP是∠BCE的平分线，PD⊥BC，PE⊥AC，
∴PD=PE，
在Rt△CDP和Rt△CEP中，
PD=PEPC=PC，
∴Rt△CDP≅Rt△CEP HL，
∴CD=CE.
∵PQ是线段AB的垂直平分线，
∴PA=PB.
在Rt△AEP和Rt△BDP中，
∴PE=PDPA=PB，
∴Rt△AEP≅Rt△BDP （HL），
∴AE=BD，
∴AC+CE+CD=BD+CD=BC=6，
∴CE=CD=12×6−4=1.
故选A．
10.
【答案】
A
【考点】
平方差公式
三角形的面积
求阴影部分的面积
【解析】
设大正方形边长为x，小正方形边长为y，则AE=x−y，然后表示阴影部分面积，再计算整式的乘法和加减，进而可得答案．
【解答】
解：设大正方形边长为x，小正方形边长为y，则AE=x−y，
阴影部分的面积是：
12AE⋅BC+12AE⋅DB
=12x−y⋅x+12x−y⋅y
=12x−yx+y
=12x2−y2
=12×60，
=30.
故选A．
11.
【答案】
D
【考点】
完全平方公式
【解析】
由完全平方公式即可求出a与b的值．
【解答】
解：∵ax+3y2=4x2+12xy−by2，
∴a2x2+6axy+9y2=4x2+12xy−by2，
∴−b=9，12=6a，
∴a=2，b=−9.
故选D．
12.
【答案】
D
【考点】
积的乘方及其应用
幂的乘方及其应用
【解析】
分别利用同底数幂的乘除法运算法则得出a，b，c直接的关系即可．
【解答】
解：∵ 2a=3，2b=6，2c=12，
∴ 2b÷2a=2b−a=2，
∴ b=a+1，故①正确；
2c÷2a=2c−a=4=22，
则c=a+2，故②正确；
2a×2c=(2b)2，
则a+c=2b，故③正确；
∵ 2b×2c=(2a)2×23，
∴ b+c=2a+3，故④正确．
故选D．
二、填空题
【答案】
4
【考点】
同底数幂的乘法
【解析】
根据同底数幂的乘法求出ax的值，变形后代入求出即可．
【解答】
解：∵ ax+y=6，ay=3，
∴ ax⋅ay=6，
∴ ax=2，
∴ a2x=(ax)2=22=4.
故答案为：4.
【答案】
25
【考点】
平方差公式
完全平方公式
【解析】
已知等式左边利用平方差公式分解，原式变形后代入计算即可求出值．
【解答】
解：∵ m2−n2=(m+n)(m−n)=5，
∴ m+n2m−n2
=m+nm−n2
=52=25.
故答案为：25.
【答案】
4
【考点】
翻折变换（折叠问题）
等边三角形的性质
等边三角形的判定
【解析】
证明△EDC是等边三角形即可解决问题．
【解答】
解：由翻折可知，DB=DE，∠ADB=∠ADE=60∘，
∴∠EDC=180∘−2×60∘=60∘，
∵BD=DC=12BC=4，
∴DE=DC=4，
∴ △EDC是等边三角形，
∴CE=CD=4.
故答案为：4．
【答案】
(35,0)
【考点】
轴对称——最短路线问题
【解析】
先作出点B关于x轴的对称点B′，连接AB′交x轴于点C，再用待定系数法求出过AB′两点的一次函数解析式，求出此函数与x轴的交点坐标即可．
【解答】
解：先作出B关于x轴的对称点B′，连接AB′交x轴于点C，则B点坐标为(0, −1)，由两点之间线段最短可知，AB′的长即为AC+BC的长，因为AB是定值，所以此时△ABC的周长最小，
设过AB′两点的一次函数解析式为y=kx+b(k≠0)，则
3k+b=4， b=−1，
解得k = 53，b=−1，
故此一次函数的解析式为y = 53x−1，
当y=0时，53x−1=0，解得x = 35．
故C的坐标为(35, 0)时，△ABC的周长最短．
故答案为：(35, 0).
三、解答题
【答案】
解：(1)13xy2⋅−12x2y2÷−43x3y
=19x2y2⋅−12x2y2÷−43x3y
=−43x4y4÷−43x3y
=xy3;
(2)2x+y2−x+2yx−2y
=4x2+4xy+y2−x2−4y2
=4x2+4xy+y2−x2+4y2
=3x2+4xy+5y2；
(3)x−2y−32y+x+3
=x−2y+3x+2y+3
=x2−2y+32
=x2−4y2−12y−9.
