2021-2022学年上海市青浦区复旦五浦汇实验学校八年级（下）期中数学试卷

这是一份2021-2022学年上海市青浦区复旦五浦汇实验学校八年级（下）期中数学试卷，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年上海市青浦区复旦五浦汇实验学校八年级（下）期中数学试卷
一、选择题：（本大题共10题，每题2分，满分20分）
1．（2分）在实数范围内，方程x4﹣16＝0的实数根的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2分）下列方程中，有实数根的是（　　）
A． B． C．2x2+x+1＝0 D．
3．（2分）一多边形的每一个内角都等于它相邻外角的4倍，则该多边形的边数是（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
4．（2分）已知下列关于x、y的方程，说法正确的是（　　）
A．2x5+b＝0是二项方程
B．是分式方程
C．2x+5＝x是无理方程
D．是二元二次方程组
5．（2分）等腰梯形的两底之差等于腰长，则腰与下底的夹角为（　　）
A．120° B．60° C．45° D．135°
6．（2分）今日，上海疫情防控形势严峻，某工厂计划生产1000套防护服，由于工人加班加点，实际每天比计划多制作20%，结果比原计划提前2天完成任务．设原计划每天制作x套防护服，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
7．（2分）如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC+BD＝14，则菱形ABCD的面积为（　　）

A．12 B．20 C．24 D．48
8．（2分）下列命题中，错误的是（　　）
A．有两个角相等的梯形是等腰梯形
B．顺次联结矩形各边中点所成四边形是菱形
C．对角线相等的平行四边形是矩形
D．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
9．（2分）已知在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC与BD相交于点O，那么下列条件中能判定这个四边形是矩形的是（　　）
A．AD＝BC，AC＝BD B．AC＝BD，∠BAD＝∠BCD
C．AO＝CO，AB＝BC D．AO＝OB，AC＝BD
10．（2分）如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF给出下列五个结论：①AP＝EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE＝∠BAP；⑤PD＝2EC．其中有正确结论的个数是（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题：（本大题共10题，每题3分，满分30分）
11．（3分）正十边形的对角线条数为 　 　．
12．（3分）方程（x+3）0的解是　 　．
13．（3分）用换元法解方程时，如果设，那么原方程可以化为关于y的整式方程 　 　．
14．（3分）如果方程2k无实数解，那么k的取值范围是　 　．
15．（3分）已知关于x的分式方程的解不大于2，则m的取值范围是 　 　．
16．（3分）四边形ABCD是正方形，在直线AB上取一点E，使得AE＝AC，则∠CEB的度数是 　 　度．
17．（3分）一个多边形截去一个角后，形成的新多边形的内角和是2880°，则原多边形的边数是　 　．
18．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，M为斜边AB上一动点，过点M分别作MD⊥AC于点D，作ME⊥CB于点E，则线段DE的最小值为 　 　．

19．（3分）如图，在▱ABCD，AB＝2cm，BC＝16cm，∠A＝45°、点E从点D出发沿DA边运动到点A，点F从点B出发沿BC边向点C运动，点E运动速度为2cm/s，点F运动速度为1cm/s，它们同时出发，同时这运动，经过　 　s时，EF＝AB．

20．（3分）如图，在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝8，点E为射线DC上一个动点，把△ADE沿直线AE折叠，当点D的对应点F刚好落在线段AB的垂直平分线上时，则DE的长为　 　．

三、解答题：（本大题共6题，为6+6+6+10+10+12，满分50分）
21．（6分）解方程：．
22．（6分）解方程组：
23．（6分）甲乙两人分别从相距27公里的A、B两地同时出发，相向而行，3小时相遇，相遇后两人用原来的速度继续前进，甲到达B地比已到达A地快1小时21分钟，则甲乙两人的速度分别是多少？
24．（10分）已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，BE＝DG，BF＝DH．
（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；
（2）当AB＝BC，且BE＝BF时，求证：四边形EFGH是矩形．

25．（10分）已知：如图，平面直角坐标系中有一个等腰梯形ABCD，且AD∥BC，AB＝CD，点A在y轴正半轴上，点B、C在x轴上（点B在点C的左侧），点D在第一象限，AD＝3，BC＝11，梯形的高为2，双曲线y经过点D，直线y＝kx+b经过A、B两点．
（1）求点A、B、C、D的坐标；
（2）求双曲线y和直线y＝kx+b的解析式；
（3）点M在双曲线上，点N在y轴上，如果四边形ABMN是平行四边形，求点N的坐标．

