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江苏省扬州市宝应县东北片2021-2022学年九年级上学期期中数学【试卷+答案】
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这是一份江苏省扬州市宝应县东北片2021-2022学年九年级上学期期中数学【试卷+答案】，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题.等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年江苏省扬州市宝应县东北片九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）
1．下列方程中，一元二次方程是（ ）
A． B．x2+1＝0 C．ax2+bx+c＝0 D．x﹣y﹣1＝0
2．在我校“文化艺术节”英语表演比赛中，有16名学生参加比赛，规定前8名的学生进入决赛，某选手想知道自己能否晋级，只需要知道这16名学生成绩的（ ）
A．中位数 B．方差 C．平均数 D．众数
3．根据下面表格中的对应值判断关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解x的范围是（ ）
x
3.24
3.25
3.26
ax2+bx+c
﹣0.02
0.01
0.03
A．x＜3.24 B．3.24＜x＜3.25
C．3.25＜x＜3.26 D．x＞3.26
4．已知线段a＝2，b＝4，如果线段b是线段a和c的比例中项，那么线段c的长度是（ ）
A．8 B．6 C． D．2
5．如图，已知CD为⊙O的直径，过点D的弦DE平行于半径OA，若弧CE的度数是92°，则∠C的度数是（ ）
A．46° B．88° C．24° D．23°
6．已知P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB、如果S1表示以PA为一边的正方形的面积，S2表示长为AB、宽为PB的矩形的面积，则S1与S2之间的大小关系是（ ）
A．S1＝S2
B．S1＞S2
C．S1＜S2
D．S1与S2的大小关系不能确定
7．下列说法中，正确的个数有：（1）垂直于弦的直径平分这条弦并且平分这条弦所对的两条弧；（2）半圆是弧；（3）长度相等的弧是等弧；（4）平分弦的直径垂直于这条弦．（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
8．股票每天的涨、跌幅均不能超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停．已知一只股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价．若这两天此股票股价的平均增长率为x，则x满足的方程是（ ）
A．（1+x）2＝ B．（1+x）2＝
C．1+2x＝ D．1+2x＝
二、填空题（每题3分，共计30分）.
9．方程x2＝2x的解是 ．
10．关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+1＝0有实数根，则m的取值范围是 ．
11．在今年“全国助残日”捐款活动中，某班级第一小组7名同学积极捐出自己的零花钱，奉献自己的爱心．他们捐款的数额分别是（单位：元）50，20，50，30，25，55，25，这组数据的众数 ．
12．一组数据2，3，x，6的极差是6，则x＝ ．
13．△AOB三个顶点的坐标分别为A（5，0），O（0，0），B（3，6），以原点O为位似中心，相似比为，将△AOB缩小，则点B的对应点B′的坐标是 ．
14．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为5，∠B＝135°，则弦AC的长为 ．
15．如图，在⊙O中，弦AB＝2，点C在AB上移动，连接OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为 ．
16．AB为⊙O的弦，∠OAB＝40°，则弦AB所对的弧的度数为 ．
17．在同一平面内，点P到圆上的点的最大距离为7，最小距离为1，则此圆的半径为 ．
18．已知关于x的方程a（x+c）2+b＝0（a，b，c为常数，a≠0）的两根分别为﹣2，1，那么关于x的方程a（x+c﹣2）2+b＝0的两根分别为 ．
三．解答题（本大题共10小题，共96分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.
19．解方程：
（1）x2+2x＝6．
（2）（2x﹣3）2﹣x2＝0．
20．已知关于x的方程x2+mx+m﹣2＝0．
（1）若此方程的一个根为1，求m的值；
（2）求证：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．
21．省射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加全国比赛，对他们进行了六次测试，测试成绩如下表（单位：环）：
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
第六次
甲
10
8
9
8
10
9
乙
10
7
10
10
9
8
（1）根据表格中的数据，计算出甲的平均成绩是 环，乙的平均成绩是 环；
（2）分别计算甲、乙六次测试成绩的方差；你认为推荐谁参加全国比赛更合适，请说明理由．
22．（1）如图，将A、B、C三个字母随机填写在三个空格中（每空填一个字母，每空中的字母不重复），请你用画树状图或列表的方法求从左往右字母顺序恰好是A、B、C的概率；
（2）若在如图三个空格的右侧增加一个空格，将A、B、C、D四个字母任意填写其中（每空填一个字母，每空中的字母不重复），从左往右字母顺序恰好是A、B、C、D的概率为 ．
23．图中是圆弧拱桥，某天测得水面AB宽20m，此时圆弧最高点距水面5m．
（1）确定圆弧所在圆的圆心O．（尺规作图，保留作图痕迹）
（2）求圆弧所在圆的半径．
24．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1250元，那么衬衫的单价降了多少元？
25．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC的中点，CE⊥AD，垂足为E．
（1）求证：CD2＝DE•AD；
（2）求证：∠BED＝∠ABC．
26．如图，王华同学在晚上由路灯AC走向路灯BD，当他走到点P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部，当他向前再步行12m到达Q点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部．已知王华同学的身高是1.6m，两个路灯的高度都是9.6m．
（1）求两个路灯之间的距离；
（2）当王华同学走到路灯BD处时，他在路灯AC下的影子长是多少？