【考点】
整式的混合运算
平方差公式
多项式乘多项式
完全平方公式
【解析】
先算乘方，再算乘除，即可解答.
先根据平方差公式，完全平方公式计算，再合并同类项，即可解答.
先变形，再根据乘法公式计算，即可解答.
【解答】
解：(1)13xy2⋅−12x2y2÷−43x3y
=19x2y2⋅−12x2y2÷−43x3y
=−43x4y4÷−43x3y
=xy3;
(2)2x+y2−x+2yx−2y
=4x2+4xy+y2−x2−4y2
=4x2+4xy+y2−x2+4y2
=3x2+4xy+5y2；
(3)x−2y−32y+x+3
=x−2y+3x+2y+3
=x2−2y+32
=x2−4y2−12y−9.
【答案】
解：x−2x−6−6x4−4x3−2x2÷−2x2
=x2−8x+12−−3x2+2x+1
=x2−8x+12+3x2−2x−1
=4x2−10x+11
当x=−1时，
原式=4×−12−10×−1+11
=4+10+11
=25.
【考点】
整式的混合运算——化简求值
【解析】
先根据整式混合运算的法则运算，再代入求值.
【解答】
解：x−2x−6−6x4−4x3−2x2÷−2x2
=x2−8x+12−−3x2+2x+1
=x2−8x+12+3x2−2x−1
=4x2−10x+11
当x=−1时，
原式=4×−12−10×−1+11
=4+10+11
=25.
【答案】
解：1因为a+b=2，ab=−24，
所以a2+b2=a+b2−2ab=4+2×24=52；
2因为a+b=2，ab=−24，
所以a+1b+1=ab+a+b+1
=−24+2+1=−21；
3因为a+b=2，ab=−24，
所以a−b2=a2−2ab+b2
=a+b2−4ab
=4+96=100.
【考点】
列代数式求值
完全平方公式
多项式乘多项式
【解析】
1把代数式化成完全平方公式的形式，然后把根据a+b=2，ab=−24，整体代入代数式即可.
2根据多项式乘以多项式的运算法则，把代数式整理为a+1b+1=ab+a+b+1，然后把已知条件代入代数式即可；
3根据完全平方公式把代数式展开，然后把已知条件整体代入即可.
【解答】
解：1因为a+b=2，ab=−24，
所以a2+b2=a+b2−2ab=4+2×24=52；
2因为a+b=2，ab=−24，
所以a+1b+1=ab+a+b+1
=−24+2+1=−21；
3因为a+b=2，ab=−24，
所以a−b2=a2−2ab+b2
=a+b2−4ab
=4+96=100.
【答案】
解：(x2+mx+n)(x+2)
=x3+2x2+mx2+2mx+nx+2n
=x3+(2+m)x2+(2m+n)x+2n，
∵ (x2+mx+n)(x+2)的结果中不含x2项和x项，
∴ 2+m=0，2m+n=0，
解得：m=−2，n=4．
【考点】
多项式乘多项式
【解析】
先根据多项式乘以多项式法则展开，合并同类项，得出方程，求出即可．
【解答】
解：(x2+mx+n)(x+2)
=x3+2x2+mx2+2mx+nx+2n
=x3+(2+m)x2+(2m+n)x+2n，
∵ (x2+mx+n)(x+2)的结果中不含x2项和x项，
∴ 2+m=0，2m+n=0，
解得：m=−2，n=4．
【答案】
解：(1)根据题意可知，由于小明抄错了第一个多项式中的a的符号，
得到的结果为6x2−13x+6，
那么(2x−a)(3x+b)=6x2+(2b−3a)x−ab=6x2−13x+6，
可得2b−3a=−13①
小乐由于漏抄了第二个多项式中的x的系数，得到的结果为2x2−x−6，
可知(2x+a)(x+b)=2x2−x−6，
即2x2+(2b+a)x+ab=2x2−x−6，
可得2b+a=−1②，
解关于①②的方程组，
可得a=3，b=−2；
(2)正确的式子：
(2x+3)(3x−2)=6x2+5x−6.
