2021-2022学年上海市宝山区行知实验学校八年级（上）期中数学试卷

这是一份2021-2022学年上海市宝山区行知实验学校八年级（上）期中数学试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，简答题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年上海市宝山区行知实验学校八年级（上）期中数学试卷
一、选择题：（本大题共6题，每题3分，满分18分）
1．（3分）下列根式中，不能与合并的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＜1 B．x≤1 C．x＞1 D．x≥1
3．（3分）下列方程中，是一元二次方程的是（　　）
A．x2﹣x＝x2+3 B．x2+＝
C．x2＝﹣1 D．（﹣1）（+2）＝0
4．（3分）下列关于x的二次三项式在实数范围内不能够因式分解的是（　　）
A．x2﹣3x+2 B．x2﹣x+1 C．2x2﹣xy﹣y2 D．x2+3xy+y2
5．（3分）下列问题中，两个变量成正比例的是（　　）
A．圆的面积S与它的半径r
B．三角形面积一定时，某一边a和该边上的高h
C．正方形的周长C与它的边长a
D．周长不变的长方形的长a与宽b
6．（3分）如图，过y轴上任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数的图象交于A点和B点，若C为x轴上任意一点，连接AC，BC，则△ABC的面积为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题：（本大题共12题，每题2分，满分24分）
7．（2分）使等式成立的条件时 　 　．
8．（2分）最简二次根式3与是同类二次根式，则x的值是 　 　．
9．（2分）已知f（x）＝，那么f（）＝　 　．
10．（2分）方程（x﹣3）（x+4）＝﹣10的解为 　 　．
11．（2分）如果点A（﹣1，3）、B（5，n）在同一个正比例函数的图象上，那么n＝　 　．
12．（2分）在实数范围内分解因式：2x2﹣2x﹣5＝　 　．
13．（2分）若化简|1﹣x|﹣的结果为2x﹣5，则x的取值范围是　 　．
14．（2分）在工地一边的靠墙处，用120米长的铁栅栏围一个占地面积为2000平方米的长方形临时仓库，铁栅栏只围三边，设垂直于墙的一边长为x米．根据题意，建立关于x的方程是 　 　．
15．（2分）已知三点（a，m）、（b，n）和（c，t）在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，若a＜0＜b＜c，则m、n和t的大小关系是 　 　．（用“＜”连接）
16．（2分）如果关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2kx+k+3＝0有实数根，则k的取值范围是　 　．
17．（2分）已知n＜5，且关于x的方程x2﹣2x﹣2n＝0两根都是整数，则n＝　 　．
18．（2分）已知p、q是实数，有且只有三个不同的x值满足方程|x2+px+q|＝2，则q的最小值 　 　．
三、简答题：（本大题共3题，其中19题10分，20-21每题5分，满分20分）
19．（10分）计算：
（1）；
（2）．
20．（5分）解方程（2x+1）2＝x（2x+1）．
21．（5分）在实数范围内分解因式：2x2﹣3xy﹣y2．
四、解答题：（本大题共5题，其中22-24每题6分，第25题10分，第26题10分，满分38分）
22．（6分）已知：a＝，化简并求﹣的值．
23．（6分）某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价为a元，则可卖出（350﹣10a）件．但物价局限定每次商品加价不能超过进价的20%，商品计划要赚400元，需要卖出多少件商品？每件商品的售价应该是多少元？
24．（6分）已知正比例函数y＝mx与反比例函数y＝交于点（3，2）和点（3a﹣1，2﹣b）．
（1）求正比例函数和反比例函数的解析式．
（2）求a、b的值．
25．（10分）阅读材料：
两点间的距离公式：如果直角坐标系内有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），那么A、B两点的距离AB＝．则AB2＝（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2．
例如：若点A（4，1），B（2，3），则AB＝，