26．（12分）如图1，在菱形ABCD中，AB＝4，AC＝4，点M是AC上一点，点N在射线CB上，且MB＝MN，联结DN，设AM＝x．
（1）当点M、N（N在边BC上）运动时，∠MND的大小是否会变化？若不变，请求出度数，若变化，请说明理由．
（2）若∠BMN＝30°，求AM的值．
（3）当N在线段BC上时，设DN＝y，求y关于x的函数关系式及其定义域．


2021-2022学年上海市青浦区复旦五浦汇实验学校八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共10题，每题2分，满分20分）
1．（2分）在实数范围内，方程x4﹣16＝0的实数根的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：x4﹣16＝0，
x4＝16，
x±2，
即方程x4﹣16＝0的实数根的个数是2，
故选：B．
2．（2分）下列方程中，有实数根的是（　　）
A． B． C．2x2+x+1＝0 D．
【解答】解：A、∵，
∴，
∴方程没有实数根，
故A错误；
B、去分母得，x＝2，
检验当x＝2时，x﹣2＝0，
∴原方程无解，
∴方程没有实数根，
故B错误；
C、2x2+x+1＝0，a＝2，b＝1，c＝1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝12﹣4×2×1＝﹣7＜0，
∴方程2x2+x+1＝0没有实数根，
故C错误；
D、原方程两边同时平方得﹣2x+3＝x2，
整理得：x2+2x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣3，x2＝1，
检验：x＝﹣3是原方程的解，x＝1不是原方程的解，
∴方程有实数根，
故D正确．
故选：D．
3．（2分）一多边形的每一个内角都等于它相邻外角的4倍，则该多边形的边数是（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
【解答】解：设外角为x，则相邻的内角为4x，
由题意得，4x+x＝180°，
∴x＝36°，
多边形的外角和为360°，
360°÷36°＝10，
所以这个多边形的边数为10．
故选：C．
4．（2分）已知下列关于x、y的方程，说法正确的是（　　）
A．2x5+b＝0是二项方程
B．是分式方程
C．2x+5＝x是无理方程
D．是二元二次方程组
【解答】解：A．方程2x5+b＝0的左边是二次多项式，不能说是二项方程，故本选项不符合题意；
B．方程的分母中不含未知数，不是分式方程，故本选项不符合题意；
C．方程中根号内不含未知数，不是无理方程，故本选项不符合题意；
D．是二元二次方程组，故本选项符合题意；
故选：D．
5．（2分）等腰梯形的两底之差等于腰长，则腰与下底的夹角为（　　）
A．120° B．60° C．45° D．135°
【解答】解：如图，过点D作DE∥BC，交AB于点E．
∴DE＝CB＝AD，
∵AD＝AE，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠A＝60°，
∴腰与下底的夹角为60°．
故选：B．

6．（2分）今日，上海疫情防控形势严峻，某工厂计划生产1000套防护服，由于工人加班加点，实际每天比计划多制作20%，结果比原计划提前2天完成任务．设原计划每天制作x套防护服，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：设原计划每天制作x套防护服，
可列方程为：2，
故选：B．
7．（2分）如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC+BD＝14，则菱形ABCD的面积为（　　）

A．12 B．20 C．24 D．48
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OAAC，OBBD，AC⊥BD，
∴∠AOB＝90°，
∴OA2+OB2＝AB2＝25，
∵AC+BD＝14，
∴OA+OB＝7，
∴（OA+OB）2＝72＝49，
即OA2+2AO•OB+OB2＝49，
∴2OA•OB＝49﹣25＝24，
∴S菱形ABCDAC•BD＝2OA•OB＝24．
故选：C．
8．（2分）下列命题中，错误的是（　　）
A．有两个角相等的梯形是等腰梯形
B．顺次联结矩形各边中点所成四边形是菱形
C．对角线相等的平行四边形是矩形
D．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
【解答】解：A、有两个角相等的梯形可能是等腰梯形，也可能是直角梯形，故错误，符合题意；
B、顺次联结矩形各边中点所成四边形是菱形，正确，不符合题意；
C、对角线相等的平行四边形是矩形，正确，不符合题意；
D、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，正确，不符合题意．
故选：A．
9．（2分）已知在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC与BD相交于点O，那么下列条件中能判定这个四边形是矩形的是（　　）
A．AD＝BC，AC＝BD B．AC＝BD，∠BAD＝∠BCD
C．AO＝CO，AB＝BC D．AO＝OB，AC＝BD
【解答】解：A、AB∥DC，AD＝BC，无法得出四边形ABCD是平行四边形，故无法判断四边形ABCD是矩形．故错误；
B、∵AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC＝∠ABC+∠BCD＝180°，
∵∠BAD＝∠BCD，
∴∠ABC＝∠ADC，
∴得出四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形．故正确；
C、∵AO＝CO，AB＝BC，
∴BD⊥AC，∠ABD＝∠CBD，
∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDB，
∴∠CBD＝∠CDB，
∴BC＝CD，
∴AB＝CD，
∴四边形ABCD是菱形，无法判断四边形ABCD是矩形．故错误；
D、AO＝OB，AC＝BD可无法判断四边形ABCD是矩形，故错误；
故选：B．