【考点】
多项式乘多项式
【解析】
（1）根据由于欢欢抄错了第一个多项式中的a符号，得出的结果为6x2−13x+6，可知(2x−a)(3x+b)=6x2+(2b−3a)x−ab=6x2−13x+6，于是2b−3a=−13①；再根据乐乐由于漏抄了第二个多项式中的x的系数，得到的结果为2x2−x−6，可知常数项是−6，可知(2x+a)(x+b)=2x2−x−6，可得到2b+a=−1②，解关于①②的方程组即可求出a、b的值；
（2）把a、b的值代入原式求出整式乘法的正确结果．
【解答】
解：(1)根据题意可知，由于小明抄错了第一个多项式中的a的符号，
得到的结果为6x2−13x+6，
那么(2x−a)(3x+b)=6x2+(2b−3a)x−ab=6x2−13x+6，
可得2b−3a=−13①
小乐由于漏抄了第二个多项式中的x的系数，得到的结果为2x2−x−6，
可知(2x+a)(x+b)=2x2−x−6，
即2x2+(2b+a)x+ab=2x2−x−6，
可得2b+a=−1②，
解关于①②的方程组，
可得a=3，b=−2；
(2)正确的式子：
(2x+3)(3x−2)=6x2+5x−6.
【答案】
证明：过A作AH⊥BE，交BE于H．
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠ABC=∠BCA=∠CAB=60∘,
AB=BC=AC，
∴ 在△ABD和△BCE中，
AB=BC，∠ABD=∠BCE，BD=CE，
∴ △ABD≅△BCESAS，
∴ ∠BAD=∠CBE，
∴ ∠AFE=∠FAB+∠ABF
=∠CBE+∠ABF=∠ABC=60∘，
∠CAB−∠BAD=∠ABC−∠CBE，
∴ ∠CAF=∠ABE．
∵ AH⊥BE，
∴ 在△AHF中，∠AHF=90∘，∠HAF=30∘，
∴ AF=2HF．
∵ AF⊥FC，
∴ ∠AFC=90∘，
∴ 在△AHB和△CFA中，
∠AHB=∠AFC，∠ABH=∠CAF，AB=AC，
∴ △AHB≅△CFAAAS，
∴ HB=FA，
∴ HB=2HF，即HF=BF，
∴ AF=2BF.
【考点】
全等三角形的性质与判定
等边三角形的性质
三角形的外角性质
含30度角的直角三角形
【解析】
通过作垂直，先证明三角形全等，再得到线段的数量关系.
【解答】
证明：过A作AH⊥BE，交BE于H．
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠ABC=∠BCA=∠CAB=60∘,
AB=BC=AC，
∴ 在△ABD和△BCE中，
AB=BC，∠ABD=∠BCE，BD=CE，
∴ △ABD≅△BCESAS，
∴ ∠BAD=∠CBE，
∴ ∠AFE=∠FAB+∠ABF
=∠CBE+∠ABF=∠ABC=60∘，
∠CAB−∠BAD=∠ABC−∠CBE，
∴ ∠CAF=∠ABE．
∵ AH⊥BE，
∴ 在△AHF中，∠AHF=90∘，∠HAF=30∘，
∴ AF=2HF．
∵ AF⊥FC，
∴ ∠AFC=90∘，
∴ 在△AHB和△CFA中，
∠AHB=∠AFC，∠ABH=∠CAF，AB=AC，
∴ △AHB≅△CFAAAS，
∴ HB=FA，
∴ HB=2HF，即HF=BF，
∴ AF=2BF.
【答案】
解：(1)设a=80−x，b=x−70，
则ab=−10，a+b=80−x+x−70=10，
∴ 80−x2+x−702
=a2+b2=a+b2−2ab=100+20=120.
2设a=2020−x，b=2017−x，
则a−b=2020−x−2017+x=3，
∵ 2020−x2+2017−x2=4051，
∴ 2020−x2017−x=ab
=12a2+b2−(a−b)2
=12(4051−9)=2021.
【考点】
完全平方公式
列代数式求值方法的优势
列代数式求值
【解析】
首先计算出ab=−10，a+b=80−x+x−70=10，然后仿照范例计算即可.
首先求出a−b=2020−x−2017+x=3，然后代入计算即可.
【解答】
解：(1)设a=80−x，b=x−70，
则ab=−10，a+b=80−x+x−70=10，
∴ 80−x2+x−702
=a2+b2=a+b2−2ab=100+20=120.
2设a=2020−x，b=2017−x，
则a−b=2020−x−2017+x=3，
∵ 2020−x2+2017−x2=4051，
∴ 2020−x2017−x=ab
=12a2+b2−(a−b)2
=12(4051−9)=2021.
【答案】
1解：∵ x+mnx−2=nx2+mn−2x−2m，
∴ n=2 ，mn−2=2，
∴ m=2
∴ 点A（2,0），点B0,2；
2证明：在y轴上截取一点C，使OM＝OC，过B作BD⊥MC于M，过A作AE⊥CM于E，如图1所示：
则△COM是等腰直角三角形，
∴ ∠OCM＝∠DCB＝∠OMC＝∠EMA＝45∘，
∴ △BDC和△AEM都是等腰直角三角形，
∴ ∠MAE＝45∘，
又∵ ∠NAP＝45∘，
∴ N、A、E三点共线.
