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江苏省淮安市盱眙县2021-2022学年九年级上学期期中考试数学【试卷+答案】
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这是一份江苏省淮安市盱眙县2021-2022学年九年级上学期期中考试数学【试卷+答案】，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年江苏省淮安市盱眙县九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分，每题的四个选项中，只有一个符合题意，请把符合题意的选项填在下表中）
1．方程x2＝4x的根是（ ）
A．4 B．﹣4 C．0或4 D．0或﹣4
2．关于x的一元二次方程x2+x﹣3＝0的根的情况是（ ）
A．只有一个实数根 B．两个相等的实数根
C．两个不相等的实数根 D．没有实数根
3．已知⊙O的半径为5．若OP＝6，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．无法判断
4．用配方法解方程：x2﹣4x+2＝0，下列配方正确的是（ ）
A．（x﹣2）2＝2 B．（x+2）2＝2 C．（x﹣2）2＝﹣2 D．（x﹣2）2＝6
5．如图，已知A，B均为⊙O上一点，若∠AOB＝80°，则∠ACB＝（ ）
A．80° B．70° C．60° D．40°
6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝40°，则∠C＝（ ）
A．110° B．120° C．135° D．140°
7．下列说法中，不正确的是（ ）
A．直径是最长的弦
B．同圆中，所有的半径都相等
C．圆既是轴对称图形又是中心对称图形
D．长度相等的弧是等弧
8．用一张扇形的纸片卷成一个如图所示的圆锥模型，要求圆锥的母线长为6cm，底面圆的直径为8cm，那么这张扇形纸片的圆心角度数是（ ）
A．150° B．180° C．200° D．240°
二、填空题（共8小题，每题3分，共24分）
9．若x＝1是方程x2﹣2mx+3＝0的解，则m＝ ．
10．若关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣3m＝0没有实数根，则m的取值范围为 ．
11．若圆锥的底面半径为3cm，母线长是5cm，则它的侧面展开图的面积为 cm2．
12．若关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0（a≠0）的一个解是x＝1，则代数式2020﹣a﹣b的值为 ．
13．正六边形的边长是6，则这个正六边形的周长是 ．
14．如图，ABCD是⊙O的内接四边形，AD为直径，∠C＝130°，则∠ADB的度数为 ．
15．如图，⊙O的半径为2，△ABC是⊙O的内接三角形，，则图中阴影部分的面积 ．
16．如图，在边长为的等边△ABC中，动点D，E分别在BC，AC边上，且保持AE＝CD，连接BE，AD，相交于点P，则CP的最小值为 ．
三、解答题（本题共11小题，共102分。解答应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明）
17．解方程．
（1）（x﹣3）2＝9；
（2）x2﹣3x+2＝0．
18．某工厂7月份的产值是100万元，计划9月份的产值要达到144万元，如果8月份和9月份两个月的增长率相同，那么每月的增长率是多少？
19．已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2＝0．
（1）若方程有一个根是2，求m的值；
（2）求证：不论m取为何值，方程总有实数根．
20．如图，在平面直角坐标系中，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）．
（1）经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为 ；
（2）这个圆的半径为 ；
（3）直接判断点D（5，﹣2）与⊙M的位置关系．点D（5，﹣2）在⊙M （填内、外、上）．
21．如图，AB是⊙O直径，CD是⊙O的弦，∠DBA＝60°，求∠C的度数．
22．（1）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标．
（2）请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2BC2．
（3）求出（2）中C点旋转到C2点所经过的路径长（结果保留根号和π）．
23．如图，有一张矩形纸片，长10cm，宽6cm，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖的方盒，若方盒的底面积（图中阴影部分）是32cm2，求剪去的小正方形的边长．
24．商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
（1）设每件商品降价x元，则商场日销售量增加 件，每件商品，盈利 元（用含x的代数式表示）；
（2）在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？
25．如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点于D，DE⊥AC．
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）已知：BC＝8cm，AD＝3cm，求线段AE的长．
26．对于代数式ax2+bx+c，若存在实数n，当x＝n时，代数式的值也等于n，则称n为这个代数式的不变值．例如：对于代数式x2，当x＝0时，代数式等于0；当x＝1时，代数式等于1，我们就称0和1都是这个代数式的不变值．在代数式存在不变值时，该代数式的最大不变值与最小不变值的差记作A．特别地，当代数式只有一个不变值时，则A＝0．
（1）代数式x2﹣2x的不变值是 ，A＝ ．
（2）说明代数式2x2+3没有不变值；
（3）已知代数式x2﹣bx+b，
①若A＝0，求b的值；
②若1≤A≤2，b为整数，求所有整数b的和．
27．我们曾经研究过：如图1，点P在⊙O外或点P在⊙O内，直线PO分别交⊙O于点A、B，则线段PA是点P到⊙O上各点的距离中最短的线段，线段PB是点P到⊙O上各点的距离中最长的线段．
【运用】在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，点E是AC的中点．
（1）如图2，若F是BC边上一动点，将△CEF沿EF所在的直线翻折得到△C′EF，连接C′B，则C′B的最小值是
（2）如图3，若取AB的中点D，连接DE，得等腰Rt△ADE，将△ABC绕点A旋转，点P为射线BD，CE的交点，点Q是AE的中点．
①BD与CE的位置关系是
②连接PQ，求PQ的最大值和最小值．