10．（2分）如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF给出下列五个结论：①AP＝EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE＝∠BAP；⑤PD＝2EC．其中有正确结论的个数是（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【解答】解：延长FP交AB于点N，延长AP交EF于点M．
∵四边形ABCD是正方形．
∴∠ABP＝∠CBD
又∵NP⊥AB，PE⊥BC，
∴四边形BNPE是正方形，∠ANP＝∠EPF，
∴NP＝EP，
∴AN＝PF
在△ANP与△FPE中，
∵，
∴△ANP≌△FPE（SAS），
∴AP＝EF，∠PFE＝∠BAP（故①④正确）；
△APN与△FPM中，∠APN＝∠FPM，∠NAP＝∠PFM
∴∠PMF＝∠ANP＝90°
∴AP⊥EF，（故②正确）；
P是BD上任意一点，因而△APD是等腰三角形和PD＝2EC不一定成立，（故③⑤错误）；
故正确的是：①②④．
故选：B．

二、填空题：（本大题共10题，每题3分，满分30分）
11．（3分）正十边形的对角线条数为 　35条　．
【解答】解：根据题意，十边形有10个顶点，先选一个，再从和它不相邻的7个中再选一个，即可构成一条对角线，考虑重复问题，则十边形的对角线的条数为35条．
故答案为：35条．
12．（3分）方程（x+3）0的解是　x＝2　．
【解答】解：∵（x+3）0，
∴x+3＝0，x﹣2＝0且x﹣2≥0，
解得x＝﹣3，x＝2且x≥2，
∴x＝2．
故答案为：x＝2．
13．（3分）用换元法解方程时，如果设，那么原方程可以化为关于y的整式方程 　y2﹣6y+5＝0　．
【解答】解析∵，
∴，
设，则，
∴原方程可化为，
∴y2﹣6y+5＝0．
故答案为：y2﹣6y+5＝0．
14．（3分）如果方程2k无实数解，那么k的取值范围是　k＜2　．
【解答】解：2k，
k﹣2，
∵的结果是非负数，
∴当k﹣2＜0时，方程2k无实数解，
即k＜2，
故答案为：k＜2．
15．（3分）已知关于x的分式方程的解不大于2，则m的取值范围是 　m≤0且m≠﹣3　．
【解答】解：，
2x﹣1＝m+3，
2x＝m+4，
x，
∵方程的解不大于2，
∴2，
∴m≤0，
∵2x﹣1≠0，
∴x，
∴，
∴m≠﹣3，
∴m的取值范围为：m≤0且m≠﹣3，
故答案为：m≤0且m≠﹣3．
16．（3分）四边形ABCD是正方形，在直线AB上取一点E，使得AE＝AC，则∠CEB的度数是 　22.5或67.5　度．
【解答】解：如图，分两种情况画图：

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CAB＝45°，
①∵AE＝AC，
∴∠CEB＝∠ACE45°＝22.5°；
②∵AE′＝AC，
∴∠CE′B＝∠ACE（180°﹣45°）＝67.5°．
则∠CEB的度数是22.5或67.5度．
故答案为：22.5或67.5．
17．（3分）一个多边形截去一个角后，形成的新多边形的内角和是2880°，则原多边形的边数是　17，18或19　．
【解答】解：多边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°（n≥3且n是整数），一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，
根据（n﹣2）•180°＝2880°解得：n＝18，
则多边形的边数是17，18或19．
故答案为17，18或19．
18．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，M为斜边AB上一动点，过点M分别作MD⊥AC于点D，作ME⊥CB于点E，则线段DE的最小值为 　　．