27．如图．在△ABC中．AB＝4，D是AB上的一点（不与点A、B重合），DE∥BC．交于点E．设△ABC的面积为S．△DEC的面积为S′．
（1）当D是AB的中点时．求的值．
（2）若AD＝x，＝y，求y关于x的函数关系式以及自变量x的取值范围．
（3）根据y的取值范围，探索S与S′之间的大小关系．并说明理由．
28．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝8，点P为AB的中点，E为BC上一动点，过P点作FP⊥PE交AC于F点，经过P、E、F三点确定⊙O．
（1）试说明：点C也一定在⊙O上．
（2）点E在运动过程中，∠PEF的度数是否变化？若不变，求出∠PEF的度数；若变化，说明理由．
（3）求线段EF的取值范围，并说明理由．
参考答案
一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）
1．下列方程中，一元二次方程是（ ）
A． B．x2+1＝0 C．ax2+bx+c＝0 D．x﹣y﹣1＝0
【分析】根据一元二次方程的定义（含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程）进行判断即可．
解：A．x﹣＝0是分式方程，故此选项不符合题意．
B．x2+1＝0是一元二次方程，故此选项符合题意；
C．当a＝0时，是一元一次方程，故此选项不符合题意；
D．x﹣y﹣1＝0是二元二次方程，故此选项不符合题意；
故选：B．
2．在我校“文化艺术节”英语表演比赛中，有16名学生参加比赛，规定前8名的学生进入决赛，某选手想知道自己能否晋级，只需要知道这16名学生成绩的（ ）
A．中位数 B．方差 C．平均数 D．众数
【分析】根据中位数的定义进行求解即可．
解：16位学生参加比赛，取得前8名的学生进入决赛，中位数就是第8、第9个数的平均数，
因而要判断自己能否晋级，只需要知道这16名学生成绩的中位数就可以．
故选：A．
3．根据下面表格中的对应值判断关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解x的范围是（ ）
x
3.24
3.25
3.26
ax2+bx+c
﹣0.02
0.01
0.03
A．x＜3.24 B．3.24＜x＜3.25
C．3.25＜x＜3.26 D．x＞3.26
【分析】根据表中数据得到x＝3.24时，ax2+bx+c＝﹣0.02；x＝3.25时，ax2+bx+c＝0.01，则x取2.24到2.25之间的某一个数时，使ax2+bx+c＝0，于是可判断关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解x的范围是3.24＜x＜3.25．
解：∵x＝3.24时，ax2+bx+c＝﹣0.02；x＝3.25时，ax2+bx+c＝0.01，
∴关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解x的范围是3.24＜x＜3.25．
故选：B．
4．已知线段a＝2，b＝4，如果线段b是线段a和c的比例中项，那么线段c的长度是（ ）
A．8 B．6 C． D．2
【分析】根据比例中项的定义，若b是a，c的比例中项，即b2＝ac．即可求解．
解：若b是a、c的比例中项，
即b2＝ac．
42＝2c，
解得c＝8，
故选：A．
5．如图，已知CD为⊙O的直径，过点D的弦DE平行于半径OA，若弧CE的度数是92°，则∠C的度数是（ ）
A．46° B．88° C．24° D．23°
【分析】连接OE，利用圆周角定理求出∠CDE＝46°，再利用平行线的性质求出∠AOD＝46°，可得结论．
解：连接OE．
∵弧CE的度数是92°，
∴∠COE＝92°，
∴∠CDE＝∠COE＝46°，
∵OA∥DE，
∴∠AOD＝∠CDE＝46°，
∴∠C＝∠AOD＝23°，
故选：D．
6．已知P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB、如果S1表示以PA为一边的正方形的面积，S2表示长为AB、宽为PB的矩形的面积，则S1与S2之间的大小关系是（ ）
A．S1＝S2
B．S1＞S2
C．S1＜S2
D．S1与S2的大小关系不能确定
【分析】根据黄金分割的概念知：，变形后求解．
解：由题意得：
∴＝1．
即：S1＝S2．
故选：A．
7．下列说法中，正确的个数有：（1）垂直于弦的直径平分这条弦并且平分这条弦所对的两条弧；（2）半圆是弧；（3）长度相等的弧是等弧；（4）平分弦的直径垂直于这条弦．（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】根据圆的有关性质分别对每一项进行分析即可．
解：（1）垂直于弦的直径平分这条弦并且平分这条弦所对的两条弧，故符合题意；
（2）半圆是弧，故符合题意；
（3）在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故不符合题意；
（4）平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦，故不符合题意；
其中真命题的个数有2个；
故选：C．
8．股票每天的涨、跌幅均不能超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停．已知一只股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价．若这两天此股票股价的平均增长率为x，则x满足的方程是（ ）
A．（1+x）2＝ B．（1+x）2＝
C．1+2x＝ D．1+2x＝
【分析】股票一次跌停就跌到原来价格的90%，再从90%的基础上涨到原来的价格，且涨幅只能≤10%，所以至少要经过两天的上涨才可以．设平均每天涨x，每天相对于前一天就上涨到1+x．
解：假设股票的原价是1，设平均每天涨x．
则90%（1+x）2＝1，
即（1+x）2＝，
故选：B．
二、填空题（每题3分，共计30分）.
9．方程x2＝2x的解是 x1＝0，x2＝2 ．
【分析】先移项得到x2﹣2x＝0，再把方程左边进行因式分解得到x（x﹣2）＝0，方程转化为两个一元一次方程：x＝0或x﹣2＝0，即可得到原方程的解为x1＝0，x2＝2．
解：∵x2﹣2x＝0，
∴x（x﹣2）＝0，
∴x＝0或x﹣2＝0，
∴x1＝0，x2＝2．
故答案为x1＝0，x2＝2．
10．关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+1＝0有实数根，则m的取值范围是 m≤3且m≠2 ．
【分析】若一元二次方程有实数根，则根的判别式Δ＝b2﹣4ac≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．还要注意二次项系数不为0．
解：∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+1＝0有实数根，
∴Δ＝22﹣4×（m﹣2）×1≥0，且m﹣2≠0，
解得：m≤3且m≠2，
故答案为：m≤3且m≠2．
