2020年广西桂林市灌阳县中考一模数学试卷（含答案）

这是一份2020年广西桂林市灌阳县中考一模数学试卷（含答案），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020年广西桂林市灌阳县中考数学一模试卷
一、选择题（每题3分，共36分）
1．（3分）实数2020的相反数是（　　）
A．2020 B． C．﹣2020 D．﹣
2．（3分）2020年春节前夕，一场突如其来的新冠肺炎疫情牵动着全国人民的心．因疫情发展迅速，全国口罩防护用品销售量暴涨、供应紧张．国有疫，我有责．在特殊时期，某集团紧急启动了应急响应机制，取消了工人休假，与防疫救灾相关的口罩、84消毒液生产线连续24小时运转，将援驰武汉的10万片口罩、5万瓶84消毒液和200万片酒精棉片第一时间发往武汉，其中200万用科学记数法表示为（　　）
A．2×102 B．2×104 C．2×106 D．2×103
3．（3分）如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的左视图为（　　）

A． B． C． D．
4．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．（﹣a4）5＝a9 B．2a2+3a2＝6a4
C．2a2•a5＝2a10 D．（﹣）2＝
5．（3分）如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α度，AC＝7m，则树高BC为（用含α的代数式表示）（　　）

A．7sinα B．7cosα C．7tanα D．
6．（3分）如图，是一个由4条线段构成的“鱼”形图案，其中OA∥BC，AC∥OB．若∠1＝50°，则∠3的度数为（　　）

A．130° B．120° C．50° D．125°
7．（3分）下列说法正确的是（　　）
A．平面内三个点确定一个圆
B．旅客上飞机前的安检应采用抽样调查
C．方差越大，数据的波动越小
D．在标准大气压下，水加热到100℃会沸腾是必然事件
8．（3分）如图，在宽度为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，求道路的宽．如果设小路宽为xm，根据题意，所列方程正确的是（　　）

A．（20+x）（32﹣x）＝540 B．（20﹣x）（32﹣x）＝100
C．（20﹣x）（32﹣x）＝540 D．（20+x）（32﹣x）＝540
9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，如果AC＝3，AB＝6，那么AD的值为（　　）

A． B． C． D．3
10．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，分别以正方形的三边为直径在正方形内部作半圆，则阴影部分的面积之和是（　　）

A．8 B．4 C．16π D．4π
11．（3分）如图，反比例函数y1＝的图象与正比例函数y2＝k2x的图象交于点（2，1），则使y1＞y2的x的取值范围是（　　）

A．0＜x＜2 B．x＞2
C．x＞2或﹣2＜x＜0 D．x＜﹣2或0＜x＜2
12．（3分）如图，在Rt△PMN中，∠P＝90°，PM＝PN，MN＝6cm，矩形ABCD中AB＝2cm，BC＝10cm，点C和点M重合，点B、C（M）、N在同一直线上，令Rt△PMN不动，矩形ABCD沿MN所在直线以每秒1cm的速度向右移动，至点C与点N重合为止，设移动x秒后，矩形ABCD与△PMN重叠部分的面积为y，则y与x的大致图象是（　　）

A． B．
C． D．
二、填空题（每题3分，共18分）
13．（3分）函数y＝中，自变量x的取值范围是　 　．
14．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD＝120°，则∠BOD＝　 　度．

15．（3分）已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为5cm，则这个圆锥的侧面积是　 　．
16．（3分）一元二次方程x2﹣6x+8＝0的根为菱形的两条对角线长，则菱形的周长为　 　．
17．（3分）在一个不透明的袋子里装有5个球，其中3个红球，2个黄球，它们除颜色外其余都相同，从袋子中任意摸出一球然后放回，搅匀后再任意摸出一球，则两次摸出的球是一红一黄的概率为　 　．
18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A，A1，A2，A3…An都在直线l：y＝x+1上，点B，B1，B2，B3…Bn都在x轴上，且AB1⊥1，B1A1⊥x轴，A1B2⊥1，B2A2⊥x轴，则An的横坐标为　 　（用含有n的代数式表示）．