由(1)得：OA=OB=2，
∴ △AOB是等腰直角三角形，BC=AM，
∠BCM=180∘−∠OCM=135∘，
∠MAN=180∘−∠MAE=135∘，
∴ ∠BCM=∠MAN.
∵ BM⊥MN,
∴ ∠NMA+∠BMO=90∘，
而∠CBM+∠BMO=90∘，
∴ ∠NMA=∠CBM.
∴ 在△BCM和△NAM中， ∠BCM=∠MAN，BC=AM，∠NMA=∠CBM，
∴ △BCM≅△NAMASA，
∴ BM=MN.
3证明：在AM上截取一点C使CM=ON，连接BC，延长BC交x轴于D，如图所示：
∵ △OBM是等边三角形，
∴ OB=OM=BM，∠BOM=∠BMO=∠OBM=60∘，
∴ ∠MOA=∠BOM+∠BOA=60∘+90∘=150∘，
∴ ∠MOD=30∘.
∵ OB=OA，
∴ OM=OA=BM，
∴ ∠OMA=∠OAM=12∠MOD=15∘，
∴ ∠BAM=30∘ ，∠BMA=45∘.
∵ OF⊥AB，
∴ ∠FOA=45∘，
∴ ∠AON=∠BMC，
在△OAN和△MBC中， ON=CM，∠AON=∠BMC，OA=BM，
∴ △OAN≅△BMCSAS，
∴ AN=BC，∠OAN=∠MBC=15∘，
∴ ∠OBD=60∘−15∘=45∘，
∴ ∠ABC=90∘，
∴ AN=BC=12AC=12AM−CM=12AM−ON.
【考点】
多项式乘多项式
全等三角形的性质与判定
等边三角形的性质
含30度角的直角三角形
等腰直角三角形
【解析】
1由多项式的系数得出n=2， mn−2=2，得出m=2，即可得出答案；
2在y轴上截取一点C，使OM=OC，证明△BCM≅△NAMASA即可得出结论；
3在AM上截取一点C，使CM=ON，连接BC，延长BC交x轴于D，证明△OAN≅△BMCSAS，得出AN=BC，∠OAN=2∠MBC=15∘，证出∠ABC=90∘，由直角三角形的性质即可得出结论．
【解答】
1解：∵ x+mnx−2=nx2+mn−2x−2m，
∴ n=2 ，mn−2=2，
∴ m=2
∴ 点A（2,0），点B0,2；
2证明：在y轴上截取一点C，使OM＝OC，过B作BD⊥MC于M，过A作AE⊥CM于E，如图1所示：
则△COM是等腰直角三角形，
∴ ∠OCM＝∠DCB＝∠OMC＝∠EMA＝45∘，
∴ △BDC和△AEM都是等腰直角三角形，
∴ ∠MAE＝45∘，
又∵ ∠NAP＝45∘，
∴ N、A、E三点共线.
由(1)得：OA=OB=2，
∴ △AOB是等腰直角三角形，BC=AM，
∠BCM=180∘−∠OCM=135∘，
∠MAN=180∘−∠MAE=135∘，
∴ ∠BCM=∠MAN.
∵ BM⊥MN,
∴ ∠NMA+∠BMO=90∘，
而∠CBM+∠BMO=90∘，
∴ ∠NMA=∠CBM.
∴ 在△BCM和△NAM中， ∠BCM=∠MAN，BC=AM，∠NMA=∠CBM，
∴ △BCM≅△NAMASA，
∴ BM=MN.
3证明：在AM上截取一点C使CM=ON，连接BC，延长BC交x轴于D，如图所示：
∵ △OBM是等边三角形，
∴ OB=OM=BM，∠BOM=∠BMO=∠OBM=60∘，
∴ ∠MOA=∠BOM+∠BOA=60∘+90∘=150∘，
∴ ∠MOD=30∘.
∵ OB=OA，
∴ OM=OA=BM，
∴ ∠OMA=∠OAM=12∠MOD=15∘，
∴ ∠BAM=30∘ ，∠BMA=45∘.
∵ OF⊥AB，
∴ ∠FOA=45∘，
∴ ∠AON=∠BMC，
在△OAN和△MBC中， ON=CM，∠AON=∠BMC，OA=BM，
∴ △OAN≅△BMCSAS，
∴ AN=BC，∠OAN=∠MBC=15∘，
∴ ∠OBD=60∘−15∘=45∘，
∴ ∠ABC=90∘，
∴ AN=BC=12AC=12AM−CM=12AM−ON.