【拓展】喜欢研究的小聪把上述第（2）问图中的△ADE绕点A旋转，而△ABC不动，记点P为射线BD，CE的交点（如图4），他发现在旋转过程中线段PB的长度存在最值，请直接写出PB的最小值
参考答案
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分，每题的四个选项中，只有一个符合题意，请把符合题意的选项填在下表中）
1．方程x2＝4x的根是（ ）
A．4 B．﹣4 C．0或4 D．0或﹣4
【分析】移项后分解因式得出x（x﹣4）＝0，推出方程x＝0，x﹣4＝0，求出即可．
解：x2＝4x，x2﹣4x＝0，
x（x﹣4）＝0，
x＝0，x﹣4＝0，
解得：x＝0或4，
故选：C．
2．关于x的一元二次方程x2+x﹣3＝0的根的情况是（ ）
A．只有一个实数根 B．两个相等的实数根
C．两个不相等的实数根 D．没有实数根
【分析】根据一元二次方程根的判别式b2﹣4ac与0的大小，即可得出方程根的情况．
解：x2+x﹣3＝0，
a＝1，b＝1，c＝﹣3，
∴b2﹣4ac＝1﹣4×1×（﹣3）＝13＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：C．
3．已知⊙O的半径为5．若OP＝6，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．无法判断
【分析】点在圆上，则d＝r；点在圆外，d＞r；点在圆内，d＜r（d即点到圆心的距离，r即圆的半径）．
解：∵OP＝6＞5，
∴点P与⊙O的位置关系是点在圆外．
故选：C．
4．用配方法解方程：x2﹣4x+2＝0，下列配方正确的是（ ）
A．（x﹣2）2＝2 B．（x+2）2＝2 C．（x﹣2）2＝﹣2 D．（x﹣2）2＝6
【分析】在本题中，把常数项2移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣4的一半的平方．
解：把方程x2﹣4x+2＝0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣4x＝﹣2，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣4x+4＝﹣2+4，
配方得（x﹣2）2＝2．
故选：A．
5．如图，已知A，B均为⊙O上一点，若∠AOB＝80°，则∠ACB＝（ ）
A．80° B．70° C．60° D．40°
【分析】由同弧所对的圆心角和圆周角的关系可得，∠AOB＝2∠ACB，则结果即可得出．
解：由题意得，∠ACB＝∠AOB＝×80°＝40°．
故选：D．
6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝40°，则∠C＝（ ）
A．110° B．120° C．135° D．140°
【分析】直接利用圆内接四边形的对角互补计算∠C的度数．
解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠C+∠A＝180°，
∴∠C＝180°﹣40°＝140°．
故选：D．
7．下列说法中，不正确的是（ ）
A．直径是最长的弦
B．同圆中，所有的半径都相等
C．圆既是轴对称图形又是中心对称图形
D．长度相等的弧是等弧
【分析】根据弦的定义、中心对称图形和轴对称图形定义、等弧定义可得答案．
解：A、直径是最长的弦，说法正确；
B、同圆中，所有的半径都相等，说法正确；
C、圆既是轴对称图形又是中心对称图形，说法正确；
D、长度相等的弧是等弧，说法错误；
故选：D．
8．用一张扇形的纸片卷成一个如图所示的圆锥模型，要求圆锥的母线长为6cm，底面圆的直径为8cm，那么这张扇形纸片的圆心角度数是（ ）
A．150° B．180° C．200° D．240°
【分析】易得圆锥的底面周长，就是圆锥的侧面展开图的弧长，利用弧长公式可得圆锥侧面展开图的角度，把相关数值代入即可求解．
解：∵底面圆的直径为8cm，
∴圆锥的底面周长为8πcm，
设圆锥的侧面展开图的圆心角为n°，
∴＝8π，
解得：n＝240°，故选D．
二、填空题（共8小题，每题3分，共24分）
9．若x＝1是方程x2﹣2mx+3＝0的解，则m＝ 2 ．
【分析】把x＝1代入方程中，得到关于m的方程，解方程即可．
解：∵x＝1是方程x2﹣2mx+3＝0的解，
∴1﹣2m+3＝0，
∴m＝2．
故答案为：2．
10．若关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣3m＝0没有实数根，则m的取值范围为 ．
【分析】根据判别式的意义得到Δ＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣3m）＜0，然后解不等式即可．
解：∵关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣3m＝0没有实数根．
∴Δ＜0，即（﹣3）2﹣4×1×（﹣3m）＜0，
解得，，
故答案为．
11．若圆锥的底面半径为3cm，母线长是5cm，则它的侧面展开图的面积为 15π cm2．
【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2．
解：底面半径为3cm，则底面周长＝6πcm，侧面面积＝×6π×5＝15πcm2．
12．若关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0（a≠0）的一个解是x＝1，则代数式2020﹣a﹣b的值为 2021 ．
【分析】根据关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0（a≠0）的一个解是x＝1，可以得到a+b的值，然后将所求式子变形，再将a+b的值代入，即可解答本题．
解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0（a≠0）的一个解是x＝1，
∴a+b+1＝0，
∴a+b＝﹣1，
∴2020﹣a﹣b
＝2020﹣（a+b）
＝2020﹣（﹣1）
＝2020+1
＝2021，
故答案为：2021．
13．正六边形的边长是6，则这个正六边形的周长是 36 ．
【分析】根据正六边形的周长公式即可得到结论．
解：∵正六边形的边长是6，
∴这个正六边形的周长＝6×6＝36，
故答案为：36．
14．如图，ABCD是⊙O的内接四边形，AD为直径，∠C＝130°，则∠ADB的度数为 40° ．
【分析】由AD是直径，可得∠ABD＝90°，又由ABCD是⊙O的内接四边形，∠C＝130°，可求得∠A的度数，根据三角形内角和定理，即可求得答案．
解：∵AD是直径，
∴∠ABD＝90°，
又∵ABCD是⊙O的内接四边形，∠C＝130°，
∴∠A＝180°﹣130°＝50°，
∴∠ADB＝180°﹣90°﹣50°＝40°．
故答案为：40°．
15．如图，⊙O的半径为2，△ABC是⊙O的内接三角形，，则图中阴影部分的面积 π﹣2 ．
【分析】连接OA，OB
解：连接OA，OB，如图，
∵⊙O的半径为2，
∴OA＝OB＝2．
∵OA2+OB2＝22+22＝8，
AB2＝＝8，