【解答】解：连接CM，如图所示：
∵MD⊥AC，ME⊥CB，
∴∠MDC＝∠MEC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴四边形CDME是矩形，
∴DE＝CM，
∵∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，
∴AB10，
当CM⊥AB时，CM最短，此时△ABC的面积AB•CMBC•AC，
∴CM的最小值，
∴线段DE的最小值为，
故答案为：．

19．（3分）如图，在▱ABCD，AB＝2cm，BC＝16cm，∠A＝45°、点E从点D出发沿DA边运动到点A，点F从点B出发沿BC边向点C运动，点E运动速度为2cm/s，点F运动速度为1cm/s，它们同时出发，同时这运动，经过　4或　s时，EF＝AB．

【解答】解：如图，过点B作BG⊥AD于G，

∵AB＝2cm，∠A＝45°，BG⊥AD，
∴BG＝AG＝2（cm），
设经过ts时，EF＝AB，
当四边形ABFE是平行四边形时，
∴BF＝AE，
∴t＝16﹣2t，
∴t，
当四边形ABFE是等腰梯形，
∴t+2×2＝16﹣2t，
∴t＝4，
综上所述：经过4或s时，EF＝AB，
故答案为4或．
20．（3分）如图，在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝8，点E为射线DC上一个动点，把△ADE沿直线AE折叠，当点D的对应点F刚好落在线段AB的垂直平分线上时，则DE的长为　或10　．

【解答】解：分两种情况：
①如图1，当点F在矩形内部时，
∵点F在AB的垂直平分线MN上，
∴AN＝4；
∵AF＝AD＝5，
由勾股定理得FN＝3，
∴FM＝2，
设DE为y，则EM＝4﹣y，FE＝y，
在△EMF中，由勾股定理得：y2＝（4﹣y）2+22，
∴y，
即DE的长为．
②如图2，当点F在矩形外部时，
同①的方法可得FN＝3，
∴FM＝8，
设DE为z，则EM＝z﹣4，FE＝z，
在△EMF中，由勾股定理得：z2＝（z﹣4）2+82，
∴z＝10，
即DE的长为10．
综上所述，点F刚好落在线段AB的垂直平分线上时，DE的长为或10
故答案为：或10．


三、解答题：（本大题共6题，为6+6+6+10+10+12，满分50分）
21．（6分）解方程：．
【解答】解：两边平方，得x﹣1＝（x﹣7）2．（3分）
整理，得x2﹣15x+50＝0．（3分）
解得x1＝5，x2＝10．（2分）
经检验：x1＝5是增根，x2＝10是原方程的根．（1分）
∴原方程的根是x＝10．
22．（6分）解方程组：
【解答】解：
由①，得（x﹣3y）2＝1，
∴x﹣3y＝1③或x﹣3y＝﹣1④；
由②，得（x+2y）（x﹣2y）＝0，
∴x+2y＝0⑤或x﹣2y＝0⑥．
由③⑤，③⑥，④⑤，④⑥组成方程组，
得，，，．
∴，，，．
所以原方程组的解为：，，，．
23．（6分）甲乙两人分别从相距27公里的A、B两地同时出发，相向而行，3小时相遇，相遇后两人用原来的速度继续前进，甲到达B地比已到达A地快1小时21分钟，则甲乙两人的速度分别是多少？
【解答】解：设甲的速度是x公里/小时，则乙的速度为（x）公里/小时，
根据题意得：，
去分母化为整式方程得：x2+31x﹣180＝0，
解得x＝5或x＝﹣36，
经检验，x＝5和x＝﹣36都是原方程的解，但x＝﹣36不符合题意，舍去，
∴x＝5，
∴x＝9﹣5＝4，
答：甲的速度是5公里/小时，则乙的速度为4公里/小时．
24．（10分）已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，BE＝DG，BF＝DH．
（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；
（2）当AB＝BC，且BE＝BF时，求证：四边形EFGH是矩形．

