2022年辽宁省锦州市中考数学试卷【含答案】

2022年辽宁省锦州市中考数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共16分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 的绝对值是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 党的十八大以来，以习近平同志为核心的党中央重视技能人才的培育与发展．据报道，截至年底，我国高技能人才超过人，请将数据用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 如图所示的几何体是由个完全相同的小正方体搭成的，它的主视图是(    )

A.
B.
C.
D.

4. 某校教师志愿者团队经常做公益活动，下表是对名成员本学期参加公益活动情况进行的统计：

那么关于活动次数的统计数据描述正确的是(    )

A. 中位数是，平均数是 B. 中位数是，众数是
C. 中位数是，平均数是 D. 中位数是，众数是

5. 下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6. 如图，直线，将含角的直角三角板按图中位置摆放，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

7. 如图，在矩形中，，，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线分别交，于点，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

8. 如图，在中，，，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿线段匀速运动，当点运动到点时，停止运动，过点作交于点，将沿直线折叠得到，设动点的运动时间为秒，与重叠部分的面积为，则下列图象能大致反映与之间函数关系的是(    )

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共24分）

9. 甲、乙两名学生次立定跳远成绩的平均数相同，若甲次立定跳远成绩的方差为，乙次立定跳远成绩的方差为，则甲、乙两名学生次立定跳远成绩比较稳定的是______填“甲”或“乙”
10. 在一个不透明的口袋中装有红球和白球共个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅匀后，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了次球，发现有次摸到红球，则口袋中红球的个数约为______．
11. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______．
12. 如图，四边形内接于，为的直径，，连接，则的度数为______．

13. 如图，在正方形中，为的中点，连接交于点若，则的面积为______．

14. 如图，在平面直角坐标系中，的边在轴上，边与轴交于点，且，反比例函数的图象经过点，若，则的值为______．

15. 如图，抛物线与轴交于点和点，以下结论：；；；当时，随的增大而减小．其中正确的结论有______填写代表正确结论的序号

16. 如图，为射线上一点，为射线上一点，，，以为边在其右侧作菱形，且，与射线交于点，得；延长交射线于点，以为边在其右侧作菱形，且，与射线交于点，得；延长交射线于点，以为边在其右侧作菱形，且，与射线交于点，得；，按此规律进行下去，则的面积为______．

三、解答题（本大题共9小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 先化简，再求值：，其中．
18. 某校为了传承中华优秀传统文化，举行“薪火传承育新人”系列活动，组建了四个活动小组：经典诵读，诗词大赛，传统故事，汉字听写学校规定：每名学生必须参加且只能参加其中一个小组．学校随机抽取了部分学生，对其参加活动小组的情况进行了调查．下面图和图是根据调查结果绘制的不完整的统计图．
    
    请根据图中提供的信息，解答下列问题：
    本次随机调查的学生有______名，在扇形统计图中“”部分圆心角的度数为______；
    通过计算补全条形统计图；
    若该校共有名学生，请根据以上调查结果，估计参加“”活动小组的人数．
19. 小华同学从一副扑克牌中取出花色为“红心”，“黑桃”，“方块”，“梅花”各张放入不透明的甲盒中，再从这副扑克牌中取出花色为“红心”，“黑桃”，“方块”，“梅花”各张放入不透明的乙盒中．
    小华同学从甲盒中随机抽取张，抽到扑克牌花色为“红心”的概率为______；
    小华同学从甲、乙两个盒中各随机抽取张扑克牌．请用画树状图或列表的方法，求抽到扑克牌花色恰好是张“红心”和张“方块”的概率．
20. 年月日“天宫课堂”第二课在中国空间站开讲了，精彩的直播激发了学生探索科学奥秘的兴趣．某中学为满足学生的需求，充实物理兴趣小组的实验项目，决定购入、两款物理实验套装，其中款套装单价是款套装单价的倍，用元购买的款套装数量比用元购买的款套装数量多套．求、两款套装的单价分别是多少元．
21. 如图，一艘货轮在海面上航行，准备要停靠到码头，货轮航行到处时，测得码头在北偏东方向上．为了躲避，之间的暗礁，这艘货轮调整航向，沿着北偏东方向继续航行，当它航行到处后，又沿着南偏东方向航行海里到达码头求货轮从到航行的距离结果精确到海里．参考数据：，，．