根据上面材料完成下列各题：
（1）若点A（﹣2，3），B（1，﹣3），则A、B两点间的距离是 　 　．
（2）若点A（﹣2，3），点B在坐标轴上，且A、B两点间的距离是5，求B点坐标．
（3）若点A（x，3），B（3，x+1），且A、B两点间的距离是5，求x的值．
26．（10分）如图，点B在函数y＝（x＞0）的图象上，过点B分别作x轴和y轴的平行线交函数y＝（x＞0）的图象于点A，C．
（1）若点B的坐标为（1，2），求A，C两点的坐标；
（2）若点B是y＝（x＞0）的图象上任意一点，求△ABC的面积．
（3）OC平分OA与x轴正半轴的夹角，将△ABC沿AC翻折后得到△AB'C，点B′落在OA上，求四边形OABC的面积．


2021-2022学年上海市宝山区实验学校八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共6题，每题3分，满分18分）
1．（3分）下列根式中，不能与合并的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】将各式化为最简二次根式即可得到结果．
【解答】解：A、，本选项不合题意；
B、，本选项不合题意；
C、，本选项合题意；
D、，本选项不合题意；
故选：C．
2．（3分）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＜1 B．x≤1 C．x＞1 D．x≥1
【分析】被开方数是非负数，且分母不为零，由此得到：x﹣1＞0，据此求得x的取值范围．
【解答】解：依题意得：x﹣1＞0，
解得x＞1．
故选：C．
3．（3分）下列方程中，是一元二次方程的是（　　）
A．x2﹣x＝x2+3 B．x2+＝
C．x2＝﹣1 D．（﹣1）（+2）＝0
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．x2﹣x＝x2+3，整理，得x+3＝0，是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B．是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C．x2＝﹣1是一元二次方程，故本选项符合题意；
D．含未知数的项的最高次数不是2，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：C．
4．（3分）下列关于x的二次三项式在实数范围内不能够因式分解的是（　　）
A．x2﹣3x+2 B．x2﹣x+1 C．2x2﹣xy﹣y2 D．x2+3xy+y2
【分析】将各选项整式分别分解即可判断．
【解答】解：A、x2﹣3x+2＝（x﹣1）（x﹣2），不符合题意；
B、x2﹣x+1在实数范围内不能因式分解，符合题意；
C、2x2﹣xy﹣y2＝（x﹣y）（2x+y），不符合题意；
D、x2+3xy+y2＝（x+y）（x+y），不符合题意；
故选：B．
5．（3分）下列问题中，两个变量成正比例的是（　　）
A．圆的面积S与它的半径r
B．三角形面积一定时，某一边a和该边上的高h
C．正方形的周长C与它的边长a
D．周长不变的长方形的长a与宽b
【分析】根据正比例函数的定义计算．
【解答】解：A、圆的面积＝π×半径2，不是正比例函数，故此选项不符合题意；
B、三角形面积S一定时，它的底边a和底边上的高h的关系S＝ah，不是正比例函数，故此选项不符合题意；
C、正方形的周长C＝边长×4＝4a，是正比例函数，故此选项符合题意；
D、设周长为C，则依题意得C＝2（a+b），则a与b不是正比例关系，故此选项不符合题意．
故选：C．
6．（3分）如图，过y轴上任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数的图象交于A点和B点，若C为x轴上任意一点，连接AC，BC，则△ABC的面积为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】先设P（0，b），由直线AB∥x轴，则A，B两点的纵坐标都为b，而A，B分别在反比例函数的图象上，可得到A点坐标为（﹣，b），B点坐标为（，b），从而求出AB的长，然后根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：设P（0，b），
∵直线AB∥x轴，
∴A，B两点的纵坐标都为b，
而点A在反比例函数y＝﹣的图象上，
∴当y＝b，x＝﹣，即A点坐标为（﹣，b），