∴OA2+OB2＝AB2．
∴∠AOB＝90°．
∴×OA×OB＝2．
S扇形OAB＝＝π．
∴S阴影＝S扇形OAB﹣S△OAB＝π﹣2．
故答案为：π﹣2．
16．如图，在边长为的等边△ABC中，动点D，E分别在BC，AC边上，且保持AE＝CD，连接BE，AD，相交于点P，则CP的最小值为 1 ．
【分析】易证△ABD≌△BCE，可得∠BAD＝∠CBE，根据∠APE＝∠ABE+∠BAD，∠APE＝∠BPD，∠ABE+∠CBE＝60°，即可求得∠APE＝∠ABC，推出∠APB＝120°，推出点P的运动轨迹是，∠AOB＝120°，连接CO，求出OC，OA，再利用三角形的三边关系即可解决问题；
解：∵CD＝AE，
∴BD＝CE，
在△ABD和△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
故∠BAD＝∠CBE，
∵∠APE＝∠ABE+∠BAD，∠APE＝∠BPD，∠ABE+∠CBE＝60°，
∴∠BPD＝∠APE＝∠ABC＝60°，
∴∠APB＝120°，
∴点P的运动轨迹是，∠AOB＝120°，连接CO，
∵OA＝OB，CA＝CB，OC＝OC，
∴△AOC≌△BOC（SSS），
∴∠OAC＝∠OBC，∠ACO＝∠BCO＝30°，
∵∠AOB+∠ACB＝180°，
∴∠OAC+∠OBC＝180°，
∴∠OAC＝∠OBC＝90°，
∴OC＝AC÷cos30°＝2，OA＝OC＝1，
∴OP＝1，
∵PC≥OC﹣OP，
∴PC≥1，
∴PC的最小值为1．
三、解答题（本题共11小题，共102分。解答应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明）
17．解方程．
（1）（x﹣3）2＝9；
（2）x2﹣3x+2＝0．
【分析】（1）利用直接开平方法求解即可；
（2）利用十字相乘法将方程的左边因式分解后求解可得．
解：（1）∵（x﹣3）2＝9，
∴x﹣3＝3或x﹣3＝﹣3，
解得x1＝0，x2＝6；
（2）∵x2﹣3x+2＝0，
∴（x﹣1）（x﹣2）＝0，
则x﹣1＝0或x﹣2＝0，
解得x1＝1，x2＝2．
18．某工厂7月份的产值是100万元，计划9月份的产值要达到144万元，如果8月份和9月份两个月的增长率相同，那么每月的增长率是多少？
【分析】等量关系为：七月份的产值×（1+增长率）2＝九月份的产值，把相关数值代入求合适的解即可．
解：设增长率为x．
100×（1+x）2＝144，
∵1+x＞0，
∴1+x＝1.2，
∴x＝20%．
故每月的增长率是20%．
19．已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2＝0．
（1）若方程有一个根是2，求m的值；
（2）求证：不论m取为何值，方程总有实数根．
【分析】（1）将x＝2代入原方程可求出m的值；
（2）分m＝0及m≠0两种情况考虑：当m＝0时，通过解方程可求出方程的解；当m≠0，根据方程的系数结合根的判别式，可得出Δ＝（m+2）2≥0，进而可得出当m≠0时，方程有实数根．综上即可证出结论．
解：（1）将x＝2代入原方程，得：4m﹣2（m+2）+2＝0，
解得：m＝1．
故m的值为1；
（2）证明：当m＝0时，原方程为一次方程，此时x＝1；
当m≠0时，Δ＝（m+2）2﹣4×2m＝（m﹣2）2≥0，
∴当m≠0时，方程有实数根．
综上所述：不论m为何值，方程总有实数根．
20．如图，在平面直角坐标系中，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）．
（1）经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为 （2，0） ；
（2）这个圆的半径为 2 ；
（3）直接判断点D（5，﹣2）与⊙M的位置关系．点D（5，﹣2）在⊙M 内 （填内、外、上）．
【分析】（1），利用网格特点，作AB和BC的垂直平分线，它们的交点为M点，从而得到点M的坐标；
（2）利用两点间的距离公式计算出MA即可；
（3）先计算出DM，然后根据点与圆的位置关系的判定方法判断点D与⊙M的位置关系．
解：（1）如图，圆心M的坐标为（2，0）；
（2）∵A（0，4），M（2，0），
∴MA＝＝2，
即⊙M的半径为2；
（3）∵D（5，﹣2），M（2，0），
∴DM＝＝，
∵＜2，
∴点D在⊙M内．
故答案为（2，0）；2；内．
21．如图，AB是⊙O直径，CD是⊙O的弦，∠DBA＝60°，求∠C的度数．
【分析】根据圆周角定理得出∠ADB＝90°，根据三角形的内角和定理求出∠DAB＝30°，根据圆周角定理得出∠C＝∠DAB即可．
解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠DBA＝60°，
∴∠DAB＝90°﹣∠DBA＝30°，
∵＝，
∴∠C＝∠DAB＝30°．
22．（1）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标．
（2）请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2BC2．
（3）求出（2）中C点旋转到C2点所经过的路径长（结果保留根号和π）．
【分析】（1）分别作出点A、B、C关于x轴的对称点，再顺次连接可得；
（2）分别作出点A、C绕点B逆时针旋转90°后所得对应点，顺次连接可得；
（3）根据弧长公式求解可得．
解：（1）如图，△A1B1C1为所作，点A1的坐标为（2，﹣4）；
（2）如图，△A2BC2为所作；
（3）∵BC＝＝，
∴C点旋转到C2点所经过的路径长为＝π．
23．如图，有一张矩形纸片，长10cm，宽6cm，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖的方盒，若方盒的底面积（图中阴影部分）是32cm2，求剪去的小正方形的边长．
【分析】设剪去的小正方形的边长为xcm，则方盒的底面为长（10﹣2x）cm，宽为（6﹣2x）cm的长方形，根据方程形的面积公式结合方盒的底面积是32cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
解：设剪去的小正方形的边长为xcm，
根据题意得：（10﹣2x）（6﹣2x）＝32，
整理得：x2﹣8x+7＝0，
解得：x1＝7，x2＝1．
∵7＞6，
∴x1＝7舍去．
答：剪去的小正方形的边长为1cm．
24．商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
（1）设每件商品降价x元，则商场日销售量增加 2x 件，每件商品，盈利 （50﹣x） 元（用含x的代数式表示）；
（2）在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？
【分析】（1）分别表示出增加的件数和盈利的金额即可；
（2）日盈利＝每件商品盈利的钱数×（原来每天销售的商品件数30+2×降价的钱数），把相关数值代入求解即可．
解：（1）设每件商品降价x元，则商场日销售量增加2x件，每件商品，盈利（50﹣x）元，
故答案为：2x，（50﹣x）．