11．在今年“全国助残日”捐款活动中，某班级第一小组7名同学积极捐出自己的零花钱，奉献自己的爱心．他们捐款的数额分别是（单位：元）50，20，50，30，25，55，25，这组数据的众数 50和25 ．
【分析】根据众数的定义求解可得．
解：50、25出现了2次，出现的次数最多，
则众数是50和25，
故答案为：50和25；
12．一组数据2，3，x，6的极差是6，则x＝ 6或0 ．
【分析】根据极差的定义求解即可．注意分类讨论：x为最大数或最小数．
解：根据题意：x﹣2＝6或6﹣x＝6，
∴x＝8或x＝0．
故答案为：6或0．
13．△AOB三个顶点的坐标分别为A（5，0），O（0，0），B（3，6），以原点O为位似中心，相似比为，将△AOB缩小，则点B的对应点B′的坐标是 （2，4）或（﹣2，﹣4） ．
【分析】根据位似变换的性质解答即可．
解：∵△AOB顶点B的坐标为（3，6），以原点O为位似中心，相似比为，将△AOB缩小，
∴点B的对应点B′的坐标为（3×，6×）或（3×（﹣），6×（﹣）），即（2，4）或（﹣2，﹣4），
故答案为：（2，4）或（﹣2，﹣4）．
14．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为5，∠B＝135°，则弦AC的长为 5 ．
【分析】连接OA、OC，根据圆内接四边形的性质和已知条件求出∠D的度数，根据圆周角定理求出∠AOC，再根据等腰直角三角形的性质求出答案即可．
解：连接OA、OC，AC，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ABC+∠D＝180°，
∵∠B＝135°，
∴∠D＝45°，
∴∠AOC＝2∠D＝90°，
∵⊙O的半径为5，
∴AC＝OA＝5，
故答案为：5．
15．如图，在⊙O中，弦AB＝2，点C在AB上移动，连接OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为 1 ．
【分析】连接OD，如图，利用勾股定理得到CD，利用垂线段最短得到当OC⊥AB时，OC最小，再求出CD即可．
解：连接OD，如图，
∵CD⊥OC，
∴∠DCO＝90°，
∴CD＝＝，
当OC的值最小时，CD的值最大，
而OC⊥AB时，OC最小，此时D、B两点重合，
∴CD＝CB＝AB＝×2＝1，
即CD的最大值为1，
故答案为：1．
16．AB为⊙O的弦，∠OAB＝40°，则弦AB所对的弧的度数为 100°或260° ．
【分析】求出∠AOB，再求出劣弧，优弧的度数即可．
解：如图，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝40°，
∴∠AOB＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴弦AB所对的弧的度数为100°或260°，
故答案为：100°或260°，
17．在同一平面内，点P到圆上的点的最大距离为7，最小距离为1，则此圆的半径为 4或3 ．
【分析】由于点P与⊙O的位置关系不能确定，故应分两种情况进行讨论．
解：设⊙O的半径为r，
当点P在圆外时，r＝＝3；
当点P在⊙O内时，r＝＝4．
综上可知此圆的半径为4或3．
故答案为：4或3．
18．已知关于x的方程a（x+c）2+b＝0（a，b，c为常数，a≠0）的两根分别为﹣2，1，那么关于x的方程a（x+c﹣2）2+b＝0的两根分别为 3，0 ．
【分析】方法一：根据方程a（x+c）2+b＝0（a，b，c为常数，a≠0）的两根分别为﹣2，1，进行转化，即可得到c的值，然后即可得到方程a（x+c﹣2）2+b＝0的两根；方法二：根据平移的特点，由方程a（x+c）2+b＝0（a，b，c为常数，a≠0）的两根分别为﹣2，1，可以得到方程a（x+c﹣2）2+b＝0的两根．
解：方法一：∵方程a（x+c）2+b＝0（a，b，c为常数，a≠0）的两根分别为﹣2，1，
∴a（﹣2+c）2+b＝0或a（1+c）2+b＝0，
∴（﹣2+c）2＝﹣或（1+c）2＝﹣，
∴﹣2+c+1+c＝0，
解得，c＝0.5，
∴（﹣2+0.5）2＝﹣，
∴＝，
∵a（x+c﹣2）2+b＝0，
∴（x+0.5﹣2）2＝，
解得，x1＝3，x2＝0，
故答案为：3，0．
方法二：∵方程a（x+c）2+b＝0（a，b，c为常数，a≠0）的两根分别为﹣2，1，
∴方程a（x+c﹣2）2+b＝0的两根分别为：﹣2+2＝0或1+2＝3，
故答案为：3，0．
三．解答题（本大题共10小题，共96分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.
19．解方程：
（1）x2+2x＝6．
（2）（2x﹣3）2﹣x2＝0．
【分析】（1）方程两边同时加上1，利用配方法解方程即可；
（2）利用分解因式求出即可．
解：（1）x2+2x＝6，
x2+2x+1＝6+1，即（x+1）2＝7，
∴x+1＝，
∴x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣；
（2）（2x﹣3）2﹣x2＝0，
（2x﹣3+x）（2x﹣3﹣x）＝0，
∴3x﹣3＝0或x﹣3＝0，
∴x1＝1，x2＝3．
20．已知关于x的方程x2+mx+m﹣2＝0．
（1）若此方程的一个根为1，求m的值；
（2）求证：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．
【分析】（1）直接把x＝1代入方程x2+mx+m﹣2＝0求出m的值；
（2）计算出根的判别式，进一步利用配方法和非负数的性质证得结论即可．
解：（1）根据题意，将x＝1代入方程x2+mx+m﹣2＝0，
得：1+m+m﹣2＝0，
解得：m＝；
（2）∵Δ＝m2﹣4×1×（m﹣2）＝m2﹣4m+8＝（m﹣2）2+4＞0，
∴不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
21．省射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加全国比赛，对他们进行了六次测试，测试成绩如下表（单位：环）：
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
第六次
甲
10
8
9
8
10
9
乙
10
7
10
10
9
8
（1）根据表格中的数据，计算出甲的平均成绩是 9 环，乙的平均成绩是 9 环；
（2）分别计算甲、乙六次测试成绩的方差；你认为推荐谁参加全国比赛更合适，请说明理由．
【分析】（1）根据表格中的数据可以算出甲和乙的平均环数；
（2）根据表格中的数据可以分别计算出甲和乙的方差，然后根据方差越小越稳定即可解答本题．
解：（1）甲的平均成绩是：（10+8+9+8+10+9）÷6＝9（环），
乙的平均成绩是：（10+7+10+10+9+8）÷6＝9（环），
故答案为：9，9；
（2）推荐甲参加全国比赛更合适，
理由：甲的方差是：×[2×（10﹣9）2+2×（8﹣9）2+2×（9﹣9）2]＝，
乙的方差是：×[3×（10﹣9）2+（7﹣9）2+（8﹣9）2+（9﹣9）2]＝，
∵＜，
∴推荐甲参加全国比赛更合适．