【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，∠B＝∠D，∠A＝∠C，
∵BE＝DG，BF＝DH，且∠B＝∠D，
∴△BEF≌△DGH（SAS），
∴EF＝HG，
同理可得EH＝FG，
∴四边形EFGH是平行四边形；
（2）∵AB＝BC，BE＝BF
∴AB＝BC＝CD＝AD，BE＝BF＝DH＝DG，
∴AE＝AH，
∵AD∥BC，
∴∠B+∠A＝180°，
∵BE＝BF，AE＝AH，
∴∠BEF＝∠BFE，∠AEH＝∠AHE，
∴∠AEH+∠BEF＝90°，
∴∠FEH＝90°，
∴平行四边形EFGH是矩形．
25．（10分）已知：如图，平面直角坐标系中有一个等腰梯形ABCD，且AD∥BC，AB＝CD，点A在y轴正半轴上，点B、C在x轴上（点B在点C的左侧），点D在第一象限，AD＝3，BC＝11，梯形的高为2，双曲线y经过点D，直线y＝kx+b经过A、B两点．
（1）求点A、B、C、D的坐标；
（2）求双曲线y和直线y＝kx+b的解析式；
（3）点M在双曲线上，点N在y轴上，如果四边形ABMN是平行四边形，求点N的坐标．

【解答】解：（1）如图1，过点D作DH⊥x轴于点H．
∵AD∥BC，AB＝CD，
∴四边形ABCD是等腰梯形，
∵AO⊥x轴，
∴四边形AOHD是矩形，
∴AO＝DH，AD＝OH，∠AOB＝∠DHC＝90°，
在Rt△ABO和Rt△DCH中，
，
∴Rt△ABO≌Rt△DCH（HL）．
∴BO＝CH，
∵梯形的高为2，
∴AO＝DH＝2．
∵AD＝3，BC＝11，
∴BO＝4，OC＝7．
∴A（0，2），B（﹣4，0），C（7，0），D（3，2）；

（2）∵双曲线y经过点D（3，2），
∴m＝xy＝6．
∴双曲线的解析式为：y，
∵直线y＝kx+b经过A（0，2）、B（﹣4，0）两点，
得：，
∴解得：．
∴直线的解析式为：yx+2；

（3）如图2，∵四边形ABMN是平行四边形．
∴BM∥AN且BM＝AN．
∵点N在y轴上，
∴过点B作x轴的垂线与双曲线y的交点即为点M．
∴点M的坐标为M（﹣4，），
∴BM．
∴AN＝BM，
∴ON＝OA﹣AN，
∴点N的坐标为N（0，）．


26．（12分）如图1，在菱形ABCD中，AB＝4，AC＝4，点M是AC上一点，点N在射线CB上，且MB＝MN，联结DN，设AM＝x．
（1）当点M、N（N在边BC上）运动时，∠MND的大小是否会变化？若不变，请求出度数，若变化，请说明理由．
（2）若∠BMN＝30°，求AM的值．
（3）当N在线段BC上时，设DN＝y，求y关于x的函数关系式及其定义域．

【解答】解：（1）如图1，

连接BM，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC2，BD＝2OD＝2OB，AD＝AB，
∴DM＝BM，OD2，
∴BD＝4，
∴AD＝AB＝BD，
∴∠BCD＝∠BAD＝60°，∠CBD＝60°，
∴∠ACD，
设∠MDO＝α，
∵MN＝MD，
∴∠MDN＝∠MND＝∠BDC+∠MDO＝60°+α，
在△CDM中，
∠CMD＝180°﹣∠ACD﹣∠CDM＝180°﹣30°﹣（60°+α）＝90°﹣α，
∴∠CMB＝∠CMD＝90°﹣α，
在△MND中，
∠DMN＝180°﹣∠MDN﹣∠MND＝180°﹣2（60°+α）＝60°﹣2α，
∴∠CMN＝∠CMD﹣∠DMN＝90°﹣α﹣（60°﹣2α）＝30°+α，
∴∠BMN＝∠CMN+∠CMB＝（30°+α）+（90°﹣α）＝120°，
∵BM＝DM＝MN，
∴∠MNB＝∠MBN30°；
（2）在△MDN和△CDM中，
∠DMN＝∠ACD＝30°，
∠CDM＝∠MDN，
∴∠CMD＝∠MDN，
∵MD＝MN，
∴∠MDN＝∠MND，
∴∠CDM＝∠MDN，
∴CM＝CD＝4，
∴AM＝AC﹣CM＝44；
（3）如图2，

作ME⊥AD于E，MF⊥BN，
∵∠CAD＝30°，
∴EM，
∴AE，
∴DE＝AD﹣AE＝4，
在Rt△DEM中，
DM，
在Rt△MNF中，
同理可得：NFMN，
∴DN＝2NF，
∴y（）．
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