（2）由题意得：（50﹣x）（30+2x）＝2000，
化简得：x2﹣35x+250＝0，
解得：x1＝10，x2＝25，
∵该商场为了尽快减少库存，则x＝10不合题意，舍去，
∴x＝25，
答：每件商品降价25元，商场日盈利可达2000元；
25．如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点于D，DE⊥AC．
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）已知：BC＝8cm，AD＝3cm，求线段AE的长．
【分析】（1）连接OD，只要证得∠EDO＝90°即可得到DE是⊙O的切线；
（2）根据线段中点的定义和勾股定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵D是BC的中点，
∴BD＝CD．
∵OA＝OB，
∴OD∥AC．
又∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE．
∴DE是⊙O的切线；
（2）∵D是BC的中点，
∴BD＝CD＝BC＝4（cm），
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
∴AC＝AB，
∵AD＝3cm，
∴AC＝＝＝5（cm），
∵DE⊥AC，
∴DE＝＝＝（cm），
∴AE＝＝＝（cm）．
26．对于代数式ax2+bx+c，若存在实数n，当x＝n时，代数式的值也等于n，则称n为这个代数式的不变值．例如：对于代数式x2，当x＝0时，代数式等于0；当x＝1时，代数式等于1，我们就称0和1都是这个代数式的不变值．在代数式存在不变值时，该代数式的最大不变值与最小不变值的差记作A．特别地，当代数式只有一个不变值时，则A＝0．
（1）代数式x2﹣2x的不变值是 0和3 ，A＝ 3 ．
（2）说明代数式2x2+3没有不变值；
（3）已知代数式x2﹣bx+b，
①若A＝0，求b的值；
②若1≤A≤2，b为整数，求所有整数b的和．
【分析】（1）分别代入x＝0及x＝3可得出0和3均为代数式x2﹣2x的不变值，二者做差后可得出A的值；
（2）根据方程的系数结合根的判别式，可得出Δ＝﹣23＜0，由此可得出原方程没有实数根，进而可得出代数式2x2+3没有不变值；
（3）①由A＝0可得出根的判别式Δ＝0，解之即可得出b值；
②利用因式分解法解一元二次方程可得出方程x2﹣（b+1）x+b＝0的两个实数根，结合1≤A≤2及b为整数可求出b的值，再将其相加即可得出结论．
解：（1）当x＝0时，x2﹣2x＝0；
当x＝3时，x2﹣2x＝9﹣6＝3，
则代数式x2﹣2x的不变值为0和3，A＝3﹣0＝3；
故答案为：0和3，3；
（2）假设代数式2x2+3有不变值，则方程2x2+3＝x有实数根．
原方程可变形为2x2﹣x+3＝0，
∵Δ＝（﹣1）2﹣4×2×3＝﹣23＜0，
∴原方程没有实数根，这与假设矛盾，
∴假设不成立，即代数式2x2+3没有不变值．
（3）①∵A＝0，
∴方程x2﹣bx+b＝x有两个相等的实数根，
∵原方程可变形为x2﹣（b+1）x+b＝0，
∴Δ＝[﹣（b+1）]2﹣4×1×b＝（b﹣1）2＝0，
∴b＝1．
②∵1≤A≤2，
∴方程x2﹣（b+1）x+b＝0有两个不相等的实数根．
∵（x﹣1）（x﹣b）＝0，
解得：x1＝1，x2＝b，
∴A＝|b﹣1|．
又∵1≤A≤2，即1≤|b﹣1|≤2，且b为整数，
∴b＝﹣1或0或2或3，
∴﹣1+0+2+3＝4．
∴所有整数b的和为4．
27．我们曾经研究过：如图1，点P在⊙O外或点P在⊙O内，直线PO分别交⊙O于点A、B，则线段PA是点P到⊙O上各点的距离中最短的线段，线段PB是点P到⊙O上各点的距离中最长的线段．
【运用】在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，点E是AC的中点．
（1）如图2，若F是BC边上一动点，将△CEF沿EF所在的直线翻折得到△C′EF，连接C′B，则C′B的最小值是 ﹣1
（2）如图3，若取AB的中点D，连接DE，得等腰Rt△ADE，将△ABC绕点A旋转，点P为射线BD，CE的交点，点Q是AE的中点．
①BD与CE的位置关系是 CE⊥BD
②连接PQ，求PQ的最大值和最小值．
【拓展】喜欢研究的小聪把上述第（2）问图中的△ADE绕点A旋转，而△ABC不动，记点P为射线BD，CE的交点（如图4），他发现在旋转过程中线段PB的长度存在最值，请直接写出PB的最小值 ﹣1
【分析】【运用】
（1）连接BE，由△CEF沿EF所在的直线翻折得到△C′EF，可得C'的轨迹是E为圆心，1为半径的半⊙E，在Rt△ABE中，BE＝＝，即可得BC'最小为﹣1；
（2）①证明△DAB≌△EAC（SAS），可得∠DBA＝∠ECA，而∠ECA+∠AGC＝90°，即得∠DBA+∠BGP＝90°，∠P＝90°，可得CE⊥BD；
②由∠DPE＝90°，可得P的轨迹是以DE为直径的圆，设T为DE中点，当PQ最大时，线段PQ过T，而PT＝DT＝ET＝DE＝，TQ＝AD＝，即得PQ最大值为，当PQ最小时，Q在线段PT上，可求PQ最小值为PT﹣TQ＝；
【拓展】由BP＝BC•sin∠BCP，知当∠BCP最小时，BP最小，此时AE⊥CP，在Rt△AEC中，EC＝，证明△AEC≌△ADB（SAS），可得BD＝EC＝，∠ADB＝∠AEC＝90°，即知PD＝AE＝1，故BP最小值为﹣1．
解：【运用】
（1）连接BE，如图：
∵△CEF沿EF所在的直线翻折得到△C′EF，
∴EC＝EC'＝AC＝1，
∴C'的轨迹是E为圆心，1为半径的半⊙E，
∴C'在BE上时，BC'最小，此时BC'＝BE﹣C'E，
在Rt△ABE中，BE＝＝，
∴BC'＝﹣1，
故答案为：﹣1；
（2）①如图：
∵△ADE是等腰直角三角形，
∴AD＝AE，∠DAE＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠DAB＝90°﹣∠BAE＝∠EAC，
而AB＝AC，
∴△DAB≌△EAC（SAS），
∴∠DBA＝∠ECA，
∵∠ECA+∠AGC＝90°，
∠AGC＝∠BGP，
∴∠DBA+∠BGP＝90°，
∴∠P＝90°，
∴CE⊥BD，
故答案为：CE⊥BD；
②由①知，CE⊥BD，即在△DEP中，∠DPE＝90°，
∴P的轨迹是以DE为直径的圆，设T为DE中点，
当PQ最大时，线段PQ过T，如图：
∵△ADE是等腰直角三角形，AE＝AD＝1，
∴DE＝＝，
∴PT＝DT＝ET＝DE＝，
而QT是△ADE中位线，
∴TQ＝AD＝，
∴PQ＝，
当PQ最小时，Q在线段PT上，如图：
此时PT＝，TQ＝，
∴PQ最小值为PT﹣TQ＝，
故PQ的最大值为，PQ的最小值为；
【拓展】如图：
由【运用】可知，CE⊥BD，
∴∠BPC＝90°，
∴BP＝BC•sin∠BCP，
而BC＝＝2，
∴BP＝2sin∠BCP，
当∠BCP最小时，BP最小，而∠ACB＝45°，
∴当∠ACE最大时，∠BCP最小，此时AE⊥CP，
在Rt△AEC中，AE＝1，AC＝2，
∴EC＝，
∵AE＝AD，∠EAC＝90°﹣∠BAE＝∠DAB，AC＝AB，