三、解答题（本大题共8小题，共66分）
19．（6分）计算：．
20．（6分）先化简，后求值：（）÷，其中x＝2019．
21．（8分）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，若DE∥BC，AD＝3，AB＝5，求的值．

22．（8分）某电器超市销售每台进价分别为200元，170元的A、B两种型号的电风扇，表中是近两周的销售情况：
销售时段
销售数量
销售收入
A种型号
B种型号
第一周
3台
5台
1800元
第二周
4台
10台
3100元
（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入﹣进货成本）
（1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价；
（2）若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？
（3）在（2）的条件下，超市销售完这30台电风扇能否实现利润为1400元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
23．（8分）为了解今年师大附中多元校区共3000名八年级学生“地理知识大赛”的笔试情况，随机抽取了部分参赛同学的成绩，整理并制作如图所示的图表（部分未完成）．请你根据表中提供的信息，解答下列问题：
分数段
频数
频率
60≤x＜70
30
0.1
70≤x＜80
90
n
80≤x＜90
m
0.4
90≤x≤100
60
0.2
（1）此次调查的样本容量为　 　；m＝　 　；n＝　 　；
（2）补全频数分布直方图；
（3）如果比赛成绩80分以上为优秀，那么你估计师大附中多元校区八年级学生笔试成绩的优秀人数大约是　 　名．

24．（8分）目前世界上最高的电视塔是广州新电视塔．如图所示，新电视塔高AB为610米，远处有一栋大楼，某人在楼底C处测得塔顶B的仰角为45°，在楼顶D处测得塔顶B的仰角为39°，（sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81）
（1）求大楼与电视塔之间的距离AC；
（2）求大楼的高度CD（精确到1米）

25．（10分）如图，在△ABC中，BA＝BC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，BC的延长线与⊙O的切线AF交于点F．
（1）求证：∠ABC＝2∠CAF；
（2）若AC＝2，CE：EB＝1：4，求CE，AF的长．

26．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c经过A、B、C三点，已知点A（﹣3，0），B（0，3），C（1，0）．

（1）求此抛物线的解析式；
（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点，（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为F，交直线AB于点E，作PD⊥AB于点D．动点P在什么位置时，△PDE的周长最大，求出此时P点的坐标；
（3）在直线x＝﹣2上是否存在点M，使得∠MAC＝2∠MCA，若存在，求出M点坐标．若不存在，说明理由．

2020年广西桂林市灌阳县中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共36分）
1．（3分）实数2020的相反数是（　　）
A．2020 B． C．﹣2020 D．﹣
【答案】C
【分析】直接利用相反数的定义得出答案．
【解答】解：2020的相反数是：﹣2020．
故选：C．
2．（3分）2020年春节前夕，一场突如其来的新冠肺炎疫情牵动着全国人民的心．因疫情发展迅速，全国口罩防护用品销售量暴涨、供应紧张．国有疫，我有责．在特殊时期，某集团紧急启动了应急响应机制，取消了工人休假，与防疫救灾相关的口罩、84消毒液生产线连续24小时运转，将援驰武汉的10万片口罩、5万瓶84消毒液和200万片酒精棉片第一时间发往武汉，其中200万用科学记数法表示为（　　）
A．2×102 B．2×104 C．2×106 D．2×103
【答案】C
【分析】首先把200万化为2000000，再用科学记数法表示，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：200万＝2000000＝2×106．
故选：C．
3．（3分）如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的左视图为（　　）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】找到从左侧面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
【解答】解：从左面看，这个立体图形有两层，且底层有两个小正方形，第二层的左边有一个小正方形．
故选：A．
4．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．（﹣a4）5＝a9 B．2a2+3a2＝6a4
C．2a2•a5＝2a10 D．（﹣）2＝
【答案】D
【分析】直接利用单项式乘以单项式和合并同类项法则以及分式的乘法运算法则分别判断得出答案．
【解答】解：A、（﹣a4）5＝﹣a20，故此选项错误；
B、2a2+3a2＝5a2，故此选项错误；
C、2a6•a5＝2a7，故此选项错误；
D、（﹣）2＝，正确．
故选：D．
5．（3分）如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α度，AC＝7m，则树高BC为（用含α的代数式表示）（　　）