22．（1）如图，将A、B、C三个字母随机填写在三个空格中（每空填一个字母，每空中的字母不重复），请你用画树状图或列表的方法求从左往右字母顺序恰好是A、B、C的概率；
（2）若在如图三个空格的右侧增加一个空格，将A、B、C、D四个字母任意填写其中（每空填一个字母，每空中的字母不重复），从左往右字母顺序恰好是A、B、C、D的概率为 ．
【分析】（1）用列表法例举出所有可能的情况，再看一下左往右字母顺序恰好是A、B、C的种数即可求出其概率；
（2）用列表法例举出所有可能的情况，再看一下左往右字母顺序恰好是A、B、C、D的种数即可求出其概率；
【解答】（1）解：
空格1
空格2
空格3
A
B
C
A
C
B
B
A
C
B
C
A
C
A
B
C
B
A
如表格所示，一共有六种等可能的结果，其中从左往右字母顺序恰好是A、B、C（记为事件A）的结果有一种，所以P（A）＝．
（2）由（1）可知从左往右字母顺序恰好是A、B、C、D的概率为：．
故答案为：．
23．图中是圆弧拱桥，某天测得水面AB宽20m，此时圆弧最高点距水面5m．
（1）确定圆弧所在圆的圆心O．（尺规作图，保留作图痕迹）
（2）求圆弧所在圆的半径．
【分析】（1）利用垂径定理得出垂直平分线，交点即是圆心，到任意一点距离即是半径；
（2）利用垂径定理以及勾股定理，即可得出答案．
解：（1）如图，圆心O即为所求；
（2）设圆弧拱桥最高点为C，连接OA、OC交AB于D，
则OC⊥AB，CD＝5m，AD＝AB＝10m，
设OD＝xm，则OA＝OC＝（x+5）m，
Rt△AOD中：OA2＝OD2+AD2，
即x2+102＝（x+5）2，
∴x＝7.5，
∴OA＝12.5m，
即圆半径为12.5m．
24．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1250元，那么衬衫的单价降了多少元？
【分析】设衬衫的单价降了x元．根据题意等量关系：降价后的销量×每件的利润＝1250，根据等量关系列出方程即可．
解：设衬衫的单价降了x元．根据题意，得
（20+2x）（40﹣x）＝1250，
解得：x1＝x2＝15，
答：衬衫的单价降了15元．
25．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC的中点，CE⊥AD，垂足为E．
（1）求证：CD2＝DE•AD；
（2）求证：∠BED＝∠ABC．
【分析】（1）证明∠CED＝∠ACB＝90°，∠CDE＝∠ADC，得到△CDE∽△ADC，列出比例式，化为等积式即可解决问题．
（2）运用（1）中的结论，证明△BDE∽△ADB，即可解决问题．
【解答】证明（1）∵CE⊥AD，
∴∠CED＝∠ACB＝90°，
∵∠CDE＝∠ADC，
∴△CDE∽△ADC，
∴CD：AD＝DE：CD，
∴CD2＝DE•AD．
（2）∵D是BC的中点，
∴BD＝CD；
∵CD2＝DE•AD，
∴BD2＝DE•AD
∴BD：AD＝DE：BD；
又∵∠ADB＝∠BDE，
∴△BDE∽△ADB，
∴∠BED＝∠ABC．
26．如图，王华同学在晚上由路灯AC走向路灯BD，当他走到点P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部，当他向前再步行12m到达Q点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部．已知王华同学的身高是1.6m，两个路灯的高度都是9.6m．
（1）求两个路灯之间的距离；
（2）当王华同学走到路灯BD处时，他在路灯AC下的影子长是多少？
【分析】（1）依题意得到△APM∽△ABD，∴再由它可以求出AB；
（2）设王华走到路灯BD处头的顶部为E，连接CE并延长交AB的延长线于点F则BF即为此时他在路灯AC的影子长，容易知道△EBF∽△CAF，再利用它们对应边成比例求出现在的影子．
解：（1）由对称性可知AP＝BQ，设AP＝BQ＝xm
∵MP∥BD∴△APM∽△ABD
∴
∴
∴x＝3
经检验x＝3是原方程的根，并且符合题意．
∴AB＝2x+12＝2×3+12＝18（m）
答：两个路灯之间的距离为18米．
（2）设王华走到路灯BD处头的顶部为E，连接CE并延长交AB的延长线于点F，
则BF即为此时他在路灯AC的影子长，
设BF＝ym
∵BE∥AC
∴△EBF∽△CAF
∴，即
解得y＝3.6，
经检验y＝3.6是分式方程的解．
答：当王华同学走到路灯BD处时，他在路灯AC下的影子长是3.6米．
27．如图．在△ABC中．AB＝4，D是AB上的一点（不与点A、B重合），DE∥BC．交于点E．设△ABC的面积为S．△DEC的面积为S′．
（1）当D是AB的中点时．求的值．
（2）若AD＝x，＝y，求y关于x的函数关系式以及自变量x的取值范围．
（3）根据y的取值范围，探索S与S′之间的大小关系．并说明理由．
【分析】（1）先求出△ADE和△CDE的面积相等，再根据平行线得出△ADE∽△ABC，推出＝（）2，把AB＝2AD代入求出即可；
（2）求出＝x2①，＝＝②，①÷②即可得出答案；
（3）由（2）知x的取值范围是0＜x＜4，于是得到y＝＝﹣x2+x＝﹣（x﹣2）2+≤，即可得到结论．
解：（1）∵D为AB中点，
∴AB＝2AD，
∵DE∥BC，
∴AE＝EC，
∵△ADE的边AE上的高和△CED的边CE上的高相等，
∴S△ADE＝S△CDE＝S1，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝（）2＝（）2＝，
∴S′：S＝1：4；
（2）∵AB＝4，AD＝x，
∴＝（）2＝（）2，
∴＝x2①，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，
∵AB＝4，AD＝x，
∴＝，
∴＝
∵△ADE的边AE上的高和△CED的边CE上的高相等，
∴＝＝②，
①÷②得：
∴y＝＝﹣x2+x，
∵AB＝4，
∴x的取值范围是0＜x＜4；
（3）由（2）知x的取值范围是0＜x＜4，
∴y＝＝﹣x2+x＝﹣（x﹣2）2+≤，
∴S′≤S．
28．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝8，点P为AB的中点，E为BC上一动点，过P点作FP⊥PE交AC于F点，经过P、E、F三点确定⊙O．
（1）试说明：点C也一定在⊙O上．
（2）点E在运动过程中，∠PEF的度数是否变化？若不变，求出∠PEF的度数；若变化，说明理由．
（3）求线段EF的取值范围，并说明理由．
【分析】（1）根据圆周角定理可求知FE是⊙O的直径，从而可知点C在⊙O上．
（2）根据圆周角定理即可求出∠PEF的度数．
（3）由于△FEP是等腰直角三角形，从而可知EF＝EP，所以求出EP的范围即可．
解：（1）由于FP⊥PE，
经过P、E、F三点确定⊙O，由圆周角定理可知：⊙O的直径为EF，
∵∠FCE＝90°，
∴点C在圆O上．
（2）连接PC
∵AC＝BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵点P是AB的中点，
∴CP平分∠ACB，
∴∠ACP＝45°，
∵，