∴△AEC≌△ADB（SAS），
∴BD＝EC＝，∠ADB＝∠AEC＝90°，
∴四边形ADPE是正方形，
∴PD＝AE＝1，
∴BP＝BD﹣PD＝﹣1，
故答案为：﹣1．
2021-2022学年江苏省淮安市盱眙县九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分，每题的四个选项中，只有一个符合题意，请把符合题意的选项填在下表中）
1．方程x2＝4x的根是（ ）
A．4 B．﹣4 C．0或4 D．0或﹣4
2．关于x的一元二次方程x2+x﹣3＝0的根的情况是（ ）
A．只有一个实数根 B．两个相等的实数根
C．两个不相等的实数根 D．没有实数根
3．已知⊙O的半径为5．若OP＝6，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．无法判断
4．用配方法解方程：x2﹣4x+2＝0，下列配方正确的是（ ）
A．（x﹣2）2＝2 B．（x+2）2＝2 C．（x﹣2）2＝﹣2 D．（x﹣2）2＝6
5．如图，已知A，B均为⊙O上一点，若∠AOB＝80°，则∠ACB＝（ ）
A．80° B．70° C．60° D．40°
6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝40°，则∠C＝（ ）
A．110° B．120° C．135° D．140°
7．下列说法中，不正确的是（ ）
A．直径是最长的弦
B．同圆中，所有的半径都相等
C．圆既是轴对称图形又是中心对称图形
D．长度相等的弧是等弧
8．用一张扇形的纸片卷成一个如图所示的圆锥模型，要求圆锥的母线长为6cm，底面圆的直径为8cm，那么这张扇形纸片的圆心角度数是（ ）
A．150° B．180° C．200° D．240°
二、填空题（共8小题，每题3分，共24分）
9．若x＝1是方程x2﹣2mx+3＝0的解，则m＝ ．
10．若关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣3m＝0没有实数根，则m的取值范围为 ．
11．若圆锥的底面半径为3cm，母线长是5cm，则它的侧面展开图的面积为 cm2．
12．若关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0（a≠0）的一个解是x＝1，则代数式2020﹣a﹣b的值为 ．
13．正六边形的边长是6，则这个正六边形的周长是 ．
14．如图，ABCD是⊙O的内接四边形，AD为直径，∠C＝130°，则∠ADB的度数为 ．
15．如图，⊙O的半径为2，△ABC是⊙O的内接三角形，，则图中阴影部分的面积 ．
16．如图，在边长为的等边△ABC中，动点D，E分别在BC，AC边上，且保持AE＝CD，连接BE，AD，相交于点P，则CP的最小值为 ．
三、解答题（本题共11小题，共102分。解答应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明）
17．解方程．
（1）（x﹣3）2＝9；
（2）x2﹣3x+2＝0．
18．某工厂7月份的产值是100万元，计划9月份的产值要达到144万元，如果8月份和9月份两个月的增长率相同，那么每月的增长率是多少？
19．已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2＝0．
（1）若方程有一个根是2，求m的值；
（2）求证：不论m取为何值，方程总有实数根．
20．如图，在平面直角坐标系中，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）．
（1）经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为 ；
（2）这个圆的半径为 ；
（3）直接判断点D（5，﹣2）与⊙M的位置关系．点D（5，﹣2）在⊙M （填内、外、上）．
21．如图，AB是⊙O直径，CD是⊙O的弦，∠DBA＝60°，求∠C的度数．
22．（1）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标．
（2）请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2BC2．
（3）求出（2）中C点旋转到C2点所经过的路径长（结果保留根号和π）．
23．如图，有一张矩形纸片，长10cm，宽6cm，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖的方盒，若方盒的底面积（图中阴影部分）是32cm2，求剪去的小正方形的边长．
24．商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
（1）设每件商品降价x元，则商场日销售量增加 件，每件商品，盈利 元（用含x的代数式表示）；
（2）在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？
25．如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点于D，DE⊥AC．
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）已知：BC＝8cm，AD＝3cm，求线段AE的长．
26．对于代数式ax2+bx+c，若存在实数n，当x＝n时，代数式的值也等于n，则称n为这个代数式的不变值．例如：对于代数式x2，当x＝0时，代数式等于0；当x＝1时，代数式等于1，我们就称0和1都是这个代数式的不变值．在代数式存在不变值时，该代数式的最大不变值与最小不变值的差记作A．特别地，当代数式只有一个不变值时，则A＝0．
（1）代数式x2﹣2x的不变值是 ，A＝ ．
（2）说明代数式2x2+3没有不变值；
（3）已知代数式x2﹣bx+b，
①若A＝0，求b的值；
②若1≤A≤2，b为整数，求所有整数b的和．
27．我们曾经研究过：如图1，点P在⊙O外或点P在⊙O内，直线PO分别交⊙O于点A、B，则线段PA是点P到⊙O上各点的距离中最短的线段，线段PB是点P到⊙O上各点的距离中最长的线段．
【运用】在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，点E是AC的中点．
（1）如图2，若F是BC边上一动点，将△CEF沿EF所在的直线翻折得到△C′EF，连接C′B，则C′B的最小值是
（2）如图3，若取AB的中点D，连接DE，得等腰Rt△ADE，将△ABC绕点A旋转，点P为射线BD，CE的交点，点Q是AE的中点．
①BD与CE的位置关系是
②连接PQ，求PQ的最大值和最小值．
【拓展】喜欢研究的小聪把上述第（2）问图中的△ADE绕点A旋转，而△ABC不动，记点P为射线BD，CE的交点（如图4），他发现在旋转过程中线段PB的长度存在最值，请直接写出PB的最小值
参考答案
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分，每题的四个选项中，只有一个符合题意，请把符合题意的选项填在下表中）