22. 如图，在中，为的直径，点在上，为的中点，连接，并延长交于点连接，在的延长线上取一点，连接，使．
    求证：为的切线；
    若，，求的半径．

23. 某文具店购进一批单价为元的学习用品，按照相关部门规定其销售单价不低于进价，且不高于进价的倍，通过分析销售情况，发现每天的销售量件与销售单价元满足一次函数关系，且当时，；当时，．
    求与之间的函数关系式；
    这种学习用品的销售单价定为多少时，每天可获得最大利润，最大利润是多少元？
24. 如图，在中，，，，分别为，，的中点，连接，．
    
    如图，求证：；
    如图，将绕点顺时针旋转一定角度，得到，当射线交于点，射线交于点时，连接并延长交射线于点，判断与的数量关系，并说明理由；
    如图，在的条件下，当时，求的长．
25. 如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点．
    
    求抛物线的表达式；
    是直线上方抛物线上一动点，连接交于点，当的值最大时，求点的坐标；
    为抛物线上一点，连接，过点作交抛物线对称轴于点，当时，请直接写出点的横坐标．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的绝对值是．
故选：．
根据绝对值的定义解决此题．
本题主要考查绝对值，熟练掌握绝对值的定义是解决本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：将数据用科学记数法表示为；
故选B．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于时，是正整数；当原数的绝对值小于时，是负整数．
本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：由题意得：
该几何体的主视图为；
故选C．
根据几何体的三视图可直接进行排除选项．
本题主要考查三视图，熟练掌握几何体的三视图是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：由表格得：次数为的人数有人，故众数为，这组数据的中位数为，平均数为；
故选A．
由表格可直接进行求解．
本题主要考查平均数、众数及中位数，熟练掌握平均数、众数与中位数的求法是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，故本选项不合题意；
B.，故本选项符合题意；
C.，故本选项不合题意；
D.，故本选项不合题意．
故选：．
分别根据幂的乘方与积的乘方的运算法则，同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则以及合并同类项逐一判断即可．
本题主要考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，熟记这些运算法则是解答本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：如图，

，，
，
，

；
故选：．
根据平行线的性质可得，则有，然后根据三角形外角的性质可求解．
本题主要考查平行线的性质及三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质及三角形外角的性质是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：设与的交点为，

四边形为矩形，
，，，
为直角三角形，
，，
，，
又由作图知为的垂直平分线，
，，
在中，，
，
，
．
故选：．
根据矩形可知为直角三角形，根据勾股定理可得的长度，在中得到，又由题知为的垂直平分线，于是，，于是在中，利用锐角三角函数即可求出的长．
本题主要考查矩形的性质，锐角三角函数，垂直平分线，勾股定理，掌握定理以及性质是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：，，
，
由题意知：，
，
由折叠的性质可得：，，
当点与中点重合时，则有，
当点在中点的左侧时，即，
与重叠部分的面积为；；
当点在中点及中点的右侧时，即，如图所示：

由折叠性质可得：，，，
，
，
，
与重叠部分的面积为；
综上所述：能反映与重叠部分的面积与之间函数关系的图象只有选项；
故选：．
由题意易得，，则有，进而可分当点在中点的左侧时和在中点以及中点的右侧时，然后分类求解即可．
本题主要考查动点问题的函数图象，二次函数的图象及三角函数，熟练掌握二次函数的图象及三角函数是解题的关键．
 