∴∠ACP＝∠PEF＝45°，
由于∠ACP的度数不变，
∴∠PEF的度数不会发生变化．
（3）∵△EFP是等腰直角三角形，
∴FE＝PE
当PE⊥BC时，
此时PE＝AC＝4，
当P与C或B重合时，
此时PE＝4，
∴4≤PE≤4，
∴4≤EF≤8
2021-2022学年江苏省扬州市宝应县东北片九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）
1．下列方程中，一元二次方程是（ ）
A． B．x2+1＝0 C．ax2+bx+c＝0 D．x﹣y﹣1＝0
2．在我校“文化艺术节”英语表演比赛中，有16名学生参加比赛，规定前8名的学生进入决赛，某选手想知道自己能否晋级，只需要知道这16名学生成绩的（ ）
A．中位数 B．方差 C．平均数 D．众数
3．根据下面表格中的对应值判断关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解x的范围是（ ）
x
3.24
3.25
3.26
ax2+bx+c
﹣0.02
0.01
0.03
A．x＜3.24 B．3.24＜x＜3.25
C．3.25＜x＜3.26 D．x＞3.26
4．已知线段a＝2，b＝4，如果线段b是线段a和c的比例中项，那么线段c的长度是（ ）
A．8 B．6 C． D．2
5．如图，已知CD为⊙O的直径，过点D的弦DE平行于半径OA，若弧CE的度数是92°，则∠C的度数是（ ）
A．46° B．88° C．24° D．23°
6．已知P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB、如果S1表示以PA为一边的正方形的面积，S2表示长为AB、宽为PB的矩形的面积，则S1与S2之间的大小关系是（ ）
A．S1＝S2
B．S1＞S2
C．S1＜S2
D．S1与S2的大小关系不能确定
7．下列说法中，正确的个数有：（1）垂直于弦的直径平分这条弦并且平分这条弦所对的两条弧；（2）半圆是弧；（3）长度相等的弧是等弧；（4）平分弦的直径垂直于这条弦．（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
8．股票每天的涨、跌幅均不能超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停．已知一只股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价．若这两天此股票股价的平均增长率为x，则x满足的方程是（ ）
A．（1+x）2＝ B．（1+x）2＝
C．1+2x＝ D．1+2x＝
二、填空题（每题3分，共计30分）.
9．方程x2＝2x的解是 ．
10．关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+1＝0有实数根，则m的取值范围是 ．
11．在今年“全国助残日”捐款活动中，某班级第一小组7名同学积极捐出自己的零花钱，奉献自己的爱心．他们捐款的数额分别是（单位：元）50，20，50，30，25，55，25，这组数据的众数 ．
12．一组数据2，3，x，6的极差是6，则x＝ ．
13．△AOB三个顶点的坐标分别为A（5，0），O（0，0），B（3，6），以原点O为位似中心，相似比为，将△AOB缩小，则点B的对应点B′的坐标是 ．
14．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为5，∠B＝135°，则弦AC的长为 ．
15．如图，在⊙O中，弦AB＝2，点C在AB上移动，连接OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为 ．
16．AB为⊙O的弦，∠OAB＝40°，则弦AB所对的弧的度数为 ．
17．在同一平面内，点P到圆上的点的最大距离为7，最小距离为1，则此圆的半径为 ．
18．已知关于x的方程a（x+c）2+b＝0（a，b，c为常数，a≠0）的两根分别为﹣2，1，那么关于x的方程a（x+c﹣2）2+b＝0的两根分别为 ．
三．解答题（本大题共10小题，共96分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.
19．解方程：
（1）x2+2x＝6．
（2）（2x﹣3）2﹣x2＝0．
20．已知关于x的方程x2+mx+m﹣2＝0．
（1）若此方程的一个根为1，求m的值；
（2）求证：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．
21．省射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加全国比赛，对他们进行了六次测试，测试成绩如下表（单位：环）：
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
第六次
甲
10
8
9
8
10
9
乙
10
7
10
10
9
8
（1）根据表格中的数据，计算出甲的平均成绩是 环，乙的平均成绩是 环；
（2）分别计算甲、乙六次测试成绩的方差；你认为推荐谁参加全国比赛更合适，请说明理由．
22．（1）如图，将A、B、C三个字母随机填写在三个空格中（每空填一个字母，每空中的字母不重复），请你用画树状图或列表的方法求从左往右字母顺序恰好是A、B、C的概率；
（2）若在如图三个空格的右侧增加一个空格，将A、B、C、D四个字母任意填写其中（每空填一个字母，每空中的字母不重复），从左往右字母顺序恰好是A、B、C、D的概率为 ．
23．图中是圆弧拱桥，某天测得水面AB宽20m，此时圆弧最高点距水面5m．
（1）确定圆弧所在圆的圆心O．（尺规作图，保留作图痕迹）
（2）求圆弧所在圆的半径．
24．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1250元，那么衬衫的单价降了多少元？
25．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC的中点，CE⊥AD，垂足为E．
（1）求证：CD2＝DE•AD；
（2）求证：∠BED＝∠ABC．
26．如图，王华同学在晚上由路灯AC走向路灯BD，当他走到点P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部，当他向前再步行12m到达Q点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部．已知王华同学的身高是1.6m，两个路灯的高度都是9.6m．
（1）求两个路灯之间的距离；
（2）当王华同学走到路灯BD处时，他在路灯AC下的影子长是多少？
27．如图．在△ABC中．AB＝4，D是AB上的一点（不与点A、B重合），DE∥BC．交于点E．设△ABC的面积为S．△DEC的面积为S′．
（1）当D是AB的中点时．求的值．
（2）若AD＝x，＝y，求y关于x的函数关系式以及自变量x的取值范围．
（3）根据y的取值范围，探索S与S′之间的大小关系．并说明理由．