1．方程x2＝4x的根是（ ）
A．4 B．﹣4 C．0或4 D．0或﹣4
【分析】移项后分解因式得出x（x﹣4）＝0，推出方程x＝0，x﹣4＝0，求出即可．
解：x2＝4x，x2﹣4x＝0，
x（x﹣4）＝0，
x＝0，x﹣4＝0，
解得：x＝0或4，
故选：C．
2．关于x的一元二次方程x2+x﹣3＝0的根的情况是（ ）
A．只有一个实数根 B．两个相等的实数根
C．两个不相等的实数根 D．没有实数根
【分析】根据一元二次方程根的判别式b2﹣4ac与0的大小，即可得出方程根的情况．
解：x2+x﹣3＝0，
a＝1，b＝1，c＝﹣3，
∴b2﹣4ac＝1﹣4×1×（﹣3）＝13＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：C．
3．已知⊙O的半径为5．若OP＝6，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．无法判断
【分析】点在圆上，则d＝r；点在圆外，d＞r；点在圆内，d＜r（d即点到圆心的距离，r即圆的半径）．
解：∵OP＝6＞5，
∴点P与⊙O的位置关系是点在圆外．
故选：C．
4．用配方法解方程：x2﹣4x+2＝0，下列配方正确的是（ ）
A．（x﹣2）2＝2 B．（x+2）2＝2 C．（x﹣2）2＝﹣2 D．（x﹣2）2＝6
【分析】在本题中，把常数项2移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣4的一半的平方．
解：把方程x2﹣4x+2＝0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣4x＝﹣2，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣4x+4＝﹣2+4，
配方得（x﹣2）2＝2．
故选：A．
5．如图，已知A，B均为⊙O上一点，若∠AOB＝80°，则∠ACB＝（ ）
A．80° B．70° C．60° D．40°
【分析】由同弧所对的圆心角和圆周角的关系可得，∠AOB＝2∠ACB，则结果即可得出．
解：由题意得，∠ACB＝∠AOB＝×80°＝40°．
故选：D．
6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝40°，则∠C＝（ ）
A．110° B．120° C．135° D．140°
【分析】直接利用圆内接四边形的对角互补计算∠C的度数．
解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠C+∠A＝180°，
∴∠C＝180°﹣40°＝140°．
故选：D．
7．下列说法中，不正确的是（ ）
A．直径是最长的弦
B．同圆中，所有的半径都相等
C．圆既是轴对称图形又是中心对称图形
D．长度相等的弧是等弧
【分析】根据弦的定义、中心对称图形和轴对称图形定义、等弧定义可得答案．
解：A、直径是最长的弦，说法正确；
B、同圆中，所有的半径都相等，说法正确；
C、圆既是轴对称图形又是中心对称图形，说法正确；
D、长度相等的弧是等弧，说法错误；
故选：D．
8．用一张扇形的纸片卷成一个如图所示的圆锥模型，要求圆锥的母线长为6cm，底面圆的直径为8cm，那么这张扇形纸片的圆心角度数是（ ）
A．150° B．180° C．200° D．240°
【分析】易得圆锥的底面周长，就是圆锥的侧面展开图的弧长，利用弧长公式可得圆锥侧面展开图的角度，把相关数值代入即可求解．
解：∵底面圆的直径为8cm，
∴圆锥的底面周长为8πcm，
设圆锥的侧面展开图的圆心角为n°，
∴＝8π，
解得：n＝240°，故选D．
二、填空题（共8小题，每题3分，共24分）
9．若x＝1是方程x2﹣2mx+3＝0的解，则m＝ 2 ．
【分析】把x＝1代入方程中，得到关于m的方程，解方程即可．
解：∵x＝1是方程x2﹣2mx+3＝0的解，
∴1﹣2m+3＝0，
∴m＝2．
故答案为：2．
10．若关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣3m＝0没有实数根，则m的取值范围为 ．
【分析】根据判别式的意义得到Δ＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣3m）＜0，然后解不等式即可．
解：∵关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣3m＝0没有实数根．
∴Δ＜0，即（﹣3）2﹣4×1×（﹣3m）＜0，
解得，，
故答案为．
11．若圆锥的底面半径为3cm，母线长是5cm，则它的侧面展开图的面积为 15π cm2．
【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2．
解：底面半径为3cm，则底面周长＝6πcm，侧面面积＝×6π×5＝15πcm2．
12．若关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0（a≠0）的一个解是x＝1，则代数式2020﹣a﹣b的值为 2021 ．
【分析】根据关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0（a≠0）的一个解是x＝1，可以得到a+b的值，然后将所求式子变形，再将a+b的值代入，即可解答本题．
解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0（a≠0）的一个解是x＝1，
∴a+b+1＝0，
∴a+b＝﹣1，
∴2020﹣a﹣b
＝2020﹣（a+b）
＝2020﹣（﹣1）
＝2020+1
＝2021，
故答案为：2021．
13．正六边形的边长是6，则这个正六边形的周长是 36 ．
【分析】根据正六边形的周长公式即可得到结论．
解：∵正六边形的边长是6，
∴这个正六边形的周长＝6×6＝36，
故答案为：36．
14．如图，ABCD是⊙O的内接四边形，AD为直径，∠C＝130°，则∠ADB的度数为 40° ．
【分析】由AD是直径，可得∠ABD＝90°，又由ABCD是⊙O的内接四边形，∠C＝130°，可求得∠A的度数，根据三角形内角和定理，即可求得答案．
解：∵AD是直径，
∴∠ABD＝90°，
又∵ABCD是⊙O的内接四边形，∠C＝130°，
∴∠A＝180°﹣130°＝50°，
∴∠ADB＝180°﹣90°﹣50°＝40°．
故答案为：40°．
15．如图，⊙O的半径为2，△ABC是⊙O的内接三角形，，则图中阴影部分的面积 π﹣2 ．
【分析】连接OA，OB
解：连接OA，OB，如图，
∵⊙O的半径为2，
∴OA＝OB＝2．
∵OA2+OB2＝22+22＝8，
AB2＝＝8，
∴OA2+OB2＝AB2．
∴∠AOB＝90°．
∴×OA×OB＝2．
S扇形OAB＝＝π．
∴S阴影＝S扇形OAB﹣S△OAB＝π﹣2．
故答案为：π﹣2．
16．如图，在边长为的等边△ABC中，动点D，E分别在BC，AC边上，且保持AE＝CD，连接BE，AD，相交于点P，则CP的最小值为 1 ．