A．7sinα B．7cosα C．7tanα D．
【答案】C
【分析】根据正切的概念进行解答即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，tanα＝，
则BC＝AC•tanα═7tanαm，
故选：C．
6．（3分）如图，是一个由4条线段构成的“鱼”形图案，其中OA∥BC，AC∥OB．若∠1＝50°，则∠3的度数为（　　）

A．130° B．120° C．50° D．125°
【答案】A
【分析】根据平行线的性质先求出∠2的度数，再根据平行线的性质先求出∠3的度数．
【解答】解：∵AC∥OB，∠1＝50°，
∴∠2＝50°，
∴∠3＝180°﹣50°＝130°．
故选：A．
7．（3分）下列说法正确的是（　　）
A．平面内三个点确定一个圆
B．旅客上飞机前的安检应采用抽样调查
C．方差越大，数据的波动越小
D．在标准大气压下，水加热到100℃会沸腾是必然事件
【答案】D
【分析】根据随机事件、必然事件、确定圆的条件、方差的性质判断即可．
【解答】解：A、平面内不在同一直线上的三个点确定一个圆，本选项错误；
B、旅客上飞机前的安检应采用全面调查，本选项错误；
C、方差越大，数据的波动越大，本选项错误
D、在标准大气压下，水加热到100℃会沸腾是必然事件，本选项正确；
故选：D．
8．（3分）如图，在宽度为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，求道路的宽．如果设小路宽为xm，根据题意，所列方程正确的是（　　）

A．（20+x）（32﹣x）＝540 B．（20﹣x）（32﹣x）＝100
C．（20﹣x）（32﹣x）＝540 D．（20+x）（32﹣x）＝540
【答案】C
【分析】设小路宽为x米，利用平移把不规则的图形变为规则图形，如此一来，所有草坪面积之和就变为了（32﹣x）（20﹣x）米2，进而即可列出方程，求出答案．
【解答】解：利用平移，原图可转化为右图，设小路宽为x米，
根据题意得：（20﹣x）（32﹣x）＝540．
故选：C．

9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，如果AC＝3，AB＝6，那么AD的值为（　　）

A． B． C． D．3
【答案】A
【分析】根据射影定理得到：AC2＝AD•AB，把相关线段的长度代入即可求得线段AD的长度．
【解答】解：如图，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴AC2＝AD•AB，
∴32＝8AD，则AD＝．
故选：A．

10．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，分别以正方形的三边为直径在正方形内部作半圆，则阴影部分的面积之和是（　　）

A．8 B．4 C．16π D．4π
【答案】A
【分析】先判断出两半圆交点为正方形的中心，连接OA，OD，则可得出所产生的四个小弓形的面积相等，先得出2个小弓形的面积，即可求阴影部分面积．
【解答】解：易知：两半圆的交点即为正方形的中心，设此点为O，连接AO，DO，
则图中的四个小弓形的面积相等，
∴两个小弓形面积＝2π﹣4，
故选：A．
11．（3分）如图，反比例函数y1＝的图象与正比例函数y2＝k2x的图象交于点（2，1），则使y1＞y2的x的取值范围是（　　）

A．0＜x＜2 B．x＞2
C．x＞2或﹣2＜x＜0 D．x＜﹣2或0＜x＜2
【答案】D
【分析】先根据反比例函数与正比例函数的性质求出B点坐标，由函数图象即可得出结论．
【解答】解：∵反比例函数与正比例函数的图象均关于原点对称，
∴A、B两点关于原点对称，
∴B（﹣2，﹣1），
∴使y1＞y2的x的取值范围是x＜﹣2或6＜x＜2．
故选：D．