28．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝8，点P为AB的中点，E为BC上一动点，过P点作FP⊥PE交AC于F点，经过P、E、F三点确定⊙O．
（1）试说明：点C也一定在⊙O上．
（2）点E在运动过程中，∠PEF的度数是否变化？若不变，求出∠PEF的度数；若变化，说明理由．
（3）求线段EF的取值范围，并说明理由．
参考答案
一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）
1．下列方程中，一元二次方程是（ ）
A． B．x2+1＝0 C．ax2+bx+c＝0 D．x﹣y﹣1＝0
【分析】根据一元二次方程的定义（含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程）进行判断即可．
解：A．x﹣＝0是分式方程，故此选项不符合题意．
B．x2+1＝0是一元二次方程，故此选项符合题意；
C．当a＝0时，是一元一次方程，故此选项不符合题意；
D．x﹣y﹣1＝0是二元二次方程，故此选项不符合题意；
故选：B．
2．在我校“文化艺术节”英语表演比赛中，有16名学生参加比赛，规定前8名的学生进入决赛，某选手想知道自己能否晋级，只需要知道这16名学生成绩的（ ）
A．中位数 B．方差 C．平均数 D．众数
【分析】根据中位数的定义进行求解即可．
解：16位学生参加比赛，取得前8名的学生进入决赛，中位数就是第8、第9个数的平均数，
因而要判断自己能否晋级，只需要知道这16名学生成绩的中位数就可以．
故选：A．
3．根据下面表格中的对应值判断关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解x的范围是（ ）
x
3.24
3.25
3.26
ax2+bx+c
﹣0.02
0.01
0.03
A．x＜3.24 B．3.24＜x＜3.25
C．3.25＜x＜3.26 D．x＞3.26
【分析】根据表中数据得到x＝3.24时，ax2+bx+c＝﹣0.02；x＝3.25时，ax2+bx+c＝0.01，则x取2.24到2.25之间的某一个数时，使ax2+bx+c＝0，于是可判断关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解x的范围是3.24＜x＜3.25．
解：∵x＝3.24时，ax2+bx+c＝﹣0.02；x＝3.25时，ax2+bx+c＝0.01，
∴关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解x的范围是3.24＜x＜3.25．
故选：B．
4．已知线段a＝2，b＝4，如果线段b是线段a和c的比例中项，那么线段c的长度是（ ）
A．8 B．6 C． D．2
【分析】根据比例中项的定义，若b是a，c的比例中项，即b2＝ac．即可求解．
解：若b是a、c的比例中项，
即b2＝ac．
42＝2c，
解得c＝8，
故选：A．
5．如图，已知CD为⊙O的直径，过点D的弦DE平行于半径OA，若弧CE的度数是92°，则∠C的度数是（ ）
A．46° B．88° C．24° D．23°
【分析】连接OE，利用圆周角定理求出∠CDE＝46°，再利用平行线的性质求出∠AOD＝46°，可得结论．
解：连接OE．
∵弧CE的度数是92°，
∴∠COE＝92°，
∴∠CDE＝∠COE＝46°，
∵OA∥DE，
∴∠AOD＝∠CDE＝46°，
∴∠C＝∠AOD＝23°，
故选：D．
6．已知P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB、如果S1表示以PA为一边的正方形的面积，S2表示长为AB、宽为PB的矩形的面积，则S1与S2之间的大小关系是（ ）
A．S1＝S2
B．S1＞S2
C．S1＜S2
D．S1与S2的大小关系不能确定
【分析】根据黄金分割的概念知：，变形后求解．
解：由题意得：
∴＝1．
即：S1＝S2．
故选：A．
7．下列说法中，正确的个数有：（1）垂直于弦的直径平分这条弦并且平分这条弦所对的两条弧；（2）半圆是弧；（3）长度相等的弧是等弧；（4）平分弦的直径垂直于这条弦．（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】根据圆的有关性质分别对每一项进行分析即可．
解：（1）垂直于弦的直径平分这条弦并且平分这条弦所对的两条弧，故符合题意；
（2）半圆是弧，故符合题意；
（3）在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故不符合题意；
（4）平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦，故不符合题意；
其中真命题的个数有2个；
故选：C．
8．股票每天的涨、跌幅均不能超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停．已知一只股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价．若这两天此股票股价的平均增长率为x，则x满足的方程是（ ）
A．（1+x）2＝ B．（1+x）2＝
C．1+2x＝ D．1+2x＝
【分析】股票一次跌停就跌到原来价格的90%，再从90%的基础上涨到原来的价格，且涨幅只能≤10%，所以至少要经过两天的上涨才可以．设平均每天涨x，每天相对于前一天就上涨到1+x．
解：假设股票的原价是1，设平均每天涨x．
则90%（1+x）2＝1，
即（1+x）2＝，
故选：B．
二、填空题（每题3分，共计30分）.
9．方程x2＝2x的解是 x1＝0，x2＝2 ．
【分析】先移项得到x2﹣2x＝0，再把方程左边进行因式分解得到x（x﹣2）＝0，方程转化为两个一元一次方程：x＝0或x﹣2＝0，即可得到原方程的解为x1＝0，x2＝2．
解：∵x2﹣2x＝0，
∴x（x﹣2）＝0，
∴x＝0或x﹣2＝0，
∴x1＝0，x2＝2．
故答案为x1＝0，x2＝2．
10．关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+1＝0有实数根，则m的取值范围是 m≤3且m≠2 ．
【分析】若一元二次方程有实数根，则根的判别式Δ＝b2﹣4ac≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．还要注意二次项系数不为0．
解：∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+1＝0有实数根，
∴Δ＝22﹣4×（m﹣2）×1≥0，且m﹣2≠0，
解得：m≤3且m≠2，
故答案为：m≤3且m≠2．
11．在今年“全国助残日”捐款活动中，某班级第一小组7名同学积极捐出自己的零花钱，奉献自己的爱心．他们捐款的数额分别是（单位：元）50，20，50，30，25，55，25，这组数据的众数 50和25 ．
【分析】根据众数的定义求解可得．
解：50、25出现了2次，出现的次数最多，
则众数是50和25，
故答案为：50和25；
12．一组数据2，3，x，6的极差是6，则x＝ 6或0 ．