又∵点B在反比例函数y＝的图象上，
∴当y＝b，x＝，即B点坐标为（，b），
∴AB＝﹣（﹣）＝，
∴S△ABC＝•AB•OP＝•b＝3．
故选：A．
二、填空题：（本大题共12题，每题2分，满分24分）
7．（2分）使等式成立的条件时 　﹣3≤x＜2　．
【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件解决此题．
【解答】解：由题意得：x+3≥0且2﹣x＞0．
∴x≥﹣3且x＜2．
∴﹣3≤x＜2．
故答案为：﹣3≤x＜2．
8．（2分）最简二次根式3与是同类二次根式，则x的值是 　4　．
【分析】根据同类二次根式：二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同列方程，解出即可．
【解答】解：∵最简二次根式3与是同类二次根式，
∴2x﹣5＝7﹣x，
解得x＝4；
故答案为：4．
9．（2分）已知f（x）＝，那么f（）＝　　．
【分析】将x的值代入函数解析式进行求值．
【解答】解：当x＝时，f（）＝．
故答案为：．
10．（2分）方程（x﹣3）（x+4）＝﹣10的解为 　x1＝﹣2，x2＝1　．
【分析】方程整理后，利用因式分解法求出解即可．
【解答】解：方程整理得：x2+x﹣2＝0，
（x+2）（x﹣1）＝0，
∴x+2＝0或x﹣1＝0，
∴x1＝﹣2，x2＝1，
故答案为：x1＝﹣2，x2＝1，
11．（2分）如果点A（﹣1，3）、B（5，n）在同一个正比例函数的图象上，那么n＝　﹣15　．
【分析】根据点A的坐标，利用待定系数法可求出正比例函数的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出n＝﹣15．
【解答】解：设正比例函数的解析式为y＝kx（k≠0），
∵点A（﹣1，3）在正比例函数图象上，
∴3＝﹣k，
∴k＝﹣3，
∴正比例函数的解析式为y＝﹣3x．
又∵点B（5，n）在正比例函数y＝﹣3x的图象上，
∴n＝﹣3×5＝﹣15．
故答案为：﹣15．
12．（2分）在实数范围内分解因式：2x2﹣2x﹣5＝　（x﹣）（x+）　．
【分析】将原式变形为2（x﹣）2﹣5﹣，再利用平方差公式分解即可得．
【解答】解：原式＝2（x﹣）2﹣5﹣
＝2（x﹣）2﹣
＝（x﹣）（x+），
故答案为：（x﹣）（x+），
13．（2分）若化简|1﹣x|﹣的结果为2x﹣5，则x的取值范围是　1≤x≤4　．
【分析】根据x的取值化简绝对值和二次根式的性质分析．
【解答】解：∵|1﹣x|﹣
＝|1﹣x|﹣
＝2x﹣5，
则|1﹣x|﹣＝x﹣1+x﹣4，
即1﹣x≤0，x﹣4≤0，
解得1≤x≤4．
14．（2分）在工地一边的靠墙处，用120米长的铁栅栏围一个占地面积为2000平方米的长方形临时仓库，铁栅栏只围三边，设垂直于墙的一边长为x米．根据题意，建立关于x的方程是 　x（120﹣2x）＝2000．　．
【分析】设垂直于墙的一边长为x米，根据题意用x表示平行于墙的一边的长，再根据面积公式列出方程即可．
【解答】解：设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边为（120﹣2x）米．
根据题意得x（120﹣2x）＝2000．
故答案为：x（120﹣2x）＝2000．
15．（2分）已知三点（a，m）、（b，n）和（c，t）在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，若a＜0＜b＜c，则m、n和t的大小关系是 　m＜t＜n　．（用“＜”连接）
【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据a＜0＜b＜c即可得出结论．
【解答】解：∵k＞0，
∴反比例函数的图象位于一、三象限，
∵a＜0＜b＜c，
∴点（a，m）在第三象限，点（b，n）和点（c，t）在第一象限，
∴m＜t＜n，
故答案为：m＜t＜n．
16．（2分）如果关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2kx+k+3＝0有实数根，则k的取值范围是　k≤且k≠1　．
【分析】根据一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的定义以及△的意义得到k﹣1≠0且△≥0，即4k2﹣4（k﹣1）（k+3）≥0，然后解不等式组即可得到k的取值范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2kx+k+3＝0有实数根，
