2021-2022学年江苏省淮安市淮安区九年级上学期数学期中试题及答案

这是一份2021-2022学年江苏省淮安市淮安区九年级上学期数学期中试题及答案，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列方程中，是一元二次方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程为一元二次方程，根据定义判断．
【详解】解：A、含有两个未知数，不符合定义，故不符合题意；
B、符合定义，故符合题意；
C、是不等式，不符合定义，故不符合题意；
D、含有分式，不符合定义，故不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题考查了一元二次方程的定义，熟记定义是解题的关键．
2. 如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOB=72°，则∠ACB等于（ ）
A. 36°B. 54°C. 18°D. 28°
【答案】A
【解析】
【分析】由圆周角定理即可求出.
【详解】根据圆周角定理可知，∠AOB=2∠ACB=72°，则∠ACB=36°，故选A．
【点睛】此题主要考查圆周角定理，解题的关键是熟知圆周角定理的应用.
3. 利用配方法解方程，经过配方，得到（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先把方程变形为x2+4x=5，然后把方程两边加上4后利用完全平方公式写为即可．
【详解】原式=x2+4x=5，
x2+4x +4=9，
所以.
故选A.
【点睛】此题考查解一元二次方程-配方法，解题关键在于掌握运算法则利用完全平方公式解答.
4. 的半径为，点到圆心的距离，则点与的位置关系为（ ）
A. 点在上B. 点在内C. 点在外D. 无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．
【详解】解：的半径为，点A到圆心的距离为，
即点A到圆心的距离小于圆的半径，
点A在内．
故选：B．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r．
5. 如图，⊙O是△ABC内切圆，则点O是△ABC的（ ）
A. 三条边的垂直平分线的交点B. 三条角平分线的交点
C. 三条中线的交点D. 三条高的交点
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形的内切圆得出点到三边的距离相等，即可得出结论．
【详解】解：是的内切圆，
则点到三边的距离相等，
点是的三条角平分线的交点；
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，解题的关键是熟练掌握三角形的内切圆的圆心性质．
6. 一元二次方程4x2﹣2x+=0的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根D. 无法判断
【答案】B
【解析】
【详解】解：在方程4x2﹣2x+ =0中，∆=（﹣2）2﹣4×4×=0，
∴一元二次方程4x2﹣2x+=0有两个相等的实数根．
故选B．
7. 某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（ ）
A. 200（1+x）2＝1000
B. 200+200×2x＝1000
C. 200+200×3x＝1000
D. 200[1+（1+x）+（1+x）2]＝1000
【答案】D
【解析】
【分析】根据增长率问题公式即可解决此题，二月为200（1+x），三月为200（1+x）2，三个月相加即得第一季度的营业额．
【详解】解：∵一月份的营业额为200万元，平均每月增长率为x，
∴二月份的营业额为200×（1+x），
∴三月份的营业额为200×（1+x）×（1+x）＝200×（1+x）2，
∴可列方程为200+200×（1+x）+200×（1+x）2＝1000，
即200[1+（1+x）+（1+x）2]＝1000．
故选D．
【点睛】此题考查增长率问题类一元二次方程的应用，注意：第一季度指一、二、三月的总和．
8. 如图，的半径为，圆心的坐标为，是上的任意一点，，且、与轴分别交于、两点若点、关于原点对称，则长的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据直角三角形斜边中线的性质得到AB=2OP，若要使AB取得最小值，则OP需取最小值，连接OM，交于N，当点P位于点N时，OP取得最小值，过点M作MQ⊥x轴于点Q，求出OM得到ON即可．
【详解】解：∵PA⊥PB，
∴∠APB=90°，
∵OA=OB，
∴AB=2OP，
若要使AB取得最小值，则OP需取最小值，
连接OM，交于N，当点P位于点N时，OP取得最小值，
过点M作MQ⊥x轴于点Q，
则OQ=6，MQ=8，
∴OM=10，
又∵MN=4，
∴ON=6，
∴AB=2ON=12，
故选：C．