12．（3分）如图，在Rt△PMN中，∠P＝90°，PM＝PN，MN＝6cm，矩形ABCD中AB＝2cm，BC＝10cm，点C和点M重合，点B、C（M）、N在同一直线上，令Rt△PMN不动，矩形ABCD沿MN所在直线以每秒1cm的速度向右移动，至点C与点N重合为止，设移动x秒后，矩形ABCD与△PMN重叠部分的面积为y，则y与x的大致图象是（　　）

A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】在Rt△PMN中解题，要充分运用好垂直关系和45度角，因为此题也是点的移动问题，可知矩形ABCD以每秒1cm的速度由开始向右移动到停止，和Rt△PMN重叠部分的形状可分为下列三种情况，（1）0≤x≤2；（2）2＜x≤4；（3）4＜x≤6；根据重叠图形确定面积的求法，作出判断即可．
【解答】解：∵∠P＝90°，PM＝PN，
∴∠PMN＝∠PNM＝45°，
分三种情况：
①当0≤x≤2时，如图1，边CD与PM交于点E，
∵∠PMN＝45°，
此时矩形ABCD与△PMN重叠部分是△EMC，
故选项B和D不正确；
②如图2，当D在边PN上时，过P作PF⊥MN于F，交AD于G，
∵∠N＝45°，CD＝2，
∴CM＝4﹣2＝4，
当2＜x≤4时，如图5，矩形ABCD与△PMN重叠部分是四边形EMCD，
∴EF＝MF＝2，
∴y＝S梯形EMCD＝CD•（DE+CM）＝＝2x﹣2；
③当4＜x≤7时，如图4，矩形ABCD与△PMN重叠部分是五边形EMCGF，过E作EH⊥MN于H，
∴EH＝MH＝2，DE＝CH＝x﹣2，
∴CG＝CN＝6﹣x，
∴y＝S梯形EMCD﹣S△FDG＝﹣＝×2×（x﹣2+x）﹣＝﹣+6x﹣10，
故选：A．

二、填空题（每题3分，共18分）
13．（3分）函数y＝中，自变量x的取值范围是　x≥2　．
【答案】见试题解答内容
【分析】因为当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数，所以2x﹣4≥0，可求x的范围．
【解答】解：根据题意得2x﹣4≥0
解得x≥2．
故答案为：x≥2．
14．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD＝120°，则∠BOD＝　120　度．

【答案】见试题解答内容
【分析】根据圆内接四边形的性质，可求得∠A的度数，根据圆周角定理，可求得∠BOD的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD＝120°
∴∠A＝180°﹣∠BCD＝180°﹣120°＝60°
故∠BOD＝2∠A＝2×60°＝120°．
15．（3分）已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为5cm，则这个圆锥的侧面积是　20πcm2　．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算．
【解答】解：这个圆锥的侧面积＝•2π•4•5＝20π（cm5）．
故答案为20πcm2．
16．（3分）一元二次方程x2﹣6x+8＝0的根为菱形的两条对角线长，则菱形的周长为　　．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用因式分解法求出x的值，从而得出菱形的边长，再利用菱形对角线互相平分、垂直的性质得出边长，从而得出答案．
【解答】解：∵x2﹣6x+8＝2，
∴（x﹣2）（x﹣4）＝0，
解得x＝3或x＝4，
∴菱形的边长为＝，
故答案为：4．
17．（3分）在一个不透明的袋子里装有5个球，其中3个红球，2个黄球，它们除颜色外其余都相同，从袋子中任意摸出一球然后放回，搅匀后再任意摸出一球，则两次摸出的球是一红一黄的概率为　　．
【答案】见试题解答内容
【分析】画出树状图，共有25个等可能的结果，两次摸出的球是一红一黄的结果有12个，由概率公式即可得出答案．
【解答】解：树状图如图所示：