9.【答案】乙 

【解析】解：，，
，
甲、乙两名学生次立定跳远成绩的平均数相同，
甲、乙两名学生次立定跳远成绩比较稳定的是乙，
故答案为：乙．
根据方差的意义可直接求解．
此题主要考查了方差，关键是掌握方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
 

10.【答案】 

【解析】解：估计这个口袋中红球的数量为个．
故答案为：．
用球的总个数乘以摸到红球的频率即可．
本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，用频率估计概率得到的是近似值，随试验次数的增多，值越来越精确．
 

11.【答案】 

【解析】解：由题意得：
，
解得：，
故答案为：．
根据当时，方程有两个不相等的两个实数根可得，再解即可．
此题主要考查了根的判别式，关键是掌握一元二次方程的根与有如下关系：
当时，方程有两个不相等的两个实数根；
当时，方程有两个相等的两个实数根；
当时，方程无实数根．
 

12.【答案】 

【解析】解：四边形内接于，，
，
为的直径，
，
，
故答案为：．
利用圆内接四边形的性质和的度数求得的度数，利用直径所对的圆周角是直角得到，然后利用直角三角形的两个锐角互余计算即可．
本题考查了圆内接四边形的性质及圆周角定理的知识，解题的关键是了解圆内接四边形的对角互补．
 

13.【答案】 

【解析】解：四边形是正方形，
，，
为的中点，
，
，
∽，
，
：：，
．
故答案为：．
由正方形的性质可知，，则可判断∽，利用相似三角形的性质得到，然后根据三角形面积公式得到．
本题主要考查正方形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：设，如图，作 过轴的垂线与 轴交于，

则：，，，
，，
，
≌，
，
，
，
，
 在上，
．
故答案为：．
过点作轴的垂线与轴交于，证明≌，推出，由此即可求得答案．
本题考查了反比例函数的性质，三角形的面积公式，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确作出辅助线进行解题．
 

15.【答案】 

【解析】解：抛物线的对称轴在轴右侧，则，而，故，故正确；
时，函数值小于，则，故正确；
与轴交于点和点，则对称轴，故，故错误；
当时，图像位于对称轴左边，随的增大而减大．故错误；
综上所述，正确的为．
故答案为：．
根据二次函数的对称轴位置和抛物线与轴交点位置确定，根据时判定，由抛物线图像性质判定．
本题考查了二次函数的图象和性质，要求熟悉掌握函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
 

16.【答案】 

【解析】解：过点作于点，连接，，，分别作，，，如图所示：

，
，
，
，，
，，
，
，
菱形，且，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
设，
，
，
，
，解得：，
，
，
同理可得：，，
，
由上可得：，，
，
故答案为：．
过点作于点，连接，，，分别作，，，然后根据菱形的性质及题意可得，，，则有，进而可得出规律进行求解．
本题主要考查菱形的性质、等边三角形的性质与判定、含度直角三角形的性质及三角函数，熟练掌握菱形的性质、等边三角形的性质与判定、含度直角三角形的性质及三角函数是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式


，
当时，
原式． 

【解析】先对分式进行化简，然后再代入求解即可．
本题主要考查分式的化简求值及二次根式的运算，熟练掌握分式的化简求值及二次根式的运算是解题的关键．
 

18.【答案】   

【解析】解：本次调查的总人数为名，
活动小组人数为名，
扇形统计图中，所对应的扇形的圆心角度数是，
故答案为：，；
由得活动小组人数为名，
补全图形如下：
；
估计参加“”活动小组的人数有名．
答：估计参加“”活动小组的名学生．
由的人数及其所占百分比可得总人数，根据各类型人数之和等于总人数求得的人数，用乘以人数所占比例即可得其对应圆心角度数；
据的数据补全图形即可得；
总人数乘以活动小组人数和所占比例即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