【点睛】此题考查了直角三角形斜边中线的性质，最短路径问题，勾股定理，正确理解最短路径问题是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共计24分，不需要写出解答过程，请把正确答案直接填在答题卡相应的位置上）
9. 将方程化为一般形式得________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意将方程化为一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【详解】解：
化为一般形式为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的的定义，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．
10. 已知扇形的圆心角为，半径为3，则扇形的面积为________．
【答案】3
【解析】
【分析】根据扇形面积公式直接计算即可．
【详解】解：扇形的面积，
故答案为：3．
【点睛】此题考查了扇形面积公式：，熟记公式是解题的关键．
11. 当a＝________时，关于x的一元二次方程a2x2＋（2a－1）x＋1＝0有一根为1．
【答案】－2
【解析】
【分析】将方程的根代入得到有关a的方程求解即可确定a的值，注意利用一元二次方程的定义舍去不合题意的根，从而确定a的值．
【详解】解：将x=1代入，
得：a2+2a=0 ，
解得：a1=-2，a2=0．
∵a2≠0， ∴a≠0，
∴a=-2．
故答案为：-2．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解及一元二次方程的定义，解题的关键是能够根据方程的定义舍去不合题意的根，难度不大．
12. 正六边形的边长为4，则它的外接圆半径是_____________．
【答案】4
【解析】
【分析】先画出图形，再连接OA、OB，求出∠AOB的度数，根据等边三角形的判定得出△AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质得出OA=AB=4，即可得出选项．
【详解】解：连接OA、OB，
∵六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，
∴∠AOB==60°，
∵OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∵AB=4，
∴OA=OB=AB=4，
即正六边形ABCDEF的外接圆的半径是4，
故答案为4.
【点睛】本题考查了正多边形和圆，用到的知识点为：n边形的中心角为，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
13. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．若AB＝10，AE＝1，则弦CD的长是_____．
【答案】6
【解析】
【分析】连接OC，根据勾股定理求出CE，根据垂径定理计算即可．
【详解】连接OC，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CD＝2CE，∠OEC＝90°，
∵AB＝10，AE＝1，
∴OC＝5，OE＝5﹣1＝4，
在Rt△COE中，CE＝＝3，
∴CD＝2CE＝6，
故答案为6．
【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．
14. 若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则4m2﹣6m＋2019的值为________．
【答案】2021
【解析】
【分析】根据一元二次方程的解的定义，将m代入方程中，再计算求解即可．
【详解】解：由题意可知：，
∴．
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解和代数式的求值，解题的关键是要正确计算代数式的值．
15. 在实数范围内定义运算“☆”和“★”，其规则为：a☆b＝a2+b2，a★b，则方程3☆x＝x★12的解为___．
【答案】x=3
【解析】
【分析】根据新定义运算列式，对方程进行变形，由此求得方程的解；
【详解】解：由题意得：3☆x＝x★12
即, 32+x2=
9+ x2=6x
x2-6x+9=0
(x-3)2=0
∴x1=x2=3
故答案为：x=3
【点睛】本小题主要考查新定义运算的理解和运用，考查一元二次方程的解法，属于基础题．
16. 如图，某小区有一块长为、宽为的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为________．
【答案】2
【解析】
【分析】设人行通道的宽度为xm，由题意得（30-3x）（24-2x）=480，解方程即可．
【详解】解：设人行通道的宽度为xm，
由题意得（30-3x）（24-2x）=480，
解得x1=2，x2=20（舍去），
∴人行通道的宽度为2m，
故答案为：2．