【分析】根据极差的定义求解即可．注意分类讨论：x为最大数或最小数．
解：根据题意：x﹣2＝6或6﹣x＝6，
∴x＝8或x＝0．
故答案为：6或0．
13．△AOB三个顶点的坐标分别为A（5，0），O（0，0），B（3，6），以原点O为位似中心，相似比为，将△AOB缩小，则点B的对应点B′的坐标是 （2，4）或（﹣2，﹣4） ．
【分析】根据位似变换的性质解答即可．
解：∵△AOB顶点B的坐标为（3，6），以原点O为位似中心，相似比为，将△AOB缩小，
∴点B的对应点B′的坐标为（3×，6×）或（3×（﹣），6×（﹣）），即（2，4）或（﹣2，﹣4），
故答案为：（2，4）或（﹣2，﹣4）．
14．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为5，∠B＝135°，则弦AC的长为 5 ．
【分析】连接OA、OC，根据圆内接四边形的性质和已知条件求出∠D的度数，根据圆周角定理求出∠AOC，再根据等腰直角三角形的性质求出答案即可．
解：连接OA、OC，AC，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ABC+∠D＝180°，
∵∠B＝135°，
∴∠D＝45°，
∴∠AOC＝2∠D＝90°，
∵⊙O的半径为5，
∴AC＝OA＝5，
故答案为：5．
15．如图，在⊙O中，弦AB＝2，点C在AB上移动，连接OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为 1 ．
【分析】连接OD，如图，利用勾股定理得到CD，利用垂线段最短得到当OC⊥AB时，OC最小，再求出CD即可．
解：连接OD，如图，
∵CD⊥OC，
∴∠DCO＝90°，
∴CD＝＝，
当OC的值最小时，CD的值最大，
而OC⊥AB时，OC最小，此时D、B两点重合，
∴CD＝CB＝AB＝×2＝1，
即CD的最大值为1，
故答案为：1．
16．AB为⊙O的弦，∠OAB＝40°，则弦AB所对的弧的度数为 100°或260° ．
【分析】求出∠AOB，再求出劣弧，优弧的度数即可．
解：如图，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝40°，
∴∠AOB＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴弦AB所对的弧的度数为100°或260°，
故答案为：100°或260°，
17．在同一平面内，点P到圆上的点的最大距离为7，最小距离为1，则此圆的半径为 4或3 ．
【分析】由于点P与⊙O的位置关系不能确定，故应分两种情况进行讨论．
解：设⊙O的半径为r，
当点P在圆外时，r＝＝3；
当点P在⊙O内时，r＝＝4．
综上可知此圆的半径为4或3．
故答案为：4或3．
18．已知关于x的方程a（x+c）2+b＝0（a，b，c为常数，a≠0）的两根分别为﹣2，1，那么关于x的方程a（x+c﹣2）2+b＝0的两根分别为 3，0 ．
【分析】方法一：根据方程a（x+c）2+b＝0（a，b，c为常数，a≠0）的两根分别为﹣2，1，进行转化，即可得到c的值，然后即可得到方程a（x+c﹣2）2+b＝0的两根；方法二：根据平移的特点，由方程a（x+c）2+b＝0（a，b，c为常数，a≠0）的两根分别为﹣2，1，可以得到方程a（x+c﹣2）2+b＝0的两根．
解：方法一：∵方程a（x+c）2+b＝0（a，b，c为常数，a≠0）的两根分别为﹣2，1，
∴a（﹣2+c）2+b＝0或a（1+c）2+b＝0，
∴（﹣2+c）2＝﹣或（1+c）2＝﹣，
∴﹣2+c+1+c＝0，
解得，c＝0.5，
∴（﹣2+0.5）2＝﹣，
∴＝，
∵a（x+c﹣2）2+b＝0，
∴（x+0.5﹣2）2＝，
解得，x1＝3，x2＝0，
故答案为：3，0．
方法二：∵方程a（x+c）2+b＝0（a，b，c为常数，a≠0）的两根分别为﹣2，1，
∴方程a（x+c﹣2）2+b＝0的两根分别为：﹣2+2＝0或1+2＝3，
故答案为：3，0．
三．解答题（本大题共10小题，共96分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.
19．解方程：
（1）x2+2x＝6．
（2）（2x﹣3）2﹣x2＝0．
【分析】（1）方程两边同时加上1，利用配方法解方程即可；
（2）利用分解因式求出即可．
解：（1）x2+2x＝6，
x2+2x+1＝6+1，即（x+1）2＝7，
∴x+1＝，
∴x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣；
（2）（2x﹣3）2﹣x2＝0，
（2x﹣3+x）（2x﹣3﹣x）＝0，
∴3x﹣3＝0或x﹣3＝0，
∴x1＝1，x2＝3．
20．已知关于x的方程x2+mx+m﹣2＝0．
（1）若此方程的一个根为1，求m的值；
（2）求证：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．
【分析】（1）直接把x＝1代入方程x2+mx+m﹣2＝0求出m的值；
（2）计算出根的判别式，进一步利用配方法和非负数的性质证得结论即可．
解：（1）根据题意，将x＝1代入方程x2+mx+m﹣2＝0，
得：1+m+m﹣2＝0，
解得：m＝；
（2）∵Δ＝m2﹣4×1×（m﹣2）＝m2﹣4m+8＝（m﹣2）2+4＞0，
∴不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
21．省射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加全国比赛，对他们进行了六次测试，测试成绩如下表（单位：环）：
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
第六次
甲
10
8
9
8
10
9
乙
10
7
10
10
9
8
（1）根据表格中的数据，计算出甲的平均成绩是 9 环，乙的平均成绩是 9 环；
（2）分别计算甲、乙六次测试成绩的方差；你认为推荐谁参加全国比赛更合适，请说明理由．
【分析】（1）根据表格中的数据可以算出甲和乙的平均环数；
（2）根据表格中的数据可以分别计算出甲和乙的方差，然后根据方差越小越稳定即可解答本题．
解：（1）甲的平均成绩是：（10+8+9+8+10+9）÷6＝9（环），
乙的平均成绩是：（10+7+10+10+9+8）÷6＝9（环），
故答案为：9，9；
（2）推荐甲参加全国比赛更合适，
理由：甲的方差是：×[2×（10﹣9）2+2×（8﹣9）2+2×（9﹣9）2]＝，
乙的方差是：×[3×（10﹣9）2+（7﹣9）2+（8﹣9）2+（9﹣9）2]＝，
∵＜，
∴推荐甲参加全国比赛更合适．
22．（1）如图，将A、B、C三个字母随机填写在三个空格中（每空填一个字母，每空中的字母不重复），请你用画树状图或列表的方法求从左往右字母顺序恰好是A、B、C的概率；
（2）若在如图三个空格的右侧增加一个空格，将A、B、C、D四个字母任意填写其中（每空填一个字母，每空中的字母不重复），从左往右字母顺序恰好是A、B、C、D的概率为 ．