【分析】易证△ABD≌△BCE，可得∠BAD＝∠CBE，根据∠APE＝∠ABE+∠BAD，∠APE＝∠BPD，∠ABE+∠CBE＝60°，即可求得∠APE＝∠ABC，推出∠APB＝120°，推出点P的运动轨迹是，∠AOB＝120°，连接CO，求出OC，OA，再利用三角形的三边关系即可解决问题；
解：∵CD＝AE，
∴BD＝CE，
在△ABD和△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
故∠BAD＝∠CBE，
∵∠APE＝∠ABE+∠BAD，∠APE＝∠BPD，∠ABE+∠CBE＝60°，
∴∠BPD＝∠APE＝∠ABC＝60°，
∴∠APB＝120°，
∴点P的运动轨迹是，∠AOB＝120°，连接CO，
∵OA＝OB，CA＝CB，OC＝OC，
∴△AOC≌△BOC（SSS），
∴∠OAC＝∠OBC，∠ACO＝∠BCO＝30°，
∵∠AOB+∠ACB＝180°，
∴∠OAC+∠OBC＝180°，
∴∠OAC＝∠OBC＝90°，
∴OC＝AC÷cos30°＝2，OA＝OC＝1，
∴OP＝1，
∵PC≥OC﹣OP，
∴PC≥1，
∴PC的最小值为1．
三、解答题（本题共11小题，共102分。解答应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明）
17．解方程．
（1）（x﹣3）2＝9；
（2）x2﹣3x+2＝0．
【分析】（1）利用直接开平方法求解即可；
（2）利用十字相乘法将方程的左边因式分解后求解可得．
解：（1）∵（x﹣3）2＝9，
∴x﹣3＝3或x﹣3＝﹣3，
解得x1＝0，x2＝6；
（2）∵x2﹣3x+2＝0，
∴（x﹣1）（x﹣2）＝0，
则x﹣1＝0或x﹣2＝0，
解得x1＝1，x2＝2．
18．某工厂7月份的产值是100万元，计划9月份的产值要达到144万元，如果8月份和9月份两个月的增长率相同，那么每月的增长率是多少？
【分析】等量关系为：七月份的产值×（1+增长率）2＝九月份的产值，把相关数值代入求合适的解即可．
解：设增长率为x．
100×（1+x）2＝144，
∵1+x＞0，
∴1+x＝1.2，
∴x＝20%．
故每月的增长率是20%．
19．已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2＝0．
（1）若方程有一个根是2，求m的值；
（2）求证：不论m取为何值，方程总有实数根．
【分析】（1）将x＝2代入原方程可求出m的值；
（2）分m＝0及m≠0两种情况考虑：当m＝0时，通过解方程可求出方程的解；当m≠0，根据方程的系数结合根的判别式，可得出Δ＝（m+2）2≥0，进而可得出当m≠0时，方程有实数根．综上即可证出结论．
解：（1）将x＝2代入原方程，得：4m﹣2（m+2）+2＝0，
解得：m＝1．
故m的值为1；
（2）证明：当m＝0时，原方程为一次方程，此时x＝1；
当m≠0时，Δ＝（m+2）2﹣4×2m＝（m﹣2）2≥0，
∴当m≠0时，方程有实数根．
综上所述：不论m为何值，方程总有实数根．
20．如图，在平面直角坐标系中，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）．
（1）经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为 （2，0） ；
（2）这个圆的半径为 2 ；
（3）直接判断点D（5，﹣2）与⊙M的位置关系．点D（5，﹣2）在⊙M 内 （填内、外、上）．
【分析】（1），利用网格特点，作AB和BC的垂直平分线，它们的交点为M点，从而得到点M的坐标；
（2）利用两点间的距离公式计算出MA即可；
（3）先计算出DM，然后根据点与圆的位置关系的判定方法判断点D与⊙M的位置关系．
解：（1）如图，圆心M的坐标为（2，0）；
（2）∵A（0，4），M（2，0），
∴MA＝＝2，
即⊙M的半径为2；
（3）∵D（5，﹣2），M（2，0），
∴DM＝＝，
∵＜2，
∴点D在⊙M内．
故答案为（2，0）；2；内．
21．如图，AB是⊙O直径，CD是⊙O的弦，∠DBA＝60°，求∠C的度数．
【分析】根据圆周角定理得出∠ADB＝90°，根据三角形的内角和定理求出∠DAB＝30°，根据圆周角定理得出∠C＝∠DAB即可．
解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠DBA＝60°，
∴∠DAB＝90°﹣∠DBA＝30°，
∵＝，
∴∠C＝∠DAB＝30°．
22．（1）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标．
（2）请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2BC2．
（3）求出（2）中C点旋转到C2点所经过的路径长（结果保留根号和π）．
【分析】（1）分别作出点A、B、C关于x轴的对称点，再顺次连接可得；
（2）分别作出点A、C绕点B逆时针旋转90°后所得对应点，顺次连接可得；
（3）根据弧长公式求解可得．
解：（1）如图，△A1B1C1为所作，点A1的坐标为（2，﹣4）；
（2）如图，△A2BC2为所作；
（3）∵BC＝＝，
∴C点旋转到C2点所经过的路径长为＝π．
23．如图，有一张矩形纸片，长10cm，宽6cm，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖的方盒，若方盒的底面积（图中阴影部分）是32cm2，求剪去的小正方形的边长．
【分析】设剪去的小正方形的边长为xcm，则方盒的底面为长（10﹣2x）cm，宽为（6﹣2x）cm的长方形，根据方程形的面积公式结合方盒的底面积是32cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
解：设剪去的小正方形的边长为xcm，
根据题意得：（10﹣2x）（6﹣2x）＝32，
整理得：x2﹣8x+7＝0，
解得：x1＝7，x2＝1．
∵7＞6，
∴x1＝7舍去．
答：剪去的小正方形的边长为1cm．
24．商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
（1）设每件商品降价x元，则商场日销售量增加 2x 件，每件商品，盈利 （50﹣x） 元（用含x的代数式表示）；
（2）在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？
【分析】（1）分别表示出增加的件数和盈利的金额即可；
（2）日盈利＝每件商品盈利的钱数×（原来每天销售的商品件数30+2×降价的钱数），把相关数值代入求解即可．
解：（1）设每件商品降价x元，则商场日销售量增加2x件，每件商品，盈利（50﹣x）元，
故答案为：2x，（50﹣x）．
（2）由题意得：（50﹣x）（30+2x）＝2000，
化简得：x2﹣35x+250＝0，
解得：x1＝10，x2＝25，
∵该商场为了尽快减少库存，则x＝10不合题意，舍去，
∴x＝25，
答：每件商品降价25元，商场日盈利可达2000元；