【点睛】此题考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意列得方程是解题的关键．
三、解答题（本大题共11小题，共计102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的演算步骤、证明过程或文字说明）
17. 解方程：
（1）
（2）
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】（1）利用配方法解方程；
（2）利用因式分解法解方程．
【小问1详解】
解：
x2-2x=2
x2-2x+1=3
(x-1)2=3
x=1±，
∴x1=1+，x2=1-；
【小问2详解】
（x-3）2-4x（x-3）=0
（x-3）（x-3-4x）=0
∴x-3=0或-3-3x=0，
∴，．
【点睛】此题考查了解一元二次方程，正确掌握解一元二次方程的解法并根据每个方程的特点选择恰当的解法是解题的关键．
18. 如图，、分别与⊙相切于A、B两点，若，求的度数．
【答案】80°
【解析】
【分析】利用切线的性质连接OA与OB，如图（见详解），可知，再利用圆周角定理可求得的度数，最后利用四边形的内角和定理即可求得答案．
【详解】解：连接OA、OB，如图所示，
∵、是⊙切线，
∴，，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
【点睛】本题考查的是圆的切线的性质，圆周角定理的应用，以及四边形的内角和定理的应用，掌握这些性质定理并能灵活应用是解题的关键．
19. 若关于的一元二次方程的常数项为，求的值．
【答案】4
【解析】
【分析】根据关于的一元二次方程的常数项为，得到m2-3m-4=0，m+1≠0，解得m值即可．
【详解】解：∵关于的一元二次方程的常数项为，
∴m2-3m-4=0且m+1≠0，
∴（m-4）（m+1）=0，且m≠-1，
解得m=4或m=-1，且m≠-1，
∴m=4．
【点睛】此题考查了一元二次方程的定义，解一元二次方程，正确掌握定义并理解是解题的关键．
20. 如图，在平面直角坐标系中，A(0，4)、B(4，4)、C(6，2)．
（1）经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为 ；
（2）这个圆的半径为 ；
（3）直接判断点D(5，﹣2)与⊙M的位置关系，点D(5，﹣2)在⊙M （填内、外、上）．
【答案】（1）（2，0）；（2）；（3）内
【解析】
【分析】（1）利用网格特点，作和的垂直平分线，它们的交点为点，从而得到点的坐标；
（2）利用两点间的距离公式计算出即可；
（3）先计算出，然后根据点与圆的位置关系的判定方法判断点与的位置关系．
【详解】解：（1）如图，圆心的坐标为；
（2），，
，
即的半径为；
（3），，
，
，
点在内．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了垂径定理和点与圆的位置关系．
21. 已知关于的方程有两个实数根．
（1）求实数的取值范围；
（2）若a为正整数，求方程的根．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）由关于x的方程x2-4x+3a-1=0有两个实数根，根据判别式得到关于a的不等式，然后解不等式即可求出a的取值范围；
（2）根据（1）的结果和a为正整数可求特殊的a值，然后方程的解就可以求出．
【详解】解：（1）∵关于方程有两个实数根，
∴．
解得．
∴的取值范围为．
（2）∵，且a为正整数，
∴．
∴方程可化为．
∴此方程的根为．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式（△=b2-4ac），一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．也考查了一元二次方程的解法．
22. 如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC＝CD，∠ACD＝120°．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为4，求图中阴影部分（弧BC、线段BD及CD围成的图形）的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【小问1详解】
（1）连接OC，求出∠A＝∠D＝30°，由OA＝OC可得∠ACO＝∠A＝30°，从而可知∠OCD＝90°，问题得证；
（2）首先求出∠COD＝60°，即可求出扇形BOC的面积，然后解直角三角形求出CD，再计算出△OCD的面积即可求出阴影部分面积．
【小问2详解】
证明：连接OC，
∵AC＝CD，∠ACD＝120°，
∴∠A＝∠D＝30°，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠A＝30°，
∴∠OCD＝∠ACD −∠ACO＝90°，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）由（1）可知：∠OCD＝90°，
∵∠D＝30°，