∴k﹣1≠0，解得k≠1且△≥0，即4k2﹣4（k﹣1）（k+3）≥0，解得k≤，
∴k的取值范围是为k≤且k≠1．
故答案为k≤且k≠1．
17．（2分）已知n＜5，且关于x的方程x2﹣2x﹣2n＝0两根都是整数，则n＝　0或1.5或4　．
【分析】由关于x的方程x2﹣2x﹣2n＝0有两个不相等的实数根，可得Δ＞0，又由n＜5，且方程的两个实数根都是整数，可得﹣2n是整数，4+8n是完全平方数，继而求得答案．
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x﹣2n＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣2n）＝4+8n＞0，
解得：n＞﹣，
∵方程的两个实数根都是整数，
∴﹣2n是整数，4+8n是完全平方数，
∵n＜5，
∴n＝0或n＝1.5或n＝4．
故答案为：0或1.5或4．
18．（2分）已知p、q是实数，有且只有三个不同的x值满足方程|x2+px+q|＝2，则q的最小值 　﹣2　．
【分析】由方程|x2+px+q|＝2得到x2+px+q﹣2＝0，x2+px+q+2＝0，根据判别式得到Δ1＝p2﹣4q+8，Δ2＝p2﹣4q﹣8，依此可Δ2＝0，Δ1＝16，可得p2﹣4q﹣8＝0，依此可求q的最小值．
【解答】解：∵|x2+px+q|＝2，
∴x2+px+q﹣2＝0①，
x2+px+q+2＝0②，
∴Δ1＝p2﹣4q+8，
Δ2＝p2﹣4q﹣8，
∴Δ1＞Δ2，
∵有且只有三个不同的x值满足方程|x2+px+q|＝2，
∴Δ2＝0，Δ1＝16，
∴p2﹣4q﹣8＝0，
∴q＝p2﹣2，
当p＝0时，q的最小值﹣2．
故答案为：﹣2．
三、简答题：（本大题共3题，其中19题10分，20-21每题5分，满分20分）
19．（10分）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先把除法运算化为乘法运算，再分母有理化，再把各二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘法运算；
（2）先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再利用因式分解的方法把分子分母变形，然后约分即可．
【解答】解：（1）原式＝（3﹣2+）×﹣
＝（3﹣2++）×﹣2（﹣）
＝×﹣2×+2×
＝2﹣6+2
＝2﹣4；
（2）原式＝•
＝•
＝•
＝﹣．
20．（5分）解方程（2x+1）2＝x（2x+1）．
【分析】利用因式分解法求解即可．
【解答】解：（2x+1）2＝x（2x+1），
（2x+1）2﹣x（2x+1）＝0，
（2x+1）（2x+1﹣x）＝0，
∴2x+1＝0或x+1＝0，
∴x1＝﹣，x2＝﹣1．
21．（5分）在实数范围内分解因式：2x2﹣3xy﹣y2．
【分析】将原式配方成2（x﹣y）2﹣y2，再利用平方差公式分解即可得．
【解答】解：原式＝2（x2﹣xy+y2﹣y2）﹣y2
＝2（x﹣y）2﹣y2
＝（x+y）（x﹣y）．
四、解答题：（本大题共5题，其中22-24每题6分，第25题10分，第26题10分，满分38分）
22．（6分）已知：a＝，化简并求﹣的值．
【分析】先化简a，再化简所求的代数式，代入a的值进行计算即可．
【解答】解：a＝＝﹣1，
原式＝﹣
＝a﹣1+，
原式＝﹣1﹣1++1
＝2﹣1．
23．（6分）某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价为a元，则可卖出（350﹣10a）件．但物价局限定每次商品加价不能超过进价的20%，商品计划要赚400元，需要卖出多少件商品？每件商品的售价应该是多少元？
【分析】本题的等量关系是商品的单件利润＝售价﹣进价．然后根据商品的单价利润×销售的件数＝总利润，设商品的售价为a，列出方程求出未知数的值后，根据“物价局限定每次商品加价不能超过进价的20%”将不合题意的舍去，进而求出卖的商品的件数．
【解答】解：由题意得每件商品售价a元，才能使商店赚400元，
根据题意得（a﹣21）（350﹣10a）＝400，整理得：a2﹣56a+775＝0，
解得a1＝25，a2＝31．
∵21×（1+20%）＝25.2，
而a1≤25.2，a2＞25.2，
∴舍去a2＝31，
则取a＝25．
当a＝25时，350﹣10a＝350﹣10×25＝100．
故该商店要卖出100件商品，每件售25元．