19.【答案】 

【解析】解：小华同学从甲盒中随机抽取张，抽到扑克牌花色为“红心”的概率为，
故答案为：；
把“红心”，“黑桃”，“方块”，“梅花”扑克牌分别记为、、、，
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中抽到扑克牌花色恰好是张“红心”和张“方块”的结果有种，
抽到扑克牌花色恰好是张“红心”和张“方块”的概率是．
先求出从甲盒中随机抽取张有种等可能的结果，抽到扑克牌花色为“红心”结果只有种，再利用概率公式求解；
画树状图，共有种等可能的结果，其中抽到扑克牌花色恰好是张“红心”和张“方块”的结果有种，利用概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，此法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

20.【答案】解：设款套装的单价是元，则款套装的单价是元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：款套装的单价是元，款套装的单价是元． 

【解析】设款套装的单价是元，则款套装的单价是元，利用数量总价单价，结合用元购买的款套装数量比用元购买的款套装数量多套，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出款套装的单价，再将其代入中即可求出款套装的单价．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

21.【答案】解：过作于，


由题意可知，，则，
在中，，海里，
海里，
在中，，海里，
海里，
答：货轮从到航行的距离约为海里． 

【解析】过作于，在中，利用正弦函数求得海里，再在中，利用含度角的直角三角形的性质即可求解．
本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
 

22.【答案】证明：如图，连接，
是圆的直径，则，
为的中点，则，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
解：如图，连接，
是圆的直径，则，
，，
，
又，
∽，
：：，
：：，，
，则，
的半径为． 

【解析】连接，由圆周角定理可得，由等弧对等角可得，再进行等量代换可得便可证明；
连接，由圆周角定理可得，，于是，由∽可得：：，再代入求值即可．
本题考查了圆周角定理，切线的判定，相似三角形的判定和性质；正确作出辅助线是解题关键．
 

23.【答案】解：设与之间的函数关系式为，
由题意得：，
解得：，
与之间的函数关系式为；
设每天获得的利润为元，
由可得：，
，且，
当时，有最大值，最大值为．
答：这种学习用品的销售单价定为元时，每天可获得最大利润，最大利润是元． 

【解析】设与之间的函数关系式为，然后代值求解即可；
设每天获得的利润为元，由可得进而根据二次函数的性质可求解．
本题主要考查一次函数与二次函数的应用，熟练掌握一次函数与二次函数的图象与性质是解题的关键．
 

24.【答案】证明：如图，连接，

，，，分别为，，的中点，
，，
，
；
解：，
理由如下：
连接，如图，

，，，分别为，，的中点，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
将绕点顺时针旋转一定角度，得到，
，
，
，
∽，
，
；
解：如图，连接，过点作于，

中，，
，
，
，
，
∽，
，
，
中，，
中，，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
． 

【解析】连接，可得，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，根据中位线定理可得，即可得证；
证明∽，根据的结论即可得；
连接，过点作于，证明∽，可得，勾股定理求得，，根据，，可得，进而求得，根据求得，根据的结论，即可求解．
本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，中位线的性质定理，相似三角形的性质与判定，锐角三角函数，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
 

25.【答案】解：把点和代入得：，
解得：，
抛物线的解析式为；
过点作轴，交于点，如图所示：

设，直线的解析式为，
由可得：，
，解得：，
直线的解析式为，
，
，
轴，
∽，
，
，
当时，的值最大，
；
由题意可得如图所示：

分别过点、作垂线，交过点作轴的平行线于点、，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
设点，
由题意可知：抛物线的对称轴为直线，，
，，
，
当时，解得：，
当时，解得：
综上：点的横坐标为或或或． 

【解析】把点和代入解析式求解即可；
过点作轴，交于点，由设，直线的解析式为，然后可求出直线的解析式，则有，进而可得，最后根据∽可进行求解；
由题意可作出图象，设，然后根据题意及型相似可进行求解．
本题是二次函数的综合题，主要考查待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，三角函数及相似三角形的性质与判定，熟练掌握二次函数的性质、三角函数及相似三角形的性质与判定是解题的关键．