∴∠COD＝60°，
∵⊙O的半径为4，
∴S扇形BOC＝，
在Rt△OCD中，tan60°＝，
∴CD＝，
∴S△OCD＝OC×CD＝×4×＝，
∴阴影部分面积为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，切线的判定，解直角三角形以及扇形的面积公式等知识，综合程度较高，难度不大，掌握基础知识是解题的关键．
23. 一商店销售某种商品，平均每天可售出件，每件盈利元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低元，平均每天可多售出件．
（1）若降价元，则平均每天销售数量为 件；
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为元？
【答案】（1）28 （2）10元
【解析】
【分析】（1）根据题意“发现销售单价每降低元，平均每天可多售出件”即可求解；
（2）根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解，根据每件盈利不少于元取舍．
【小问1详解】
解：销售单价每降低元，平均每天可多售出件
降价元，则平均每天销售数量为，
故答案为：28；
【小问2详解】
解：设每件商品降价元时，该商店每天销售利润为元，
根据题意得，，
解得，
，
解得，
．
答：当每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意列出方程是解题的关键．
24. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A 沿边AB向点B以1cm/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，有一点到终点运动即停止．问几秒后的面积等于？
【答案】2秒或4秒
【解析】
【分析】可先设出未知数，△PDQ的面积可由矩形与几个小三角形的面积之差表示，所以求出几个小三角形的面积，进而即可求解结论．
【详解】解：存在，t=2s或4s．理由如下：
可设t秒后其面积为28cm2，
即S矩形ABCD-S△ADP-S△BPQ-S△DCQ=12×6-×12t-（6-t）·2t-×6×（12-2t）=28，
解得t1=2，t2=4，
当其运动2秒或4秒时均符合题意，
所以2秒或4秒时面积为28cm2．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是利用“分割法”来求△PDQ的面积的．
25. 如图，是的内切圆，切点分别是、、．已知，，
（1）则的度数__________°．
（2）连接、，则的度数__________°．
（3）连接，若的周长为，求的长．
【答案】（1）60 （2）120
（3）4cm
【解析】
【分析】（1）由已知中∠A=100°，∠C=20°，根据三角形内角和定理，可得∠B的大小，结合切线的性质，可得∠DOE的度数，再由圆周角定理即可得到∠DFE的度数．
（2）根据切线长定理，可得∠FAO=∠DAO=∠DAF=50°，∠FCO=∠ECO=∠ECF=10°，根据三角形内角和定理即可求解；
（3）根据题意以及切线长定理求得，证明是等边三角形即可求解．
【小问1详解】
解：∵是的内切圆，切点分别是、、
∴∠BDO=∠BEO=90°
∴∠BDO+∠BEO=180°
∵∠B=180°-∠A-∠C=180-100°-20°=60°，
∴∠DOE=180°-∠B=180°-60°=120°，
又∵，
∴∠DFE=∠DOE=60°，
故答案为：60；
【小问2详解】
如图，连接，
∵是的内切圆，切点分别是、、，
∴CE=CF，AD=AF，
∴∠FAO=∠DAO=∠DAF=50°，∠FCO=∠ECO=∠ECF=10°，
∴∠AOC=180°-∠FAO-∠FCO=120°，
故答案为：120；
【小问3详解】
如图，连接DE，
∵是的内切圆，切点分别是、、，
∴CE=CF，AD=AF，BD=BE，
设AD=AF=a，BD=BE=b，CE=CF=c，
∵的周长为，
∴，a+c=6，
∴b=4，即BD=BE=4，
∵BD=BE， ∠B=60°，
∴是等边三角形，
=4．
【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，切线长定理，等边三角形的性质与判定，掌握切线长定理是解题的关键．
26. 阅读下面的材料，回答问题：
解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设，那么，于是原方程可变为，解得，．
当时，，；当时，，；
原方程有四个根：，，，．
仿照上面方法，解方程：．
【答案】，．
【解析】
【分析】设x2+3x=y，则原方程变y2+4y+3=0，求出y=-1，或y=-3，再分别解方程即可．
【详解】解：设x2+3x=y，则原方程变为y2+4y+3=0，
∴（y+1）（y+3）=0，
解得y=-1，或y=-3，
当y=-1时，x2+3x=-1，即x2+3x+1=0，解得x=，
当y=-3时，x2+3x=-3，即x2+3x+3=0，因为∆=32-4×3