25．如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点于D，DE⊥AC．
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）已知：BC＝8cm，AD＝3cm，求线段AE的长．
【分析】（1）连接OD，只要证得∠EDO＝90°即可得到DE是⊙O的切线；
（2）根据线段中点的定义和勾股定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵D是BC的中点，
∴BD＝CD．
∵OA＝OB，
∴OD∥AC．
又∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE．
∴DE是⊙O的切线；
（2）∵D是BC的中点，
∴BD＝CD＝BC＝4（cm），
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
∴AC＝AB，
∵AD＝3cm，
∴AC＝＝＝5（cm），
∵DE⊥AC，
∴DE＝＝＝（cm），
∴AE＝＝＝（cm）．
26．对于代数式ax2+bx+c，若存在实数n，当x＝n时，代数式的值也等于n，则称n为这个代数式的不变值．例如：对于代数式x2，当x＝0时，代数式等于0；当x＝1时，代数式等于1，我们就称0和1都是这个代数式的不变值．在代数式存在不变值时，该代数式的最大不变值与最小不变值的差记作A．特别地，当代数式只有一个不变值时，则A＝0．
（1）代数式x2﹣2x的不变值是 0和3 ，A＝ 3 ．
（2）说明代数式2x2+3没有不变值；
（3）已知代数式x2﹣bx+b，
①若A＝0，求b的值；
②若1≤A≤2，b为整数，求所有整数b的和．
【分析】（1）分别代入x＝0及x＝3可得出0和3均为代数式x2﹣2x的不变值，二者做差后可得出A的值；
（2）根据方程的系数结合根的判别式，可得出Δ＝﹣23＜0，由此可得出原方程没有实数根，进而可得出代数式2x2+3没有不变值；
（3）①由A＝0可得出根的判别式Δ＝0，解之即可得出b值；
②利用因式分解法解一元二次方程可得出方程x2﹣（b+1）x+b＝0的两个实数根，结合1≤A≤2及b为整数可求出b的值，再将其相加即可得出结论．
解：（1）当x＝0时，x2﹣2x＝0；
当x＝3时，x2﹣2x＝9﹣6＝3，
则代数式x2﹣2x的不变值为0和3，A＝3﹣0＝3；
故答案为：0和3，3；
（2）假设代数式2x2+3有不变值，则方程2x2+3＝x有实数根．
原方程可变形为2x2﹣x+3＝0，
∵Δ＝（﹣1）2﹣4×2×3＝﹣23＜0，
∴原方程没有实数根，这与假设矛盾，
∴假设不成立，即代数式2x2+3没有不变值．
（3）①∵A＝0，
∴方程x2﹣bx+b＝x有两个相等的实数根，
∵原方程可变形为x2﹣（b+1）x+b＝0，
∴Δ＝[﹣（b+1）]2﹣4×1×b＝（b﹣1）2＝0，
∴b＝1．
②∵1≤A≤2，
∴方程x2﹣（b+1）x+b＝0有两个不相等的实数根．
∵（x﹣1）（x﹣b）＝0，
解得：x1＝1，x2＝b，
∴A＝|b﹣1|．
又∵1≤A≤2，即1≤|b﹣1|≤2，且b为整数，
∴b＝﹣1或0或2或3，
∴﹣1+0+2+3＝4．
∴所有整数b的和为4．
27．我们曾经研究过：如图1，点P在⊙O外或点P在⊙O内，直线PO分别交⊙O于点A、B，则线段PA是点P到⊙O上各点的距离中最短的线段，线段PB是点P到⊙O上各点的距离中最长的线段．
【运用】在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，点E是AC的中点．
（1）如图2，若F是BC边上一动点，将△CEF沿EF所在的直线翻折得到△C′EF，连接C′B，则C′B的最小值是 ﹣1
（2）如图3，若取AB的中点D，连接DE，得等腰Rt△ADE，将△ABC绕点A旋转，点P为射线BD，CE的交点，点Q是AE的中点．
①BD与CE的位置关系是 CE⊥BD
②连接PQ，求PQ的最大值和最小值．
【拓展】喜欢研究的小聪把上述第（2）问图中的△ADE绕点A旋转，而△ABC不动，记点P为射线BD，CE的交点（如图4），他发现在旋转过程中线段PB的长度存在最值，请直接写出PB的最小值 ﹣1
【分析】【运用】
（1）连接BE，由△CEF沿EF所在的直线翻折得到△C′EF，可得C'的轨迹是E为圆心，1为半径的半⊙E，在Rt△ABE中，BE＝＝，即可得BC'最小为﹣1；
（2）①证明△DAB≌△EAC（SAS），可得∠DBA＝∠ECA，而∠ECA+∠AGC＝90°，即得∠DBA+∠BGP＝90°，∠P＝90°，可得CE⊥BD；
②由∠DPE＝90°，可得P的轨迹是以DE为直径的圆，设T为DE中点，当PQ最大时，线段PQ过T，而PT＝DT＝ET＝DE＝，TQ＝AD＝，即得PQ最大值为，当PQ最小时，Q在线段PT上，可求PQ最小值为PT﹣TQ＝；
【拓展】由BP＝BC•sin∠BCP，知当∠BCP最小时，BP最小，此时AE⊥CP，在Rt△AEC中，EC＝，证明△AEC≌△ADB（SAS），可得BD＝EC＝，∠ADB＝∠AEC＝90°，即知PD＝AE＝1，故BP最小值为﹣1．
解：【运用】
（1）连接BE，如图：
∵△CEF沿EF所在的直线翻折得到△C′EF，
∴EC＝EC'＝AC＝1，
∴C'的轨迹是E为圆心，1为半径的半⊙E，
∴C'在BE上时，BC'最小，此时BC'＝BE﹣C'E，
在Rt△ABE中，BE＝＝，
∴BC'＝﹣1，
故答案为：﹣1；
（2）①如图：
∵△ADE是等腰直角三角形，
∴AD＝AE，∠DAE＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠DAB＝90°﹣∠BAE＝∠EAC，
而AB＝AC，
∴△DAB≌△EAC（SAS），
∴∠DBA＝∠ECA，
∵∠ECA+∠AGC＝90°，
∠AGC＝∠BGP，
∴∠DBA+∠BGP＝90°，
∴∠P＝90°，
∴CE⊥BD，
故答案为：CE⊥BD；
②由①知，CE⊥BD，即在△DEP中，∠DPE＝90°，
∴P的轨迹是以DE为直径的圆，设T为DE中点，
当PQ最大时，线段PQ过T，如图：
∵△ADE是等腰直角三角形，AE＝AD＝1，
∴DE＝＝，
∴PT＝DT＝ET＝DE＝，
而QT是△ADE中位线，
∴TQ＝AD＝，
∴PQ＝，
当PQ最小时，Q在线段PT上，如图：
此时PT＝，TQ＝，
∴PQ最小值为PT﹣TQ＝，
故PQ的最大值为，PQ的最小值为；
【拓展】如图：
由【运用】可知，CE⊥BD，
∴∠BPC＝90°，
∴BP＝BC•sin∠BCP，
而BC＝＝2，
∴BP＝2sin∠BCP，
当∠BCP最小时，BP最小，而∠ACB＝45°，
∴当∠ACE最大时，∠BCP最小，此时AE⊥CP，
在Rt△AEC中，AE＝1，AC＝2，
∴EC＝，
∵AE＝AD，∠EAC＝90°﹣∠BAE＝∠DAB，AC＝AB，
∴△AEC≌△ADB（SAS），
∴BD＝EC＝，∠ADB＝∠AEC＝90°，
∴四边形ADPE是正方形，
∴PD＝AE＝1，
∴BP＝BD﹣PD＝﹣1，
故答案为：﹣1．
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