∴两次摸出的球是一红一黄的概率为，
故答案为：．
18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A，A1，A2，A3…An都在直线l：y＝x+1上，点B，B1，B2，B3…Bn都在x轴上，且AB1⊥1，B1A1⊥x轴，A1B2⊥1，B2A2⊥x轴，则An的横坐标为　（﹣1）　（用含有n的代数式表示）．

【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意：先求出AO，A1B1，A2B2的长度，找出规律，表示出AnBn，再计算OBn，可得An的横坐标．
【解答】解：∵直线l：y＝x+1交x轴，y轴于B，A两点
∴A（0，1），B（﹣，0）
∴A1B1∥AO∥A2B7∥A3B3，AB1∥A1B2∥A8B3．
∴tan∠B＝tan∠OAB1＝＝＝
∵OA∥A1B1
∴A7B1＝
…AnBn＝
∴B6B2＝A1B1×tan∠OAB1＝
∴OBn＝OB1+B1B4+B2B3+…+An﹣1Bn﹣1＝++×+…+×①
∴②﹣①得OBn＝×﹣
故答案为（﹣1）
三、解答题（本大题共8小题，共66分）
19．（6分）计算：．
【答案】见试题解答内容
【分析】本题涉及零指数幂、负指数幂、二次根式化简、特殊角的三角函数值4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：原式＝
＝．
20．（6分）先化简，后求值：（）÷，其中x＝2019．
【答案】见试题解答内容
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝（﹣）•
＝•
＝，
当x＝2019时，原式＝．
21．（8分）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，若DE∥BC，AD＝3，AB＝5，求的值．

【答案】见试题解答内容
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出＝，再根据AD＝3，AB＝5，即可得出答案．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴＝，
∴＝．
22．（8分）某电器超市销售每台进价分别为200元，170元的A、B两种型号的电风扇，表中是近两周的销售情况：
销售时段
销售数量
销售收入
A种型号
B种型号
第一周
3台
5台
1800元
第二周
4台
10台
3100元
（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入﹣进货成本）
（1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价；
（2）若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？
（3）在（2）的条件下，超市销售完这30台电风扇能否实现利润为1400元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，根据3台A型号5台B型号的电扇收入1800元，4台A型号10台B型号的电扇收入3100元，列方程组求解；
（2）设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇（30﹣a）台，根据金额不多余5400元，列不等式求解；
（3）设利润为1400元，列方程求出a的值为20，不符合（2）的条件，可知不能实现目标．
【解答】解：（1）设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，
依题意得：，
答：A、B两种型号电风扇的销售单价分别为250元、210元；
（2）设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇（30﹣a）台．
依题意得：200a+170（30﹣a）≤5400，
答：超市最多采购A种型号电风扇10台时，采购金额不多于5400元；
（3）依题意有：（250﹣200）a+（210﹣170）（30﹣a）＝1400，
解得：a＝20，
∴在（2）的条件下超市不能实现利润1400元的目标．
23．（8分）为了解今年师大附中多元校区共3000名八年级学生“地理知识大赛”的笔试情况，随机抽取了部分参赛同学的成绩，整理并制作如图所示的图表（部分未完成）．请你根据表中提供的信息，解答下列问题：
分数段
频数
频率
60≤x＜70
30
0.1
70≤x＜80
90
n
80≤x＜90
m
0.4
90≤x≤100
60
0.2
（1）此次调查的样本容量为　300　；m＝　120　；n＝　0.3　；
（2）补全频数分布直方图；
（3）如果比赛成绩80分以上为优秀，那么你估计师大附中多元校区八年级学生笔试成绩的优秀人数大约是　1800　名．