【分析】（1）用列表法例举出所有可能的情况，再看一下左往右字母顺序恰好是A、B、C的种数即可求出其概率；
（2）用列表法例举出所有可能的情况，再看一下左往右字母顺序恰好是A、B、C、D的种数即可求出其概率；
【解答】（1）解：
空格1
空格2
空格3
A
B
C
A
C
B
B
A
C
B
C
A
C
A
B
C
B
A
如表格所示，一共有六种等可能的结果，其中从左往右字母顺序恰好是A、B、C（记为事件A）的结果有一种，所以P（A）＝．
（2）由（1）可知从左往右字母顺序恰好是A、B、C、D的概率为：．
故答案为：．
23．图中是圆弧拱桥，某天测得水面AB宽20m，此时圆弧最高点距水面5m．
（1）确定圆弧所在圆的圆心O．（尺规作图，保留作图痕迹）
（2）求圆弧所在圆的半径．
【分析】（1）利用垂径定理得出垂直平分线，交点即是圆心，到任意一点距离即是半径；
（2）利用垂径定理以及勾股定理，即可得出答案．
解：（1）如图，圆心O即为所求；
（2）设圆弧拱桥最高点为C，连接OA、OC交AB于D，
则OC⊥AB，CD＝5m，AD＝AB＝10m，
设OD＝xm，则OA＝OC＝（x+5）m，
Rt△AOD中：OA2＝OD2+AD2，
即x2+102＝（x+5）2，
∴x＝7.5，
∴OA＝12.5m，
即圆半径为12.5m．
24．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1250元，那么衬衫的单价降了多少元？
【分析】设衬衫的单价降了x元．根据题意等量关系：降价后的销量×每件的利润＝1250，根据等量关系列出方程即可．
解：设衬衫的单价降了x元．根据题意，得
（20+2x）（40﹣x）＝1250，
解得：x1＝x2＝15，
答：衬衫的单价降了15元．
25．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC的中点，CE⊥AD，垂足为E．
（1）求证：CD2＝DE•AD；
（2）求证：∠BED＝∠ABC．
【分析】（1）证明∠CED＝∠ACB＝90°，∠CDE＝∠ADC，得到△CDE∽△ADC，列出比例式，化为等积式即可解决问题．
（2）运用（1）中的结论，证明△BDE∽△ADB，即可解决问题．
【解答】证明（1）∵CE⊥AD，
∴∠CED＝∠ACB＝90°，
∵∠CDE＝∠ADC，
∴△CDE∽△ADC，
∴CD：AD＝DE：CD，
∴CD2＝DE•AD．
（2）∵D是BC的中点，
∴BD＝CD；
∵CD2＝DE•AD，
∴BD2＝DE•AD
∴BD：AD＝DE：BD；
又∵∠ADB＝∠BDE，
∴△BDE∽△ADB，
∴∠BED＝∠ABC．
26．如图，王华同学在晚上由路灯AC走向路灯BD，当他走到点P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部，当他向前再步行12m到达Q点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部．已知王华同学的身高是1.6m，两个路灯的高度都是9.6m．
（1）求两个路灯之间的距离；
（2）当王华同学走到路灯BD处时，他在路灯AC下的影子长是多少？
【分析】（1）依题意得到△APM∽△ABD，∴再由它可以求出AB；
（2）设王华走到路灯BD处头的顶部为E，连接CE并延长交AB的延长线于点F则BF即为此时他在路灯AC的影子长，容易知道△EBF∽△CAF，再利用它们对应边成比例求出现在的影子．
解：（1）由对称性可知AP＝BQ，设AP＝BQ＝xm
∵MP∥BD∴△APM∽△ABD
∴
∴
∴x＝3
经检验x＝3是原方程的根，并且符合题意．
∴AB＝2x+12＝2×3+12＝18（m）
答：两个路灯之间的距离为18米．
（2）设王华走到路灯BD处头的顶部为E，连接CE并延长交AB的延长线于点F，
则BF即为此时他在路灯AC的影子长，
设BF＝ym
∵BE∥AC
∴△EBF∽△CAF
∴，即
解得y＝3.6，
经检验y＝3.6是分式方程的解．
答：当王华同学走到路灯BD处时，他在路灯AC下的影子长是3.6米．
27．如图．在△ABC中．AB＝4，D是AB上的一点（不与点A、B重合），DE∥BC．交于点E．设△ABC的面积为S．△DEC的面积为S′．
（1）当D是AB的中点时．求的值．
（2）若AD＝x，＝y，求y关于x的函数关系式以及自变量x的取值范围．
（3）根据y的取值范围，探索S与S′之间的大小关系．并说明理由．
【分析】（1）先求出△ADE和△CDE的面积相等，再根据平行线得出△ADE∽△ABC，推出＝（）2，把AB＝2AD代入求出即可；
（2）求出＝x2①，＝＝②，①÷②即可得出答案；
（3）由（2）知x的取值范围是0＜x＜4，于是得到y＝＝﹣x2+x＝﹣（x﹣2）2+≤，即可得到结论．
解：（1）∵D为AB中点，
∴AB＝2AD，
∵DE∥BC，
∴AE＝EC，
∵△ADE的边AE上的高和△CED的边CE上的高相等，
∴S△ADE＝S△CDE＝S1，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝（）2＝（）2＝，
∴S′：S＝1：4；
（2）∵AB＝4，AD＝x，
∴＝（）2＝（）2，
∴＝x2①，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，
∵AB＝4，AD＝x，
∴＝，
∴＝
∵△ADE的边AE上的高和△CED的边CE上的高相等，
∴＝＝②，
①÷②得：
∴y＝＝﹣x2+x，
∵AB＝4，
∴x的取值范围是0＜x＜4；
（3）由（2）知x的取值范围是0＜x＜4，
∴y＝＝﹣x2+x＝﹣（x﹣2）2+≤，
∴S′≤S．
28．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝8，点P为AB的中点，E为BC上一动点，过P点作FP⊥PE交AC于F点，经过P、E、F三点确定⊙O．
（1）试说明：点C也一定在⊙O上．
（2）点E在运动过程中，∠PEF的度数是否变化？若不变，求出∠PEF的度数；若变化，说明理由．
（3）求线段EF的取值范围，并说明理由．
【分析】（1）根据圆周角定理可求知FE是⊙O的直径，从而可知点C在⊙O上．
（2）根据圆周角定理即可求出∠PEF的度数．
（3）由于△FEP是等腰直角三角形，从而可知EF＝EP，所以求出EP的范围即可．
解：（1）由于FP⊥PE，
经过P、E、F三点确定⊙O，由圆周角定理可知：⊙O的直径为EF，
∵∠FCE＝90°，
∴点C在圆O上．
（2）连接PC
∵AC＝BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵点P是AB的中点，
∴CP平分∠ACB，
∴∠ACP＝45°，
∵，
∴∠ACP＝∠PEF＝45°，
由于∠ACP的度数不变，
∴∠PEF的度数不会发生变化．
（3）∵△EFP是等腰直角三角形，
∴FE＝PE
当PE⊥BC时，
此时PE＝AC＝4，
当P与C或B重合时，
此时PE＝4，
∴4≤PE≤4，
∴4≤EF≤8
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