24．（6分）已知正比例函数y＝mx与反比例函数y＝交于点（3，2）和点（3a﹣1，2﹣b）．
（1）求正比例函数和反比例函数的解析式．
（2）求a、b的值．
【分析】（1）根据待定系数法即可求出答案；
（2）根据正、反比例函数图象的对称性可得出点A、B关于原点对称，即可得出3a﹣1＝﹣3，2﹣b＝﹣2，解得即可．
【解答】解：（1）把（3，2）代入y＝mx得：2＝3m，
解得：m＝，
即正比例函数的表达式是y＝x，
把点（3，2）代入y＝得：n＝6，
即反比例函数的表达式是y＝；
（2）∵正比例函数图象关于原点对称，反比例函数图象关于原点对称，
∴两函数的交点关于原点对称，
∴3a﹣1＝﹣3，2﹣b＝﹣2，
解得a＝﹣，b＝4．
25．（10分）阅读材料：
两点间的距离公式：如果直角坐标系内有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），那么A、B两点的距离AB＝．则AB2＝（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2．
例如：若点A（4，1），B（2，3），则AB＝，
根据上面材料完成下列各题：
（1）若点A（﹣2，3），B（1，﹣3），则A、B两点间的距离是 　3　．
（2）若点A（﹣2，3），点B在坐标轴上，且A、B两点间的距离是5，求B点坐标．
（3）若点A（x，3），B（3，x+1），且A、B两点间的距离是5，求x的值．
【分析】（1）直接利用两点间的距离公式计算AB的长；
（2）当B点在x轴上，设B（t，0），利用两点间的距离公式得到（﹣2﹣t）2+（0﹣3）2＝52，解方程求出t得到此时B点坐标；当B点在y轴上，设B（0，m），利用两点间的距离公式得到（0+2）2+（m﹣3）2＝52，解方程求出m得到此时B点坐标；
（3）利用两点间的距离公式列方程（x﹣3）2+（3﹣x﹣1）2＝52，然后解方程即可．
【解答】解：（1）∵点A（﹣2，3），B（1，﹣3），
∴AB＝＝3；
故答案为3；
（2）当B点在x轴上，设B（t，0），
而点A（﹣2，3），A、B两点间的距离是5，
∴（﹣2﹣t）2+（0﹣3）2＝52，解得t＝2或﹣6，
此时B点坐标为（2，0）或（﹣6，0）；
当B点在y轴上，设B（0，m），
而点A（﹣2，3），A、B两点间的距离是5，
∴（0+2）2+（m﹣3）2＝52，解得m＝3+或3﹣，
此时B点坐标为（0，3+）或（0，3﹣）；
综上所述，B点坐标为（2，0）或（﹣6，0）或（0，3+）或（0，3﹣）；
（3）∵点A（x，3），B（3，x+1），且A、B两点间的距离是5，
∴（x﹣3）2+（3﹣x﹣1）2＝52，
整理得x2﹣5x﹣6＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝6，
即x的值为﹣1或6．
26．（10分）如图，点B在函数y＝（x＞0）的图象上，过点B分别作x轴和y轴的平行线交函数y＝（x＞0）的图象于点A，C．
（1）若点B的坐标为（1，2），求A，C两点的坐标；
（2）若点B是y＝（x＞0）的图象上任意一点，求△ABC的面积．
（3）OC平分OA与x轴正半轴的夹角，将△ABC沿AC翻折后得到△AB'C，点B′落在OA上，求四边形OABC的面积．

【分析】（1）由BC∥y轴，AB∥x轴，可得A、C的纵坐标和横坐标，代入y＝即可得出点A、C的坐标；
（2）设B（m，），由（1）同理得C（m，），A（，），即可得出△ABC的面积；
（3）延长BC交x 轴于D点，利用角平分线的性质可得CD＝CB'，再证Rt△OCD≌Rt△OCB'（HL），得S△OCD＝S△OB'C，从而解决问题．
【解答】解：（1）∵BC∥y轴，B（1，2），
∴当x＝1时，y＝1，
即C（1，1），
∵AB∥x轴，
∴当y＝2时，x＝，
即A（，2）；
（2）当点B是y＝（x＞0）的图象上任意一点时，
设B（m，），
由（1）同理得C（m，），A（，），
∴S△ABC＝AB×BC＝×（m﹣）×（﹣）＝；
（3）延长BC交x轴于D点，

∵AB∥x轴，∠ABC＝90°，
∴∠CDO＝180°﹣∠ABC＝90°，
∴CD⊥x轴，
∵将△ABC沿AC翻折后得到△AB'C，点B′落在OA上，
∴∠CB'O＝∠ABC＝90°，
∴CB'⊥OA，
∵OC平分∠AOD，CD⊥x轴，CB'⊥OA，
∴CD＝CB'，
在Rt△OCD和Rt△OCB'中，
，
∴Rt△OCD≌Rt△OCB'（HL），
∴S△OCD＝S△OB'C，
由（2）知，S△OCD＝，S△ABC＝，
∴四边形OABC的面积为×2+＝1．