【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据第一组的频数是30，频率是0.1，以及频率公式即可求解样本容量；依据频率公式：频率＝即可求解；
（2）作出第三组对应的矩形即可；
（3）利用总人数3000乘以笔试成绩的优秀的频率即可求解．
【解答】解：（1）样本容量是：30÷0.1＝300；
m＝300×0.4＝120，n＝＝0.4；
（2）画图如下：
（3）3000×（2.4+0.2）＝1800（人）．
故答案为1800．
24．（8分）目前世界上最高的电视塔是广州新电视塔．如图所示，新电视塔高AB为610米，远处有一栋大楼，某人在楼底C处测得塔顶B的仰角为45°，在楼顶D处测得塔顶B的仰角为39°，（sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81）
（1）求大楼与电视塔之间的距离AC；
（2）求大楼的高度CD（精确到1米）

【答案】见试题解答内容
【分析】（1）判断出△BAC为等腰直角三角形，即可求出AC的长；
（2）在Rt△DEB中，根据＝tan39°即可求出CD的长．
【解答】解：（1）∵塔顶B的仰角为45°，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
（2）根据题意可知四边形ACDE为矩形，
则BE＝（610﹣x）米，
∴≈0.81，
答：大楼与电视塔之间的距离AC为610米，大楼的高CD为116米．
25．（10分）如图，在△ABC中，BA＝BC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，BC的延长线与⊙O的切线AF交于点F．
（1）求证：∠ABC＝2∠CAF；
（2）若AC＝2，CE：EB＝1：4，求CE，AF的长．

【答案】见试题解答内容
【分析】（1）首先连接BD，由AB为直径，可得∠ADB＝90°，又由AF是⊙O的切线，易证得∠CAF＝∠ABD．然后由BA＝BC，证得：∠ABC＝2∠CAF；
（2）首先连接AE，设CE＝x，由勾股定理可得方程：（2）2＝x2+（3x）2．然后由tan∠ABF＝，求得答案．
【解答】（1）证明：如图，连接BD．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠DAB+∠ABD＝90°．
∴∠FAB＝90°，
∴∠CAF＝∠ABD．
∴∠ABC＝2∠ABD．
（6）解：如图，连接AE．
设CE＝x，
∴EB＝4x，BA＝BC＝5x，AE＝3x．
即（2）2＝x2+（3x）2．
∴CE＝6，
∵tan∠ABF＝．
∴AF＝．

26．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c经过A、B、C三点，已知点A（﹣3，0），B（0，3），C（1，0）．

（1）求此抛物线的解析式；
（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点，（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为F，交直线AB于点E，作PD⊥AB于点D．动点P在什么位置时，△PDE的周长最大，求出此时P点的坐标；
（3）在直线x＝﹣2上是否存在点M，使得∠MAC＝2∠MCA，若存在，求出M点坐标．若不存在，说明理由．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）把A、B、C点坐标代入抛物线y＝ax2+bx+c，即可求解；
（2）证明△PDE是等腰直角三角形，则PD越大，△PDE的周长越大，则直线AB的解析式为y＝x+3，与AB平行的直线解析式为y＝x+m，联立，当△＝9﹣4（m﹣3）＝0，即m＝时，直线与抛物线只有一个交点，PD最长，即可求解；
（3）证明∠CMD＝∠DCM，则MD＝CD＝2，即可求解．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（0，3），C（1，8），
∴，解得：，
（2）∵A（﹣3，0），B（4，3），
∴△AOB是等腰直角三角形，
∵PF⊥x轴，
又∵PD⊥AB，
∴PD越大，△PDE的周长越大，
设与AB平行的直线解析式为y＝x+m，
消掉y得，x2+3x+m﹣3＝0，
即m＝时，直线与抛物线只有一个交点，PD最长，

（2）设直线x＝﹣2与x轴交于点E，作点A关于直线x＝﹣2
∴MA＝MD，∠MAC＝∠MDA＝2∠MCA
∴MD＝CD＝6
∴点M（﹣2，）或（﹣2，﹣）．